CN112257197A - 一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法 - Google Patents

一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法 Download PDF

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CN112257197A CN202011115642.8A CN202011115642A CN112257197A CN 112257197 A CN112257197 A CN 112257197A CN 202011115642 A CN202011115642 A CN 202011115642A CN 112257197 A CN112257197 A CN 112257197A
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Abstract

一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法，利用超声波探测技术，获得大型铸锻件结构中缺陷的大小、位置和形状，建立起含缺陷大型铸锻件结构的计算模型，修正了对偶互易边界积分方程，在具有位移不连续方法仅要一个裂纹面离散的优势，又具有传统的对偶边界元法的通用性优势。在大型铸锻件结构应用中，只需要通过输入含缺陷大型铸锻件结构的计算网格模型，以及相应的材料参数，边界条件，单元类型，以及所关注区域，就可以得到相应的应力及应力强度因子，并进行显示分析。

Description

一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法
技术领域
本发明涉及大型铸锻件工作应力评估领域，具体地涉及带有裂纹、夹砂等微缺陷的铸锻件工作应力评估。
背景技术
在重型装备领域，由于设备重大，受力状态复杂，很多关键零件采用铸锻方法制造，外形尺寸与壁厚比达到10-50，制造过程中经常在局部留下裂纹、夹砂等微小缺陷，在采用有限元法对含缺陷铸件进行工作应力计算时，因为特征尺寸差距很大，为保证计算结果收敛性，需要在缺陷位置分布大量的计算网格，尤其对含有大量微小缺陷的铸件，计算网格规模尤为庞大。此外，有限元方法自身计算应力精度比位移低一阶，应力计算往往通过对位移求导来获得，这会影响微缺陷应力计算的精度，后处理中往往需要对应力进行磨光处理，这就导致难以真实评估微缺陷在实际工况中对整体质量的影响。
如何通过有效的计算来评估这些微缺陷对整体机械性能的真实影响，已采取合理应对效措施，减少经济损失和潜在风险，保障设备的安全性是面临的难题。
边界元方法作为一种半解析的方法，在针对含有微缺陷的大型铸锻件结构时具有降维优势，并且位移与面力保持同样的计算精度，因而应力计算时不需要磨平处理就可以达到相当高的精度。边界元方法计算含有微缺陷的大型铸锻件结构时需要处理近奇异积分、奇异积分、以及缺陷前沿的位移和梯度应力模拟问题。这给边界元法模拟含有微缺陷的大型铸锻件结构带来了挑战。
目前在边界元范围内处理缺陷问题的对偶互易边界法是一种通用的方法，传统的对偶互易边界元法需要对裂纹上下面都进行离散配置，而引入张开位移作为未知量，只需要上裂纹面离散的又局限于裂纹面上不受力或者裂纹上下表面受力大小相等，方向相反情况。本发明将对对偶互易边界元法进行修正，保持了只要上裂纹面离散配置的优势，又能考虑到裂纹上下表面受力情况不一致的情况。此外，目前处理近奇异积分、奇异积分方案大部分针对形状比较规则的边界单元，然而在针对含有微缺陷的大型铸锻件结构，具有狭长结构的单元往往不可避免的，如果不进行特殊处理，计算结果就会失真。
发明内容
本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法，能够有效提高大型铸锻件结构缺陷尖端位移、应力提高的精度，真实评估微缺陷在实际工况中对整体质量的影响。
为了实现上述目的，
所述评估方法包括：
步骤1：对大型铸锻件结构使用超声波探测技术，获得大型铸锻件结构中缺陷的大小、位置和形状，建立含缺陷的大型铸锻件结构的计算模型。
步骤2：针对含缺陷的大型铸锻件结构，采取网格离散。分别确定该结构的非缺陷边界及缺陷边界，采用对应的计算网格模型，合理确定计算网格数量、以及单元类型，以及缺陷尖端位移与应力特殊单元的配置。非缺陷边界网格离散个数NT，缺陷边界网格个数为
