CN112036035A - 基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法 - Google Patents

基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法 Download PDF

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CN112036035A CN202010896438.8A CN202010896438A CN112036035A CN 112036035 A CN112036035 A CN 112036035A CN 202010896438 A CN202010896438 A CN 202010896438A CN 112036035 A CN112036035 A CN 112036035A
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Abstract

本发明提出了一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，首先，基于向量点积运算设计点乘运算，并利用点乘远算构建同步系统的状态误差模型，其中，同步系统包括第一驱动系统、第二驱动系统和响应系统；其次，根据同步系统的状态误差模型设计滑模控制器，并将滑模控制器加入响应系统中，得到点乘函数投影同步模型；最后，将四维激光超混沌系统从实数域扩展到复数域上，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统，并利用激光复混沌系统对点乘函数投影同步模型进行仿真。本发明提出点乘函数投影同步方式，基于滑模控制方法实现了蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步；为激光复混沌系统应用于光保密通信等领域奠定了基础。

Description

基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法
技术领域
本发明涉及混沌系统技术领域，特别是指一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法。
背景技术
混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够处理线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。目前，混沌理论已经在数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、物理学、等众多科学学科中得到广泛应用。
在现代通信技术特别是全光网络高速发展的趋势下，光学混沌及其保密通信技术以其独特的优势受到了国内外的广泛关注。半导体激光器是光纤通信中最常用的光源之一，通过引入附加自由度可以产生丰富的非线性动力学行为，如果选择合适的控制参数，可输出高维混沌光信号。混沌光信号具有不可长期预测性和类噪声特性，特别适用于混沌保密通信中。随着各种激光混沌系统的提出与验证，混沌光通信己经成为一种能够克服数值计算加密安全性低的实用通信技术。
在已有文献中，对于混沌控制与同步研究大多是在实数域上完成的。但是，现实世界中存在很多复变量，其实际应用范围更广，且复混沌系统的性质更加复杂。因此研究复数域上的混沌系统的相关性质及其控制与同步就非常有必要。相对于实混沌系统，复混沌系统将混沌系统的状态变量从实数域扩展到复数域上，增加了系统状态变量的数目，使得混沌系统具有更加复杂的动力学行为。复混沌系统深厚的物理背景及更加不可预测和随机的状态变量的特性使得其在保密通信领域有着巨大的应用潜力，吸引了很多学者对复混沌动力学系统进行研究，并取得了一系列进展。文献[党红刚，刘晓君.一个混沌复系统的同步与混沌控制[J].四川大学学报(自然科学版)，2013，50(5)：1050-1053.]研究了一个三维混沌复系统的基本性质，实现了系统的自适应混沌同步和参数识别。文献[王诗兵，王兴元.超混沌复系统的自适应广义组合复同步及参数辨识[J].电子与信息学报，2016，38(8)：2062-2067.]针对含未知参数的异结构超混沌复系统，基于自适应控制及Lyapunov稳定性理论，提出一种新的自适应广义组合复同步方法。文献[张芳芳，刘树堂，余卫勇.时滞复Lorenz混沌系统特性及其自时滞同步[J].物理学报，2013，62(22)：220505.]研究了时滞复Lorenz系统的动态特性及时滞因数的影响，并基于非线性反馈控制方法实现了复Lorenz系统的自时滞混沌同步。文献[Jian Liu，Shutang Liu.Complex modified function projectivesynchronization of complex chaotic systems with known and unknown complexparameters[J].Applied Mathematical Modelling，2017，48：440-450.]