CN111927420A - 一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法，将压裂缝内边界条件耦合进气藏质量守恒方程，导出渗流微分方程；写出定解条件，与渗流微分方程组合而成地层渗流数学模型并无因次化；将域内微分方程转化为边界上的积分方程并进行离散；建立有限导流压裂缝渗流数学模型并积分和离散；将离散后的边界积分方程与离散后的压裂缝方程所得矩阵联立求解；绘制无因次井底压力曲线和导数曲线，分析压裂井在复杂形状气藏中的位置、表皮系数、压裂缝的无因次导流系数、压裂缝两翼的不对成性对曲线的影响。本发明建立气井不稳定试井数学模型并对气井的井底压力瞬态进行准确计算，这是试井解释以获取地层重要参数的理论基础。

Description

一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法

技术领域

本发明属于油气井试井技术，具体涉及一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法。

背景技术

油气井试井技术是认识油气藏非常重要的一项技术，被石油行业誉为“油气藏开发的眼睛”。通过试井，我们可获得深埋在地下的油气藏的一些重要动态参数(如地层渗透率、井筒污染系数，等)。建立合理的不稳定试井模型(不稳定试井模型为不稳定渗流模型中的一种)并准确地对油气井的井底压力瞬态进行精确模拟是试井分析技术的理论基础和必要前提。

常规的解析法或半解析法只能用来求解和刻画规则形状油气藏中油气井的井底压力瞬态，而数值方法则可以求解更复杂的问题。数值方法可以划分为两大类：区域方法和边界方法。有限差分法和有限元法均属于第一类，而边界元方法属于第二类。

边界元方法在一些方面优于区域方法，这主要体现在两个方面：(1)由于边界元法保留了解的解析特性，所以它比有限差分、有限元等区域方法具有更高的精度。(2)有限元法和有限差分法需要在整个区域内划分单元，边界元法只需要在区域的边界上划分单元，因此边界元法具有降维、形成的矩阵较少的特点。

现有文献中，运用边界元法解决油气藏渗流问题的研究主要集中在未压裂井较多。近年来，一些学者进一步对边界元法求解压裂井的渗流问题虽然进行了研究并取得了一定进展，但就笔者所知，目截止前，一个既能综合考虑气藏任意形状、压裂缝导流能力、压裂缝两翼不对称性以及压裂缝流量分布不对称性影响，又能准确高效的对压裂井井底压力动态进行刻画的边界元模型及相应井底压力瞬态精确模拟方法还未有所见。

现有技术，Kryuchkov和Sanger等人利用边界元法(BEM)建立的任意形状油藏中有限导流压裂井不稳定渗流模型。Kryuchkov和Sanger针对先前利用边界元法求解渗流及试井问题的研究几乎都局限在未压裂井方面的现状，利用边界元法研究了任意形状油藏中压裂井的不稳定渗流问题。他们的模型中考虑了经压裂形成的与井筒相交的水力裂缝，且将裂缝导流能力的影响也纳入了考虑。Kryuchkov和Sanger所建模型有两个方面的不足：第一个是该模型仅考虑了压裂缝两翼长度对称的情形，而实际的压裂缝往往是不对称的；第二个不足是他们的研究是在真实的时间域内进行的，从而模型求解结果中会出现许多无穷级数，极不利于计算机的快速计算。

现有技术，Zhao等人利用边界元法(BEM)和Laplace变换建立的任意形状气藏中的压裂水平井井不稳定渗流模型。Zhao等人基于先前边界元法求解渗流问题的研究几乎都集中在油藏及压裂垂直井的现状，利用边界元法(BEM)和Laplace变换建立了压裂水平井的不稳定渗流模型，该模型可以考虑气藏复杂形状、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称的影响，其求解也是在Laplace空间进行的，故求解结果不含诸多无穷级数，有利于数值计算。该模型可以考虑气藏复杂形状、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称的影响，其求解结果不含诸多无穷级数，有利于数值计算，但由于该模型中采用的压裂缝模型为无限导流裂缝模型，即不考虑流体在压裂缝中流动时所产生的压降，故无法考虑压裂缝导流能力对渗流的影响。

