CN112100759A - 复杂工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于工程系统的数学建模与逼近分析技术领域，具体为一种复杂工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法。本发明将带有大规模参数、高度非线性的复合工程结构系统归结为一复合函数，将工程结构系统逼近问题转化为复合函数逼近问题，并将复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题；针对各层次的各子函数建立相对应的子代理模型，进行子函数逼近；根据各子函数与各层次函数之间的关系，建立协同代理模型；基于协同代理模型进行复合函数多层次多子模型协同逼近分析；通过这样的分解协调策略，实现复合函数逼近分析，可以改善逼近精度，提高分析效率。
Description
技术领域
本发明属于工程系统的数学建模与逼近分析技术领域，具体涉及一种复杂工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法。
背景技术
机械结构很多情况下都是由若干个构件装配而成的结构系统，如燃气涡轮发动机转子结构系统，就是由主轴、轮盘、叶片等构件装配而成。机械结构分析问题的对象也往往会涉及到多个构件，因此，结构系统优化和可靠性设计是一个涉及到多个对象、多个学科的复杂分析问题，计算量极大。如果将结构系统直接作为一个整体进行优化和设计，一般计算平台无法承受如此大的计算负担，设计效率无法接受，甚至无法实现。为了改善计算效率，寻求代理模型代替真实结构模型进行分析设计是目前研究工作者惯用做法。
复杂结构的多对象、多学科分析还涉及到大规模设计参数、设计目标与设计参数之间高度非线性等问题。如果对真实复杂结构建立一个“大”代理模型来进行分析设计，尽管相对于有限元(或真实结构模型)计算载荷有所减少，但所建立的“大”代理模型很难合理地反映输出响应与输入参数之间的非线性关系，也不能有效地处理大规模参数等问题，模型精度得不到保证，满足不了工程要求。对于成千上万次迭代循环的结构优化与可靠性设计问题，“大”代理模型也会面临着严峻的计算效率问题。因此，必须探索具有更高精度和效率的代理模型方法来实现负责结构优化与可靠性设计。
然而，复杂结构设计分析涉及到多个层次的多个对象、多个学科的分析，并与它们之间的协同分析设计息息相关。如果要使整体结构得到更合理的设计，势必需要先分层次地对各对象、各学科的子模型进行单独研究，再进行整体结构的多层次、多模型协同分析设计。
实际上，所述复杂工程结构系统在在数学上可归结为复合函数；因此，复杂工程结构系统逼近分析问题，在数学上可归结为复合函数逼近问题。
复合函数逼近的代理模型有效性直接决定着多层次、多模型复杂结构系统协同优化与可靠性设计的精度和效率。基于现有相关研究成果的调查和追踪发现，复合函数逼近代理模型的研究目前基本上还是空白，迫切需要从数学层次研究多层复合函数逼近的高精度分布式协同代理模型，为解决多层次、多模型工程优化与可靠性设计这一类问题提供方法和手段。
因此，本发明是以“精度和效率”为出发点，以“分布式协同代理模型”为核心，深入全面剖析多层复合函数逼近的分布式协同代理模型，解决多参数、非线性、多模型等问题。为改善多构件、多学科复杂结构系统优化和可靠性设计的合理性和解决多层次、多模型协同优化与可靠性设计这一类问题，提供有效数学方法和技术手段。
发明内容
针对上述现有技术的不足，本发明的目的在于提出一种复杂工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法。
如上所述，复杂工程结构系统逼近分析问题，在数学上可归结为复合函数逼近问题。本发明方法就是一种复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，具体步骤如下：
S1：将一个带有大规模参数、高度非线性的复合工程结构系统，归结为一复合函数，于是将复合工程结构系统逼近问题转化为复合函数逼近问题，并将复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题；
S2：针对各层次的各子函数建立相对应的子代理模型，进行子函数逼近；
S3：根据各子函数与各层次函数之间的关系，建立协同代理模型；
