CN112034137B - 饱和土层上刚性圆板接触应力和竖向动力柔度的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种饱和土层上刚性圆板接触应力和竖向动力柔度的确定方法，具体为：建立基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程；根据基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程进行Helmholtz势函数分解并采用Fourier级数展开和Hankel积分变换进行求解；建立描述圆板和土体动力相互作用的第二类耦合Fredholm积分方程；求解该积分方程，得到饱和土层上刚性圆板接触应力以及板‑土竖向动力柔度。本发明考虑板的渗透性以及土层厚度的影响，准确性更高，能够定量确定板底孔隙流体压力，得到更符合实际的板‑土竖向动力柔度。

Description

饱和土层上刚性圆板接触应力和竖向动力柔度的确定方法

技术领域

本发明属于岩土工程技术领域，涉及一种饱和土层上刚性圆板接触应力和竖向动力柔度的确定方 法，尤其涉及一种有限厚度饱和土层上不透水的刚性圆板的接触应力和竖向动力柔度的确定方法。

背景技术

在应用力学和岩土工程领域，有关板结构与周围材料的动力相互作用的研究一直是颇受关注的课 题，用于确定板在土体上的动力柔度，动力柔度定义为板位移除以板上的作用力，通常是一个复数， 其实部表示板实际的柔度，虚部表示板和土体系统的阻尼效应。在结构设计中，动力柔度非常重要， 可以将板和土体系统等效简化为一个弹簧和阻尼器，这里的弹簧系数就是柔度实部，阻尼器系数就是 柔度虚部，然后作用于上部结构之下，表示板和土体系统对上部结构的作用。把板周围材料看作纯弹 性固体或粘弹性固体(Celep和Güler 2007；Adam等2009；Liou 2009；Senseney等2017)，外荷载 作用下板的振动问题已经用经典的处理方法进行了广泛的研究(Awojobi 1972；Luco 1976；Pak和 Gobert 1991)。自Biot(1956)的开创工作以来，利用单相固体发展起来的理论和方法，对板与饱和 多孔介质材料耦合动力响应的研究也经历了一个快速发展的时代。

对于这类板与饱和多孔材料耦合振动问题，最常用的处理方法是将板简化为可透水结构，然后采 用不同的力学模型进行研究。例如,Philippacopoulos(1989),Kassir等(1989，1996),Jin和Liu(2000), Chen和Chen(2002),Chen等(2007),Chen(2009),Cai等(2010),Wang等(2011)研究了在多孔弹性半无 限半空间上的刚性或柔性圆盘在垂直、水平、摇摆荷载或入射弹性波作用下的振动。以板为界面，将 半空间分为上下两个区域，He等(2013),He和Wang(2013),Li等(2019),Feng等(2020)考虑了埋在多 孔半空间里的刚性圆板或任意形状板基础在竖向或水平荷载作用下的振动问题，将周围材料视为薄的 多孔介质层，Wang和Chen(2005),Chen等(2006),Zhang等(2008),Wang等(2020)研究了有限多孔弹性土层中刚性圆板或柔性板在扭转或竖向荷载作用下的动力响应。另外，采用平面应变假设，Kassir 和Xu(1988),Ma等(2009，2013),Bougacha等(1993)研究了饱和半空间或有限土层上的无限长条形基 础在水平、垂直或摇摆作用下的动力响应。由于采用了板的透水假设，上述研究无法得到板-土的接 触孔隙流体压力，无法反映板与周围介质界面的真实接触行为，且该假设的影响和适用性亦不清楚。

更符合实际和需要较多数学处理的情况是将板考虑为不透水结构。例如,Halpern和Christiano (1986),Gomilko等(1999),Jin(1999),Jin和Liu(2000)研究了饱和多孔弹性半空间中刚性和弹性板在 摇摆和垂直载荷作用下的振动。Zeng和Rajapakse(1999),Senjuntichai和Sapsathiarn(2003),He等(2012), He(2016)考虑了嵌在多孔弹性半空间中的刚性或弹性圆板在垂直或摇摆载荷作用下的稳态振动。尽 管这些研究中板被视为了不透水结构，但难以准确反映板和土体接触界面上的水力行为；在这些研究 中土体介质被认为是充满液体的多孔弹性半空间或全空间，当土体的厚度足够大时是可行的。

然而，在实践中发现许多多孔介质系统是下卧坚硬基岩(可视为刚性基础)的有限厚度的多孔弹 性介质层，此类刚性基础的边界条件会导致相关物理系统产生包含共振和截止频率波动力学现象的动 态行为，由于这些几何形状和边界条件的显著差异，现有方法难以准确确定有限厚度土体上刚性圆板 接触应力和竖向动力柔度。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提供一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，考虑板的渗透性 以及土层厚度的影响，准确性更高，能够定量确定板底的孔隙流体压力，从而判断砂土液化情况，适 用性强，解决了现有技术中存在的问题。

本发明的另一目的是，提供一种饱和土层上刚性圆板的竖向动力柔度的确定方法，得到更符合实 际的板-土竖向动力柔度。

本发明所采用的技术方案是，一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，具体按照以下步骤 进行：

S1，下卧刚性基底的饱和多孔弹性层上设有不透水的刚性圆板，刚性圆板顶部受到竖向时谐位移 荷载，以刚性圆板的中心为坐标圆心建立圆柱坐标系，L表示土层厚度，r表示径向坐标，θ表示环 向坐标，z表示竖向坐标；建立基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成 土层的运动方程；

S2，根据基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程进 行Helmholtz势函数分解，将土骨架在柱坐标系下的径向位移、环向位移、竖向位移，孔隙流体在柱 坐标系下的径向位移、环向位移、竖向位移，土骨架的径向有效应力分量、环向有效应力分量、竖向 有效应力分量，孔隙流体压力分别沿θ方向进行Fourier级数展开，然后再对其进行Hankel变换，得 到饱和土层的位移、应力与任意分布的外荷载分量的关系；

S3，将Hankel积分变换后的相应量进行Hankel逆变换得到刚性圆板底处土骨架竖向有效应力和 孔隙水压力分量，根据刚性圆板与饱和土层接触面处的位移和应力连续条件建立一对耦合的描述不透 水的刚性圆板和饱和土体竖向动力相互作用的第二类Fredholm积分方程；求解该积分方程，得到接 触面上的土骨架竖向有效应力和孔隙水压力，即饱和土层上刚性圆板接触应力。

