CN112069450A - 基于凸集间交互投影的多对象结构方程模型计算技术 - Google Patents
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Abstract
本发明“基于凸集间交互投影的多对象结构方程模型计算技术”,技术领域属于电子与信息类的应用软件技术。本发明求解多对象结构方程模型,分为三个步骤。(1)将多对象结构方程模型原始数据纵向叠放,利用基于配方约束的模型确定性算法统一求解,得到每个结构变量对应的观测变量的汇总系数。(2)将叠放的数据块按结构变量纵向剖分,分别采用评估模型的凸集间的交互投影算法求解,得到每个对象每个结构变量的评估分。(3)将上一步计算得到的评估分矩阵作为新的观测矩阵,按结构方程模型求解,得到每个对象的顾客满意度最终评估分。
Description
技术领域
本发明属于电子与信息类的应用软件技术,具体是一种基于凸集间交互投影的多对象结构方程模型计算技术。
背景技术
(一)一般的结构方程模型与顾客满意度
FORNELL教授最先将结构方程模型(SEM)引入到顾客满意度测评[1-2]。SEM包括两个方程组 ,一个是结构变量之间的关系方程组,称为结构方程组;一个是结构变量与观测变量之间的关系方程组,称为观测方程组。图1是一个典型的中国顾客满意指数模型。
我们在Excel表上把观测数据列出来,观测次数按行排列,而变量按列排列。自变量在左侧,因变量在右侧。观测数据阵,等等都是已知的,星号代表行数。系数是未知的,因变量也是未知的。图2只列出了模型中最左侧的3个变量。
在一般情形下,结构变量不一定是5个,结构方程系数形式也可以不同于式(1) ,自变量的个数也可以多于1个。如果采用向量与矩阵记法进行一般描述,设因变量有个,将排成列向量,记为;自变量有个,将排成列向量,记为。的系数矩阵为阶方阵,记为;的系数矩阵为阶矩阵,记为;残差向量为,则结构方程组式(1)可以扩展为:
结构变量与观测变量之间的作用关系也可以用方程表示,按作用的因果路径有两种表示方式。
反之,从结构变量到观测变量的观测方程可以表达为:
上面的式子和图形结合起来称为结构方程模型,有时也称为路径分析模型。本课题组对它们开展了深入研究,提出了基于配方约束的确定性算法,可以取代传统的协方差拟合算法(Linear Structure RELationship,LISREL)与偏最小二乘算法(Partial LeastSquare, PLS)。同时本课题组还提出了多层结构方程模型,见图3(一个多层结构方程模型的变量与路径图),并且解决了它们的算法问题。
(二)配方回归模型
为了使得本专利技术通俗易懂,我们通过数据结构图逐步讲解。
先浅说什么是回归。班级考试加总分是容易理解的。一个班有个(例如30个)学生,每个学生考了门功课(例如4门),就有了一个数据阵,有(30)行,(4)列,每列向量分别记为。现在要加总分,需要知道每门考试的满分,比如分别是150,120,100,150。这样直接把每个同学的考分相加,实际上每门功课的成绩占比或者说分量是不一样的。满分高的功课占比大一些,显得重要一些。如果我们事先把所有考分都化成了百分制,满分统统是100分,那么在汇总的时候,各门功课成绩就要乘以不同的系数,这个例子里就是要分别乘以1.5, 1.2, 1.0, 1.5。这个占比的分量或者说系数就是加权系数,记为。汇总以后得到的总分是一个向量,有(30)个数据,并且:
回归系数怎么求,肯定有误差,要使得误差平方和最小,于是采用了最小二乘法则。如图6所示(线性回归的最小二乘法则)。
误差平方和最小从欧式距离的角度理解就是投影,于是普通回归的几何意义就是求维空间里的一个点(向量)到一个子空间的投影,这个子空间是由个列向量()张成的。理解这个几何意义对于我们下面寻找评估模型的算法非常重要,如图7(线性回归最小二乘法则的投影几何意义)。
所谓配方回归,就是在上面的回归模型中,还要求回归系数之和为1,并且每一个回归系数都不小于0。于是配方回归模型可写作
配方回归的实际含义是各因素百分比的分摊。比如是总的发行债券,是各发行公司的发行能力,那么是各发行公司承担的发行份额在总任务中所占百分比。在化学配方与药品配方中,是待配的药品总量,是各药品的重量,是各药品在混料中所占的百分比。回归模型的任务是从历史数据中推断出一个比较合适而折衷的配方:。
统计学家从回归原理也对此模型提出算法,主要是使用Lagrange乘子原理与原地扫除算法。简单地说,就是将约束条件分解为两部分,一个是线性约束
一个是符号约束
先解线性约束回归模型
(三) 评估模型
我们先从实际工作提炼出模型。
质量评估工作是常见而又重要的。根据个母体的个指标的观测值,来给这个母体打个分,排个队,现在是司空见惯的事情。如产品质量评估,作品质量评估,演出质量评估,地区部门工作质量评估,教师授课质量评估,等等。问题在于怎样打分比较合理,这需要建立数学模型。
我们还是回顾图5的数据结构图。评估模型里不仅回归系数要满足配方回归条件,而且因变量是未知的。如此而已,看样子并不复杂,但是因变量与回归系数都是未知的,那如何求得唯一解,原来这个模型里母体(班级个数)不止一个。为了适合表现现在的数据结构,我们改进图5为图8(评估模型数据结构图)。每个班级的评估分放在左边,一共有个班级,就有个数据块。