基于自适应控制方法研究了具有已知或未知参数的复混沌系统的修正函数投影同步。文献[Fuzhong Nian，Xinmeng Liu，Yaqiong Zhang.Sliding mode synchronization of fractio-nalordercomplex chaotic system with parametric and external disturbances[J].Chaos，Solitons&Fractals，2018，116：22-28.]基于滑模控制方法研究了具有未知参数和外界干扰的分数阶复混沌系统的完全同步。文献[Vijay K.Yadav，Rakesh Kumar，A.Y.T.Leung，Subir Das.Dual phase and dual anti-phase synchronization of fractionalorderchaotic systems in real and complex variables with uncertainties[J].Chinese Journal of Physics，2019，57：282-308.]基于非线性控制策略研究了具有参数扰动的分数阶复混沌系统的双重相同步和反相同步。文献[Hongjun Liu，Yingqian Zhang，Abdurahman Kadir，Yanqiu Xu.Image encryption using complex hyper chaoticsystem by injecting impulse into parameters[J].Applied Mathematics andComputation，2019，3601：83-93.]以超混沌复系统为载体，研究了该系统的动力学行为，通过将脉冲注入控制参数中来增强该混沌系统的随机性，并将其应用于彩色图像加密中。文献[Junwei Sun，Jie Fang，Yanfeng Wang，Guangzhao Cui.Function combinationsynchronization of three chaotic complex systems[J].Optik，2016，27：9504-9516.]构建了一个新的复混沌系统，分析了其动力学行为，实现了三个复混沌系统的组合函数投影同步。已有复混沌系统及其同步研究大都是基于复混沌电路，目前还没有关于激光复混沌系统的有关报道。
发明内容
针对上述背景技术中的不足，本发明提出了一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，在向量点积运算的基础上，提出了一种点乘函数投影同步方式，基于滑模控制方法实现了蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步；研究成果为激光复混沌系统应用于光保密通信等领域奠定了基础。
本发明的技术方案是这样实现的：
一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其步骤如下：
步骤一、基于向量点积运算设计点乘运算，并利用点乘远算构建同步系统的状态误差模型，其中，同步系统包括第一驱动系统、第二驱动系统和响应系统；
步骤二、根据同步系统的状态误差模型设计滑模控制器，并将滑模控制器加入响应系统中，得到点乘函数投影同步模型；
步骤三、将四维激光超混沌系统从实数域扩展到复数域上，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统；
步骤四、利用激光复混沌系统对点乘函数投影同步模型进行仿真。
所述点乘运算为：x·y＝[x1y1,x2y2,...,xnyn]T，其中，·表示向量x＝[x1,x2,...,xn]T和向量y＝[y1,y2,...,yn]T对应项的乘积。
所述同步系统的状态误差模型为：
e(t)＝z-m(t)x·y，
其中，m(t)为连续可微函数比例因子，e(t)＝[e1(t),e2(t),...,en(t)]T为误差向量，z＝[z1,z2,...,zn]T为响应系统的状态变量，t表示时间。
所述第一驱动系统为：
Figure BDA0002658553920000031
其中，
Figure BDA0002658553920000032
表示第一驱动系统的状态变量，f(x)＝[f(x)1,f(x)2,...,f(x)n]T是非线性连续函数；
所述第二驱动系统为：
Figure BDA0002658553920000033
其中，
Figure BDA0002658553920000034
表示第二驱动系统的状态变量，g(y)＝[g(y)1,g(y)2,...,g(y)n]T是非线性连续函数；
所述响应系统为：
Figure BDA0002658553920000035
其中，
Figure BDA0002658553920000036