一种饱和土层上刚性圆板的竖向动力柔度确定方法，具体按照以下步骤进行：

板-土层系统的竖向动力柔度系数C_V为：

式中，R_b为板底土反力，为板下土体总应力的表面积分，即

Δ_v为板 的竖向位移幅值；

定义板-土层系统的柔度系数的无量纲形式为：

本发明的有益效果是：

1.本发明提出的动力柔度系数是对应不透水的刚性圆板在有限厚度饱和土层上的动力柔度，可以 考虑板的渗透性以及土层厚度的影响，能够更准确地反映渗透性大的饱和砂土体系和有限厚度饱和土 层与不透水的刚性圆板的接触应力和竖向动力柔度，该接触应力能够准确确定板和土体在接触面的应 力大小。

2.本发明能够定量确定板底的孔隙流体压力，从而判断砂土液化情况；饱和土体和板的接触面上 除了有效应力外还有孔隙水压力，这个对板结构下砂土的液化分析很重要。对于饱和砂土层上有刚性 圆板基础的问题，基础上受到持续的动力外荷载作用，基础底部的孔隙水压力将会增大，当增大到一 定程度时会引起砂土液化，土体的承载能力失效。

3.本发明的确定方法可以覆盖现有多孔、纯弹性半空间或有限厚度土层，或刚性圆板为透水或不 透水结构的刚性圆板和土体系统的静力或动力解，具有广泛的应用范围。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所 需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本 领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1是本发明实施例中不透水的刚性圆板-饱和土体系统耦合振动力学模型。

图2a-2d是纯弹性半空间本发明退化解和Pak(1991)解的比较。

图3是饱和多孔弹性半空间上透水刚性圆板本发明退化解和Cai和Hu(2010)的解的比较。

图4是多孔弹性层上不渗透刚性圆板的轴对称ADINA有限元模型。

图5a-5b是饱和土层上不透水的刚性圆板的本发明解与相应有限元结果的比较。

图6a-6h是圆板和土层在不同激励频率下的接触应力。

图7a-7h是不同流固耦合系数下圆板和土层的接触应力。

图8a-8h是圆板和土层体系的位移和应力。

图9a-9h是有限饱和土层上不透水板和透水板的动力柔度差异。

图10a-10h是饱和弹性半空间上不透水的圆板和透水圆板的动力柔度差异。

图11a-11d是土层厚度对圆板动力柔度的影响。

图中，1.刚性圆板，2.饱和土层，3.刚性基底。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述 的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技 术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明通过研究下卧基岩有限厚度的饱和土层上不透水的刚性圆板在竖向稳态荷载作用下的耦 合稳态振动，得到了土体-板系统的动力柔度、位移、应力，特别是包含有效应力和孔隙水压的接触 应力的确定方法。首先采用Boer建立的线性多孔弹性介质模型描述土体的动力学行为。然后采用4 个标量位移势函数和Fourier-Hankel联合变换求解土体的运动方程，并施加板-土体系统的边界和连续 性条件，得到了一对将板和土体相互作用公式化的耦合的第二类Fredholm积分方程，该方程可采用 数值方法进行计算，得到有限厚度饱和土层上不透水的刚性圆板的接触应力和竖向动力柔度。将本发 明的确定结果与现有技术及相应的FEM(Finite Element Model，有限元模型)计算结果进行比较，证 明了本发明确定方法准确性高，可以覆盖现有多孔、纯弹性半空间或有限厚度土层，或刚性圆板为透 水或不透水结构的刚性圆板和土体系统的静力或动力解，具有广泛的应用范围。

下卧刚性基底3的饱和土层2上设有不透水的刚性圆板1，饱和土层2为饱和多孔弹性层，并受 到竖向时谐位移荷载p(t)＝Δ_ve^iωt，其中

Δ_v为板的竖向位移幅值，ω为激振圆频率；t表 示时间，e为常数，i为虚数单位。竖向时谐位移荷载作用的耦合振动力学模型，如图1所示，使用了 圆柱坐标系，以刚性圆板的中心为坐标圆心，L表示土层厚度，r表示径向坐标，θ表示环向坐标，z 表示竖向坐标。假设孔隙流体不可压缩，振动变形无穷小，土层与刚性圆板完全粘结。

土体运动方程和边界条件：

用Boer多孔弹性介质模型(2000)描述了由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成的土层的 动力学行为，并给出了其运动方程见式(1a)-(1c)：

固体骨架的线性动量平衡方程：

孔隙流体的线性动量平衡方程：

液体-固体骨料的质量平衡方程：

其中，▽表示梯度算符，λ^s和μ^s表示土骨架的Lame弹性常数，是领域内公知，通过土骨架剪 切模量和泊松比共同表示；ρ^s＝n^sρ^sR，ρ^f＝n^fρ^fR，ρ^sR表示土骨架的真实密度，ρ^fR表示孔隙 流体的真实密度，n^s为土骨架的体积分数，n^f为孔隙流体的体积分数，且n^s+n^f＝1。ρ^f表示孔 隙流体的体积密度，ρ^s表示土骨架的体积密度；

为流固耦合系数，表示土骨架和孔隙流 体的相互作用，k_f为Darcy渗透系数，g为重力加速度；p^f表示孔隙流体压力，u_s为固体骨架的 位移矢量，u_f为液体的位移矢量，位移矢量符号上的一点表示这些符号对时间t的一次微分，位移矢 量符号上的两点表示这些符号对时间t的二次微分。

从图1可以看出，在不失一般性的情况下，作用于土层表面的不透水的刚性圆板的作用应力可视 为分别在r,θ和z方向上的有效应力分量P,Q和R，以及孔隙流体压力T；因此，在土层表面 z＝0的应力条件可被表示如下：

其中，

和

表示该土层在r,θ和z方向上的有效应力分量，π_s为荷载作用区域；对 于土体而言，P,Q，R，T属于圆板对土体的作用力，可理解为外荷载。其中P,Q和R表示有 效应力的三个分量，由土骨架承受，T表示孔隙流体压力，由孔隙流体承受。

同时，由于土层底部与刚性基岩粘结，在土层底部z＝L的位移条件可被写为：

u_s(r,θ,L)＝v_s(r,θ,L)＝w_s(r,θ,L)＝w_f(r,θ,L)＝0. (3)

