CN112198800A - 一种具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法，首先在多机器人系统的通讯拓扑为强连通且固定不变的条件下，建立了具有时延的多机器人的一致性误差系统模型，其次通过构造Lyapnov‑Krasovskii泛函，得到了一致性误差系统随机稳定的充分条件，最后在时延转移概率部分未知的情况下给出了多机器人系统一致性控制器设计方法。

Description

一种具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法

技术领域

本发明属于多机器人系统领域，尤其涉及具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法。

背景技术

多机器人系统是指由多个具有动态特征的单个机器人通过协作和相互作用形成的系统。多机器人系统将任务分配给各个机器人，然后各个机器人通过相互协作来完成任务。为了避免机器人之间的冲突，多机器人系统的协调控制显得尤为重要。多机器人系统中的机器人需要在环境发生变化的情况下能够对目标达成一致，因此，一致性问题作为多机器人系统中机器人之间协作的基础，是多机器人系统的研究热点之一。现有的研究通常是对理想通讯条件下的多机器人系统运动一致性进行分析并出现了很多成果。

多机器人系统中个机器人之间通常通过无线网络进行信息交换。受网络特性的限制，信息在网络中传输会产生时延、丢包等网络诱导现象，从而影响多机器人系统的控制性能。尤其是在水下多机器人系统中，信号的传播变得非常复杂，传播距离和传播速度受到了很大限制，通讯过程的时延现象尤为明显。对具有通讯时延的多机器人系统进行一致性分析和控制具有重要的理论和实际意义，并得到了广泛关注。

现有技术存在的问题是：

多数技术对理想通讯条件下的多机器人系统运动一致性进行分析，并未考虑时延的影响，或者假设多机器人系统的通讯时延是固定的，缺乏时变时延条件下一致性控制器设计方法，尤其缺乏在时延转移概率部分未知条件下的一致性控制器设计方法。

解决上述技术问题的意义：

在时变时延条件下的一致性控制器设计对于推动多机器人系统的应用有重要的实际意义；在转移概率部分未知条件下设计一致性控制器，可以在多机器人系统性能指标和转移概率信息量之间选取折中方案。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法，具体包括以下步骤：

步骤1：建立具有时变时延的多机器人一致性误差系统模型：

机器人i的离散时间状态方程为

x_i(k+1)＝A_ix_i(k)+B_iu_i(k) (1)

式中，i＝1,2,…,n,为机器人的编号；x_i(k)是机器人的状态向量；u_i(k)是机器人的控制输入；A_i，B_i分别为相应维数的实数矩阵；

第i个机器人的控制律为

其中，K是控制增益矩阵；a_ij∈{0,1}表示机器人j到机器人i是否连接，若有连接，则a_ij＝1；若没有连接，则a_ij＝0；τ(k)为通讯时延，在有限集合Γ＝{τ_m,…,τ_M}中取值；

τ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_rs]，π_rs定义为π_rs＝Pr{τ(k+1)＝s|τ(k)＝r}，π_rs≥0，