Figure BDA0002730006640000031
步骤3：根据实际工况，输入铸锻件结构的材料参数：杨氏模量E、泊松比μ，剪切模量G，并添加位移、面力相应边界条件。
步骤4：建立相应的位移和面力边界积分方程：
步骤4-1：当配置点落在非缺陷边界：
Figure BDA0002730006640000032
其中，P表示源点，即配置点，uj(P)表示源点P处的位移，Q表示场点，Γ代表非裂纹边界，
Figure BDA0002730006640000033
表示位移基本解，
Figure BDA0002730006640000034
表示面力基本解，uj表示非缺陷边界上的位移，tj表示非缺陷边界上的面力；
C+和C-分别代表缺陷的上面和下面，
Figure BDA0002730006640000035
Figure BDA0002730006640000036
为缺陷上面的位移，
Figure BDA0002730006640000037
为缺陷上面的面力，
Figure BDA0002730006640000038
为缺陷下面的位移，
Figure BDA0002730006640000039
为缺陷下面的面力。
cij(P)为边界形状系数，
Figure BDA00027300066400000310
步骤4-2：当配置点落在缺陷上面：
Figure BDA00027300066400000311
Figure BDA00027300066400000312
其中，
Figure BDA00027300066400000313
表示落在缺陷上面的源点，即配置点，Q表示场点，
Figure BDA00027300066400000314
Figure BDA0002730006640000041
和
Figure BDA0002730006640000042
分别定义为：
Figure BDA0002730006640000043
Figure BDA0002730006640000044
Figure BDA0002730006640000045
Figure BDA0002730006640000046
Figure BDA0002730006640000047
是缺陷上面配置点
Figure BDA0002730006640000048
处的法向量，μ表示泊松比，G表示剪切模量，r代表源点到场点的距离，ni,nj,nk表示场点处法向量的分量，δij表示δ函数，其中
Figure BDA0002730006640000049
步骤5：位移和面力的单元插值表示方法：
Figure BDA00027300066400000410
Figure BDA00027300066400000411
Figure BDA00027300066400000412
Figure BDA00027300066400000413
其中n表示单元标号，L表示加强函数的个数，M表示单元形函数个数，ξ,η∈[-1,1]是单元的局部坐标，Nm(ξ,η)常规的单元形函数，m，l表示形函数和加强函数的计数，
Figure BDA00027300066400000414
表示单元第m个节点的位移，
Figure BDA00027300066400000415
表示单元第m个节点的面力，
Figure BDA00027300066400000416
表示单元第m个节点上下面位移之差，
Figure BDA0002730006640000051
表示单元第m个节点上下面面力之和；
Figure BDA0002730006640000052
和
Figure BDA0002730006640000053
是加强函数的集合分别为：
Figure BDA0002730006640000054
Figure BDA0002730006640000055
含加强函数的单元插值形式只用于缺陷尖端单元。
Figure BDA0002730006640000056
和
Figure BDA0002730006640000057
为虚拟未知量。
步骤6：位移和面力边界积分方程离散：
步骤6-1：当配置点落在非缺陷边界，方程(1)进行离散
Figure BDA0002730006640000058
其中
Figure BDA0002730006640000059
Figure BDA00027300066400000510
步骤6-2：当配置点落在缺陷上，方程(2)进行离散
Figure BDA00027300066400000511