其中u_s,v_s和w_s表示土骨架在r,θ和z方向上的位移分量，w_f为孔隙流体在z方向上的位移 分量；u_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处(z＝L)的径向位移，v_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处(z＝L) 的环向位移，w_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处(z＝L)的竖向位移，w_f(r,θ,L)表示孔隙流体在基岩 处(z＝L)的竖向位移。

饱和多孔介质的一般解：

由于所施加的荷载是时间简谐函数e^iωt，所以所有变量都有这样的形式

表f的幅 值；对于时域谐波荷载作用下的稳态振动问题，各种变量有

的形式，因此

原来的量，对时间求导后的量，都包含时间因 子e^iωt，将这些量代入式(1a)-(1c)，e^iωt可被消掉，即可得到公式(4a)-(4c)：

为简单起见，时间项e^iωt在以后的分析中被删除，式(1a-1c)可以改写为：

采用Helmholtz势函数分解，位移向量可分解为：

式中，

分别为土骨架和孔隙流体的标量势函数，H_s为土骨架的矢量势函数，H_f为孔隙 流体的矢量势函数。

将式(5a-5b)带入式(4a-4c)得到：

μ^s▽²H_s+(ρ^sω²-iωs_v)H_s+iωs_vH_f＝0； (6d)

(ρ^fω²-iωs_v)H_f+iωs_vH_s＝0。 (6e)

联立式(6d)和(6e)得到：

H_f＝aH_s； (7b)

式中k₃表示剪切波，

ρ＝ρ^s+ρ^f,和

ρ表示土骨架和孔隙流体混合物的密度。

根据Pak的研究(1987)，在柱坐标系中，土骨架的矢量势函数H_s可被进一步写为

H_s(r,θ,z)＝χ_s(r,θ,z)e_z+▽×(η_s(r,θ,z)e_z), (8)

式中，χ_s,η_s均为是矢量势函数H_s的分量，为数学、力学领域内的Helmholtz势函数分解，在 柱坐标系统中，e_z为沿z正方向的单位向量。

将式(8)带入式(7a)能够得到土骨架中的剪切波的波动方程：

式(6a)和(6b)可用矩阵形式写为：

其中

从式(10)可以看到

是耦合在一起的，不方便求解，为解耦式(10)对于矩阵E的特征值分析 可采用如下表达式：

ET＝TΛ, (11)

其中，T为矩阵E对应于特征值矩阵Λ的特征向量；

Λ可写为：

其中

和

为E的特征值，可直接通过数学类软件比如Matlab等方便求得；

和

可被表示为：

其中，φ_s表示解耦后的土骨架的标量势函数，φ_f表示解耦后的孔隙流体的标量势函数；且

t₁₁、t₁₂、t₂₁、t₂₂是矩阵T的元素，前面已知T为矩阵E对应于特征值矩阵Λ的 特征向量。

将式(13)代入式(10)，然后联立式(11)和(12)可得

用T^-1左乘式(14)得到：

通过式(11)-(14)的特征值分解，就可以将原来耦合的方程组解耦如式(15)-(16)所示， 便于求解φ_s和φ_f。

式(15)可进一步写为：

其中

式(16)表示分别产生于土骨架和孔隙流体中 的压缩波，即式(16)的第一公式表示产生于土骨架中的压缩波，式(16)的第二公式表示产生于孔 隙流体中的压缩波。

联立式(5a-5b),(7b),(8)和(13),位移和势函数间的关系可表示为：

及

代表土骨架在柱坐标系r，θ，z方向上的径向位移幅值，

代表土骨架在柱坐标系r，θ， z方向上的环向位移幅值，

代表土骨架在柱坐标系r，θ，z方向上的竖向位移幅值，均为土骨架 位移向量幅值

的元素；

代表孔隙流体在柱坐标系r，θ，z方向上的径向位移幅值，

代表孔 隙流体在柱坐标系r，θ，z方向上的环向位移幅值，

代表孔隙流体在柱坐标系r，θ，z方向上 的竖向位移幅值，均为孔隙流体位移向量幅值

的元素。

采用沿θ方向的Fourier展开，4个势函数φ_s,φ_f,χ_s和η_s可被写为：

其中n表示整数，注意在后续分析中，相关的位移和应力也以同样的方式展开。

采用函数级数e^inθ的正交性，由式(9)和(16)得：

▽表示梯度算符，▽²表示拉普拉斯算子，函数级数e^inθ的正交性均属于本领域公知。

任意函数f(r)的第n阶Hankel变换定义为

及逆变换：

其中J_n(·)为第n阶1类Bessel函数。ξr、ξ均属于Bessel(贝塞尔)函数的变量，无明确物理 意义，属于数学领域内公知。

对式(20)进行n阶Hankel变换可得：

式(23)的通解为：

φ_s、φ_f、χ_s、η_s先经过沿θ方向的Fourier展开，然后再经过Hankel积分变换后得到

其中

且有 Real(α)≥0,Real(β)≥0和Real(γ)≥0；A_n～H_n为需由边界条件确定的未知常数，可通过给定 的边界条件推导得到，见后续分析。α、β、γ属于数学推导中得到的量。

在本发明中φ_s、φ_f、χ_s、η_s、位移、应力等量先经过沿θ方向的Fourier展开，然后再经过Hankel 积分变换处理是相同的，比如

可称为土骨架径向位移u_s的编号为n的Fourier级数分量u_sn在进行n-1阶的Hankel积分变换后的变型量，其它的类似如此表达；n表示整数，比如 0,±1,±2,±3……，变量右下角的n是Fourier级数展开时公式里的，表示把原来的量分解成了2n+1 个分量；变量右上角的n、n-1或n+1为Hankel积分变换中积分变换的阶数。

Hankel变换域内的位移与势函数的变换关系可表示为：

式(25)表示土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；式(25)的 前两个公式是土骨架径向位移和环向位移联合在一起的表达式，式(25)的第三个公式是土骨架竖向 位移的表达式；

分别表示u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)被Fourier 展开和Hankel变换后的位移量。

式(26)表示孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；式(26) 的前两个公式是孔隙流体径向位移和环向位移联合在一起的表达式，式(26)的第三个公式是孔隙流 体竖向位移的表达式；

分别表示u_f(r,z)、v_f(r,z)、w_f(r,z)被 Fourier展开和Hankel变换后的位移量。

先对式(17)和(18)进行形如式(19)沿θ方向的Fourier展开，然后再对其进行Hankel变换 即可得到式(25)、式(26)。式(25)表示土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量， 式(26)表示孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量，均表示与势函数的相关关系。