S4：基于协同代理模型进行复合函数多层次多子模型协同逼近；
S5：输出优化结果。
本发明提出了一种复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，其主要优点如下：
1、利用分布式协同代理模型，将整体复合函数分解为各子函数，子函数所含的参数量会减少，非线性程度也会降低，计算量也会减少，有利于提高代理模型逼近和仿真速度；
2、相对简单的子函数逼近有利于解决输出参数与输入参量间的非线性的问题，更容易、更全面、更具体、更客观地考虑随机参量的作用，来提高计算精度；
3、可根据各层次的各子函数逼近的特点和各方面要求，利用多种代理模型(如多项式模型、支持向量机模型、人工神经网络模型、Kriging模型等)分别建立各自合理的代理模型，能避免单个代理模型的局限性，提高逼近精度和有效性。
附图说明
图1为复合函数逼近分析的分布式协同代理模型的流程图。
图2为复合函数分解的示意图。
表1为变量的概率分布特征。
表2为分布式协同代理模型方法计算精度验证结果。
表3为MC法、代理模型法和分布式协同代理模型方法的计算时间比较。
具体实施方式
下面将结合具体的实施方案对本发明进行进一步的解释，但并不局限本发明。
本发明提供了一种复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，包括如下步骤：
S1：将一个带有大规模参数、高度非线性的难于实现的多层次多模型的复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题；
本发明以复杂结构系统多构件、多学科优化和可靠性设计为工程背景，提出多层次复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，为解决多层次、多模型工程优化与可靠性设计这一类问题提供数学方法和手段。
复合函数往往涉及到多层次的多子函数，本发明以三层(一级子系统层、二级子系统层和变量层)复合函数为例，来对分布式协同代理模型方法的基本原理和数学模型加以阐述。假设三层复合函数的输出响应和输入变量分别用Y和x表示，则该复合函数的表达式为：
Y＝f(x)＝f(f1(x),f2(x),...fm(x)) (1)
其中，f(﹒)是复合函数；f1(﹒),f2(﹒),…fm(﹒)是子函数。
假设该三层复合函数分析问题可分解为m(m∈Z)个一级子函数，即：
Y＝f(Y(1),Y(2),…,Y(m))， (2)
该函数关系称为总协调函数，该层次称为系统层，其中Y(i)(i＝1,2,…,m)是一级子函数。第i个一级子函数又可分解n(n∈Z)个二级子函数，即：
Y(i)＝f(Y(i1),Y(i2),…,Y(in))， (3)
该函数关系称为一级协调函数，该层次称为一级子系统层，其中Y(ij)(i＝1,2,…,m；j＝1,2,…,n)。第i个一级子函数的第j个二级子函数与原始变量的关系为：
Y(ij)＝f(x(ij)) (4)
该函数关系称为二级协调函数，该层次称为二级子系统层，其中x(ij)是相应的原始变量向量。本发明将一级子系统层和二级子系统层统称为子系统层，将原始变量层称为变量层。三层复合函数分解如图2所示。
通过以上分析可得到x和x(ij)的关系，即
通过以上的过程，将一个带有大规模参数、高度非线性的难于实现的多层次、多模型的复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题。
S2：针对各层次的各子函数建立相对应的子函数代理模型，进行子函数逼近；
S21：基于分布式协同代理模型方法的基本思想，就可以建立复合函数的各层次子函数的子代理模型。
首先，根据原始变量x与二级子函数输出响应Y(ij)的概率分布特征，基于MC(蒙特卡罗)法建立二级子系统的代理模型。例如，第i个一级子函数的第j个二级子函数
与其原始变量x(ij)的代理模型记作：
这种关系叫做二级子系统的协调代理模型。
在二级子系统的协调代理模型建立之后，将其输出响应
作为相应一级子系统的代理模型的输入随机变量x(i)，于是，x(i)与
关系可表达为：
根据一级子系统协调函数
及其输入随机参数x(i)的数值分布特征，可建立一级子系统的代理模型，即：
这种关系称为一级子系统的协调代理模型。
同理，一级子系统的协调代理模型的输出响应
可以作为系统的总协调代理模型的输入随机变量
即：
同理，可以建立系统层的总协调代理模型，即：