其中，
Figure BDA0002730006640000061
Figure BDA0002730006640000062
步骤6-3：当配置点落在缺陷上，方程(3)进行离散
Figure BDA0002730006640000063
其中
Figure BDA0002730006640000064
Figure BDA0002730006640000065
步骤6-4：对公式(15)、(16)、(18)、(19)、(21)和(22)进行数值积分，当源点P或者源点
Figure BDA0002730006640000066
落在积分单元之外，要根据源点P或者源点
Figure BDA0002730006640000067
到积分单元的距离与积分单元边长的最大长度比例划分为两种类型积分。其中比例大于0.5为正则积分，比例小于0.5点为近奇异积分，根据其阶次可以将其分为弱近奇异积分、近强奇异积分和近超奇异积分。当源点P或者源点
Figure BDA0002730006640000068
落在积分单元之内时为奇异积分，根据奇异积分的阶次可以分为弱奇异积分、强异积分和超奇异积分。
步骤6-5：正则积分可以直接采用高斯积分。
步骤6-6：近奇异积分时首先利用牛顿-拉普森方法获得源点P或
Figure BDA0002730006640000069
到积分单元的最近点局部参数坐标(ξ0,η0)，将积分单元在局部参数空间以最近点为顶点，划分为几个三角形积分子单元。以三角形积分子单元(ξ0,η0)，(ξ1,η1)，(ξ2,η2)为例，使用变换
Figure BDA0002730006640000071
然后在α，β方向分别构造距离函数，并基于每个方向的距离函数构造相应的距离函数，采用双向距离变换，使用双向距离变换后，就可以消除近奇异性，直接采用高斯积分，这种方法尤其适用于大型铸锻件结构狭长形状单元或者源点靠近单元边界的不连续单元的近奇异积分。
步骤6-7：奇异积分需要分类处理。针对弱奇异积分，利用变换(23)就可以消除α方向的奇异性，在β方向采用距离变换消除其单元形状的影响。对于强奇异积分和超奇异积分，非缺陷边界单元的强奇异积分可以通过刚体位移的方法求出，针对缺陷面上单元的强奇异积分和超奇异积分，可以在局部坐标系下展开，通过奇异主值分离将强奇异积分和超奇异积分正则化，可以采用高斯积分。并将奇异主值进行解析，从而计算出强奇异积分和超奇异积分。
步骤7：对方程(14)，(17)和(20)进行整合可以得到：
Figure BDA0002730006640000072
其中，
Figure BDA0002730006640000073
表示非缺陷边界的面力，
Figure BDA0002730006640000074
表示非缺陷边界的面力，
Figure BDA0002730006640000075
表示缺陷上非尖端单元面力，
Figure BDA0002730006640000076
表示缺陷上非尖端单元位移，
Figure BDA0002730006640000077
表示缺陷尖端单元的面力或者虚拟节点的值，
Figure BDA0002730006640000078
表示缺陷尖端位移或者虚拟节点值。
步骤8：对其中未知量进行整合，将其放在左端，将已知量移到右端，形成：AX＝Y形式，利用高斯消去法进行求解，求得未知量(包括非缺陷边界上未知位移和面力、以及缺陷上下面的未知位移和面力，缺陷尖端加强单元虚拟节点的附加自由度未知量和已知量)
步骤9：基于求得的非缺陷边界和缺陷上下面的位移和面力，进行边界应力恢复，就可以得到边界的应力。
步骤10：应力强度因子用缺陷尖端单元上的张开位移进行外推得到，可以进行应力强度因子两点插值得到，也可以根据缺陷尖端单元位移与距离关系，剔除不稳定的数据，进行外推逼近缺陷尖端应力强度因子。
步骤12：利用计算出来的应力强度因子进行分析，与大型铸锻件结构的设计标准、以及设计的强度校核，评估缺陷对大型铸锻件结构整体的影响。
本发明的有益效果在于：利用超声波探测技术，获得大型铸锻件结构中缺陷的大小、位置和形状，建立起含缺陷大型铸锻件结构的计算模型。修正了对偶互易边界积分方程，在具有位移不连续方法仅要一个裂纹面离散的优势，又具有传统的对偶边界元法的通用性优势。在系数矩阵的计算中，考虑单元形状效应的双向距离变换，以及距离和坐标变换结合可以有效消除奇异性和近奇异性，提升计算精度。具有缺陷前端位移和应力渐近性质的特殊形函数，能准确模拟缺陷前端的位移和应力性质，从而获得精确的应力强度因子，准确评估缺陷对大型铸锻件结构整体的影响。在大型铸锻件结构应用中，只需要通过输入含缺陷大型铸锻件结构的计算网格模型，以及相应的材料参数，边界条件，单元类型，以及所关注区域，就可以得到相应的应力及应力强度因子，并进行显示分析。