应力和势函数的关系为：

其中

和

式(27)表示土骨架应 力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；

分别表示

p^f(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位 移量。

土骨架的变形是微小变形，因为饱和土运动方程组式(1a-1c)就是基于线弹性本构关系和微小变 形的几何关系才能得到。式(27)通过结合式(25)-(26)以及饱和土的线弹性本构关系和微小变 形几何关系以及式(6c)即可得到。式(27)表示土骨架有效应力分量和孔隙水压力被Fourier展开 和Hankel变换后得到的量，仍然表示与势函数的相关关系。通过先求解得到势函数式(24)，然后 再根据这些公式反推回去得到最初要求解的应力的量。

联立式(2-3)和(24-27)，位移和应力在变换域内的解可推导为：

根据式(28-30)能够得到γ₁(ξ,z)～γ₂₄(ξ,z)，γ₁(ξ,z)～γ₂₄(ξ,z),X_n,Y_n,Z_n,和W_n，属于数 学推导中得到的量。式(28-30)为任意分布荷载源下的饱和土体的广义解，该广义解为后续推导求解饱 和土上刚性圆板竖向动力相互作用中的接触应力和动力柔度的基础。式(28-30)中的系数如下：

式中

R＝(a₇a₁₃-a₁₁a₁₂)b₂t₁₁-(a₇a₁₀-a₈a₁₁)[(1+e^-2αL)a₁a₇-a₉a₁₂t₁₁]；

b₁＝(a₇a₁₃-a₁₁a₁₂)(a₈e^-γL-μ^sa₇)-(a₇a₁₀-a₈a₁₁)a₁₂e^-γL；

b₂＝[a₄+a₃e^-2αL-4μ^sξ²(γ²+ξ²)e^-(α+γ)L]a₇-a₈a₉；

b₃＝b₂a₁₂t₁₁e^-γL-[(1+e^-2αL)a₁a₇-a₉a₁₂t₁₁](a₈e^-γL-μ^sa₇)；

b₅＝(a₇a₁₃-a₁₁a₁₂)e^-αL+(t₂₂-at₁₂)β[a₉t₁₁(a₁₃+a₁₂e^-βL)-a₁(1+e^-2αL)(a₁₁+a₇e^-βL)]；

b₆＝(a₇a₁₀-a₈a₁₁)a₇e^-αL+(t₂₂-at₁₂)β[a₉(a₇a₁₀-a₈a₁₁)-b₂a₁₁]t₁₁-(t₂₂-at₁₂)βa₇b₂t₁₁e^-βL；

以及

a₉＝2ξ²[(γ²+ξ²)e^-αL-2αγe^-γL]+2ξ²[(γ²+ξ²)e^-αL+2αγe^-(2α+γ)L]-2ξ²(e^-αL+e^-(α+2γ)L)(γ²+ξ²)；

a₁₂＝a₂(t₂₁-at₁₁)αe^-βL-a₁(t₂₂-at₁₂)βe^-αL；

a₁₃＝a₂(t₂₁-at₁₁)α+a₁(t₂₂-at₁₂)βe^-(α+β)L；

式(28-30)表示的是经过Fourier级数展开和Hankel变换后的位移、应力与任意分布的外荷载分量 (包含土骨架有效应力分量和孔隙水压力)的关系式。这是广义的饱和土层的解，是后续板和土体动 力相互作用的确定基础。解中包含了刚性基岩的影响，且通过设置土层厚度较大还可方便地退化为无 限半空间土体；外荷载被表示为分离的有效应力和孔隙水压力分量，且在解中被拆分表达，意义明确 且方便使用。

刚性圆板与饱和土层的动力相互作用：

如图1所示，在竖向荷载作用下，板-土系统关于z轴轴对称，则板下土体的环向有效应力为零。 为方便起见，忽略板下的径向有效应力(此时亦关于z轴轴对称，对板-土系统的竖向振动影响很小， 为后续分析方便可以忽略)，即假设圆板与土层为径向无摩擦接触。同时，也假定该土层表面在板外 面积r＞r₀为自由和透水的，在板内面积0≤r≤r₀是不透水的；因此，在土层表面z＝0的混合边界 条件可以表示为：

在r＞r₀应力边界条件为，

在0≤r≤r₀位移边界条件为，

其中r₀为板的半径，Δ_v为板的竖向位移幅值，为常数；

注意在0≤r≤r₀范围内的土体竖向有效应力和孔隙流体压力仍然为未知数，这可将上述混合边 界条件式(31)和(32)代入到式(28-30)中求解得到；首先，从前面的边界条件方程(28-32)可推导得到 对偶积分方程为：

J₀表示0阶的第一类贝塞尔函数，Z₀与圆板底面的竖向有效应力相关，为其在推导过程中的一 个变型，W₀与接触面孔隙水压力相关，为其在推导过程中的一个变型，具体表达式见式A1-A24(相 应的是W_n和Z_n，即此时令n＝0)。

首先将式(31)和(32)进行θ方向的Fourier级数展开，然后进行0阶的Hankel变换，将变换 后的相应量结合式(28)-(30)并进行Hankel逆变换即可得到式(33)-(36)。通过有效应力原理 将板底土骨架有效应力和孔隙水压力分离开建立方程从而推导建立了一对耦合的描述不透水的刚性 圆板和饱和土体动力相互作用的对偶积分方程，该方程将板底的孔隙水压力包含其中，可进行求解。 该方程为一对耦合的对偶积分方程，是通过板的边界条件式(31)和(32)推导得到的，描述了板与 饱和土的动力相互作用。

式(33-36)可被写为：

以及

其中，N₃(ξ)＝ξZ₀；N₄(ξ)＝ξW₀；

N₃(ξ)、N₄(ξ)、l₆-l₁₀属于数学推导中得到的量。

式(37)-(40)为对偶积分方程式(33)-(36)的变型公式，仍然等价于式(33)-(36)，为 了后续计算方便和简洁进行了变型处理。

采用Sonine积分(1963)，式(37-40)可以转换成：

以及

式(41)-(44)属于式(37)-(40)的变型，仍然等价于原式(33)-(36)，采用过渡变量θ₃,θ₄代替原来的变量N₃,N₄；N₃与N₃(ξ)等同，N₄与N₄(ξ)等同，后者说明其是ξ的函数。

式(45)-(46)属于对原型公式的变型处理，得到形式简洁的Fredholm积分方程式(49)和(50)； 相当于先求解中间变量θ₃,θ₄，再根据原来的定义求解原来的应力量，前后均是等价的。