r,s∈Γ；对于任意s∈Γ，集合Γ可以记为

其中

如果

那么

τ_m≤τ≤τ_M，其中

是矩阵Π第r行第τ个已知元素的列下标；

记为

其中

是矩阵Π第r行第τ_M-τ个未知元素的列下标；

令z_i(k)＝x_i(k)-x₁(k)，将式(2)代入式(1)，得到多机器人系统的一致性的误差表达式：

当多机器人系统的通信拓扑图为固定的强连通图时，结合z₁(k)＝0，式(3)可以写为：

其中l_ij为多机器人系统对应的拉普拉斯(Laplacian)矩阵的元素；

令

含有n个机器人的一致性误差表达式可以写为：

其中

表示Kronecker乘积，I为单位阵；

步骤2：推导出多机器人一致性误差系统(4)随机稳定的充分条件：

构造如下Lyapnov-Krasovskii泛函：

其中

其中P₁，P₂，P₃，Q₁，Q₂，S_r，S_q，Ψ_τ(k)是正定矩阵；

给出误差系统(4)随机稳定的充分条件：

如果存在正定矩阵P₁>0，P₂>0，P₃>0，Q₁>0，Q₂>0，Z₁>0，Z₂>0，S_r>0，S_s>0，X_s>0及矩阵K使得

其中

对于r,s∈Γ均成立；

步骤3：给出多机器人一致性控制器增益矩阵K求解步骤：

第一步 求解式(17)，(18)，(20)，

得到一组可行解

令k＝0；

第二步 求解关于变量Q₁,Z₁,Q₂,Z₂,K,S_s,X_s,

的非线性最小化问题:

受约束于式(17)，(18)，(20)，

令

第三步 检查式(17)～式(19)是否满足，若满足则结束迭代；否则令k＝k+1，转到第二步。

本发明的有益效果为：把含有通讯时延的多机器人一致性误差系统建模为离散Markovian跳变系统，更符合实际情况；在已知时延部分转移概率的条件下即可得到满足多机器人系统性能要求的一致性控制器，从而不必求得全部的转移概率。

附图说明

图1是本发明实施例提供的双轮驱动机器人物理模型示意图。

图2是本发明实施例提供的4个机器人之间的通信拓扑图。

图3是本发明实施例提供的通讯时延τ(k)图。

图4是本发明实施例提供的子系统的状态z₍₁₎(k)图。

图5是本发明实施例提供的子系统的状态z₍₂₎(k)图。

图6是本发明实施例提供的子系统的状态z₍₃₎(k)图。

图7是本发明实施例提供的4个机器人的线速度v(k)图。

图8是本发明实施例提供的4个机器人的方位角θ(k)图。

图9是本发明实施例提供的4个机器人的角速度ω(k)图。

具体实施方式

机器人i的离散时间状态方程为

x_i(k+1)＝A_ix_i(k)+B_iu_i(k) (1)

式中，i＝1,2,…,n,为机器人的编号；x_i(k)是机器人的状态向量；u_i(k)是机器人的控制输入；A_i，B_i分别为相应维数的实数矩阵。

第i个机器人的控制律为

其中，K是控制增益矩阵；a_ij∈{0,1}表示机器人j到机器人i是否连接，若有连接，则a_ij＝1；若没有连接，则a_ij＝0；τ(k)为通讯时延，在有限集合Γ＝{τ_m,…,τ_M}中取值。

τ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_rs]，π_rs定义为π_rs＝Pr{τ(k+1)＝s|τ(k)＝r}，π_rs≥0，

