CN111859813B - 气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法，包括：S1，通过在稀疏采样方案中，对网格中气体分子速度分布函数曲线随来流参数变化的图像进行对比，得到与速度分布函数曲线对称轴相关联的输入参数；S2，基于输入参数与关联速度分布函数曲线的多个实例，得到输入参数与曲线对称轴位置的线性关系；S3，将线性关系结果代入至统一算法程序中，对离散速度坐标点的采样选取进行优化。本发明提供一种气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法，能够保证在不增加计算量及计算时间的前提下，提升玻尔兹曼方程可计算建模气体动理论统一算法程序精确度，从而间接提升算法对任意高超声速流动模拟准确性与计算效率。

Description

气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法

技术领域

本发明涉及飞行器空气动力技术领域，特别是涉及一种针对求解高稀薄自由分子流到连续流各流域复杂多尺度非平衡流动问题的气体动理论统一算法离散速度坐标优化选取技术，更进一步的说是针对Boltzmann方程可计算建模气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法。

背景技术

在Boltzmann方程(玻尔兹曼模型方程)可计算建模气体动理论统一算法(GKUA)研究应用过程中，通常需要通过一套与积分规则相一致的离散速度坐标点分布，代替原分布函数对积分变量的连续依赖性。一旦各个离散速度坐标点处的气体分子离散速度分布函数被数值求解，需要通过离散速度数值积分，任一时刻物理空间各点的宏观流动量才能获得适时演化更新。为此，发展合适有效的离散速度数值积分方法在气体动理论统一算法框架中，是一个很重要的过程，必须同时保证拥有足够的计算精度和采用尽量少的离散速度坐标点，以减少对于计算机存储需求和达到加速计算的目的。

在现有技术中，如《离散速度数值积分技术在Boltzmann模型方程统一算法应用研究》的论文中，讨论各种积分方法对不同马赫数流动状态的适应性和所需离散速度积分节点数等问题。研究结果发现对于低马赫数流动，推荐使用改进型Gauss-Hermite积分方法，而对于高马赫数复杂流动推荐使用Gauss-Legendre数值积分方法，但对于用于积分的采样方案却没有进行优化，导致统一算法(GKUA)的计算精度和运算时间始终无法处于平衡，换句话说，在计算资源固定不变的前提下，计算精度的提升必然会带来运算量的增加，收敛所需要的时间也会随之增加。反之，如果想要在较少的运算时间内得到结果，最直接的方法就是降低计算精度从而降低运算量。

每个分子在空间中运动时，如果要确定它的运动状态，需要定义一个相空间(由空间位置r和运动速度V组成)。由于分子数量庞大，想要一一跟踪确定其运动轨迹和特性是不可能的，因此科学家们使用气体分子速度分布函数来描述这一过程，其定义是：在空间位置r和速度空间V附近的相空间单元drdV内，时间t时刻分子的数目(dn)。如下式所示，其中f就是分子速度分布函数。

在定义了速度分布函数后，各个物理量就可以通过对这个速度空间积分得到。如气体密度ρ、流动速度U、分子随机热运动速度C、温度T、应力张量τ、热流矢量q等等。

为了消除速度分布函数在速度空间上的连续依赖性，统一算法在(Vx,Vy,Vz)速度空间采用离散速度坐标法，即采用离散的速度坐标节点代替连续的分布函数值，然后用一个适当的积分求解方法代替对速度空间上分布函数的积分。

如图11，展现的是网格中某点在X方向中，离散后的统一算法当地平衡态速度分布函数f^N在稀疏采样(64个采样点)与密集采样(768个采样点)情况下的效果对比，其中横坐标为速度，纵坐标为函数值。由于密集采样(Dense sampling)中，各采样点之间的间距足够小，因此可以近似地将它看作标准的速度分布函数曲线。从理论上讲，如果能够将这条曲线运用到算法计算中去，那么计算结果的准确性会增强不少。但其劣势也同样明显，由于采样点过于密集，导致计算量成倍增大，因此这种做法没有实用价值。故而在实际运用中，常常使用的是稀疏采样(Sparse sampling)方案，这样可以在精确度和计算量之间找到一个可接受的平衡点是，如果对比这两个方案，可以发现以下两个问题：

一、从如图11的全局对比图中可以看出，稀疏采样方案中的采样点分布得极不科学。一方面，大量的采样点被浪费在较为曲线平缓的区域，且大多数的函数值为0，也就是说这部分的采样点对于计算结果没有任何影响；另一方面，在最需要采样的地方也就是曲线的明显起伏处，稀疏采样方案只用了8个点来描述，显得非常粗糙。

二、从如图12的局部对比图中可以看出，稀疏采样方案在峰值处与密集采样方案出现了较大的不同，这是由于采样间隔过大造成的。观察得再细致一些，可以发现在峰值左侧，由于稀疏采样方案的折线与密集采样的曲线也有一些细微的差异，这样的差异看似不大，但在后续的计算中，其造成的误差却远高于峰值处的差异。