采用Hankel逆变换，由式(45-46)得：

式(47-48)是对式(45)和(46)的等价转换，目的为了推导得到式(49)和(50)。

将式(47-48)带入式(41-42)给出了描述板与土层动力相互作用的第二类耦合Fredholm积分方程， 即

θ₃、θ₄分别与板土接触面上的土骨架有效应力和孔隙水压力相关。M₃(r,x)-M₆(r,x)称为核函 数，具体表达式如下：

和

为一个超几何函数。

K₄、K₅属于数学推导中得到的量。

阶的1类Bessel函数，

为

阶的1 类Bessel函数，变量为ξx。F为一个超几何函数，属于数学领域内公知的。

定义板-土层系统的柔度系数为：

式中，R_b为板底土反力，为板下土体总应力的表面积分，即

定义板-土层系统的柔度系数的无量纲形式可以写成：

板与土层的无量纲接触应力为：

表示土层在竖直方向上的有效应力分量，p^f表示孔隙流体压力；式中θ₃(r₀)表示圆板边缘 r＝r₀处θ₃(r)的值，θ′₃(x)为θ₃(x)对x的导数；

分别表示无量纲的土骨架竖向有效应力和 孔隙流体压力；因为本发明所研究的问题是竖向振动问题，存在对称性等条件，所以这个接触面上的 径向、环向有效应力为零。

l₆、l₁₀表示对应公式的极限，与土骨架的泊松比相关，反映材料的弹性性能；ξ表示Hankel积 分变换的积分变量，K₂(x,r)为数学推导中得到的量；ξ根据它在积分号里的取值范围进行变化。l₆、 l₁₀表示所示公式的极限，通常来讲直接推导得到极限值是很困难的，因为所示公式非常复杂。可以 通过所示公式和ξ的变化曲线图进行准确性判断，例如考察所示公式与ξ的变化关系图可以发现，实 际上当ξ增大到一定程度时，所示公式的值就变为直线了，不再变化，相当于达到了极限，故可取此 时的所示公式的值作为其极限。

和

为一个超几何函 数，Γ表示伽马函数。

得到θ₃和θ₄之后，根据式(47)和(48)得到N₃(ξ)和N₄(ξ)，而N₃(ξ)＝ξZ₀，N₄(ξ)＝ξW₀，即可得到Z₀和W₀，再相应地结合式(28)-(30)及式A1-A24就可以推导得到板-土耦合系统的位移 和应力为：

如式中积分号上下限所示，ξ取值为0至正无穷∞，下同；

v_s(r,z)＝0, (56)

v_f(r,z)＝0, (59)

板-土耦合系统的位移包括u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)、u_f(r,z)、v_f(r,z)、w_f(r,z)；板- 土耦合系统的应力包括

p^f(r,z)，包含饱和土层上刚性圆板接触应 力；本发明是先把接触应力作为未知量先求解获得，然后进一步求解得到板-土耦合系统的位移和应 力式(55)-(64)，从式(55)-(64)可以得到整个系统边界上的值，这个值需要与边界条件对应， 比如基岩处的位移应该为零等等；实际上板-土耦合系统的应力在接触面位置处的值等于接触应力。

式(53)和式(54)表示的是圆板和土体表面接触面上的竖向有效应力和孔隙水压力，范围被限 定在了圆板的底部位置。式(61)和式(64)表示的是整个土体系统的竖向有效应力和孔隙水压力， 可以看到其是坐标r,θ,z的函数(因为轴对称的关系，θ没有必要列出而被取消了)。当令r≤r₀,z＝0 时，我们能通过式(61)和式(64)得到板底的竖向有效应力和孔隙水压力，即此时式(53)和式(54) 的结果和式(61)和式(64)是一致的。本发明公式(28)-(30)除了研究竖向问题之外，还可以 用来研究水平、扭转、摇摆等问题。另外，除了板土接触面上，其它土体的位置比如土体内部包含的 径向、环向有效应力(应力张量包含六个分量)均可通过本发明的方法求得。

本发明的确定方法能够适用于现有多孔、纯弹性半空间或有限厚度土层、刚性圆板为透水或不透 水结构的刚性圆板和土体系统的静力或动力解，可分为4类情况及其组合形式，具体步骤如下(本发 明中所有公式凡是包含下述参数的都做如下变化)：

(1)纯弹性情况，基于本发明的决定方法，令孔隙流体密度和孔隙流体的体积分数n^f同时趋于 零时(ρ^fR→0,n^f→0)的极限。

(2)土层非常厚的半空间情况，基于本发明的决定方法，令土层厚度趋于无穷大时L→∞的极 限。

(3)圆板为透水结构的情况，基于本发明的决定方法，令表示接触面孔隙水压力的量等于零时 θ₄＝0的解。

(4)板土系统为静力状态的情况，基于本发明的决定方法，令激振频率趋于零时的ω→0极限。

通过数值算例分析，验证了所提出解的正确性以及研究了板和土层渗透性及土层厚度对板-土耦 合系统动力响应的影响。除另有说明外，该土层的计算参数见表1。

表1饱和土层-板系统的计算参数。

1.技术效果的比较和验证

实施例1，通过设置L→∞,ρ^fR→0和n^f→0，从而将本发明饱和土层上圆板的接触应力和 竖向动力柔度的确定简化为Pak(1991)研究的单相半空间上刚性圆板竖向振动的情况；然后比较了本 发明和现有技术在不同无量纲频率

下的核函数，如图(2a)和(2b)所示，其中Re 表示对应量的实部，Im表示对应量的虚部。图(2c)为板的静柔度比较，图(2d)为板的动柔度比较。从 图(2a)-(2d)可以看出，本发明与现有技术的确定结果很好地吻合；其中Re(-θ₃)、Im(-θ₃)根据 公式(49)-(50)得到；令式(52)中ω→0求动柔度C_V的极限可得到静柔度，具体可表达为

实施例2，设置L→∞和θ₄＝0(θ₄表示板和土体接触面上的孔隙水压力)，将本发明饱和土 层上圆板的接触应力和竖向动力柔度的确定简化为饱和半空间上可透水刚性圆板的竖向振动问题，并 与Cai和Hu(2010)确定的结果在不同的无量纲流固耦合系数