在复合函数概率分析过程中，经过各层子系统的子函数的分析后，可以以式(10)为代理模型代替原复合函数进行概率分析。由式(10)可知，其变量数与一级子函数的数量相同，这就大大减少了复合函数逼近分析的变量数，能大大改善计算效率问题。另外，由子系统的协调代理模型式(6)和式(8)可知：相对复合函数的整体分析，子系统协调函数的变量数大大减少了，代理模型更简单了，这样可以更有效地解决函数的非线性和隐式函数问题，能使多对象、多学科代理模型的计算效率和计算精度大大改善。
如果需要得知复合函数整体输出响应
与原始变量x之间的代理模型，可由式(6)～式(10)可得出总体代理模型，即：
在进行复合函数分析时，也可以以式(11)为总体代理模型进行概率分析。然而，与总协调代理模型式(10)相比，式(11)含有的输入随机变量多，计算效率会很低，并且也不易解决输出响应与输入变量之间的非线性关系，计算精度会受到很大影响。
在建立各层次代理模型时，首先选择足够数量的试验点(试验样本)，代入各层次的代理函数(如式(6)、式(8)、式(10)和式(11))，拟合各代理模型函数，确定其代理模型函数系数，得到相应的确切代理模型函数表达式。之后，基于数值仿真方法(如MC法)，可以用该代理模型函数进行模拟试验，进而进行各层次输出响应逼近分析。
上述过程是将式(11)总代理模型分解成了形如式(6)、式(8)和式(10)等多个分布式的子代理模型，这种方法称为分布式协同代理模型方法。若将该方法应用于复合函数的逼近分析，也被称为复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法。
实际上，在基于分布式协同代理模型方法进行复合函数逼近分析时，代理模型是关键，它直接影响着逼近分析的计算效率和精度。代理模型有二次函数、支持向量机、人工神经网络、Kriging模型等。在为子函数选择代理模型时。可以根据每个子函数的分析特点，合理选择适合自己的代理模型，以便保证每个子函数的逼近精度和效率。
S22：基于二次多项式的分布式协同代理模型的建立
本发明将二次函数作为代理模型，来对分布式协同代理模型方法的各层次各子函数的协调代理模型的建立加以阐述。于是，将二级子系统协调代理模型式(6)写成二次函数形式，可得：
式(12)为二级子系统的协调二次函数代理模型(函数)。
B(ij)、C(ij)分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵(即可有交叉项也可无交叉项，本发明用到的是无交叉项的，即对角矩阵)，即：
式中，k为一级系统层的第i个子函数中的第j子函数(在二级子系统层里)分析的输入随机变量数；C(ij)为对角矩阵(下同)。
在二级子系统协调代理模型建立之后，将其输出响应
作为一级子系统协调代理模型的输入随机变量x(i)，建立一级子系统协调代理模型。假设其输出响应为
一级子系统协调二次函数代理模型可表示为：
其中，
B(i)、C(i)分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵：
式中，n为一级子系统层第i个子函数分析的输入随机变量数。
同理，一级子系统层的协调代理模型的输出响应
可以作为总系统层代理模型的输入随机变量
建立总协调代理模型。假设其输出响应为
总协调代理函数可表示为：
这种关系叫做总协调代理函数。A0、B、C分别是多对象、多学科代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵。其中：
B＝[b1 b2 ... bm] (22)
式中，m为总系统代理模型函数分析的输入随机变量数。
同理，将总体代理模型重写为二次函数形式，可得：
其中，
和
分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数和二次项系数矩阵，即
式中，l表示原始输入随机变量数。
各层次的代理模型函数都是基于二次函数建立的，该方法称为基于二次函数的分布式协同代理模型方法。若将该方法应用于复合函数逼近分析，则称之为复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法。
S23：根据S21步骤中可知，子函数代理模型为方程(12)、(16)和(20)，具体求得该子函数代理模型与验证本发明有效性的方法如下：
