CN112434410B - 单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，建立埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度弹性土层动力响应的力学模型，建立弹性土层的动力控制方程；求解弹性土层的动力控制方程，分别得到埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力。本发明单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法考虑了土层厚度的影响，给出了均匀圆形分布的垂直和水平荷载作用下有限厚度土层的位移和应力的计算公式，解决了现有技术中有关有限厚度介质层对荷载动力响应只适用于介质层表面受力的情况、不能反映荷载作用于内部时的影响的问题。

Description

单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法

技术领域

本发明属于土体工程技术领域，涉及单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法。

背景技术

在土木工程中，锚板是一种重要的工程基础，通常埋置在土体中，为结构提供锚固力，与此同时，锚板也对周围的土体产生作用力，使得土体产生位移和应力等响应。因此，在这样的荷载作用下，土体的位移和应力的计算具有重要作用，这对于相关土体工程中锚板结构的设计和施工具有重要意义。

对于这类问题的计算，相关研究将土体考虑为单相弹性或粘弹性介质，对土层在外荷载作用下的动力响应进行了广泛的研究。研究从点荷载、线荷载或局部荷载等表面荷载情况开始，这些荷载表征着某些系统的空间对称性和简化性。Lee(2014)、Yan(2016)、Jones(2017)、Liu and Pan(2018)、Andersen(2018)、You(2019)等学者研究了垂直表面荷载作用下单相弹性层状半空间的动力响应问题。Paul(1976)、Halpern and Christiano(1986)、Puswewala and Rajapakse(1988)、Senjuntichai and Rajapakse(1994)、Jin andLiu(2001)、Feng(2018)等学者研究了多孔弹性半空间在垂直或径向环形表面荷载作用下的轴对称响应。

更普遍且对数学要求更高的情况是当介质受到埋置非对称源作用时，这种情况一般用于介质与嵌入结构(如锚板、土工格栅加固、桩基础、或管道埋置)在爆炸荷载或地震荷载等情况下的相互作用问题。例如，Khojasteh(2008)、Liu(2016)、Lin(2017)、Park andKaynia(2018)、Noori(2018)、Ai and Li(2014)、Ai(2019)等学者分析了单相层状半空间在埋置竖向或水平荷载作用下的动力响应。Philippacopoulos(1997)、Jin and Liu(2001)、Zhou(2002)、Chen(2007)、Zheng(2013、2014)、Pooladi(2016)等学者研究了多孔弹性半空间介质在埋置点源或分布荷载作用下的动力响应。

在上述研究中，土介质均被认为是半无限空间体，当土层的厚度足够大时这是合理的。但是在实际问题中，坚硬基岩上覆盖着有限厚度土层的情况更为常见，在这个物理力学系统中，基岩边界的存在导致了波动力学中的共振和截断频率现象等动力学行为。有限层状介质和众所周知的无限半空间在几何和边界条件上的显著差异，显然值得在设计和实践中加以注意。

对于有限厚度介质层问题，Zheng(1987)研究了竖向集中谐和荷载作用下刚性地基上弹性层的动力响应。Chen(2005)给出了在粗糙不透水地基上横观各向同性土层在顶面均匀圆形压力作用下轴对称固结的半解析解。Kim(2011)提出了多层系统在静载荷和动载荷作用下的一般粘弹性解答。近期，Yuan和Wang(2019)研究了表面张力对与刚性基底结合的弹性层的二维接触问题的影响。然而，这些研究只适用于荷载作用于土层表面的情况，而不能反映荷载作用于内部时的影响，比如埋置锚板对周围土体的作用，不能准确描述有限厚度介质层对土体内埋置荷载的应力和位移响应。

发明内容

为了达到上述目的，本发明提供一种单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，分析了土层厚度的影响，采用位移势函数和积分变换的方法，给出了均匀圆形分布的垂直和水平荷载作用下有限厚度土层的位移和应力的计算公式，通过数值算例验证了该解的正确性，解决了现有技术中有关有限厚度介质层对荷载动力响应只适用于介质层表面受力的情况、不能反映荷载作用于内部时的影响的问题。