表示第响应系统的状态变量，h(z)＝[h(z)1,h(z)2,...,h(z)n]T是非线性连续函数，u＝[u1,u2,...,un]T为滑模控制器。
同步系统的状态误差模型需满足的条件为：
Figure BDA0002658553920000037
所述滑模控制器为：
Figure BDA00026585539200000310
其中，ui表示滑模控制器，h(zi)表示响应系统中的非线性连续函数，
Figure BDA00026585539200000311
表示函数比例因子的导数，xi表示第一驱动系统，yi表示第二驱动系统，m(t)表示函数比例因子，f(xi)表示第一驱动系统中的非线性连续函数，g(yi)表示第二驱动系统中的非线性连续函数，λi表示滑模面参数，ei表示同步误差，ηi表示任意正常量，si表示滑模面函数，ρi表示任意正常量，sgn(·)为符号函数，i＝1,2,...,n，n表示系统维数。
所述四维激光超混沌系统为：
Figure BDA0002658553920000038
其中，x1,x2,x3,x4均表示激光系统在基波和二次谐波模式下的幅度，
Figure BDA0002658553920000039
分别表示x1,x2,x3,x4对应的状态变量，f0,f1,f2,Ω均为实常数，f1,f2为激光系统中的阻尼常数，f0[1+sin(Ωt)]为激光系统中的外场振幅。
所述具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统的获得方法为：将四维激光超混沌系统的状态变量x1,x2,x3从实数域扩展到复数域上，令x1＝y1+jy2，x2＝y3+jy4，x3＝y5+jy6，x4＝y7，
Figure BDA0002658553920000041
并将四维激光超混沌系统的实部和虚部分离后，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统：
Figure BDA0002658553920000042
其中，
Figure BDA0002658553920000043
分别表示y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7对应的状态变量。
本技术方案能产生的有益效果：
(1)本发明以向量点积运算为基础，定义了一种新的点乘函数投影同步方式，基于Lyapunov稳定性定理，设计具有积分环节的滑模面和自适应滑模控制器，使驱动系统与响应系统的运动轨迹按照函数比例因子趋于一致。
(2)本发明基于常规动力学分析方法和MATLAB仿真软件研究了激光复混沌系统的耗散性、Lyapunov指数谱、相图、分叉图等基本动力学特性，该激光复混沌系统动力学行为丰富，在一定参数下具有蝴蝶结型混沌吸引子，是一个新的混沌系统；随着参数变化，该激光复混沌系统呈现复杂的混沌、超混沌现象，非常适用于混沌加密领域。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明的流程图。
图2为本发明的混沌吸引子相图。
图3为本发明的Lyapunov指数谱图。
图4为本发明的随参数Ω变化的系统Lyapunov指数谱和分岔图，其中，Ω∈(0,10)，(a)Lyapunov指数谱，(b)分岔图。
图5为本发明的随参数f1变化的系统Lyapunov指数谱和分岔图，其中，f1∈(0.003,1)，(a)Lyapunov指数谱，(b)分岔图。
图6为本发明的驱动系统与响应系统的同步状态曲线。
图7为本发明的同步误差e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7随时间t的变化曲线。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1所示，本发明实施例提供了一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其步骤如下：
步骤一、基于向量点积运算设计点乘运算，并利用点乘远算构建同步系统的状态误差模型，其中，同步系统包括第一驱动系统、第二驱动系统和响应系统；
对于向量a和向量b：a＝[a1,a2,...,an]T，b＝[b1,b2,...,bn]T，a和b的点积公式为：a·b＝a1b1+a2b2+…+anbn。
基于向量点积运算设计一种新的向量运算，即x·y＝[x1y1,x2y2,...,xnyn]T，其中，·表示向量x＝[x1,x2,...,xn]T和向量y＝[y1,y2,...,yn]T对应项的乘积构成的向量。
同步系统由两个驱动系统和一个响应系统组成，第一个驱动系统定义为：
Figure BDA0002658553920000051
其中，
Figure BDA0002658553920000052
表示第一个驱动系统的状态变量，f(x)＝[f(x)1,f(x)2,...,f(x)n]T是非线性连续函数。
第二个驱动系统定义为：
Figure BDA0002658553920000053