(1)确定复合函数及其各随机变量的分布特征，其中假设输入变量与输出变量间存在以下关系，即：
其中：
其中，变量的概率分布特征如表1所示。
(2)采用拉丁超立方联动抽样技术提取各随机变量(或参数)的样本数据，并代入相应的复合函数的各层次各子函数中，得到相应响应值。即：根据二次多项式分布式协同代理模型方法的基本思想，基于MC法和各变量的分布特征(如表1)，为每个子函数(式(29))分别抽取40组样本向量，并代入式(29)求出每个输入样本的响应值。
(3)将每个随机输入样本值与相应的输出响应值作为一组数据，构件样本集，包含40组样本。
(4)将样本集中的样本代入二次多项式函数中，得到各层次各子函数的代理模型。基于模型参数优化方法(如最小二乘法、智能算法包括粒子群算法、遗传算法、蜜蜂蚁群算法等)求解各子函数代理模型的模型参数(即待定系数)，进而确定各子函数响应模型的关系式，即：
S3：根据各子函数与各层次函数之间的关系，建立协同代理模型。
S31:根据各子函数40组输出响应的分布特征，对复合函数的系统函数(式(28))进行计算，得到输出响应值，提取40组样本向量，基于模型参数优化方法(如最小二乘法、智能算法包括粒子群算法、遗传算法、蜜蜂蚁群算法等)来拟合复合函数的二次协调代理模型，即：
S32:最终各子对象与随机输入变量间的关系式，将40组样本向量(输入变量与输出变量一一对应)带入方程(24)中，即通过模型参数优化方法(如最小二乘法、智能算法包括粒子群算法、遗传算法、蜜蜂蚁群算法等)拟合分析，建立的复合函数的整体代理模型(RSM)如下：
S4：基于协同代理模型进行复合函数多层次多子模型协同逼近；
为了验证DCRSM(分布式协同响应面模型)的计算精度，基于MC法对原复合函数的变量抽取20组测试样本，分别输入式(30)～式(33)和式(34)来验证分布式协同代理模型方法和代理模型法的代理模型精度，即分布式协同代理模型方法计算公式为式(30)～式(33)，代理模型法计算公式为式(34)，其中测试样本和比较结果如表2所示。
S5:结果输出。
为了验证分布式协同代理模型方法计算效率，利用MC法、代理模型法和分布式协同代理模型方法分别对原复合函数、复合函数的整体代理模型以及分布式子函数模型和系统函数模型进行不同次数仿真，结果如表3所示。
本发明的主要优势在于：分布式协同代理模型方法是将一个难于实现的复合函数整体分析问题先分解为多层次、多子函数的分布式响应问题，对不同层次的不同子函数建立相应的多个子代理模型(分布式的)；再对多个分布式代理模型进行协同概率分析，这样一分一合，有效地解决变量数目增加、计算效率低和精度难于保证等各方面问题，具体原因表现在：
(1)相对于复合函数概率分析整体模型，单模型所含的随机变量数大大减少，计算量也大大减少，有利于减少响应面拟合时间，提高代理拟合速度和效率；另外，使建立的代理模型相对简单，在概率分析中能提高代理模型模拟仿真的计算速度和效率；
(2)代理模型模拟仿真的计算速度提高有利于提高模拟仿真次数，甚至可以直接用随机模拟(抽样)方法对原函数进行抽样仿真，来改善概率分析精度；
(3)单模型分析能很好地解决输出响应与输入变量间的非线性的问题，更容易、更全面、更具体、更客观地考虑随机变量的影响，来提高计算精度；
(4)将“大模型”分解为若干个“小模型”有利于实现自动运算和并行计算、节约计算时间和提高计算效率；
(5)可根据各层次的各子函数分析的特点和各方面要求，利用不同的代理函数(如二次多项式、支持向量机、神经网络、kriging模型等)分别建立各自合理的代理模型，能避免单个代理模型的局限性，可大大提高概率分析的精度和有效性。
另外，分布式协同代理模型方法也为进一步进行复合函数概率优化设计提供了保证。通过复合函数概率分析，得到影响复合函数的主要因素，有利于在概率优化设计时利用自动运行和并行计算方法对各个子模型和主要影响因素进行重点控制，既能达到优化效果又能提高计算效率。
表1
| 变量 | 均值 | 标准差 | 分布类型 | 变量 | 均值 | 标准差 | 分布类型 |
| x<sub>1</sub> | 3 | 0.1 | 正态 | x<sub>4</sub> | 5 | 0.1 | 正态 |
| x<sub>2</sub> | 4 | 0.1 | 正态 | x<sub>5</sub> | 0.5 | 0.1 | 正态 |
| x<sub>3</sub> | 2.5 | 0.1 | 正态 | x<sub>6</sub> | -0.5 | 0.1 | 正态 |