本发明所采用的技术方案是，单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，包括以下步骤：

步骤S10、建立埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度弹性土层动力响应的力学模型，建立弹性土层的动力控制方程；

步骤S20、在圆柱坐标系下，将对步骤S10建立的弹性土层的动力控制方程的求解转化为弹性土层对埋置荷载在径向r、周向θ、竖向z三个方向响应的应力分量和位移分量的求解，通过边界条件和连续性条件的约束以及时间因子e^iωt的省略，得到新的弹性土层的动力控制方程；

步骤S30、引入标量势φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)分解弹性土层对埋置荷载响应的位移矢量，代入步骤S20得到的新的弹性土层的动力控制方程，得到三个独立的波动方程，通过对三个独立的波动方程进行求解，得到包含未知常数的标量势的通解；

步骤S40、通过步骤S30得到的包含未知常数的标量势的通解，分别得到弹性土层对埋置荷载响应的位移分量和应力分量经Fourier展开和Hankel变换后得到的量与标量势的关系，利用边界条件和界面接触条件确定标量势的通解中的未知常数，得到弹性土层对埋置荷载响应的位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解；

步骤S50、对步骤S40得到的弹性土层位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解进行Hankel逆变换，分别得到埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解；

步骤S60、分别通过埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载的应力源分布规律，代入步骤S50得到的埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式定解，分别得到埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力。

本发明的有益效果是：

(1)本发明采用位移势函数和积分变换的方法，给出了均匀圆形分布的垂直和水平荷载作用下有限厚度土层的位移和应力的计算公式，通过数值算例验证了该解的正确性，并分析了土层厚度的影响，与半空间或表面荷载作用问题的经典解相比，本发明解可用于处理有限土层中的各种轴对称和非对称波传播问题。

(2)本发明提出的广义解涵盖了许多经典结论，如半空间解和表面荷载解，存在广泛应用的基础，利用上述解，可以很方便地得到与点荷载或环荷载相对应的Green函数，这对于用边界积分方程方法分析土-结构相互作用问题具有重要意义。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1是本发明埋置均布谐和荷载作用下的弹性土层力学模型。

图2a是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移

s＝0。

图2b是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移

s＝20r₀。

图3a是本发明实施例解与相应有限元解的对比情况：ADINA中建立的轴对称有限元模型。

图3b是本发明实施例解与相应有限元解的对比情况：垂直位移随深度的变化。

图4a是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直位移w_s：垂直位移实部。

图4b是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直位移w_s：垂直位移虚部。

图5a是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直应力

垂直应力实部。

图5b是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直应力

垂直应力虚部。

图6a是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移u_s：横向位移实部。

图6b是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移u_s：横向位移虚部。

图7a是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向应力

横向应力实部。

图7b是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向应力

横向应力虚部。

图8a是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直位移

垂直位移实部。

图8b是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的垂直位移

垂直位移虚部。

图9a是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的土层表面z＝0处垂直位移

垂直位移实部。

图9b是本发明π_s平面上单位垂直荷载引起的土层表面z＝0处垂直位移

垂直位移虚部。

图10a是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移

横向位移实部。

图10b是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的横向位移

横向位移虚部。

图11a是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的土层表面z＝0处横向位移

横向位移实部。

图11b是本发明π_s平面上单位横向荷载引起的土层表面z＝0处横向位移

横向位移虚部。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

1、建立埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度弹性土层动力响应的力学模型，建立弹性土层的动力控制方程：

如图1所示，均质、各向同性、线弹性的有限厚度土层的厚度为L，土层下卧刚性基础，弹性土层内埋置弹性锚板，弹性锚板埋置深度为z＝s，s的数值范围是(0～L)，将埋置的弹性锚板对弹性土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，以圆形荷载的中心为圆心建立圆柱坐标系的力学模型，r为径向坐标，θ为周向坐标，z为竖向坐标，弹性锚板埋置深度z＝s将圆柱坐标系分成上部区域Ⅰ(z<s)和下部区域Ⅱ(z>s)，弹性土体对圆形荷载的应力响应等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的应力分量，弹性土体对圆形荷载的位移响应等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的位移分量。根据弹性动力学，建立弹性土层的动力控制方程，如式(1)所示；