现有技术，Chen等人和Wu等人利用边界元法(BEM)建立的任意形状油藏、任意形状气藏中的压裂水平井不稳定渗流模型。Chen等人和Wu等人利用边界元法(BEM)和Laplace变换分别为任意形状油藏、任意形状气藏中的压裂水平井建立了不稳定渗流模型，他们的模型考虑了气藏复杂的形状，考虑了压裂缝导流能力对渗流的影响，其求解是在Laplace空间进行的，求解结果不含诸多无穷级数，故有利于数值计算。该模型可考虑气藏复杂形状，也能考虑压裂缝导流能力对渗流的影响，其求解也是在Laplace空间进行的，故求解结果不含诸多无穷级数，有利于数值计算。但由于所采用的压裂缝模型未分别考虑压裂缝的左右两翼，故无法考虑压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称的影响。

建立气井不稳定试井数学模型并对气井的井底压力瞬态进行准确计算，这是试井解释以获取地层重要参数(如渗透率、表皮系数，等)的理论基础。然而，截止目前，一些复杂情况下的试井模型建立及井底压力准确高效计算问题仍未能得到较好的解决。例如，一个既能综合考虑气藏复杂形状、压裂缝导流能力、压裂缝两翼不对称性、压裂缝流量分布不对称性的影响，又能准确(达到试井分析所需的精度)高效地计算与刻画压裂气井井底压力动态的边界元试井模型及相应井底压力瞬态精确模拟方法还未有所见。

发明内容

针对上述技术问题，本发明将利用边界元法(BEM)和Laplace变换，为任意形状气藏中的有限导流压裂气井建立一个更全面的、能综合考虑气藏任意形状、压裂缝导流能力、压裂缝两翼不对称性、压裂缝流量分布不对称性影响的不稳定试井模型，并对模型成功实现求解及对井底压力瞬态进行精确模拟。本发明所建模型及相应模拟方法不仅能综合考虑以上诸因素对渗流的影响，而且能对此复杂情况下的压裂气井井底压力瞬态进行准确高效计算并绘制出高质量的压力动态曲线，为该种复杂情况下的压裂井试井解释提供了重要的理论和技术支撑。

一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法，包括以下步骤：

为了达到上述目的，本发明的主要步骤包括：

步骤一：将压裂缝内边界条件耦合进气藏质量守恒方程，并联立运动方程和状态方程导出耦合了压裂缝内边界条件的气藏渗流微分方程；

步骤二：写出定解条件，与步骤一中渗流微分方程组合而成地层渗流数学模型；

步骤三：地层渗流数学模型的无因次化；

步骤四：将域内微分方程转化为边界上的积分方程；

步骤五：对边界积分方程进行离散；

步骤六：针对压裂缝中的渗流，建立能考虑压裂缝导流能力、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称影响的有限导流压裂缝渗流数学模型；

步骤七：压裂缝数学模型的积分和离散；

步骤八：将离散后的边界积分方程与离散后的压裂缝方程所得矩阵联立求解；

步骤九：基于所建模型，利用数值反演编程绘制无因次井底压力曲线和导数曲线，分析压裂井在复杂形状气藏中的位置、表皮系数、压裂缝的无因次导流系数、压裂缝两翼的不对成性对曲线的影响。

本发明建立气井不稳定试井数学模型并对气井的井底压力瞬态进行准确计算，这是试井解释以获取地层重要参数(如渗透率、表皮系数，等)的理论基础。然而，截止目前，一些复杂情况下的试井模型建立及井底压力准确高效计算问题仍未能得到较好的解决。例如，一个既能综合考虑气藏复杂形状、压裂缝导流能力、压裂缝两翼不对称性、压裂缝流量分布不对称性的影响，又能准确(达到试井分析所需的精度)高效地计算与刻画压裂气井井底压力动态的边界元试井模型及相应井底压力瞬态精确模拟方法还未有所见。

