CN112200252A - 基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法 - Google Patents

Abstract

基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法，涉及航空航天技术。1)整理系统的不确定性参数，2)对初始模型进行不确定性分析得初始概率盒，并计算概率盒的面积；3)缩减待分析的输入参数的不确定性，对模型分析得到缩减不确定性后输出概率盒的面积；4)比较缩减前后输出概率盒的面积改变量，计算参数的全局灵敏度指标S；5)选取另一输入参数，重复步骤3和4；6)对各输入参数的S按降序排列；7)对保留不确定性的输入参数进行抽样，计算模型输入并得梯度协方差矩阵；8)对梯度协方差矩阵进行特征分解，按大小排序；9)对输入参数使用主动子空间的基向量进行降维。适用范围更广，有效提高后续建模和优化的便捷性和有效性。

Description

基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法

技术领域

本发明涉及航空航天技术领域，尤其是涉及适用于航空航天等复杂高维不确定性仿真系统，能够有效降低模型输入参数维度的一种基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法。

背景技术

由于制造、测量、计算及模型本身存在的各种误差，航空航天系统中存在着大量的不确定性参数，包括结构参数、外力、初始条件和边界条件等。不确定性参数按照类别大致可分为随机、认知和混合不确定性参数，不同类型不确定性参数混合作用与单种不确定性参数作用导致的模型不确定性存在明显的差异。相比于广泛研究的小规模数据，航空航天工程需要处理的系统参数的维数众多，高维参数给研究人员带来了挑战。航空航天模型由于涉及多层次、多学科通常呈现高度非线性，在学科间耦合作用下，研究人员无法直接求得输出相对于输入参数的梯度矩阵、判断模型的凹凸特性，如何构造精度符合要求、计算效率较高的数学模型是研究人员面临的挑战之一。

概率盒的使用可以让随机和认知不确定性通过模型进行传播，同时在输出中保持两种不确定性的分离。灵敏度分析可以通过评估模型输出不确定性对于输入参数变化的敏感程度得到输入参数的灵敏度排序进而筛选出灵敏度高的参数。降维方法可以通过线性、非线性等手段构造输入参数的某种组合从而降低系统的参数维度。传统处理高维参数的简化问题时，一般只使用灵敏度分析或降维方法两者之一，难以满足航空航天工程的需要。

为了解决复杂工程模型中单种方法减少输入参数维数效果不明显的问题，本发明将灵敏度分析和降维方法结合在一个框架中，提出一种基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法，用于降低系统的参数复杂性，为后续航空航天系统的不确定性建模和多学科优化奠定基础。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术存在的上述不足，针对高维混合不确定性量化问题，提供可简化航空航天系统模型的一种基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法。

本发明包括以下步骤：

1)整理系统的不确定性参数，并将其按照随机、认知和混合不确定性进行分类；

2)使用概率盒法对初始模型进行不确定性分析，得到模型输出的初始概率盒，并计算概率盒的面积；

3)缩减待分析的输入参数的不确定性，对模型分析得到缩减不确定性后输出概率盒的面积；

4)比较缩减输入参数不确定性前后输出概率盒的面积改变量，计算参数的全局灵敏度指标S；

5)选取另一输入参数，重复步骤3)和4)，直至完成所有不确定性输入参数的灵敏度分析；

6)对各输入参数的全局灵敏度指标S按照降序排列，将S较小的输入参数固定；

7)对保留不确定性的输入参数进行抽样，取N个样本，计算模型输入并得到梯度协方差矩阵；

8)对梯度协方差矩阵进行特征分解，按照特征值大小对特征向量进行排序，确定保留的维数和主动子空间的基向量；

9)对输入参数使用主动子空间的基向量进行降维。

本发明与现有技术相比的有益效果是：

1)基于概率盒不确定性分析方法可以克服随机不确定性参数和认知不确定性参数混杂难以分离的缺点，处理的不确定性类型更加广泛。

2)基于不确定性缩减法进行参数全局灵敏度分析，克服了传统灵敏度分析中的偏导等复杂计算，可以适用于更加复杂的工程系统。

3)其余的输入变量使用主动子空间降维法，原始的输入参数空间映射到主动子空间内，降低了系统模型输入参数的维度，因此能够有效提高后续建模和优化的便捷性和有效性。

4)联合降维方法综合了概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的优势，可以降低混合不确定性高维复杂系统输入参数维度，处理高维不确定复杂系统，为进一步构建精度符合要求且计算效率较高的模型以及参数的优化奠定基础。

附图说明

图1是基于概率盒灵敏度和主动子空间的联合降维法流程示意图。

图2是典型航空航天系统示意图。

图3是概率盒不确定性缩减法流程示意图。

图4是梯度协方差矩阵的特征值变化曲线。

图5是bootstrap自助法(1000次)主动子空间基向量各分量分布柱状图。

图6是bootstrap自助法(1000次)主动子空间基向量各分量分布区间。

图7是主动子空间的降维变量和目标函数_ζ的样本关系。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明。

基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法，方法流程见图1，具体实施步骤包括：

1、分析待分析的系统。典型航空航天系统主要包含不确定性参数、设计变量、性能约束条件等，Ψ表示所研究的用于评价多学科物理系统的性能和适用性的数学模型，p表示Ψ中不确定性输入参数(p∈R²¹)，d表示设计参数，g表示评估系统模型Ψ性能的约束向量(g∈R⁸)，g的值取决于p和d，x是变量为不确定性输入参数p的中间函数(x∈R⁵)如图2所示。