发明内容

本发明的一个目的是解决至少上述问题和/或缺陷，并提供至少后面将说明的优点。

为了实现根据本发明的这些目的和其它优点，提供了一种气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法，包括：

S1，通过在稀疏采样方案中，对网格中气体分子速度分布函数曲线随来流参数变化的图像进行对比，得到与速度分布函数曲线对称轴相关联的输入参数；

S2，基于输入参数与关联速度分布函数曲线的多个实例，得到输入参数与曲线对称轴位置的线性关系；

S3，将线性关系结果代入至统一算法程序中，对离散速度坐标点的采样选取进行优化。

优选的是，在S1中，所述输入参数根据速度分布函数曲线的峰值确定为采用来流马赫数。

优选的是，在S2中，所述线性关系的获得方式包括：

S21、设定速度分布函数曲线对称轴位置与输入参数的线性关系为y＝ax+b，采用线性回归算法作为分析线性关系的机器学习工具；

S22、在稀疏方案和密集方案皆在Gauss-Legendre数值积分法的采样规则前提下，将对称轴问题拆分为统计曲线的左边界点及右边界点；

S23、制备来流马赫数与左边界、右边界能够逐一对应的数据统计表，用作机器学习的素材来源；

S24、采用留出法作为测试方法，将数据采用3：1的比例划分为训练集和测试集，可知线性关系中的系数a的取值范围约在0.837～0.838之间，系数b的绝对值集中在9.3左右；

S25、基于均方差较小、决定系数较大，且左、右边界点所属系数b的绝对值相近，故可得到：

左边界点Vx坐标：L(Ma)≈0.83Ma－9.3；

右边界点Vx坐标：R(Ma)≈0.83Ma+9.3；

进而得到速度分布函数曲线对称轴坐标与来流马赫数的关系为Vx＝0.83Ma。

优选的是，在S3中，将线性关系代入至统一算法的方法被配置为包括：

统一算法在计算前，通过设置来流马赫数Ma的值对速度分布函数曲线的对称轴Vx位置进行预判，再据此位置得到让采样点更趋近于曲线峰值附近的优化采样方案。

本发明至少包括以下有益效果：本发明从数值结果看，优化后的采样方案的积分值比稀疏方案更加接近密集采样方案，也就是离散采样后的积分结果与Maxwell平滑曲线差距会进一步缩小，且精度提升了一个数量级；从计算量来看，优化后的采样用稀疏采样方案同样的计算量，达到了更接近密集采样的计算精度，提升了计算效率。又因为这一过程是统一算法中计算量较大的过程之一，因此对统一算法运算速度的提高将大有助益。

本发明的其它优点、目标和特征将部分通过下面的说明体现，部分还将通过对本发明的研究和实践而为本领域的技术人员所理解。

附图说明

图1为本发明优化后的采样(Optimized sampling)与密集采样(Dense sampling)的速度分布曲线对比图；

图2为本发明优化后的采样(Optimized sampling)与密集采样(Dense sampling)的速度分布曲线局部对比图；

图3为本发明优化后的采样(Optimized sampling)与稀疏采样(Dense sampling)的速度分布曲线对比图；

图4为本发明优化后的采样(Optimized sampling)与稀疏采样(Dense sampling)的速度分布曲线局部对比图；

图5为速度分布函数稀疏采样曲线随克努森数(Kn)变化对比图；

图6速度分布函数稀疏采样曲线随克努森数(Kn)变化局部对比图；

图7速度分布函数稀疏曲线采样随马赫数(Ma)变化局部对比图；

图8左边界点与右边界点定义示意图；

图9左边界点线性拟合结果示意图；

图10右边界点线性拟合结果示意图；

图11为现有技术中稀疏采样(Sparse sampling)与密集采样(Dense sampling)的速度分布函数全局对比图；

图12为现有技术中稀疏采样(Sparse sampling)与密集采样(Dense sampling)的速度分布曲线局部对比。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

根据本发明的一种气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法的实现形式，其中包括：

S1，通过在稀疏采样方案中，对网格中气体分子速度分布函数曲线随来流参数变化的图像进行对比，得到与速度分布函数曲线对称轴相关联的输入参数；

S2，基于输入参数与关联速度分布函数曲线的多个实例，得到输入参数与曲线对称轴位置的线性关系；

S3，将线性关系结果代入至统一算法程序中，对离散速度坐标点的采样选取进行优化，在这种方案的实施中，首先是寻找与速度分布函数曲线对称轴相关联的输入参数，而速度分布函数曲线往往是基于宏观流动速度轴对称分布的，且曲线峰值所在的对称轴是和输入的参数具有明显的关联，也就是说，如果知道哪些参数和峰值的对称轴坐标有关，就能在输入参数的时候预判峰值的位置，从而有利于设计采样分布方案。其次是寻找与速度分布函数曲线对称轴位置与输入参数线性关系。再次是将线性关系结果应用于统一算法程序。通过上步求得的速度分布函数曲线对称轴位置与输入参数的线性关系，可以在计算前通过数据参数预判速度分布函数曲线对称轴位置(即曲线峰值位置)，再据此位置设计合适的采样方案，从而让采样点更加向曲线峰值附近聚集，减少程序运行时离散速度数值积分结果与真实结果的计算偏差。故而本方案能够保证在不增加计算量、不增加计算时间的前提下，提升玻尔兹曼方程可计算建模气体动理论统一算法程序精确度，从而间接提升算法准确性与计算效率。