附图说明

图1为实施例的任意形状气藏有限导流垂直裂缝井物理模型；

图2为实施例的复杂形状气藏中外边界离散示意图；

图3为实施例的有限导流压裂缝物理模型；

图4为实施例的复杂形状气藏中有限导流垂直裂缝井双对数曲线；

图5为实施例的垂直裂缝井位于不同位置时的双对数曲线；

图6为实施例的水力裂缝导流系数C_fD对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线影响图；

图7为实施例的表皮系数S对对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线影响图；

图8为实施例的水力裂缝左右两翼不对称性对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线影响图。

具体实施方式

结合实施例说明本发明的具体技术方案。

如图1所示，假设在任意形状气藏中，一口垂直气井经水力压裂，在储层中形成了一条与双翼人工裂缝。假设气井以恒定的地面产量q_sc进行生产。其它假设如下：

1)气藏外边界为任意形状；

2)水力裂缝的左右两翼可以对称，也可以不对称，假设左翼长度为x_fL，右翼长度为x_fR；

3)人工裂缝的宽度(aperture)为w_f，并考虑裂缝导流能力的影响(有限导流垂直裂缝)；

4)气藏温度为T，等温渗流；

5)整个气藏中的原始压力分布均匀，且为p_i；

6)流动满足达西定律。

这里所需解决的根本问题实际上就是如何建立该渗流情形下的试井数学模型，并求得能准确刻画井底压力的模型的解，并利用该解，通过编程计算，绘制出其高质量的井底压力动态曲线。

1)将压裂缝内边界条件耦合进气藏质量守恒方程，并联立运动方程和状态方程导出耦合了压裂缝内边界条件的气藏渗流微分方程

根据质量守恒原理，结合δ广义函数的性质，写出气藏中耦合了垂直裂缝井内边界条件的质量守恒方程。然后，将运动方程和气体状态方程代入质量守恒方程，引入拟压力，并进行线性化处理，可得耦合了压裂缝内边界条件的拟压力形式的气藏渗流微分方程。

2)写出定解条件，与上述渗流微分方程组合而成地层渗流数学模型

定解条件包初始条件和边界条件：

①初始条件：假设初始时刻地层压力分布均匀，为p_i。

②边界条件：内边界条件再前面已耦合进了渗流控制方程，故此处只需再给出外边界条件。

对于气藏，其外边界大多反映出的是封闭边界或无限大边界的特征，很少出现定压边界的情形。而在模型中，当外边界半径取得足够大时，可用封闭边界来代替刻画无限大边界，故此处只需讨论封闭边界。

引入拟压力后，可得到拟压力形式的内边界条件。

3)地层渗流数学模型的无因次化

恰当地引入无因次量，对所建立的任意形状封闭外边界下的有因次地层渗流数学模型进行无因次化，可得任意形状封闭外边界下的无因次地层渗流数学模型(无因次拟压力形式)。

4)将域内微分方程转化为边界上的积分方程

引入基于t_D的Laplace变换，将无因次渗流数学模型转换到Laplace空间。

采用边界元求解问题的思路是：将区域内的微分方程变成边界上的积分方程，然后将边界分割成有限大小的边界单元，将边界积分方程离散为代数方程，把求解微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。利用基本解，经一系列推导，可得相应的积分方程。

5)对边界积分方程进行离散

如图2所示，对气藏边界进行离散化。假设一口有限导流垂直裂缝井位于气藏内部(该井可以处于不同位置)。

将气藏外边界Γ分割成N_b个离散单元，此处采用线性单元法对边界进行离散。油藏外部边界以逆时针方向为正方向，内部边界以顺时针方向为正方向。同时，将水力裂缝左右两翼分别分割成N_FL、N_FR个离散单元(对水力裂缝采用常单元)，则由地层渗流数学模型可得(N_b+N_FL+N_FR)个线性代数方程。