r,s∈Γ。对于任意s∈Γ，集合Γ可以记为

其中

如果

那么

τ_m≤τ≤τ_M，其中

是矩阵Π第r行第τ个已知元素的列下标。

记为

其中

是矩阵Π第r行第_τM-τ个未知元素的列下标。

令z_i(k)＝x_i(k)-x₁(k)，将式(2)代入式(1)，得到多机器人系统的一致性误差表达式：

当多机器人系统的通信拓扑图为固定的强连通图时，结合z₁(k)＝0，式(3)可以写为：

其中l_ij为多机器人系统对应的拉普拉斯(Laplacian)矩阵的元素；

令

含有n个机器人的一致性误差表达式可以写为：

其中

表示Kronecker乘积，I为单位阵。

定义1对于系统任意初始状态z_i(0)和时延初始模态τ(0)∈Γ，如果存在正定矩阵R>0使得

成立，那么一致性误差系统(4)是随机稳定的。

注1：控制律(2)能够使得多机器人系统达到一致，当且仅当所有的机器人状态满足：对任意的i≠j，有

显然，系统一致的条件等价于

i＝2,3,…,n。系统随机稳定蕴含

i＝2,3,…,n，因此在时不变拓扑的n个机器人系统中，当控制增益K使式(5)中n-1个子系统均随机稳定，则多机器人系统达到一致状态。

引理1：对于任意向量α和正定矩阵H>0，不等式

总是成立的，其中σ和σ₀为满足σ≥σ₀≥1的标量。

定理1将给出多机器人一致性误差系统(4)随机稳定的充分条件。

定理1如果存在正定矩阵P₁>0，P₂>0，P₃>0，Q₁>0，Q₂>0，Z₁>0，Z₂>0，S_r>0，S_s>0及矩阵K使得

其中

I为单位阵，

对于所有的r_,s∈Γ均成立，那么一致性误差系统(4)是随机稳定的。

证明：构造如下Lyapnov-Krasovskii泛函：

其中

显然Ψ_τ(k)>0；对于多机器人一致性误差系统(4)，可得：

由引理1可得

由式(8)～(13)可得

其中

因此，若Ξ<0，则：

对于任意T≥1，由式(15)可得：

由定义1，一致性误差系统(4)是随机稳定的。

在定理1中，通讯时延τ(k)的转移概率完全是已知的，但通常很难得到时延的全部转移概率。时延转移概率矩阵Π可能具有如式(16)所示的结构

其中“？”表示未知的元素。

定理2将在时延转移概率部分未知的情况下给出多机器人系统一致性控制器设计方法。

定理2如果存在正定矩阵P₁>0，P₂>0，P₃>0，Q₁>0，Q₂>0，Z₁>0，Z₂>0，S_r>0，S_s>0，X_s>0及矩阵K使得

其中

对于r,s∈Γ均成立；

证明：由于

根据Schur引理，Ξ<0等价于

再次使用Schur可得，若式(17)～(19)成立，那么Ξ<0，证毕。

注2：关于未知转移概率的处理，本发明将已知概率和未知概率进行分离，然后把未知概率舍弃不用。另一种处理方法是把转移概率和相关矩阵进行分离，如

显然这会增加结论的保守性。把已知概率和未知概率进行分离的缺点是，需要求解矩阵不等式的数量较大，如在定理2中，如果时延有3个模态且转移概率均未知，那么需要求解的矩阵不等式数量为9。

因为含有逆矩阵的约束，定理2中的约束条件不是标准的LMI，不能使用MatlabLMI工具箱进行直接求解，但可以使用锥补线性化(Cone Complementary Linearization,CCL)方法进行求解。给出多机器人一致性控制器增益矩阵K求解步骤：

第一步 求解式(17)，(18)，(20)，

得到一组可行解

令k＝0；

第二步 求解关于变量Q₁,Z₁,Q₂,Z₂,K,S_s,X_s,

的非线性最小化问题:

受约束于式(17)，(18)，(20)，

令

第三步 检查式(17)～式(19)是否满足，若满足则结束迭代；否则令k＝k+1，转到第二步。

将定理2用于由4个双轮差动的移动机器人组成的多机器人系统，双轮差动的移动机器人的物理模型如图1所示。图1中，I_v和I_ω分别为机器人的转动惯量和轮子的转动惯量，l是机器人左轮和右轮之间的距离，v(t)为机器人的线速度，θ(t)为机器人的方位角，ω(t)为机器人的角速度，u_l(t)和u_r(t)分别为左轮和右轮的驱动控制输入。机器人各个变量之间近似存在以下关系：

其中k_r为驱动增益，c是机器人与地面之间的运动摩擦系数，r为轮子的半径，θ_l(t)和θ_r(t)分别为左轮和右轮的转动角。

机器人i的状态向量取为x_i(t)＝[v(t) θ(t) ω(t)]^T，控制向量为u_i(t)＝[u_r(t)u_l(t)]^T，则式(21)可写为

式中

机器人的参数取为I_v＝10kg·m²，M＝250kg，l＝0.4m，I_w＝0.01kg·m²，r＝0.1m，k_r＝6，c＝0.5，采样周期取0.5s，得到单个机器人的离散状态空间表达式