附图说明
图1为含有微圆盘缺陷的正方形铸锻件。
图2为采用本申请的方法计算缺陷面上张开位移值与参考解的对比图。
图3为含缺陷大型铸锻件结构分析方法的流程图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步描述，在此发明的示意性实施例以及说明用来解释本发明，但并不作为对本发明的限定。
如图1所示，本实施例以一个正方体铸锻件(20×20×20)内的微圆盘(半径a＝1.0)缺陷为例：
应用步骤1：对正方体铸锻件使用超声波探测技术，获得正方体铸锻件内微圆盘(半径a＝1.0)缺陷的大小、位置和性质，建立正方形铸锻件(20×20×20)内的微圆盘(半径a＝1.0)缺陷的计算模型，正方体铸锻件的体对角线坐标点为(-10，-10，-10)和(10,10,10)，微圆盘的圆心为(0,0,0)，半径为1.0。
应用步骤2：进行网格离散，将正方体铸锻件的外表面作为非缺陷边界，微圆盘裂纹的表面作为缺陷边界，其圆轮廓作为缺陷尖端，在裂纹尖端分布一层缺陷尖端单元。在正方体铸锻件表面采用了24个9节点半不连续四边单元。微圆盘缺陷表面采用32个9节点不连续单元，其中16个为缺陷尖端单元。不连续单元形函数可以通过常规的形函数获得。缺陷尖端单元形函数需要进行位移和应力加强。
应用步骤3：输入铸锻件结构的材料参数，杨氏模量为E＝1.0、泊松比为μ＝0.25，密度为7800，在裂纹上下面受均布载荷f＝1.0。
应用步骤4：在正方体铸锻件的外表面和圆盘缺陷上建立相应的位移和面力边界积分方程：
应用步骤4-1：当源点P落在正方体铸锻件：
Figure BDA0002730006640000101
其中，Γ表示正方体铸锻件的外表面，C+和C-表示缺陷上表面和下表面。
Figure BDA0002730006640000102
Figure BDA0002730006640000103
和
Figure BDA0002730006640000104
分别缺陷上面和下面的位移与面力。
应用步骤4-2：当源点
Figure BDA0002730006640000105
落在圆盘缺陷上面时：
Figure BDA0002730006640000106
Figure BDA0002730006640000107
其中，
Figure BDA0002730006640000108
和
Figure BDA0002730006640000109
分别定义为：
Figure BDA00027300066400001010
Figure BDA0002730006640000111
Figure BDA0002730006640000112
Figure BDA0002730006640000113
应用步骤5：应用位移和面力插值表示方法，
Figure BDA0002730006640000114
Figure BDA0002730006640000115
Figure BDA0002730006640000116
Figure BDA0002730006640000117
其中ξ,η∈[-1,1]是单元的局部坐标，Nm(ξ,η)常规的单元形函数，
Figure BDA0002730006640000118
和
Figure BDA0002730006640000119
是加强函数的集合分别为：
Figure BDA00027300066400001110
Figure BDA00027300066400001111
含加强函数的单元插值形式只用于缺陷尖端单元。
Figure BDA00027300066400001112
和
Figure BDA00027300066400001113
为虚拟未知量。
应用步骤6：对位移和面力边界积分方程离散：
应用步骤6-1：当点P落在正方体铸锻件的外表面上，方程(1)进行离散
Figure BDA0002730006640000121
其中
Figure BDA0002730006640000122
Figure BDA0002730006640000123
应用步骤6-2：当点
Figure BDA0002730006640000124
落在圆盘缺陷上面时，方程(2)进行离散
Figure BDA0002730006640000125