其中，
Figure BDA0002658553920000054
表示第二个驱动系统的状态变量，g(y)＝[g(y)1,g(y)2,...,g(y)n]T是非线性连续函数。
响应系统定义为：
Figure BDA0002658553920000055
其中，
Figure BDA0002658553920000056
表示响应系统的状态变量，h(z)＝[h(z)1,h(z)2,...,h(z)n]T是非线性连续函数，u＝[u1,u2,...,un]T为滑模控制器。
定义第一驱动系统、第二驱动系统和响应系统之间的状态误差：
e(t)＝z-m(t)x·y (1)，
其中，m(t)为连续可微函数比例因子，e(t)＝[e1(t),e2(t),...,en(t)]T为误差向量，x＝[x1,x2,...,xn]T和y＝[y1,y2,...,yn]T为驱动系统的状态变量，z＝[z1,z2,...,zn]T为响应系统的状态变量，t表示时间。
如果存在控制输入u(t)，使得同步系统的状态误差模型满足条件：
Figure BDA0002658553920000061
则称驱动–响应系统实现了点乘函数投影同步。
步骤二、根据同步系统的状态误差模型设计滑模控制器，并将滑模控制器加入响应系统中，得到点乘函数投影同步模型；
设计滑模面如下：
Figure BDA0002658553920000062
其中，si(t)∈R为滑模面函数；ei(t)表示状态误差，滑模面参数λi>0为合适的正常量，i＝1,2,...,n。
设计如下的滑模到达律：
Figure BDA0002658553920000063
其中：si(t)表示滑模面函数，sgn(·)为符号函数，
Figure BDA0002658553920000064
ηi>0，ρi>0。
由同步系统的状态误差模型需满足的条件可得同步系统的动态误差为：
Figure BDA0002658553920000065
为了确保误差系统轨迹到达已设定的滑模面，并保持在滑模面上，可设计如下形式的滑模控制器为：
Figure BDA0002658553920000066
其中，ui表示滑模控制器，h(zi)表示响应系统中的非线性连续函数，
Figure BDA0002658553920000067
表示函数比例因子的导数，xi表示第一驱动系统，yi表示第二驱动系统，m(t)表示函数比例因子，f(xi)表示第一驱动系统中的非线性连续函数，g(yi)表示第二驱动系统中的非线性连续函数，λi表示滑模面参数，为正常量，ei表示同步误差，ηi表示任意正常量，si表示滑模面函数，ρi表示任意正常量，sgn(·)为符号函数，i＝1,2,...,n，n表示系统维数。
对于同步系统的动态误差，在滑模控制器(6)的作用下，可以使得同步误差轨迹快速进入设定的滑模面内，并始终保持在滑模面上。
选择正定的Lyapunov泛函数为：
Figure BDA0002658553920000071
对V求导可得：
Figure BDA0002658553920000072
根据式(3)和式(4)可得：
Figure BDA0002658553920000073
将滑模控制器(6)代入上式(9)可得：
Figure BDA0002658553920000074
由ηi>0，ρi>0可得
Figure BDA0002658553920000079
恒成立，由Lyapunov稳定性定理可知上式表明
Figure BDA0002658553920000075
当误差系统到达滑模面上时，有
Figure BDA0002658553920000076
对si(t)求导可得
Figure BDA0002658553920000077
由λi>0可得误差系统
Figure BDA0002658553920000078
即在滑模控制器(6)的作用下，同步误差动态系统(5)渐近稳定，实现了点乘函数投影同步。
步骤三、将四维激光超混沌系统从实数域扩展到复数域上，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统；
所述四维激光超混沌系统为：
Figure BDA0002658553920000081
其中，x1,x2,x3,x4均为激光系统在基波和二次谐波模式下的幅度，
Figure BDA0002658553920000082
分别表示x1,x2,x3,x4对应的状态变量，f0,f1,f2,Ω均为实常数，f1,f2均为激光系统中的阻尼常数，f0[1+sin(Ωt)]为激光系统中的外场振幅。
以上述四维激光超混沌系统为基础，构造激光复混沌系统模型。将四维激光超混沌系统的状态变量x1,x2,x3从实数域扩展到复数域上，令x1＝y1+jy2，x2＝y3+jy4，x3＝y5+jy6，x4＝y7，
Figure BDA0002658553920000083
并将四维激光超混沌系统的实部和虚部分离后，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统：