式(1)中，λ^s和μ^s是弹性土层的两个Lame常数，

表示梯度算符，

表示散度算符，u_s是弹性土层的位移矢量，ρ^s代表弹性土层密度，

是弹性土层的加速度矢量。

2、在圆柱坐标系下，将对步骤S10建立的弹性土层的动力控制方程的求解转化为弹性土层对埋置荷载在径向r、周向θ、竖向z三个方向响应的应力分量和位移分量的求解，通过边界条件和连续性条件的约束以及时间因子e^iωt的省略，得到新的弹性土层的动力控制方程：

在图1所示的埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度土层动力响应的力学模型中，弹性土层内埋置的弹性锚板作为埋置荷载，埋置荷载对弹性土层的作用被等效看做在z＝s平面上任意分布的不连续的应力，在圆柱坐标系下，它们被等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的应力分量：

式中，

分别代表弹性土层在径向r、周向θ、竖向z的应力分量，π_s是锚板荷载作用区域，P(r,θ,t)、Q(r,θ,t)和R(r,θ,t)分别代表圆形锚板荷载在径向r、周向θ、竖向z方向上的有效应力源分布；当z＝s^-表示荷载作用面顶部的应力，z＝s⁺表示荷载作用面底部的应力；t表示时间。

假设弹性土层表面是自由边界，其底部与刚性基础紧密接触，则弹性土层底部的应力分布和位移分布分别为式(3a)和式(3b)：

u_s(r,θ,L,t)＝v_s(r,θ,L,t)＝w_s(r,θ,L,t)＝0 (3b)；

且z＝s处所有位移均是连续的。

其中，u_s(r,θ,L,t)、v_s(r,θ,L,t)和w_s(r,θ,L,t)是弹性土层的位移矢量u_s(r,θ,L,t)的位移分量。

说明：只写变量符号如u_s，与写变量符号及后面小括号如u_s(r,θ,z)，实质是一样的，只是后者更为具体表明了其自变量为(r,θ,z)，省略不写，是为避免繁复，本文均为这样表达。

考虑随时间因子e^iωt变化的谐和荷载作用，弹性土层对埋置荷载的应力响应各分量如式(4)所示：

考虑随时间因子e^iωt变化的谐和荷载作用，弹性土层对埋置荷载的位移响应各分量如式(5)所示：

为方便分析，时间因子e^iωt在接下去的分析中将被省略。

根据式(4)和式(5)，式(1)被表示为：

式(6)中，ω＝2πf为圆频率，

3、引入标量势φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)分解弹性土层对埋置荷载响应的位移矢量，代入步骤S20得到的新的弹性土层的动力控制方程，得到三个独立的波动方程，通过对三个独立的波动方程进行求解，得到包含未知常数的标量势的通解：

式(6)是后续推导的基础，为求解式(6)，需引入三个标量势来分解位移场，如式(7)所示。

式(7)中，φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)是弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个标量势函数，e_z是圆柱坐标系中z^-方向上的单位矢量。

式(7)等价于将位移的确定转化为势函数的求解，这样进行的势函数求解可以把偏微分方程组进行解耦而便于求解，同时保持了原方程组的等价。

将式(7)代入式(6)中，求解得到式(8)，具体为：

式(8)中

表示弹性土层压缩波波速相关量；

表示弹性土层剪切波波速相关量；

V_d表示压缩波波速；

V_s表示剪切波波速；

表示拉普拉斯算子。

接下来通过积分变换求解式(8)：

首先，将弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个标量势函数分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，得到式(9)，具体为：

式(9)中，φ_sn(r,z)、χ_sn(r,z)、η_sn(r,z)表示被分解原标量势函数的标号为n的分量。e^inθ表示自变量为nθ的复指数。

其次，将弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个位移分量分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，得到式(10)，具体为：