其中，
Figure BDA0002730006640000126
Figure BDA0002730006640000127
步骤6-3：当点
Figure BDA0002730006640000128
落在圆盘缺陷上面时，方程(3)进行离散
Figure BDA0002730006640000131
其中：
Figure BDA0002730006640000132
Figure BDA0002730006640000133
应用步骤6-4：对公式(15)、(16)、(18)、(19)、(21)和(22)进行数值积分，当点P或者点
Figure BDA0002730006640000134
落在积分单元之外，要根据点P或者点
Figure BDA0002730006640000135
到积分单元的距离与积分单元边长的最大长度比例划分为两种类型积分。其中比例大于0.5为正则积分，比例小于0.5点为近奇异积分，根据其阶次可以将其分为弱近奇异积分、近强奇异积分和近超奇异积分。当点P或者点
Figure BDA0002730006640000136
落在积分单元之内时为奇异积分，根据奇异积分的阶次可以分为弱奇异积分、强异积分和超奇异积分。
应用步骤6-5：采用5×5高斯积分来处理正则积分。
应用步骤6-6：对于近奇异积分，使用牛顿-拉普森迭代方法来获得源点P或
Figure BDA0002730006640000137
到积分单元最近点的局部参数坐标(ξ0,η0)，可以将迭代精度设为1.0e-03,迭代次数设置为20次，初始值的选择单元的中心，也可以将积分单元看成线性单元，通过一次迭代获得。以三角形积分子单元(ξ0,η0)，(ξ1,η1)，(ξ2,η2)为例，使用变换
Figure BDA0002730006640000141
然后在α，β方向分别构造距离函数，并基于每个方向的距离函数构造相应的距离函数，采用双向距离变换，使用双向距离变换后，就可以消除近奇异性，完成正则化，正则化的积分函数可以使用8×8高斯积分。
应用步骤6-7：对奇异积分进行分类处理，弱奇异积分可以通过变换(23)来来消除奇异性，并在β方向采用距离变换来消除其近奇异性，弱奇异积分正则化后可以使用8×8高斯积分。非缺陷边界上强奇异积分可以通过刚体位移法求出。缺陷面上单元的强奇异积分和超奇异积分可以在局部坐标系进行极坐标展开，通过奇异主值分离将强奇异积分和超奇异积分正则化，采用10×10高斯积分。并将奇异主值进行解析，从而计算出强奇异积分和超奇异积分。
应用步骤7：可以整合方程(14)，(17)和(20)为
Figure BDA0002730006640000142
其中，
Figure BDA0002730006640000143
表示非缺陷边界的面力，
Figure BDA0002730006640000144
表示非缺陷边界的面力，
Figure BDA0002730006640000145
表示缺陷上非尖端单元面力，
Figure BDA0002730006640000146
表示缺陷上非尖端单元位移，
Figure BDA0002730006640000147
表示缺陷尖端单元的面力或者虚拟节点的值，
Figure BDA0002730006640000148
表示缺陷尖端位移或者虚拟节点值。
应用步骤8：对其中未知量进行整合，将其放在左端，将已知量移到右端，形成：AX＝Y形式，利用高斯消去法进行求解，求得未知量(包括非缺陷边界上未知位移和面力、以及缺陷上下面的未知位移和面力，缺陷尖端加强单元虚拟节点的附加自由度未知量和已知量)。
应用步骤9：基于求得的非缺陷边界和缺陷上下面未知量，进行边界应力恢复，获得边界应力。
应用步骤10：应力强度因子用缺陷尖端单元上的张开位移进行外推得到，可以进行应力强度因子两点插值得到，也可以根据缺陷尖端单元位移与距离关系，剔除不稳定的数据，进行外推逼近缺陷尖端应力强度因子。
应用步骤11，将应力强度因子计算结果与铸锻件结构的设计标准、以及设计的强进行校核，得出结论。
图2展示了靠近裂纹前沿时，本发明提出来方法计算缺陷面上张开位移值与参考解的对比，计算精度保持在1.0％以内，此外，本发明计算出来的规则化的应力强度因子为0.6375，而参考解为0.6366，精度维持在1.0％以内。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种大型铸锻件微缺陷工作应力评估方法，其特征在于，所述评估方法包括如下步骤：