6)针对压裂缝中的渗流，建立能考虑压裂缝导流能力、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称影响的有限导流压裂缝渗流数学模型

图3是有限导流压裂缝的物理模型。考虑压裂缝导流能力、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称影响，建立有限导流压裂缝渗流数学模型。

7)压裂缝数学模型的积分和离散

对有限导流压裂缝渗流数学模型进行Laplace变换和边界积分，可得到裂缝左翼和右翼的压力分布方程。将裂缝左翼分成N_FL等分，将裂缝右翼分成N_FR等分，整条裂缝共被分成了N_L+N_R个离散单元。可得(N_FL+N_FR)个线性代数方程。

此外，根据流量条件，还可获得3个线性代数方程。

8)将离散后的边界积分方程与离散后的压裂缝方程所得矩阵联立求解

将离散后的边界积分方程与离散后的压裂缝方程所得矩阵联立，则可得到{N_b+2(N_FL+N_FR)+3}个线性代数方程，而未知数的个数也为{N_b+2(N_FL+N_FR)+3}个。因为方程个数与未知数个数相等，且为线性代数方程，故可以封闭求解。由于获得的矩阵为小型稠密矩阵，故可采用高斯消元法直接求解。

通过这种处理方式，不仅可以考虑水力裂缝的导流能力，而且能考虑水力裂缝两翼流量分布的不对称性和两翼长度的不等。

通过以上方法求出的井底压力

未考虑井储效应和表皮效应的影响。根据VanEverdingen等人的研究，还可以考虑无因次井储系数C_D和表皮系数S的影响。

9)基于本文所建模型，利用数值反演编程绘制无因次井底压力曲线和导数曲线，分析压裂井在复杂形状气藏中的位置、表皮系数、压裂缝的无因次导流系数、压裂缝两翼的不对成性等对曲线的影响

基于本文所建模型，利用数值反演编程，可绘制无因次井底压力曲线和导数曲线。

图4是当气井位于复杂形状气藏中的井位1(见图1、图2)时的双对数曲线。显然，采用传统的半解析法是无法求解该问题的。由图可以看出，其渗流过程可划分为9个渗流阶段：

图5是该垂直裂缝井位于复杂形状气藏不同位置时的双对数曲线。从图5可以看出，当井位于气藏的不同位置时，其边界反映段也有所不同。

图6是水力裂缝导流系数C_fD对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线的影响图。由图可知，C_fD越小，导数曲线上1/2斜率双线性段越长，且位置越高。

图7是表皮系数S对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线的影响图。由图7可知，S越大，压力曲线在过渡段、双线性流段及线性流段三个阶段的位置越高，导数曲线上的“驼峰”也越高。

图8是水力裂缝左右两翼不对称性对复杂形状气藏有限导流垂直裂缝井双对数曲线的的影响图。由图8可知：当水力裂缝两端不对称时，其双对数曲线也有所差异。

Claims (1)

1.一种任意形状气藏有限导流非对称裂缝井压力模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：将压裂缝内边界条件耦合进气藏质量守恒方程，并联立运动方程和状态方程导出耦合了压裂缝内边界条件的气藏渗流微分方程；

步骤二：写出定解条件，与步骤一中渗流微分方程组合而成地层渗流数学模型；

步骤三：地层渗流数学模型的无因次化；

步骤四：将域内微分方程转化为边界上的积分方程；

步骤五：对边界积分方程进行离散；

步骤六：针对压裂缝中的渗流，建立能考虑压裂缝导流能力、压裂缝两翼长度不等及流量分布不对称影响的有限导流压裂缝渗流数学模型；

步骤七：压裂缝数学模型的积分和离散；

步骤八：将离散后的边界积分方程与离散后的压裂缝方程所得矩阵联立求解；

步骤九：基于所建模型，利用数值反演编程绘制无因次井底压力曲线和导数曲线，分析压裂井在复杂形状气藏中的位置、表皮系数、压裂缝的无因次导流系数、压裂缝两翼的不对成性对曲线的影响。

Images