Figure BDA0002658553920000084
其中，
Figure BDA0002658553920000085
分别表示y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7对应的状态变量。
当f0＝1，f1＝0.01，f2＝0.01，Ω＝0.6时，该系统相图具有蝴蝶结型混沌吸引子，如图2所示。采用雅阁比方法计算系统的Lyapunov指数，得到LE1＝0.119665，LE2＝0.074812，LE3＝0.019365，LE4＝-0.100009，LE5＝-0.059122，LE6＝-0.162011，LE7＝-0.147536，其Lyapunov指数仿真结果如图3所示。混沌系统的一个典型特征就是其Lyapunov维数为分数维。计算该系统的Lyapunov维数为DL＝3.45626635，进一步说明在此参数下系统是混沌的。
从激光复混沌系统的耗散性、Lyapunov指数谱、相图及分叉图分析激光复混沌系统的动力学特性。
耗散性分析：该激光复混沌系统的向量场散度：
Figure BDA0002658553920000091
当
Figure BDA0002658553920000092
即4f1+3f2>0时系统是耗散的，系统的轨迹会以指数形式趋于体积为0的极限集
Figure BDA0002658553920000093
并且系统的运动最终会固定于吸引子。对于本发明设计的激光复混沌系统，当f1＝0.01，f2＝0.01时，
Figure BDA0002658553920000094
满足耗散性条件，即当t→∞时，系统的轨迹最终以指数速率渐近地收缩到一个特定的零体积的极限集中，并最终被固定在混沌吸引子上。
Lyapunov指数谱及分岔图：用Lyapunov指数谱及分岔图可以对照分析系统参数改变对系统动力学行为的影响。下面分别分析参数Ω和f1在一定范围内改变时，系统动力学行为的变化。
(1)固定参数f0＝1，f1＝0.01，f2＝0.01，改变Ω，Ω∈(0,10)。激光复混沌系统的Lyapunov指数谱及分岔图如图4所示。由图4可知，当Ω∈(0,0.3)时，系统的Lyapunov指数有四个正值，三个负值，系统是超混沌的；当Ω∈(0.3,4.4)时，系统的Lyapunov指数有三个正值，四个负值，系统超混沌的；Ω∈(4.4,10)时，系统的Lyapunov指数有三个正值，一个零值，三个负值，是超混沌的。
(2)固定参数f0＝1，f2＝0.01，Ω＝0.6，改变f1，f1∈(0.003,1)。激光复混沌系统的Lyapunov指数谱及分岔图如图5所示。由图5可知，当f1∈(0.003,0.17)时，系统的Lyapunov指数有两个正值，一个零值，四个负值，系统是超混沌的；当f1∈(0.17,0.3)时，系统的Lyapunov指数有两个正值，五个负值，系统是超混沌的；当f1∈(0.3,1)时，系统的Lyapunov指数有一个正值，六个负值，系统是混沌的。
步骤四、利用激光复混沌系统对点乘函数投影同步模型进行仿真。为了验证上述方案的正确性，将激光复混沌系统分别作为驱动系统和响应系统进行仿真实验。
第一个驱动系统的初始值取为：
(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),x7(0))＝(-3,2,-0.6,0.5,-2,3,0.8)；
第二个驱动系统的初始值取为：
(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0),y7(0))＝(-0.3,2,0.6,5,-0.9,3,1)；
响应系统的初始值取为：
(z1(0),z2(0),z3(0),z4(0),z5(0),z6(0),z7(0))＝(0.3,2,1.5,1,-0.8,1,2)；
函数比例因子为m(t)＝2+sin(t)；取λi＝ρi＝5,i＝1,2,…,n。驱动系统与响应系统的同步状态曲线如图6所示，同步误差e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7随时间t的变化曲线如图7所示，由仿真结果可知，在控制器的作用下，驱动系统与响应系统的同步状态曲线趋于一致，同步误差e逐渐趋近于零，即驱动系统和响应系统通过滑模控制实现了点乘函数投影同步。
本发明以向量点积运算为基础，定义了一种新的点乘函数投影同步方式，基于滑模控制思想，实现了两个驱动系统和一个响应系统的点乘函数投影同步。另外，在激光实混沌系统的基础上构建了一个蝴蝶结型激光复混沌系统，利用耗散性、Lyapunov指数谱、相图及分叉图等对其基本动力学特性进行了分析。随着参数变化，该系统呈现复杂的混沌、超混沌现象，非常适用于混沌加密领域。最后，以新构造的激光复混沌系统为例的仿真实验验证了理论方法的有效性。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，其步骤如下：