式(10)中，u_sn(r,z)、v_sn(r,z)、w_sn(r,z)为被分解原位移量的标号为n的分量。

然后，将式(2a)～(2c)中的有效应力源分布P(r,θ,t)、Q(r,θ,t)和R(r,θ,t)分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，得到式(11)，具体为：

式(11)中，P_n(r,z)、Q_n(r,z)、R_n(r,z)分别表示被分解原荷载应力量的标号为n的分量。

将拉普拉斯算子

以及式(9)共同代入式(8)，然后利用e^inθ在区间(-π≤θ≤π)上的正交性，得式(12)，具体为：

势函数的傅里叶级数系数的方程由式(8)获得，即

Hankel变换公式，如式(13)所示：

式(13)中，ξ属于Hankel变换域内的自变量，J_n(ξr)为自变量为ξr的n阶的第一类Bessel函数。

它的逆变换为：

式(12)应用Hankel变换公式后，转化为式(15)：

式(15)中，

表示对势函数φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)的Fourier级数分量φ_sn(r,z)、χ_sn(r,z)、η_sn(r,z)进行n阶Hankel积分变换后的变型量。

易得式(15)的通解为：

和

式(16)和式(17)中，中间变量

具体取值需要满足下述要求，Re(α)≥0，Re(β)≥0。

12个未知的常数

可以通过边界条件和界面条件求得。具体而言：z＝0处为自由边界，即土层顶面无应力作用，结合z＝L处与不透水的刚性基础紧密接触，共提供6个方程式，见式(3a)和式(3b)；在平面z＝s上的应力不连续条件提供3个方程式，见式(2a)～式(2c)，以及载荷平面z＝s处的弹性土层的三个位移分量的连续条件，即u_s(r,θ,s^-)＝u_s(r,θ,s⁺)、v_s(r,θ,s^-)＝v_s(r,θ,s⁺)、w_s(r,θ,s^-)＝w_s(r,θ,s⁺)；其中u_s(r,θ,s^-)、v_s(r,θ,s^-)、w_s(r,θ,s^-)表示荷载作用面顶部的位移分量；u_s(r,θ,s⁺)、v_s(r,θ,s⁺)、w_s(r,θ,s⁺)表示荷载作用面底部的位移分量。综上所述，通过这12个方程可解出这12个未知常数的封闭形式解。

4、通过得到的包含未知常数的标量势的通解，分别得到弹性土层对埋置荷载响应的位移分量和应力分量经Fourier展开和Hankel变换后得到的量与标量势的关系，利用边界条件和界面接触条件确定标量势的通解中的未知常数，得到弹性土层对埋置荷载响应的位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解：

为便于进一步确定未知常数，在圆柱坐标系和积分变换域内给出了位移和势的关系。

式(18)表示弹性土层位移被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；

分别表示u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)分别表示弹性土层在r，θ和z方向上的位移分量；

表示u_s(r,z)、v_s(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量。符号右上角的n、n+1或n-1表示Hankel积分变换的阶数，右下角的n表示Fourier展开后的分量的序号。

应力-势的关系为：

式(19)表示弹性土层应力响应被Fourier展开和Hankel变换后得到的量与势函数的关系；

分别表示

被Fourier级数展开和Hankel变换后的量；

分别表示土层在z、r、θ方向上的有效应力分量；

与上段几个应力分量符号的区别在于右上角的n、n+1和n-1，如前所述，其表示Hankel积分变换的阶数。

利用上述边界条件和界面接触条件确定式(16)和式(17)中的未知常数，式(18)和式(19)中所有场变量的积分变换解表述为：

和

其中，

系数

X_n，Y_n和Z_n由公式A1～A51中给出。A1～A51为：

式(20)和式(21)中的系数如下所示：

R＝[a₂(αβ+ξ²)+a₁(αβ-ξ²)e^-2αL]a₄-4ξ²αβa₃a₅ (A45)；

a₃＝(β²+ξ²)e^-αL-(αβ+ξ²)e^-βL+(αβ-ξ²)e^-(2α+β)L (A48)；

a₄＝(β²+ξ²)(αβ-ξ²)+(β²+ξ²)(αβ+ξ²)e^-2βL-4αβξ²e^-(α+β)L (A49)；

a₅＝2μ^s(β²+ξ²)(αβ+ξ²)e^-βL-a₁e^-αL (A50)；

and

以上A1-A50等号左面符号均为中间变量，起替换简化公式的作用。

A51中，

表示埋置锚板荷载P(r)、Q(r)、R(r)经Fourier级数展开和Hankel积分变换后的量，符号右上角的n-1、n+1、n均表示Hankel积分变换的阶数。