进行比较，如图3所示， 可以看出，本发明确定结果和Cai和Hu确定结果之间也有很好的一致性。

实施例3，利用有限元软件(ADINA)建立了与图1力学模型完全对应的有限元模型，并将计算结 果与本发明确定结果进行对比，如图4、图5a-5b所示，图5a-5b中纵坐标根据式(57)和式(64) 计算；在该有限元模型中，采用了表1中的材料参数，采用了9节点矩形单元，模型长度取为50m 可以消除边界效应。通过以上比较，本发明确定结果与现有技术及有限元计算结果吻合较好，说明本 发明的确定方法准确性高。

通过实施例1-3，说明采用本发明确定方法得到的饱和土层上圆板的接触应力和竖向动力柔度可 以覆盖现有多孔、纯弹性半空间或有限厚度土层，或刚性圆板为透水或不透水结构的刚性圆板和土体 系统的静力或动力解，具有广泛的应用范围。

2.圆板和饱和土层的接触应力

图6a-6h和图7a-7h为圆板与饱和土层界面接触应力(有效应力和孔隙流体压力)的径向分布。如图 6a-6h和图7a-7h，在圆板边缘处(r/r₀＝1.0)，无量纲接触应力是奇异的，孔隙流体压力为零，这与 预先设定的边界条件是一致的；由于圆板-土层系统的轴对称性，圆盘中心的曲线(即r＝0处的线条) 是平缓的，本发明得到的解的曲线在此处也是平缓的，与前述判断一致。

从图6a-6h和图7a-7h可知，孔隙压力对流固耦合系数和激振频率的变化非常敏感，并对它们的 变化有着复杂的响应；本发明揭示了现有技术未能揭示的以下现象：当激励频率较大或渗透系数k^f较 小时，板缘附近存在孔隙流体压力的应力集中现象，板-土体系统将产生不排水状态下的动力行为； 可以用来判断当激励频率较大或渗透率较小时，板缘附近孔隙水压会很大，可能导致土体液化失效等 问题，为实际工程人员提供更准确、更科学的理论依据，提高工程质量。

3.圆板和土层体系的位移和应力沿深度的变化

根据式(55)-(60)，采用Matlab等软件编程可对该位移和应力进行计算绘图，对本发明计算 结果进行判定，见图8a-8h；图8a-8h显示了板和土层系统的位移和应力的垂直分布，w_s表示土骨架 在z方向上的位移分量，w_f为孔隙流体在z方向上的位移分量，Δ_v表示圆板的竖向位移幅值，这些 量除以Δ_v表示对这些量进行标准化处理，表示单位圆板竖向位移幅值的作用下，板-土系统内部产生 的位移；可以看出，土骨架和孔隙流体的位移等于刚性圆板的位移，土骨架和孔隙流体的位移在基岩 处为零，与刚性基岩处没有变形和位移一致。此外，土骨架表面在圆板外的垂直有效应力和孔隙流体 压力为零，因为土层表面被假设为自由界面；说明本发明的这些结果符合指定的边界条件。

4.不透水和透水圆板动力柔度的比较

图9a-9h和10a-10h显示圆板的渗透性对板-土系统动力柔度的影响。可以观察到透水板和不透水 板的动力柔度存在显著差异，这反映了板的透水性假设对所得动力柔度影响较大。但随着流固耦合系 数的增加，它们的差异逐渐减少，并最终重叠在一起(比如

对应着k^f≤0.0116mm/s)。 这意味着对于渗透性较小的饱和粘土体系，则可以假设圆板为透水结构，从而进行简化得到其柔度函 数；但是，对于渗透性大的饱和砂土体系，如果假设圆板为透水结构，则与实际的动力柔度存在较大 偏差，不能准确获得饱和土上刚性圆板的动力柔度，从图上看是高估了动力柔度，从而低估了饱和土 和板作为一个整体抵抗变形的能力。

5.土层厚度对圆板动力柔度的影响

图11a-11d为土层厚度对板-土系统动力柔度的影响。从图中可以观察到有限饱和弹性土层存在共 振现象。随着土层厚度的增大，圆板-土层系统的共振频率减小，而其静力柔度增大。当厚度足够大 时(比如L/r₀≥50)，共振现象消失，此时有限层情况下的柔度曲线与半无限半空间的柔度曲线重合， 非常厚的土层可以简化为半空间处理。当刚性基岩埋置的位置比较浅时，则上面的土层就会比较薄， L/r₀较小时，实际柔度曲线与半空间处理结果差别较大，从图上看，二者的差异是很显著的，如果 简化为半空间处理对于动力柔度的计算准确性很差。本发明考虑了土层厚度L，只要改变土层厚度L 即可研究土层厚度的影响，这是因为土层底部是刚性基岩，会把波反射回来产生共振现象，即共振现 象产生于有限厚度的土体，而半空间解里是不包含土层厚度L的，相当于基岩埋深无限远，波传不到 那么远，不会反射波回来，所以半空间解自然不能反映共振现象。

现有技术仅为一个且只与土骨架有效应力相关的Fredholm积分方程，不含孔隙水压力，即不能 考虑接触面处的孔隙水压力，因而不能判断饱和砂土在接触面上的液化现象，且这样的简化对于动力 柔度的计算不够准确。针对这样的问题，本发明将板视为不透水结构处理，将土骨架的有效应力和孔 隙水压力分离开来考虑，得到了饱和土-板体系的动力柔度和接触面应力(土骨架有效应力和孔隙水 压力)，通过独立设置孔隙水压力项为零即可将板结构处理为透水结构，可以覆盖现有多孔、纯弹性 半空间或有限厚度土层，或刚性圆板为透水或不透水结构的刚性圆板和土体系统的静力或动力解，具 有广泛的应用范围，不需要再单独建立相应的数学、力学模型求解，使用方便。

本发明得到板和土体相互作用公式化耦合的第二类Fredholm积分方程，该积分方程为一对耦合 的Fredholm积分方程，该方程可采用数值方法进行计算，得到有限厚度饱和土层上不透水的刚性圆 板的接触应力和竖向动力柔度；包含了接触面上的有效应力和孔隙水压力，更符合实际。本发明还考 虑了土层厚度的影响，以往研究主要为半无限空间解，不能反映土层厚度的影响。通过本发明研究揭 示了板底孔隙水压力的分布特点，以及当激振频率增大或渗透系数减小时，可在板底靠近边缘附近产 生应力集中现象；对于动力柔度的规律性研究揭示了当土体渗透系数较小时为了简便可以将板简化为 渗透性板处理，而当土体渗透系数较大时，则不能如此简化，否则将会带来较大误差；还揭示了可以 把土层看成半空间便捷处理的土层厚度范围；如果没有采用本发明的确定方法上述技术效果难以得 到。饱和土体和刚性圆板的动力相互作用是非常复杂的接触问题，板底存在土骨架有效应力和孔隙水 压力的共同作用，以往的研究未能揭示板底孔隙水压力的分布特点，亦不能对其进行定量求解。并且 所采用的板可渗透的简化假设对板土动力柔度的影响尚不清楚，土层厚度的影响也不明晰。