步骤一、基于向量点积运算设计点乘运算，并利用点乘远算构建同步系统的状态误差模型，其中，同步系统包括第一驱动系统、第二驱动系统和响应系统；
步骤二、根据同步系统的状态误差模型设计滑模控制器，并将滑模控制器加入响应系统中，得到点乘函数投影同步模型；
步骤三、将四维激光超混沌系统从实数域扩展到复数域上，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统；
步骤四、利用激光复混沌系统对点乘函数投影同步模型进行仿真。
2.根据权利要求1所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述点乘运算为：x·y＝[x1y1,x2y2,...,xnyn]T，其中，·表示向量x＝[x1,x2,...,xn]T和向量y＝[y1,y2,...,yn]T对应项的乘积。
3.根据权利要求2所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述同步系统的状态误差模型为：
e(t)＝z-m(t)x·y，
其中，m(t)为连续可微函数比例因子，e(t)＝[e1(t),e2(t),...,en(t)]T为误差向量，z＝[z1,z2,...,zn]T为响应系统的状态变量，t表示时间。
4.根据权利要求3所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述第一驱动系统为：
Figure FDA0002658553910000011
其中，
Figure FDA0002658553910000012
表示第一驱动系统的状态变量，f(x)＝[f(x)1,f(x)2,...,f(x)n]T是非线性连续函数；
所述第二驱动系统为：
Figure FDA0002658553910000013
其中，
Figure FDA0002658553910000014
表示第二驱动系统的状态变量，g(y)＝[g(y)1,g(y)2,...,g(y)n]T是非线性连续函数；
所述响应系统为：
Figure FDA0002658553910000015
其中，
Figure FDA0002658553910000016
表示第响应系统的状态变量，h(z)＝[h(z)1,h(z)2,...,h(z)n]T是非线性连续函数，u＝[u1,u2,...,un]T为滑模控制器。
5.根据权利要求4所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，同步系统的状态误差模型需满足的条件为：
Figure FDA0002658553910000017
6.根据权利要求1所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述滑模控制器为：
Figure FDA0002658553910000021
其中，ui表示滑模控制器，h(zi)表示响应系统中的非线性连续函数，
Figure FDA0002658553910000022
表示函数比例因子的导数，xi表示第一驱动系统，yi表示第二驱动系统，m(t)表示函数比例因子，f(xi)表示第一驱动系统中的非线性连续函数，g(yi)表示第二驱动系统中的非线性连续函数，λi表示滑模面参数，ei表示同步误差，ηi表示任意正常量，si表示滑模面函数，ρi表示任意正常量，sgn(·)为符号函数，i＝1,2,...,n，n表示系统维数。
7.根据权利要求1所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述四维激光超混沌系统为：
Figure FDA0002658553910000023
其中，x1,x2,x3,x4均表示激光系统在基波和二次谐波模式下的幅度，
Figure FDA0002658553910000024
分别表示x1,x2,x3,x4对应的状态变量，f0,f1,f2,Ω均为实常数，f1,f2为激光系统中的阻尼常数，f0[1+sin(Ωt)]为激光系统中的外场振幅。
8.根据权利要求7所述的基于蝴蝶结型激光复混沌系统的点乘函数投影同步方法，其特征在于，所述具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统的获得方法为：将四维激光超混沌系统的状态变量x1,x2,x3从实数域扩展到复数域上，令x1＝y1+jy2，x2＝y3+jy4，x3＝y5+jy6，x4＝y7，
Figure FDA0002658553910000025
并将四维激光超混沌系统的实部和虚部分离后，得到具有蝴蝶结型混沌吸引子的激光复混沌系统：
Figure FDA0002658553910000026
其中，
Figure FDA0002658553910000027
分别表示y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7对应的状态变量。
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