CN112285822B - 一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构 - Google Patents

Abstract

本发明所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，包括由多层晶胞排列组成的拓扑非平庸层、缺陷层和拓扑平庸层，依次按照拓扑非平庸层、缺陷层、拓扑平庸层、缺陷层、拓扑非平庸层的顺序排列构成。本发明所述的有益效果为：设计具有PT对称构型的二维光子晶体，通过增益系数的改变，实现拓扑相变；构建了由拓扑非平庸结构和拓扑平庸结构形成的边界态，该边界态具有拓扑相和非厄米调制的双重特征；通过源位置的选择，可以让拓扑相调制和非厄米调制分别发挥作用，两者均可以激发单向传输。

Description

一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构

技术领域

本发明涉及光子晶体技术领域，具体是涉及一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构。

背景技术

近代物理学量子理论的发展以拓扑绝缘体和非厄米量子力学理论为突出表现。拓扑绝缘体建立在量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应等一系列霍尔效应的基础上，成功地把数学中抽象的拓扑概念引入到描述结构量子化的电导率中。拓扑绝缘体基本特征是体绝缘，表面导电，更重要的是其单向导电且具有克服背向散射的功能，这有望解决未来芯片热效应问题。量子霍尔效应建立在时间反演对称破缺的基础上，拓扑量由整数第一陈数来描述，一般通过外加磁场来实现。量子自旋霍尔效应建立在时间反演对称的基础上，此时第一陈数为0，需要用新的拓扑量子数Z₂拓扑数或自旋陈数来描述。相对来说，由于不需要外加磁场，量子自旋霍尔效应更具有独特的应用价值；但所有电子体系的拓扑绝缘体在实验实现上都非常困难，例如量子霍尔效应需要在低温和强磁场中才能实现，给实际应用带来不便。量子自旋霍尔效应建立在电子自旋和轨道角动量的耦合从而产生能带反转的基础上，直到2007年才在HgTe量子阱实验体系中实现出来。

非厄米量子力学建立在非厄米哈密顿量的基础上，特别地，建立在parity-time(PT)对称基础上的量子理论得到新的发展。无论是拓扑绝缘体还是非厄米量子力学都是以电子体系为研究对象。在物理学发展过程中，类比研究发挥了极大的作用，是物理学中经常采用的方法。光子晶体是半导体量子理论在经典波领域的类比。光子晶体具有更易制备的平台、更易于调控的能带结构。人工周期的能带结构同样能够实现电子能带的拓扑性质。因此，伴随拓扑绝缘体的理论，拓扑光子学的理论也得到很快的发展。除了揭示和验证拓扑绝缘体的相关理论，拓扑光子学在光通信领域也发挥独特的作用。同样，PT对称理论也被引入到光子学研究当中，PT对称结构的光子晶体也展现出各种新的物理现象。PT对称光学结构要求增益和损耗介质折射率满足特定的空间分布，即介电常数的实部和虚部分别为偶函数和奇函数。PT对称光学结构突出特征是有源结构，可以通过外部泵浦源对结构进行调制。

量子自旋霍尔效应基于成对出现的受到时间反演对称性保护的鲁棒拓扑边界态，其关键是实现边界态在能隙中的简并，即Kramers简并。电子作为费米子，具有成对的“自旋”这个内禀属性，其时间反演对称性正好满足这一简并条件。光作为玻色系统,其时间反演对称性与作为费米子的电子有本质的不同，是无法直接构造Kramers简并的。于是研究者构造各种光学赝自旋态来类比电子的自旋对。Khanikaev通过双各向异性介质构造六角晶格,并采用在高对称点附近TE+TM和TE-TM线偏振作为赝自旋态；南京大学卢明辉、陈延峰研究小组在理论上提出了一种基于压电/压磁超晶格构成的光拓扑绝缘体模型。作者采用四方晶格，以旋光LCP/RCP构造赝自旋对。构造量子自旋霍尔效应的关键在于赝时间反演对称性。2015年,日本NIMS研究人员Hu等通过复式六方晶格中的C_6v对称性在各向同性介质材料中构造出光量子自旋霍尔态，其赝时间反演对称性来自晶格的对称性。他们利用能带的折叠，将本来处于布里渊区顶点的Dirac简并折叠至布里渊区中心,从而形成双重Dirac点。通过拉伸和压缩晶格实现了p轨道和d轨道的能带反转。在简并破缺后的体能带能隙中，观测到赝自旋的鲁棒自旋边界态。该设计的优点是利用纯介质光子晶体构造光拓扑绝缘体,之后研究者纷纷在此基础上展开研究，虽然模型千变万化，但不离开2个要素：其一，要有2个双重简并点，分别对应赝自旋的p轨道和d轨道；其二，实现p轨道和d轨道的反转，目前多是通过晶胞的缩放变形来实现。但这种设计的局限性在于，结构的设计是静态的，缺少外部调制的手段。那么，需要寻找新的机制获得光量子自旋霍尔态，实现光子晶体能带的反转。