表2
表3
Claims (5)
1.复合工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：将一个带有大规模参数、高度非线性的复合工程结构系统，归结为一复合函数，于是将复合工程结构系统逼近问题转化为复合函数逼近问题，并将复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题；
S2：针对各层次的各子函数建立相对应的子代理模型，进行子函数逼近；
S3：根据各子函数与各层次函数之间的关系，建立协同代理模型；
S4：基于协同代理模型进行复合函数多层次多子模型协同逼近分析；
S5：输出优化结果。
2.根据权利要求1所述的复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，其特征在于，步骤S1中，所述将复合函数逼近问题分解为带有少参数、低非线性程度的多个层次的多个子函数的逼近问题，具体做法如下：
对于多层次的多子函数为三层情况：一级子系统层、二级子系统层和变量层，假设三层复合函数的输出响应和输入变量分别用Y和x表示，则该复合函数的表达式为：
Y＝f(x)＝f(f1(x),f2(x),...fm(x))， (1)
其中，f(﹒)是复合函数；f1(﹒),f2(﹒),…fm(﹒)是子函数；
假设该三层复合函数分析问题可分解为m(m∈Z)个一级子函数，即：
Y＝f(Y(1),Y(2),…,Y(m))， (2)
该函数关系称为总协调函数，该层次称为系统层，其中Y(i)(i＝1,2,…,m)是一级子函数；第i个一级子函数又可分解n(n∈Z)个二级子函数，即：
Y(i)＝f(Y(i1),Y(i2),…,Y(in))， (3)
该函数关系称为一级协调函数，该层次称为一级子系统层，其中Y(ij)(i＝1,2,…,m；j＝1,2,…,n)；第i个一级子函数的第j个二级子函数与原始变量的关系为：
Y(ij)＝f(x(ij)) (4)
该函数关系称为二级协调函数，该层次称为二级子系统层，其中x(ij)是相应的原始变量向量；将一级子系统层和二级子系统层统称为子系统层，将原始变量层称为变量层；于是得到x和x(ij)的关系，即：
3.根据权利要求1所述的复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，其特征在于，步骤S2中，所述针对各层次的各子函数建立相对应的子函数代理模型，进行子函数逼近，具体流程为：
S21：基于分布式协同代理模型方法的基本思想，建立复合函数的各层次子函数的子代理模型；
首先，根据原始变量x与二级子函数输出响应Y(ij)的概率分布特征，基于蒙特卡罗法建立二级子系统的代理模型；第i个一级子函数的第j个二级子函数
与其原始变量x(ij)的代理模型记作：
这种关系叫做二级子系统的协调代理模型；
然后，将其输出响应
作为相应一级子系统的代理模型的输入随机变量x(i)，于是，x(i)与
关系表达为：
根据一级子系统协调函数
及其输入随机参数x(i)的数值分布特征，建立一级子系统的代理模型，即：
这种关系称为一级子系统的协调代理模型；
同理，一级子系统的协调代理模型的输出响应
作为系统的总协调代理模型的输入随机变量
即：
同理，建立系统层的总协调代理模型，即：
在复合函数概率分析过程中，经过各层子系统的子函数的分析后，以式(10)为代理模型代替原复合函数进行概率分析；
S22：基于二次多项式建立分布式协同代理模型
将二次函数作为代理模型，即将二级子系统协调代理模型式(6)写成二次函数形式，得：
式(12)为二级子系统的协调二次函数代理模型；
B(ij)、C(ij)分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵；即：
式中，k为一级系统层的第i个子函数中的第j子函数分析的输入随机变量数；C(ij)为对角矩阵，下同；
在二级子系统协调代理模型建立之后，将其输出响应
作为一级子系统协调代理模型的输入随机变量x(i)，建立一级子系统协调代理模型；假设其输出响应为
一级子系统协调二次函数代理模型表示为：
其中，
B(i)、C(i)分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵：
式中，n为一级子系统层第i个子函数分析的输入随机变量数；