步骤1：对所述大型工件结构使用超声波探测技术，获得所述大型工件结构中缺陷的大小、位置和形状，建立含缺陷的所述大型铸锻件结构的计算模型；
步骤2：针对含缺陷的大型铸锻件结构，采取网格离散，分别确定该结构的非缺陷边界及缺陷边界，采用对应的计算网格模型，合理确定计算网格数量、以及单元类型，以及缺陷尖端位移与应力特殊单元的配置，非缺陷边界网格离散个数NT，缺陷边界网格个数为
Figure FDA00027300066300000110
步骤3：根据实际工况，输入铸锻件结构的材料参数：杨氏模量E、泊松比μ，剪切模量G，并添加位移、面力相应边界条件；
步骤4：建立相应的位移和面力边界积分方程：
步骤4-1：当配置点落在非缺陷边界：
Figure FDA0002730006630000011
其中，P表示源点，即配置点，uj(P)表示源点P处的位移，Q表示场点，Γ代表非裂纹边界，
Figure FDA0002730006630000012
表示位移基本解，
Figure FDA0002730006630000013
表示面力基本解，uj表示非缺陷边界上的位移，tj表示非缺陷边界上的面力；
C+和C-分别代表缺陷的上面和下面，
Figure FDA0002730006630000014
Figure FDA0002730006630000015
为缺陷上面的位移，
Figure FDA0002730006630000016
为缺陷上面的面力，
Figure FDA0002730006630000017
为缺陷下面的位移，
Figure FDA0002730006630000018
为缺陷下面的面力；
cij(P)为边界形状系数，
Figure FDA0002730006630000019
步骤4-2：当配置点落在缺陷上面：
Figure FDA0002730006630000021
Figure FDA0002730006630000022
其中，
Figure FDA0002730006630000023
表示落在缺陷上面的源点，即配置点，Q表示场点
Figure FDA0002730006630000024
Figure FDA0002730006630000025
和
Figure FDA0002730006630000026
分别定义为：
Figure FDA0002730006630000027
Figure FDA0002730006630000028
Figure FDA0002730006630000029
Figure FDA00027300066300000210
Figure FDA00027300066300000211
是缺陷上面配置点
Figure FDA00027300066300000212
处的法向量，μ表示泊松比，G表示剪切模量，r代表源点到场点的距离，ni,nj,nk表示场点处法向量的分量，δij表示δ函数，其中
Figure FDA00027300066300000213
步骤5：位移和面力的单元插值表示方法：
Figure FDA00027300066300000214
Figure FDA00027300066300000215
Figure FDA00027300066300000216
Figure FDA0002730006630000031
其中n表示单元标号，L表示加强函数的个数，M表示单元形函数个数，ξ,η∈[-1,1]是单元的局部坐标，Nm(ξ,η)常规的单元形函数，m，l表示形函数和加强函数的计数，
Figure FDA0002730006630000032
表示单元第m个节点的位移，
Figure FDA0002730006630000033
表示单元第m个节点的面力，
Figure FDA0002730006630000034
表示单元第m个节点上下面位移之差，
Figure FDA0002730006630000035
表示单元第m个节点上下面面力之和；
Figure FDA0002730006630000036
和
Figure FDA0002730006630000037
是加强函数的集合分别为：
Figure FDA0002730006630000038
Figure FDA0002730006630000039
含加强函数的单元插值形式只用于缺陷尖端单元，
Figure FDA00027300066300000310
和
Figure FDA00027300066300000311
为虚拟未知量；
步骤6：位移和面力边界积分方程离散：