发明内容

电子轨道的反转来源于电子自旋和轨道角动量的耦合，光子晶体能带的反转来源于结构周期单元(原胞)的局域共振模式与周期结构整体布洛赫波的耦合。为解决上述技术问题，本发明提供了一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，对二维光子晶体原胞进行增益和损耗材料的设计，整体结构变成PT对称结构，通过增益系数的改变，实现拓扑相变，构建具有拓扑相和非厄米调制的双重特征的边界态，可实现双重机制下的单向传输。

本发明所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其采用的技术方案为：包括拓扑非平庸层、缺陷层和拓扑平庸层，依次按照拓扑非平庸层、缺陷层、拓扑平庸层、缺陷层、拓扑非平庸层的顺序排列构成，其中所述拓扑非平庸层由多层具有拓扑非平庸性质的晶胞排列组成，缺陷层由多层具有缺陷性质的晶胞排列组成，拓扑平庸层由多层具有拓扑平庸性质的晶胞排列组成。

进一步的，所述拓扑非平庸层性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱包括对称排列的增益介质、损耗介质以及普通介质，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与拓扑非平庸性质的晶胞中心的连线上。

进一步的，所述拓扑平庸层性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱均为普通介质，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与拓扑平庸性质的晶胞中心的连线上。

进一步的，所述缺陷性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱包括对称排列的增益介质和损耗介质，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与缺陷性质的晶胞中心的连线上。

进一步的，所述相邻两个晶胞的中心距离为晶格常数为a，所述每个介质柱中心到所述晶胞中心距离为a/3，所述介质柱长轴为a/3、短轴为2a/15。

进一步的，所述增益介质的折射率表示为n＝3.205+iρ，所述损耗介质的折射率表示为n＝3.205-iρ，所述普通介质的折射率表示为n＝3.205，其中，ρ为增益(或损耗)系数。

本发明所述的有益效果为：本发明设计具有PT对称构型的二维光子晶体，通过增益系数的改变，实现拓扑相变，构建了由拓扑非平庸结构和拓扑平庸结构形成的边界态，具有拓扑相和非厄米调制的双重特征。

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚地理解，下面根据具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明。

图1a是拓扑非平庸性质的晶胞结构模型。

图1b是晶胞的简约布里渊区。

图1c是拓扑非平庸层的整体结构。

图2是ρ＝0时结构的能带和Γ点处的p轨道和d轨道的本征模场。

图3是p轨道和d轨道的频率随ρ值的演化图。

图4a是ρ＝1.04时产生的能带反转及轨道模场。

图4b是d轨道增益频率的能流分布。

图4c是d轨道损耗频率的能流分布。

图5a是本发明的能带和边界态色散曲线。

图5b是本发明拓扑态结构模型和模式点A、B对应的模场分布。

图5c是模场A、B对应的能流矢量场。

图6a是激发源位于非平庸层和缺陷层之间的结构示意图。

图6b是激发源位于缺陷层中间的结构示意图。

图7a和7b分别是逆时针方向的赝自旋源激发传输的二维、一维场图。

图7c和7d分别是顺时针方向的赝自旋源激发传输的二维、一维场图。

图8a和8b是ρ＝1.04和ρ＝-1.04时传播结果示意图。

图9为是拓扑平庸性质的晶胞结构模型。

图10是缺陷性质的晶胞结构模型。

其中：1-增益介质，2-损耗介质，3-普通介质，4-激发源。

具体实施方式

如图5a-图5c所示，本发明所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，包括拓扑非平庸层、缺陷层和拓扑平庸层，依次按照拓扑非平庸层、缺陷层、拓扑平庸层、缺陷层、拓扑非平庸层的顺序排列构成，其中所述拓扑非平庸层由多层具有拓扑非平庸性质的晶胞排列组成，缺陷层由多层具有缺陷性质的晶胞排列组成，拓扑平庸层由多层具有拓扑平庸性质的晶胞排列组成。