本发明求解板基础的柔度系数，从而判断土体和板基础作为一个整体的承载能力，另外在设计中， 可将板和土体作为一个整体用所得到的动力柔度替换，作为上部结构的底部柔度输入进行分离设计， 使得复杂问题变得容易处理。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和 原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，其特征在于，具体按照以下步骤进行：

S1，下卧刚性基底的饱和多孔弹性层上设有不透水的刚性圆板，刚性圆板顶部受到竖向时谐位移荷载，以刚性圆板的中心为坐标圆心建立圆柱坐标系，L表示土层厚度，r表示径向坐标，θ表示环向坐标，z表示竖向坐标；建立基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程；

S2，根据基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程进行Helmholtz势函数分解，将土骨架在圆柱坐标系下的径向位移、环向位移、竖向位移，孔隙流体在圆柱坐标系下的径向位移、环向位移、竖向位移，土骨架的径向有效应力分量、环向有效应力分量、竖向有效应力分量，孔隙流体压力分别沿θ方向进行Fourier级数展开，然后再对其进行Hankel积分变换，得到饱和土层的位移、应力与任意分布外荷载分量的关系；

S3，将Hankel积分变换后的相应量进行Hankel逆变换得到刚性圆板底部土骨架竖向有效应力和孔隙水压力分量，根据刚性圆板与饱和土层接触面处的位移和应力连续条件建立一对耦合的描述不透水的刚性圆板和饱和土体竖向动力相互作用的第二类Fredholm积分方程；求解该积分方程，得到接触面上的土骨架竖向有效应力和孔隙水压力，即饱和土层上刚性圆板接触应力；

所述步骤S1中，时谐位移荷载p(t)＝Δ_ve^iωt，其中

Δ_v为板的竖向位移幅值，ω为激振圆频率；t表示时间，e为常数，i为虚数单位，e^iωt为时间简谐函数；

所述步骤S2中，根据基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程进行Helmholtz势函数分解，具体为：

固体骨架和孔隙流体的位移矢量幅值可分解为：

式中，

为土骨架标量势函数，

为孔隙流体的标量势函数，H_s为土骨架的矢量势函数，H_f为孔隙流体的矢量势函数；

表示梯度算符，

表示固体骨架的位移矢量u_s的幅值，

表示孔隙流体的位移矢量u_f的幅值；

将式(1-1a)-(1-1b)带入施加荷载是时间简谐函数e^iωt的基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程，可得：

(ρ^fω²-iωs_v)H_f+iωs_vH_s＝0 (1-2e)

其中，

表示拉普拉斯算子；λ^s和μ^s表示土骨架的Lame弹性常数，ρ^s表示土骨架的体积密度；ρ^f表示孔隙流体的体积密度，n^s为土骨架的体积分数，n^f为孔隙流体的体积分数，且n^s+n^f＝1；

为流固耦合系数，k_f为Darcy渗透系数，g为重力加速度；

表示孔隙流体压力p^f的幅值，

为土骨架标量势函数，

为孔隙流体的标量势函数，二者是耦合的；

在柱坐标系中，土骨架的矢量势函数H_s可被进一步表述为：

式中，χ_s、η_s均为矢量势函数H_s的分量，e_z为沿z轴正方向的单位向量；

根据式(1-2d)、(1-2e)和式(1-3)能够得到土骨架中的剪切波的波动方程：

式中，k₃表示剪切波，

中间变量

ρ＝ρ^s+ρ^f，ρ表示土骨架和孔隙流体混合物的密度；

式(1-2a)和(1-2b)可用矩阵形式写为：

其中

和

可被表示为：

其中，φ_s表示解耦后的土骨架的标量势函数，φ_f表示解耦后的孔隙流体的标量势函数；T为矩阵E对应于特征值矩阵Λ的特征向量，

其中λ₁ ²和λ₂ ²为矩阵E的特征值，

t₁₁、t₁₂、t₂₁、t₂₂是矩阵T的元素；

根据式(1-5)和(1-6)能够得到：

其中，中间变量

式(1-7)中的第一公式表示产生于土骨架中的压缩波，式(1-7)中的第二公式表示产生于孔隙流体中的压缩波；

采用函数级数e^inθ的正交性根据式(1-4)和(1-7)再进行n阶Hankel变换得到：

ξ属于Bessel函数的变量，根据式(1-8)求解势函数

联立式(1-1a)-(1-1b)，(1-2e)，(1-3)和(1-6)，得到位移和势函数的关系表示为：

及

其中，

代表土骨架在柱坐标的径向位移幅值，

代表土骨架在柱坐标系的环向位移幅值，

代表土骨架在柱坐标系的竖向位移幅值，均为土骨架位移向量幅值

的元素；

代表孔隙流体在柱坐标系的径向位移幅值，

代表孔隙流体在柱坐标系的环向位移幅值，

代表孔隙流体在柱坐标系的竖向位移幅值，均为孔隙流体位移向量幅值

的元素；

先对式(1-9)和(1-10)进行沿θ方向的Fourier展开，然后再对其进行Hankel变换即可得到式(1-11)、式(1-12)；

式(1-11)表示土骨架位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；其中，

分别表示u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)分别表示土骨架在r，θ和z方向上的位移分量；

式(1-12)表示孔隙流体位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；

分别表示u_f(r,z)、v_f(r,z)、w_f(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；u_f(r,z)、v_f(r,z)、w_f(r,z)分别表示孔隙流体r，θ和z方向上的位移分量；中间变量