假设时延τ(k)∈M＝{0,1,2}，其转移概率矩阵为

考虑4个机器人之间的运动一致性。假设这4个机器人R₁、R₂、R₃、R₄所组成的通信拓扑图为不随时间发生变化的简单强连通图，即其邻接矩阵

相应的拉普拉斯矩阵为

其通信拓扑图如图2所示。根据定理2，得到控制器增益矩阵为

4个机器人的初始状态分别为x₁(0)＝[1.5 3 3]^T,x₂(0)＝[1 2 2]^T,x₃(0)＝[0.5 1 -1]^T,x₄(0)＝[0 0 -1.5]^T。通讯时延τ(k)如图3所示，一致性误差系统(5)的3个子系统的状态分别如图4～图6所示，机器人R₁、R₂、R₃、R₄的状态分别如图7～图9所示。从图4～图9可以看出，所考虑的4个机器人分别以不同的初始状态开始运动，最终能够实现线速度v(k)，方位角θ(k)和角速度ω(k)的协调一致。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等同物界定。

Claims (1)

1.一种具有时变时延的多机器人系统一致性控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立具有时变时延的多机器人一致性误差系统模型：

机器人i的离散时间状态方程为

x_i(k+1)＝A_ix_i(k)+B_iu_i(k) (1)

式中，i＝1,2,…,n,为机器人的编号；x_i(k)是机器人的状态向量；u_i(k)是机器人的控制输入；A_i，B_i分别为相应维数的实数矩阵；

第i个机器人的控制律为

其中，K是控制增益矩阵；a_ij∈{0,1}表示机器人j到机器人i是否连接，若有连接，则a_ij＝1；若没有连接，则a_ij＝0；τ(k)为通讯时延，在有限集合Γ＝{τ_m,…,τ_M}中取值；

τ(k)的转移概率矩阵为Π＝[π_rs]，π_rs定义为π_rs＝Pr{τ(k+1)＝s|τ(k)＝r}，

r,s∈Γ；对于任意s∈Γ，集合Γ可以记为

其中

如果

那么

其中

是矩阵Π第r行第τ个已知元素的列下标；

记为

其中

是矩阵Π第r行第τ_M-τ个未知元素的列下标；

令z_i(k)＝x_i(k)-x₁(k)，将式(2)代入式(1)，得到多机器人系统的一致性的误差表达式：

当多机器人系统的通信拓扑图为固定的强连通图时，结合z₁(k)＝0，式(3)可以写为：

其中l_ij为多机器人系统对应的拉普拉斯(Laplacian)矩阵的元素；

令

含有n个机器人的一致性误差表达式可以写为：

其中

表示Kronecker乘积，I为单位阵；

步骤2：推导出多机器人一致性误差系统(4)随机稳定的充分条件：

构造如下Lyapnov-Krasovskii泛函：

其中

其中P₁，P₂，P₃，Q₁，Q₂，S_r，S_q，Ψ_τ(k)是正定矩阵；

给出误差系统(4)随机稳定的充分条件：

如果存在正定矩阵P₁>0，P₂>0，P₃>0，Q₁>0，Q₂>0，Z₁>0，Z₂>0，S_r>0，S_s>0，X_s>0及矩阵K使得

其中

对于r_,s∈Γ均成立；

步骤3：给出多机器人一致性控制器增益矩阵K求解步骤：

第一步 求解式(17)，(18)，(20)，

得到一组可行解

令k＝0；

第二步 求解关于变量Q₁,Z₁,Q₂,Z₂,K,S_s,X_s,

的非线性最小化问题:

受约束于式(17)，(18)，(20)，

令

K^k+1＝K,

第三步 检查式(17)～式(19)是否满足，若满足则结束迭代；否则令k＝k+1，转到第二步。

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