如图1a-1c所示，所述拓扑非平庸层性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱分别由增益介质1、损耗介质2以及普通介质3对应组成，三种介质组成的介质柱对称排列，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与拓扑非平庸性质的晶胞中心的连线上。

所述拓扑平庸层性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱均由普通介质组成，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与拓扑平庸性质的晶胞中心的连线上。

所述缺陷性质的晶胞由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱中心分别位于一个正六边形的六个顶点，六个椭圆形介质柱分别由增益介质和损耗介质对应组成，两种介质柱交替对称排列，所述介质柱的短轴位于椭圆中心与缺陷性质的晶胞中心的连线上。

拓扑非平庸层、缺陷层和拓扑平庸层中，相邻两个晶胞的中心距离为晶格常数为a，所述每个介质柱中心到所述晶胞中心距离为a/3，所述介质柱长轴为a/3、短轴为2a/15。所述增益介质的折射率表示为n＝3.205+iρ，所述损耗介质的折射率表示为n＝3.205-iρ，所述普通介质的折射率表示为n＝3.205，其中，ρ为增益(或损耗)系数。设计该结构，横截面为椭圆形的介质柱围成一个近似封闭的微腔，容易产生局部的共振，增益系统书的变化能够调节局部微腔共振与整体布洛赫波的耦合。

所述增益介质的折射率表示为n＝3.205+iρ，所述损耗介质的折射率表示为n＝3.205-iρ，所述普通介质的折射率表示为n＝3.205，其中，ρ为增益(或损耗)系数。

本实施例中，在拓扑非平庸层性质的晶胞的基础上，应用基于有限元方法的Comsol软件进行能带的计算，考虑E极化电磁波(电场E_z分量，磁场H_x和H_y分量)，扫描方向为K-Γ-M。如图2所示，当ρ＝0时，在Γ点出现2个能带简并点，构成带隙上下2个顶点。根据2个简并点的E_z模场特征，分别类比于量子力学电子波函数的p轨道和d轨道。正三角晶格具有C_6V对称性的晶格结构，在第一布里渊中心Γ点的本征态有2个二维不可约表示：E₁和E₂，不可约表示E₁对应二重简并的偶极子态，如图2中2个p轨道：p_x和p_y，具有奇宇称；不可约表示E₂对应二重简并的四极子态，如图2中2个d轨道：

和d_2xy，具有偶宇称。当前情况下，d轨道的频率比p轨道频率大，对应的带隙是拓扑平庸的带隙。

从图3可以看出，逐步增加增益系数，两个轨道的频率变化。随着增益系数的增大，两轨道先逐渐融合，在ρ＝0.643的时候会合到一点，形成四重简并点。之后再次分离，但此时两个轨道的频率已经实现反转，此时的带隙对应拓扑非平庸的带隙。图4a-4c是ρ＝1.04的结果。仔细考察每个轨道对应简并的2个本征频率，它们分别是共轭的2个复数(频率带只取实部)：f_p＝158.48±i23THz，f_d＝164.37±i35.8THz。这种复数本征频率正是PT对称结构对称破缺态的特征。共轭的本征频率对应系统增益和损耗2种情况。从图4a-4c本征模场的能流密度矢量分布来看，虚部为负的频率(增益)模场对应的能流从增益介质发出，而虚部为正的频率(损耗)模场对应的能流从外部进入损耗介质。这种能量的交换不仅发生在原胞内部，也产生在原胞与邻近单元之间，是原胞与整体结构相互耦合的一个重要因素。

在光学系统中实现自旋霍尔效应的关键是建立受时间反转对称保护的光学赝自旋态。根据Hu等人在对称群基础上构建的光量子自旋霍尔效应的理论，在二维不可约表象E₁和E₂中重新构造基函数[p₊,p_-]和[d₊,d_-]，其中

得到赝时间反演算符T＝UK,其中U＝iσ_y是一个反幺正算符，K是一个复共轭算符。在T算符的作用下[p₊,p_-]具有如下的变换

此时T算符的作用完全类似于电子系统中真实的时间反演算符，我们称T为赝时间反演算符。根据麦克斯韦方程，可以由基函数对应的E_z场p_±求出对应的磁场。过程如下：

从(3)式可以看出，基函数p_±对应的磁场是2个旋转方向相反的圆极化偏振，分别对应电子自旋向上和向下态；同样地，基函数d₊和d_-分别对应电子自旋向上和向下态，称赝自旋态。根据k·p微扰理论，在Γ点两个二重简并的本征态表示为Γ₁＝p_x＝|x>，Γ₂＝p_y＝|y>，