5、对得到的弹性土层位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解进行Hankel逆变换，分别得到埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解：

对式(20)-(21)的解进行Hankel逆变换，将傅里叶逆分量插入到形如式(9)-式(11)的位移和应力分量的傅里叶展开式中，得到埋置荷载作用下弹性土层的谐和响应形式如下：

6、分别通过埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载的应力源分布规律，代入得到的埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解，分别得到埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力：

6.1、埋置垂直圆形均布荷载：

埋置垂直圆形均布荷载的应力源R(r,θ)分布规律如式(23)所示：

并且对于n≠0有R_n(r)＝0，而对于所有的n有P_n(r)＝0，Q_n(r)＝0；

式(23)中，r₀为荷载半径；R_n(r)、P_n(r)、Q_n(r)是原荷载应力R(r,θ)、P(r,θ)、Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量。

对于此处垂直圆形均布荷载问题而言，只有R(r,θ)存在且已经给出表达式为(23)，而P(r,θ)和Q(r,θ)均等于0。

结合方程(23)和(22a-22f)，得到埋置垂直圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式如下：

v_s(r,θ,z)＝0 (24b)；

6.2、埋置水平圆形均布荷载：

这种荷载表示为：

式(25a)中，P(r,θ)表示水平圆形均布荷载在径向r方向上的有效应力源分布；

式(25b)中，Q(r,θ)表示水平圆形均布荷载在周向θ方向上的有效应力源分布；

这样

式(26a)中，P₁(r)表示原荷载应力P(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝1的分量；P_-1(r)表示原荷载应力P(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝-1的分量；

对于此处水平圆形均布荷载问题而言，只有P(r,θ)和Q(r,θ)存在且已经给出表达式(25a)和(25b)，而R(r,θ)等于0。

n≠±1时，P_n(r)＝0。

当n≠±1时，Q_n(r)＝0；对于任意值n，R_n(r)＝0。

式(26b)中，Q₁(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝1的分量；Q_-1(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝-1的分量；Q_n(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量；R_n(r)表示原荷载应力R(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量；

对于此处水平圆形均布荷载问题而言，只有P(r,θ)和Q(r,θ)存在且已经给出表达式(25a)和(25b)，而R(r,θ)等于0。

结合式(26a-26b)和式(22a-22f)，得到埋置水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式如下：

7、解的退化和数值算例：

当层厚趋向于无穷大时，简化为半空间的情况是很合理的。因此，通过使L→∞，从式(20)中得出：

其中，

和

很容易看出，本发明的退化结果与现有技术的经典半空间解是一致的，这也可以通过图2a和图2b中所示的简化结果和半空间结果之间一致化的图像中证实。除非另有说明，否则数值算例中采用的材料参数为λ^s＝μ^s＝10MPa和ρ^s＝2500kg·m^-3，载荷半径r₀＝1m，在整个算例中采用的观测点坐标为r＝0，θ＝0。

同样，如图3a所示，为验证该方法的有效性，利用ADINA软件建立了埋置垂直荷载作用下的轴对称有限元模型。对于动态情况，无量纲激励频率

采用9节点矩形单元，为消除边界效应，模型长度为50米。从图3b中看出，本发明解与有限元结果的吻合程度较好，有效证明了本发明解的正确性。

图4a、图4b、图5a以及图5b描述了垂直荷载用下土层位移和应力沿z轴的分布。从图4a和图4b中看出，在载荷平面深度z＝s处看到尖峰，底部位移为零，该结果与边界条件式(2c)和式(3b)是一致的。从图5a和图5b中看出，土层表面z＝0处的应力为零，在载荷平面z＝s处纵向应力变化为