步骤6-1：当配置点落在非缺陷边界，方程(1)进行离散
Figure FDA00027300066300000312
其中
Figure FDA00027300066300000313
Figure FDA00027300066300000314
步骤6-2：当配置点落在缺陷上，方程(2)进行离散
Figure FDA0002730006630000041
其中，
Figure FDA0002730006630000042
Figure FDA0002730006630000043
步骤6-3：当配置点落在缺陷上，方程(3)进行离散
Figure FDA0002730006630000044
其中
Figure FDA0002730006630000045
Figure FDA0002730006630000046
步骤6-4：对公式(15)、(16)、(18)、(19)、(21)和(22)进行数值积分，当源点P或者源点
Figure FDA0002730006630000047
落在积分单元之外，要根据源点P或者源点
Figure FDA0002730006630000048
到积分单元的距离与积分单元边长的最大长度比例划分为两种类型积分，其中比例大于0.5为正则积分，比例小于0.5点为近奇异积分，根据其阶次可以将其分为弱近奇异积分、近强奇异积分和近超奇异积分，当源点P或者源点
Figure FDA0002730006630000049
落在积分单元之内时为奇异积分，根据奇异积分的阶次可以分为弱奇异积分、强异积分和超奇异积分；
步骤6-5：正则积分可以直接采用高斯积分；
步骤6-6：近奇异积分时首先利用牛顿-拉普森方法获得源点P或
Figure FDA0002730006630000051
到积分单元的最近点局部参数坐标(ξ0,η0)，将积分单元在局部参数空间以最近点为顶点，划分为几个三角形积分子单元，以三角形积分子单元(ξ0,η0)，(ξ1,η1)，(ξ2,η2)为例，使用变换
Figure FDA0002730006630000052
然后在α，β方向分别构造距离函数，并基于每个方向的距离函数构造相应的距离函数，采用双向距离变换，使用双向距离变换后，就可以消除近奇异性，直接采用高斯积分，这种方法尤其适用于大型铸锻件结构狭长形状单元或者源点靠近单元边界的不连续单元的近奇异积分；
步骤6-7：奇异积分需要分类处理，针对弱奇异积分，利用变换(23)就可以消除α方向的奇异性，在β方向采用距离变换消除其单元形状的影响，对于强奇异积分和超奇异积分，非缺陷边界单元的强奇异积分可以通过刚体位移的方法求出，针对缺陷面上单元的强奇异积分和超奇异积分，可以在局部坐标系下展开，通过奇异主值分离将强奇异积分和超奇异积分正则化，可以采用高斯积分，并将奇异主值进行解析，从而计算出强奇异积分和超奇异积分；
步骤7：对方程(14)，(17)和(20)进行整合可以得到：
Figure FDA0002730006630000061
其中，
Figure FDA0002730006630000062
表示非缺陷边界的面力，
Figure FDA0002730006630000063
表示非缺陷边界的面力，
Figure FDA0002730006630000064
表示缺陷上非尖端单元面力，
Figure FDA0002730006630000065
表示缺陷上非尖端单元位移，
Figure FDA0002730006630000066
表示缺陷尖端单元的面力或者虚拟节点的值，
Figure FDA0002730006630000067
表示缺陷尖端位移或者虚拟节点值；
步骤8：对其中未知量进行整合，将其放在左端，将已知量移到右端，形成：AX＝Y形式，利用高斯消去法进行求解，求得未知量，包括非缺陷边界上未知位移和面力、以及缺陷上下面的未知位移和面力，缺陷尖端加强单元虚拟节点的附加自由度未知量和已知量；
步骤9：基于求得的非缺陷边界和缺陷上下面的位移和面力，进行边界应力恢复，就可以得到边界的应力；
步骤10：应力强度因子用缺陷尖端单元上的张开位移进行外推得到，可以进行应力强度因子两点插值得到，也可以根据缺陷尖端单元位移与距离关系，剔除不稳定的数据，进行外推逼近缺陷尖端应力强度因子；
步骤12：利用计算出来的应力强度因子进行分析，与大型铸锻件结构的设计标准、以及设计的强度校核，评估缺陷对大型铸锻件结构整体的影响。
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