Γ₄＝d_2xy＝|2xy>。在上述四个基矢下系统有效哈密顿量表示为

H(k)＝H₀+H'

这里

是系统在k＝0的哈密顿量，ε_p和ε_d是p轨道和d轨道的本征频率。H'是微扰项，可表示为

其中M_ij＝<Γ_i|k·p|Γ_j>是不同基矢Γ_i和Γ_j的交叠积分。如果进行基矢变换，在新的基矢空间p_±和d_±下，系统的有效哈密顿量重写为

其中

是两个分块矩阵，在这里

A来自一阶微扰项M_ij的非对角项，B来自二阶微扰项的对角项，且小于0。(5)式正好类似于建立在CdTe/HgTe/CdTe量子阱上的Bernevig-Hughes-Zhang(BHZ)模型，所以我们可以用下面公式计算系统的自旋陈数

这里

是对应H_±的两个本征态。(6)式的结果取决于ε_p和ε_d的关系。正常情况下，ε_p<ε_d，M<0,C_s＝0，对应拓扑平庸；反转情况下，ε_p>ε_d，M>0,C_s＝±1，对应拓扑非平庸态。

在本发明研究的系统中，通过非厄米系统增益系数的调制，出现轨道的反转，为实现光量子霍尔效应创造了条件。当拓扑非平庸态的结构与拓扑平庸态结构相接构成边界，如果两个结构存在公共带隙，在带隙里面就会形成类似量子电子霍尔效应的螺旋边界态。

一般光量子自旋霍尔态，只要把拓扑非平庸结构与拓扑平庸结构简单的拼接在一起，对图1的结构，虽然具有拓扑相，但一般的拼接激发不出螺旋边界态。为此，我们设计了如图5a的超胞结构，超胞设计成“(拓扑非平庸层+缺陷层)+拓扑平庸层+(缺陷层+拓扑非平庸层)”这样的三明治结构，这样就形成左右对称的两个边界态，见图5c，两个缺陷层之间是拓扑平庸层，外侧是拓扑非平庸层，能带如图5b所示。在带隙内部出现2条缺陷边界态曲线AB和CD，在+k和-k空间呈对称分布。这两条曲线在Γ＝0处是交叠的，符合螺旋边界态的特征。考察边界态频率，它们都是复数，下边界态频率虚部为正，上边界态频率虚部为负，说明边界态除了具有拓扑相，还具有PT对称破缺态特征，是受双重机制的调制。这里边界态曲线上每一点都对应左右两个边界态。

在单一光量子自旋霍尔效应条件下，这两个边界态应该分别锁定方向相反的两个赝自旋态。本文中由于增加了非厄米调制，出现了新的现象。在边界态曲线上选择对称的两点A和B，点A对应两个本征模场A⁺和A^-，点B对应两个本征模场B⁺和B^-，它们分别位于两端的边界上，并处在非平庸层和缺陷层之间。图中完整的环形介质柱属于非平庸层，两个半环型的介质柱属于缺陷层。可以看出，模场均局域在缺陷层与拓扑非平庸层的边界处。我们考察上述四个本征模场对应的能流矢量的分布，结果如图5c所示。A⁺和B^-的能流矢量场在边界处均出现2个方向相反的涡旋，对应相反方向的赝自旋态，但两个涡旋的强度明显不同。如果是单一光量子自旋霍尔效应，点A对应两个本征模场A⁺和A^-也是出现在不同的边界，但应该是两个单独的相反方向的赝自旋态，分别锁定相反的边界态传播方向，同样，对于点B也是如此。因为根据Kramer定理，受时间反演对称保护的波函数至少二重简并，这两个简并态彼此正交，不能在同一个边界以同方向传播。在当前非厄米的调制下，这种正交性不再满足，在同一个模场A⁺的边界上出现两个相反的赝自旋态，同样的情况也发生在B^-模场，它和模场A⁺分布几乎是一样的。虽然A⁺和B^-的模场相同，但它们对应的群速度方向相反，所以，通过设置合适的源，它只激发其中A⁺模式或者B^-模式，仍可存在拓扑保护的单向传播。这里模场A⁺和B^-主要受拓扑结构的调制。再看A^-和B⁺的能流矢量场，具有明显的单向性，且它们方向一致。这种单向性正是PT对称结构所具有的特征，也出现在很多PT对称光学结构中。能流矢量场进一步揭示了结构受双重调制的特征。