通过结合式(1-11)-(1-12)以及饱和土的线弹性本构关系和微小变形几何关系以及式(1-2c)即可得到式(1-13)：

其中

和

式(1-13)表示土骨架应力被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；

分别表示

p^f(r,z)被Fourier级数展开和Hankel变换后的量；

和

分别表示土层在r，θ和z方向上的有效应力分量，p^f(r,z)表示空隙流体压力；

在土层表面z＝0的应力条件被表示如下：

其中，

表示土层表面的径向有效应力分量，

表示土层表面的环向有效应力分量，

表示土层表面的竖向有效应力分量，p^f(r,θ,0)表示土层表面的孔隙流体压力；π_s为荷载作用区域；对于土体而言，P,Q，R，T属于圆板对土体的作用力，为外荷载；其中P,Q和R表示有效应力的三个分量，由土骨架承受，T表示孔隙流体压力，由孔隙流体承受；

同时，由于土层底部与刚性基岩粘结，在土层底部z＝L的位移条件可被写为：

u_s(r,θ,L)＝v_s(r,θ,L)＝w_s(r,θ,L)＝w_f(r,θ,L)＝0. (1-15)

其中，u_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处z＝L的径向位移，v_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处z＝L的环向位移，w_s(r,θ,L)表示土骨架在基岩处z＝L的竖向位移，w_f(r,θ,L)表示孔隙流体在基岩处z＝L的竖向位移；

根据式(1-11)-(1-13)、式(1-8)、式(1-14a)-(1-14d)和式(1-15)能够得到经过Fourier级数展开和Hankel变换后的位移、应力与任意分布的外荷载分量的关系式，见式(1-16)-(1-18)，外荷载分量包含土骨架有效应力分量和孔隙水压力；

其中，根据式(1-16)-(1-18)能够得到γ₁(ξ,z)～γ₂₄(ξ,z),X_n,Y_n,Z_n,和W_n；中间变量

式中，

分别是P,Q，R，T首先经过沿θ方向的Fourier级数展开后，再进行Hankel积分变换得到的变型量；其中，n表示整数，变量右下角的n是Fourier级数展开时公式里的，表示把原来的量分解成了2n+1个分量；变量右上角的n、n-1或n+1为Hankel积分变换中积分变换的阶数；

所述步骤S3具体为：

在竖向荷载作用下，板-土系统关于z轴轴对称，则板下土体的环向有效应力为零，且土体的位移、应力变量均与环向坐标θ无关，忽略板下的径向有效应力，即假设圆板与土层为径向无摩擦接触；同时，也假定该土层表面在板外面积r＞r₀为自由和透水的，在板内面积0≤r≤r₀是不透水的；

因此，在土层表面z＝0的混合边界条件表示为：

在r＞r₀应力边界条件为，

在0≤r≤r₀位移边界条件为，

其中，r₀为板的半径，Δ_v为板的竖向位移幅值；

首先将式(1-19)和(1-20)进行θ方向的Fourier级数展开，然后进行0阶的Hankel变换，将变换后的相应量结合式(1-16)-(1-18)并进行Hankel逆变换即可得到式(1-21)-(1-24)；

J₀表示0阶的第一类贝塞尔函数；令n＝0时，根据

即可得到

即Z₀与圆板底面的竖向有效应力相关，W₀与圆板底面的孔隙水压力相关；

由于中间变量N₃(ξ)＝ξZ₀；N₄(ξ)＝ξW₀，且

根据式(1-21)-(1-22)、式(1-25)-(1-26)得到描述不透水的刚性圆板与饱和土层动力相互作用的第二类耦合Fredholm积分方程，即

其中，θ₃(r)与板土接触面上的土骨架竖向有效应力相关，为径向坐标r的函数；θ₄(r)与圆板底面的孔隙水压力相关，为径向坐标r的函数；中间变量

M₃(r,x)、M₄(r,x)、M₅(r,x)、M₆(r,x)称为核函数，具体表达式如下：

其中，中间变量

为一个超几何函数；

为

阶的1类Bessel函数，

为

阶的1类Bessel函数，变量为ξx；

根据式(1-27)-(1-28)得到式(1-29)-(1-30)；

其中，θ₃(r₀)表示圆板边缘r＝r₀处θ₃(r)的值，θ′₃(x)为θ₃(x)对x的导数；饱和土层上刚性圆板接触应力包括无量纲土骨架竖向有效应力

和无量纲孔隙流体压力

2.根据权利要求1所述的一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，其特征在于，根据所述式(1-21)-(1-24)得到描述不透水的刚性圆板与饱和土层动力相互作用的第二类耦合Fredholm积分方程，具体为：

首先，式(1-21)-(1-24)可被写为：

以及

式(1-31)-(1-34)为对偶积分方程式(1-21)-(1-24)的变型公式，仍然等价于式(1-21)-(1-24)；

采用Sonine积分，式(1-31)-(1-34)可以转换成：

以及

式(1-35)-(1-38)属于式(1-31)-(1-34)的变型，仍然等价于式(1-21)-(1-24)，采用过渡变量θ₃,θ₄代替原来的变量N₃,N₄；

采用Hankel逆变换，由式(1-39)-(1-40)得：

将式(1-41)-(1-42)带入式(1-35)-(1-36)，即得描述不透水的刚性圆板与饱和土层动力相互作用的第二类耦合Fredholm积分方程。

3.根据权利要求1所述的一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，其特征在于，所述基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程见式(1-43a)-(1-43c)：

固体骨架的线性动量平衡方程：

孔隙流体的线性动量平衡方程：

液体-固体骨料的质量平衡方程：

由于所施加的荷载是时间简谐函数e^iωt，所有变量都有

的形式，

表示f的幅值，代入运动方程能够得到施加荷载是时间简谐函数e^iωt的基于多孔弹性介质模型的由各向同性线弹性固体骨架和理想液体组成土层的运动方程，见式(1-44a)-(1-44c)：

固体骨架的线性动量平衡方程：

孔隙流体的线性动量平衡方程：

液体-固体骨料的质量平衡方程：

其中，

表示梯度算符，S_v为流固耦合系数，

表示固体骨架的位移矢量u_s的幅值，

表示孔隙流体的位移矢量u_f的幅值；位移矢量符号上的一点表示这些符号对时间t的一次微分，位移矢量符号上的两点表示这些符号对时间t的二次微分。

4.一种饱和土层上刚性圆板的竖向动力柔度确定方法，其特征在于，采用如权利要求1-3任一项所述的一种饱和土层上刚性圆板接触应力的确定方法，具体按照以下步骤进行：

板-土层系统的竖向动力柔度系数C_V为：

式中，R_b为板底土反力，为板下土体总应力的表面积分，即

Δ_v为板的竖向位移幅值；

定义板-土层系统的柔度系数的无量纲形式为：

其中，J₁为1阶的第一类Bessel函数。

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