2、不确定性参数分类。21个不确定性参数的具体不确定性信息如表1所示。

3、对Ψ进行概率盒不确定性分析。研究系统的不确定性传递和量化的相关问题，进而确定各认知不确定性输入参数p对各学科输出x的灵敏，概率盒灵敏度分析的不确定性缩减法流程如图3，灵敏度计算具体如下：

(1)对于子学科Ψ₁，将参数p₁,p₂,p₄,p₅按照对_x1的概率盒灵敏度进行排序，参数灵敏度排序依次是p₁＞p₅＞p₂＞p₄，其中p₂和p₄对x₁概率盒的面积影响均小于10％，灵敏度计算结果见表2。

(2)对于子学科Ψ₂，将参数p₆，p₇，p₈和p₁₀按照对x₂的概率盒灵敏度进行排序，参数灵敏度排序依次是p₆＞p₇＞p₁₀＞p₈，且p₁₀和p₈对x₂概率盒的面积影响均小于10％，灵敏度计算结果见表3。

(3)对于子学科Ψ₃，p₁₂对x₃概率盒的灵敏度指标S达到了97.3％，而p₁₃、p₁₄和p₁₅对x₃概率盒的S值接近为0，灵敏度计算结果见表4。

(4)对于子学科Ψ₄，x₄概率盒的灵敏度排序为p₁₆＞p₁₈＞p₁₇＞p₂₀，其中p₂₀对x₄概率盒的S值小于10％，p₁₆、p₁₇和p₁₈对x₄概率盒有较大影响，灵敏度计算结果见表5。

(5)对于子学科Ψ₅，x₅只是p₂₁的函数，对应的灵敏度指标S值大于90％。

4、综合概率盒灵敏度分析的计算结果，选出p₁，p₅，p₆，p₇，p₁₂，p₁₆，p₁₇，p₁₈，p₂₁9个影响程度较大的认知或混合不确定性参数以及p₃，p₉，p₁₁，p₁₉4个随机不确定性参数。

5、采取主动子空间法进一步降低不确定性参数的维度。定义如下系统性能度量函数

具体的步骤为：

(1)抽取初始计算样本。为构建合适的主动子空间，使用拉丁超立方抽样选取300个输入变量样本，计算对应的目标函数ζ的值，构造ζ的梯度协方差矩阵C。

(2)对C进行特征分解，将特征值按照从大到小排序。表6列出了梯度协方差矩阵C的13个特征值，特征值的变化曲线如图4。

(3)确定主动子空间的基向量的阶数。矩阵C的一维特征值为0.06384，远远大于二维特征值1.4×10^-17，且一维特征值占所有特征值和的比例超过99.99％。由此可知，对于性能度量函数ζ，可以选取一阶的特征向量作为主动子空间的基向量U＝[0.26，-0.087，-0.010，0.016，0.026，-0.083，-0.034，0.026，-0.019，-0.038，0.089，0.10，0.95]。

(4)验证主动子空间选取基向量的准确性。使用统计学中bootstrap自助法重复抽取样本组成新的梯度协方差矩阵进行主动子空间的基向量计算，取重复次数为1000。图5和图6为一维基向量的各分量分布柱状图和区间。

确定主动子空间的基向量后，原输入的参数空间可以投影到该主动子空间，图7是主动子空间降维后的一维变量和目标函数ζ在样本数据的关系，由图可以清晰看出两者的变化趋势。原变量由原来的21维经过联合降维法成为了1维变量，大大减少模型参数的维数。

表1不确定性参数描述

表2 x₁概率盒的面积及参数灵敏度排序

表3 x₂概率盒的面积及参数灵敏度排序

表4 x₃概率盒的面积及参数灵敏度排序

表5 x₄概率盒的面积及参数灵敏度排序

表6梯度协方差矩阵的特征值

上述实施例仅为本发明的较佳实施例，不能被认为用于限定本发明的实施范围。凡依本发明申请范围所作的均等变化与改进等，均应仍归属于本发明的专利涵盖范围之内。

Claims (1)

1.基于概率盒全局灵敏度分析和主动子空间的联合降维方法，其特征在于包括以下步骤：

1)整理系统的不确定性参数，并将其按照随机、认知和混合不确定性进行分类；

2)使用概率盒法对初始模型进行不确定性分析，得到模型输出的初始概率盒，并计算概率盒的面积；

3)缩减待分析的输入参数的不确定性，对模型分析得到缩减不确定性后输出概率盒的面积；

4)比较缩减输入参数不确定性前后输出概率盒的面积改变量，计算参数的全局灵敏度指标S；

5)选取另一输入参数，重复步骤3)和4)，直至完成所有不确定性输入参数的灵敏度分析；

6)对各输入参数的全局灵敏度指标S按照降序排列，将S较小的输入参数固定；

7)对保留不确定性的输入参数进行抽样，取N个样本，计算模型输入并得到梯度协方差矩阵；

8)对梯度协方差矩阵进行特征分解，按照特征值大小对特征向量进行排序，确定保留的维数和主动子空间的基向量；

9)对输入参数使用主动子空间的基向量进行降维。

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