这些与边界条件式(2c)是一致的。随着激振频率的增加，弹性土层的动力响应波动增大。在图6a、图6b、图7a以及图7b中观察到类似的变化，它们代表了水平荷载作用下土层的横向位移和应力沿z轴的分布。

图8a、图8b、图9a以及图9b描述了土层厚度对垂直荷载引起的垂直位移的影响。显然，层厚对位移的影响是显著而复杂的，当土层厚度趋于无穷大时，位移收敛到半空间结果。这是因为波被刚性基础反射，干扰了土层的动力学行为。当土层很厚时，这意味着刚性基础位于较远的地方，反射的波较少，且由于波传播过程中能量的衰减，位移的振幅较小，在这种情况下，反射波对土层的力学行为影响可以忽略不计。这也证明了当土层足够厚时(如荷载作用面下土层厚度与荷载作用半径的比值≥50)，它可以被建模为半空间以简化问题的分析。从图10a、图10b、图11a以及图11b中可以得出类似的结论，它们表示由横向荷载引起的横向位移。

8、结论：

本发明采用位移势函数和积分变换的方法，给出了均匀圆形分布的垂直和水平荷载作用下有限厚度土层的位移和应力的计算公式。通过数值算例验证了该解的正确性，并分析了土层厚度的影响，与半空间或表面荷载作用问题的经典解相比，本发明解可用于处理有限土层中的各种轴对称和非对称波传播问题。

此外，值得注意的是，从前面的分析来看，本发明提出的广义解涵盖了许多经典结论，如半空间解和表面荷载解，存在广泛应用的基础。利用上述解，可以很方便地得到与点荷载或环荷载相对应的Green函数，这对于用边界积分方程方法分析土-结构相互作用问题具有重要意义。

需要说明的是，在本申请中，诸如第一、第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。

本说明书中的各个实施例均采用相关的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S10、建立埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度弹性土层动力响应的力学模型，建立弹性土层的动力控制方程；

步骤S20、在圆柱坐标系下，将对步骤S10建立的弹性土层的动力控制方程的求解转化为弹性土层对埋置荷载在径向r、周向θ、竖向z三个方向响应的应力分量和位移分量的求解，通过边界条件和连续性条件的约束以及时间因子e^iωt的省略，得到新的弹性土层的动力控制方程；

步骤S30、引入标量势φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)分解弹性土层对埋置荷载响应的位移矢量，代入步骤S20得到的新的弹性土层的动力控制方程，得到三个独立的波动方程，通过对三个独立的波动方程进行求解，得到包含未知常数的标量势的通解；

步骤S40、通过步骤S30得到的包含未知常数的标量势的通解，分别得到弹性土层对埋置荷载响应的位移分量和应力分量经Fourier展开和Hankel变换后得到的量与标量势的关系，利用边界条件和界面接触条件确定标量势的通解中的未知常数，得到弹性土层对埋置荷载响应的位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解；

步骤S50、对步骤S40得到的弹性土层位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解进行Hankel逆变换，分别得到埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解；

步骤S60、分别通过埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载的应力源分布规律，代入步骤S50得到的埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解，分别得到埋置垂直圆形均布荷载和水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力；

其中，步骤S10中，所述建立埋置均布谐和荷载作用下的有限厚度弹性土层动力响应的力学模型，建立弹性土层的动力控制方程，具体为：

均质、各向同性、线弹性的有限厚度土层的厚度为L，土层下卧刚性基础，弹性土层内埋置弹性锚板，弹性锚板埋置深度为z＝s，将埋置的弹性锚板对弹性土体的作用视为均匀分布的圆形荷载，以圆形荷载的中心为圆心建立圆柱坐标系的力学模型，r为径向坐标，θ为周向坐标，z为竖向坐标，弹性锚板埋置深度z＝s将圆柱坐标系分成上部区域Ⅰ和下部区域Ⅱ，弹性土体对圆形荷载的应力响应等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的应力分量，弹性土体对圆形荷载的位移响应等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的位移分量；根据弹性动力学，建立弹性土层的动力控制方程，如式(1)所示；