同理，一级子系统层的协调代理模型的输出响应
作为总系统层代理模型的输入随机变量
建立总协调代理模型；假设其输出响应为
总协调代理函数表示为：
这种关系叫做总协调代理函数；A0、B、C分别是多对象、多学科代理模型函数的常数项、一次项系数矩阵和二次项系数矩阵；其中：
B＝[b1 b2...bm] (22)
式中，m为总系统代理模型函数分析的输入随机变量数；
同理，将总体代理模型重写为二次函数形式，得：
其中，
和
分别是该代理模型函数的常数项、一次项系数和二次项系数矩阵，即：
式中，l表示原始输入随机变量数；
S23：根据步骤S21，子函数代理模型为方程(12)、(16)和(20)，具体求得该子函数代理模型方法如下：
确定复合函数及其各随机变量的分布特征，其中假设输入变量与输出变量间存在以下关系，即：
其中：
(2)采用拉丁超立方联动抽样技术提取各随机变量或参数的样本数据，并代入相应的复合函数的各层次各子函数中，得到相应响应值；即：根据二次多项式分布式协同代理模型方法的基本思想，基于MC法和各变量的分布特征，为每个子函数(式(29))分别抽取40组样本向量，并代入式(29)求出每个输入样本的响应值；
(3)将每个随机输入样本值与相应的输出响应值作为一组数据，构件样本集，包含40组样本；
(4)将样本集中的样本代入二次多项式函数中，得到各层次各子函数的代理模型；采用模型参数优化方法求解各子函数代理模型的模型参数即待定系数，进而确定各子函数响应模型的关系式，即：
4.根据权利要求3所述的复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，其特征在于，在步骤S3中，所述根据各子函数与各层次函数之间的关系，建立协同代理模型，具体流程为：
S31:根据各子函数40组输出响应的分布特征，对复合函数的系统函数(式(28))进行计算，得到输出响应值，提取40组样本向量，基于模型参数优化方法来拟合复合函数的二次协调代理模型，即：
S32:最终各子对象与随机输入变量间的关系式，将40组样本向量带入方程(24)中，即通过模型参数优化方法拟合分析，建立的复合函数的整体代理模型(RSM)如下：
5.根据权利要求4所述的复合函数逼近分析的分布式协同代理模型方法，其特征在于，步骤S4中，所述基于协同代理模型进行复合函数多层次多子模型协同逼近，具体流程为：
基于MC法对原复合函数的变量抽取20组测试样本，分别输入式(30)～式(33)和式(34)来验证分布式协同代理模型方法和代理模型法的代理模型精度，即分布式协同代理模型方法计算公式为式(30)～式(33)，代理模型法计算公式为式(34)。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN202010822296.0A CN112100759A (zh) | 2020-08-16 | 2020-08-16 | 复杂工程结构系统逼近分析的分布式协同代理模型方法 |
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| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
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| CN112100759A true CN112100759A (zh) | 2020-12-18 |
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Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN113239495A (zh) * | 2021-05-31 | 2021-08-10 | 复旦大学 | 一种基于矢量混合代理模型的复杂结构可靠性设计方法 |
| TWI812423B (zh) * | 2022-08-23 | 2023-08-11 | 國立中央大學 | 分散式結構設計系統與方法 |
-
2020
- 2020-08-16 CN CN202010822296.0A patent/CN112100759A/zh active Pending
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