为了验证上述本征模场显示的结果，我们使用comsol软件进行电磁波传输模拟。二维晶格的大小为20a×14a，使用散射边界条件。首先把两种相反方向的赝自旋源放在缺陷层和非平庸层之间，源的位置分别如图6a和6b所示，图6a中的源位于非平庸层和缺陷层中间，图6b中的源位于缺陷层中间。选择在边界态曲线上A点对应的频率f＝0.53c/a。对应图6a中的源，图7显示不同方向赝自旋源产生的传输结果。逆时针方向的赝自旋源传输的二维和一维场图如图7a和7b所示，从源的旋转方向和传播方向来看，此传播对应模场B^-左上的赝自旋态(B点模式群速度为负)；顺时针方向的赝自旋源传输的二维和一维场图如图7c和7d所示，从源的旋转方向和传播方向来看，此传播对应模场A⁺右下的赝自旋态(A点模式群速度为正)。从一维场图来看，虽然传输的单向性非常明显，但反向传输仍然存在，这主要是因为在非厄米系统下，赝自旋相反的两个态不是理想的正交关系。

当源移到缺陷层中间时(图6b)，结果发现源的赝自旋方向对传播结果已经没有影响，起作用的是材料增益系数的符号。源频率与图7相同，当ρ＝1.04时传播结果如图8a所示，同样出现向右的沿缺陷层的单向传播；当ρ＝-1.04时传播结果如图8b所示，出现向右的沿缺陷层的单向传播。此时的单向传播主要是受PT对称结构的影响，此时的传播主要受结构非厄米的调制。

本发明设计具有PT对称构型的二维光子晶体，通过增益系数的改变，实现拓扑相变。构建了由拓扑非平庸结构和拓扑平庸结构形成的边界态，该边界态具有拓扑相和非厄米调制的双重特征。通过源位置的选择，可以让拓扑相调制和非厄米调制分别发挥作用，两者均可以激发单向传输。

以上所述仅为本发明的优选方案，并非作为对本发明的进一步限定，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的各种等效变化均在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，包括拓扑非平庸层、缺陷层和拓扑平庸层，依次按照拓扑非平庸层、缺陷层、拓扑平庸层、缺陷层、拓扑非平庸层的顺序排列构成，其中所述拓扑非平庸层由多层具有拓扑非平庸性质的晶胞排列组成，缺陷层由多层具有缺陷性质的晶胞排列组成，拓扑平庸层由多层具有拓扑平庸性质的晶胞排列组成；其中，具有拓扑非平庸性质的晶胞、具有缺陷性质的晶胞及具有拓扑平庸性质的晶胞均由六个横截面为椭圆形的介质柱组成，六个所述介质柱的中心分别位于一个正六边形的六个顶点；所述拓扑非平庸层性质的晶胞的六个椭圆形介质柱包括对称排列的增益介质、损耗介质以及普通介质；所述拓扑平庸层性质的晶胞的六个椭圆形介质柱均为普通介质；所述缺陷性质的晶胞的六个椭圆形介质柱包括对称排列的增益介质和损耗介质。

2.根据权利要求1所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，所述拓扑非平庸层性质的晶胞的介质柱短轴位于椭圆中心与拓扑非平庸性质的晶胞中心的连线上。

3.根据权利要求2所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，所述增益介质的折射率表示为n＝3.205+iρ，所述损耗介质的折射率表示为n＝3.205-iρ，所述普通介质的折射率表示为n＝3.205，其中，ρ为增益或损耗系数。

4.根据权利要求1所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，所述拓扑平庸层性质的晶胞的介质柱的短轴位于椭圆中心与拓扑平庸性质的晶胞中心的连线上。

5.根据权利要求1所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，所述缺陷性质的晶胞的介质柱的短轴位于椭圆中心与缺陷性质的晶胞中心的连线上。

6.根据权利要求1-5任一项所述的一种非厄米调制下二维光子晶体的拓扑态结构，其特征在于，相邻两个晶胞的中心距离为晶格常数为a，每个介质柱中心到所述晶胞中心距离为a/3，所述介质柱长轴为a/3、短轴为2a/15。

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