式(1)中，λ^s和μ^s是弹性土层的两个Lame常数，

表示梯度算符，

表示散度算符，u_s表示弹性土层的位移矢量，ρ^s表示弹性土层密度，

表示弹性土层的加速度矢量。

2.根据权利要求1所述的单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，步骤S20具体包括以下步骤：

步骤S21、弹性土层内埋置的弹性锚板作为埋置荷载，埋置荷载对弹性土层的作用被等效看做在z＝s平面上任意分布的不连续的应力，在圆柱坐标系下，被等效为径向r、周向θ、竖向z三个方向的应力分量，具体为：

式中，

分别代表弹性土层在径向r、周向θ、竖向z的应力分量，π_s是荷载作用区域，P(r,θ,t)、Q(r,θ,t)和R(r,θ,t)分别代表径向r、周向θ、竖向z方向上的有效应力源分布；当z＝s^-表示荷载作用面顶部的应力，z＝s⁺表示荷载作用面底部的应力；t表示时间；

步骤S22、假设弹性土层表面是自由边界，其底部与刚性基础紧密接触，则弹性土层底部的应力分布和位移分布分别为式(3a)和式(3b)：

u_s(r,θ,L,t)＝v_s(r,θ,L,t)＝w_s(r,θ,L,t)＝0 (3b)；

且z＝s处所有位移均是连续的；

其中，u_s(r,θ,L,t)、v_s(r,θ,L,t)和w_s(r,θ,L,t)是弹性土层的位移矢量u_s(r,θ,L,t)的位移分量；

步骤S23、考虑随时间因子e^iωt变化的谐和荷载作用，弹性土层对埋置荷载的应力响应各分量如式(4)所示：

考虑随时间因子e^iωt变化的谐和荷载作用，弹性土层对埋置荷载的位移响应各分量如式(5)所示：

步骤S24、省略时间因子e^iωt，得到新的弹性土层的动力控制方程，如式(6)所示：

式(6)中，ω＝2πf为圆频率，

3.根据权利要求2所述的单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，步骤S30具体包括以下步骤：

步骤S31、引入φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)分解弹性土层对埋置荷载响应的位移矢量，如式(7)所示：

式(7)中，φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)是弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个标量势函数，e_z是圆柱坐标系中z^-方向上的单位矢量；

步骤S32、代入步骤S20得到的新的弹性土层的动力控制方程，得到三个独立的波动方程，如式(8)所示：

式(8)中

ω＝2πf为圆频率，

表示弹性土层压缩波波速相关量；

表示弹性土层剪切波波速相关量；

V_d表示压缩波波速；

V_s表示剪切波波速；

表示拉普拉斯算子；

步骤S33、对三个独立的波动方程进行求解，得到包含未知常数的标量势的通解，具体为：

步骤S33-1、将弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个标量势函数分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，如式(9)所示：

式(9)中，φ_sn(r,z)、χ_sn(r,z)、η_sn(r,z)表示被分解原标量势函数的标号为n的分量；e^{in θ}表示自变量为nθ的复指数；

步骤S33-2、将弹性土层位移u_s(r,θ,z)的三个位移分量分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，如式(10)所示：

式(10)中，u_sn(r,z)、v_sn(r,z)、w_sn(r,z)为被分解原位移量的标号为n的分量；

步骤S33-3、将步骤S21中的有效应力源分布P(r,θ,t)、Q(r,θ,t)和R(r,θ,t)分别通过沿周向θ进行傅里叶级数展开，如式(11)所示：

式(11)中，P_n(r,z)、Q_n(r,z)、R_n(r,z)分别表示被分解原荷载应力量的标号为n的分量；

步骤33-4、将拉普拉斯算子

以及式(9)共同代入式(8)，然后利用e^inθ在区间-π≤θ≤π上的正交性，得式(12)：

Hankel变换公式，如式(13)所示：

式(13)中，ξ属于Hankel变换域内的自变量，J_n(ξr)为自变量为ξr的n阶的第一类Bessel函数；

Hankel变换公式的逆变换为：

式(12)应用Hankel变换公式，转化为式(15)：

式(15)中，

表示对势函数φ_s(r,θ,z)、χ_s(r,θ,z)、η_s(r,θ,z)的Fourier级数分量φ_sn(r,z)、χ_sn(r,z)、η_sn(r,z)进行n阶Hankel积分变换后的变型量；