个指标是变量,分别以表示。一张评估表是某一母体的一次观测,可取得数据。对个母体各取得次观测,就得阵。一张评估表是阵的一行,一个母体的次观测是阵的一块。对每个变量的加权系数待定,但需(即);(即)。这是一种配方约束。对每个母体必须且只须给出一个分数,它也是事先未知而待定的,这就是所谓广义。因此评估模型是如下三个式子联合组成。
(15)(16)(17)三式合起来是一种广义配方模型(GP模型),它是杨自强研究的因变量可变的广义最小二乘模型与方开泰等研究的配方模型的结合。所谓广义,就是因变量未知。这里,,, ,,即。对块数据块按列分别求平均,得到压缩的数据阵。
下面先考虑GP模型中仅满足(15)、(16)的解。令
总结上述过程,有
再考虑集合
(四) 凸集间的交互投影算法
上述迭代过程收敛的意思是:
根据定理4,求两个闭凸集之间的距离可以化为累次求一点到闭凸集间的距离。于是求解广义配方模型可以化为累次求解配方模型,求解凸约束广义配方模型可以化为累次求解一般凸约束模型,实际计算表明,收敛过程非常快。见图9(凸集间的交互投影算法示意图)。
主要参考文献目录
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发明内容
A.发明基本步骤
以上叙述的单层或者多层结构方程模型都是针对一个对象建立的模型。一个国家或者一个行业有许多企业 (对象 )。如果每个企业都各自利用自己的样本建立模型,即使模型的两个方程结构都完全一样,但是由于样本数据不一样 ,得到的系数也不一样。这样的顾客满意度计算结果显然缺乏可比性。因此应该研究多对象的建模,既保留路径分析模型参数估计客观性的一面,又在各对象之间保持参数估计的统一性,使得计算结果具有更好的可比性。
假设有个对象需要测评,每个对象都是同样的结构方程,同样的个观测变量,都进行了次观测。对于每一个对象都可得到了一个观测数据块。将这些数据块纵向叠放形成一个矩阵。每一个对象都满足一个结构方程模型,如何将这些模型统一起来形成一个合理的模型群,本发明试图利用我们前期研究所提出的凸约束的广义线性回归模型,来统领这个结构方程模型。具体算法分 3个步骤进行。
(1)将多对象结构方程模型原始数据纵向叠放,利用基于配方约束的结构方程模型确定性算法统一求解。
将个对象看作是一个对象,对个观测变量进行次观测,得到矩阵。套用SEM模型和我们的确定性算法,得到结构方程模型中的系数和, 取, ; 。于是个结构自变量分别有了权系数,个结构因变量分别有了权系数。此时的数据结构整体如图2,但是它的行数是,有个数据块纵向叠放。数据阵左侧部分如图10(多对象结构方程模型的数据排列图)。
这样求解得到每个结构变量对应的观测变量的汇总系数,为下一步使用评估模型提供系数约束条件。
(2) 将叠放的数据块按结构变量纵向剖分,分别采用评估模型求解,得到每个对象每个结构变量的评估分。
注意, 是全体观测变量的个数,它分别从属于个结构变量。矩阵可以按列剖分成个数据块,称之为列数据块,每个列数据块对应一个结构变量或者。对于每个列数据块,每个列数据块的数据结构图都类似于图8,可套用前面叙述过的评估模型,即凸约束的广义线性回归模型,约束是以及或者, 或是它的变量个数,评估对象都是个, 或者是它的评估分,都是维列向量。这样就得到了每个结构变量下每个对象的评估分,形成了一个的矩阵。一共需要进行个评估模型的计算,每个评估模型都会得到个评估分。当然每个评估模型都需要进行一次独立完整的交互投影计算。
这样计算的结果相当于把原始数据压缩了,每个对象只剩下一行,这一行就是各个结构变量的评估分。
如同图2里的观测矩阵,代回到原来的结构方程模型。由于现在每个结构变量只对应一个观测变量,结构方程模型中的系数,或者,计算都是简单的。主要的计算任务是在结构方程式(2)中计算路径系数和。完成了结构方程的计算,顾客满意度所在的变量的估计值就计算出来了。是维向量,它的第个分量就是第个对象的顾客满意度的评估数值,。
这样计算的结果就得到每个对象的顾客满意度最终评估分。
B: 发明的关键技术。
(1)基于配方约束的结构方程模型确定性算法。
(2)基于凸集间交互投影的评估模型算法。
(3)基于配方约束和凸集间交互投影的多对象结构方程模型计算技术。
附图说明:
图1是一个中国顾客满意指数模型的变量与路径结构图。
图2是一个中国顾客满意指数模型的数据排列图。
图3是一个多层结构方程模型的变量与路径图。
图4是考试加总分的数据结构图。
图5是一元线性回归数据结构图。
图6是线性回归的最小二乘法则。
图7是线性回归最小二乘法则的投影几何意义。
图8是评估模型数据结构图。
图9是凸集间的交互投影算法示意图。
图10是多对象结构方程模型的数据排列图。
Claims (1)
1.本发明专利“基于凸集间交互投影的多对象结构方程模型计算技术”分三个步骤求解多对象结构方程模型。第一步,将多对象结构方程模型原始数据纵向叠放,利用基于配方约束的模型确定性算法统一求解,得到每个结构变量对应的观测变量的汇总系数。第二步,将叠放的数据块按结构变量纵向剖分,分别采用评估模型的凸集间的交互投影算法求解,得到每个对象每个结构变量的评估分。第三步,将上一步计算得到的评估分矩阵作为新的观测矩阵,按结构方程模型求解,得到每个对象的顾客满意度最终评估分。
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