步骤33-5、得到包含未知常数的标量势的通解，如式(16)所示：

和

式(16)和式(17)中，

表示未知的常数；中间变量

ξ表示Hankel变换域内的自变量，取值满足下述要求：Re(α)≥0，Re(β)≥0；12个未知的常数

通过边界条件和界面条件求得。

4.根据权利要求3所述的单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，步骤S40具体包括以下步骤：

步骤S41、通过步骤S30得到的包含未知常数的标量势的通解，得到弹性土层对埋置荷载响应的位移分量经Fourier展开和Hankel变换后得到的量与标量势的关系，如式(18)所示：

式(18)中，

分别表示u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；u_s(r,z)、v_s(r,z)、w_s(r,z)分别表示弹性土层在r，θ和z方向上的位移分量；

表示u_s(r,z)、v_s(r,z)被Fourier展开和Hankel变换后的位移量；

步骤S42、通过步骤S30得到的包含未知常数的标量势的通解，得到弹性土层对埋置荷载响应的应力分量经Fourier展开和Hankel变换后得到的量与标量势的关系，如式(19)所示：为：

式(19)中，

分别表示

被Fourier级数展开和Hankel变换后的量；

分别表示土层在z、r、θ方向上的有效应力分量；

步骤S43、利用边界条件和界面接触条件确定标量势的通解中的未知常数，得到弹性土层对埋置荷载响应的位移和应力经Fourier展开和Hankel变换后的得到的量的积分变换解，分别如式(20)和式(21)所示：

和

其中，

系数

X_n、Y_n、Z_n为系数。

5.根据权利要求4所述的单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，步骤S50中，所述埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解，如式(22a)～式(22f)所示：

6.根据权利要求5所述的单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力的确定方法，其特征在于，步骤S60具体包括以下步骤：

步骤S61、埋置垂直圆形均布荷载的应力源R(r,θ)分布规律如式(23)所示：

并且对于n≠0有R_n(r)＝0，而对于所有的n有P_n(r)＝0，Q_n(r)＝0；

式(23)中，r₀为荷载半径；R_n(r)、P_n(r)、Q_n(r)是原荷载应力R(r,θ)、P(r,θ)、Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量；

代入步骤S50得到的埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解，得到埋置垂直圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，如式(24a)～式(24f)所示，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力：

v_s(r,θ,z)＝0 (24b)；

步骤S62、埋置水平圆形均布荷载的应力源分布规律如式(25a)～式(25b)所示：

式(25a)中，P(r,θ)表示水平圆形均布荷载在径向r方向上的有效应力源分布；

式(25b)中，Q(r,θ)表示水平圆形均布荷载在周向θ方向上的有效应力源分布；

n≠±1时，P_n(r)＝0；

式(26a)中，P₁(r)表示原荷载应力P(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝1的分量；P_-1(r)表示原荷载应力P(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝-1的分量；

当n≠±1时，Q_n(r)＝0；对于任意值n，R_n(r)＝0；

式(26b)中，Q₁(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝1的分量；Q_-1(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n＝-1的分量；Q_n(r)表示原荷载应力Q(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量；R_n(r)表示原荷载应力R(r,θ)经Fourier展开后的标号为n的分量；

代入步骤S50得到的埋置荷载作用下弹性土层的应力和位移的谐和响应形式通解，分别得到埋置水平圆形均布荷载作用下弹性土层的谐和响应形式定解，如式(27a)～式(27f)所示，确定单相土层在埋置锚板荷载作用下的位移和应力：

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