在另一种实例中，在S1中，所述输入参数根据速度分布函数曲线的峰值确定为采用来流马赫数，以缩小采样量，优化离散速度坐标点的选取量，本方案中的采样方案，让采样点更加集中于峰值附近，从而将更多的计算资源用在更有价值的地方，从而在不增加采样点的情况下提升算法精确度，具体来说如图5-6所示，在稀疏采样方案中，网格中某点在X方向，其速度分布函数曲线随克努森数Kn(取值范围为10～10^-5)变化的图像，从图中可以很清楚地展现出，它们的全局图像基本重合，只是在峰值处有细微的差异，也就是说速度分布函数曲线和这两个参数的关联并不明显。

经过反复测试发现，速度分布函数曲线与来流马赫数关系较为密切。从图7可以看出，当马赫数从1变化至15时(FDVM1H6代表马赫数为1，高度为60000m的速度分布函数曲线)，速度分布函数曲线有着较明显的迁移，甚至可以大胆地假设，速度分布函数曲线的对称轴坐标与来流马赫数之间有相应关系。但对称轴的坐标并不等于来流马赫数，最明显的反例是当马赫数等于15的时候，图7中最右边的曲线(来流马赫数等于15)的对称轴在Vx＝12附近，因此来流马赫数与对称轴坐标不具有数值相等关系，但可以做为输入参数确定其与与速度分布函数曲线对称轴位置的线性关系。

在另一种实例中，在S2中，所述线性关系的获得方式包括：

S21、设定速度分布函数曲线对称轴位置与输入参数的线性关系为y＝ax+b，采用线性回归算法作为分析线性关系的机器学习工具；

S22、在稀疏方案和密集方案皆在Gauss-Legendre数值积分法的采样规则前提下，其中稀疏方案共有64个采样点，而密集方案有768个采样点，将对称轴问题拆分为统计曲线的左边界点及右边界点，设置左边界点及右边界点是为了方便数据输出及后期校对，具体如图8所示；

S23、通过采集大量数据来制备来流马赫数与左边界、右边界能够逐一对应的数据统计表，用作机器学习的素材来源；

S24、采用留出法作为测试方法，将数据采用3：1的比例划分为训练集和测试集，可知线性关系中的系数a的取值范围约在0.837～0.838之间，系数b的绝对值集中在9.3左右，在测试方面，采用留出法作为测试方法，将数据采用3:1的比例划分为训练集和测试集，最终得到结果如图9-10所示；

S25、从图9-10的结果展示中，由于真实值点过于密集，以至于连成了线，而根据图中结果，在均方差约为0.006、决定系数大于0.992的情况下，系数a的取值范围约在0.837～0.838之间，系数b的绝对值集中在9.3附近。基于均方差较小、决定系数较大，且左、右边界点所属系数b的绝对值相近，故可得到：

左边界点Vx坐标A：L(Ma)≈0.83Ma－9.3；

右边界点Vx坐标B：R(Ma)≈0.83Ma+9.3；

因为追求的目标是求得对称轴坐标的大致范围而不是精确值，进而得到速度分布函数曲线对称轴坐标与来流马赫数的关系为Vx＝0.83Ma，通过线性关系的确定，可以将这种线性关系运用到统一算法中，以得到与峰值相关的采样点，减小采样量和计算量。

在另一种实例中，在S3中，将线性关系代入至统一算法的方法被配置为包括：

统一算法在计算前，通过设置来流马赫数Ma的值对速度分布函数曲线的对称轴Vx位置(即曲线峰值位置)进行预判，再据此位置得到让采样点更趋近于曲线峰值附近的采样方案，减少程序运行时离散速度数值积分结果与真实结果的计算偏差，使得其在采样量与稀疏方案一致的情况下，得到与密集采样趋近的积分值，具体来说，密集采样(Densesampling)仍使用768个采样点，而稀疏采样(Sparse sampling)和优化后的采样(Optimized sampling)皆使用64个采样点，当设置来流马赫数Ma＝2时，可预判对称轴位置Vx＝0.83*2，借鉴稀疏采样方案的方法得到让采样点更趋近于曲线峰值附近的64个优化后的采样点，进一步采用三种不同的采样方案进行对比分析，以比较优化后的采样方案是否满足要求。

优化后的采样方案和稀疏采样方案相比，其采样点的分布更接近对称轴，即远离对称轴的采样点之间间距较大、接近对称轴的采样点之间间距较小。如图3-4，展示的是优化后的采样与稀疏采样速度分布函数曲线的全局和局部对比图。从图中可以很明显地看出，在总体分布上，优化后的采样与稀疏采样方案吻合较好，在局部上尤其是在峰值处，优化后的方案显得更加平滑，更接近Maxwell分布，而密集采样与优化后的采样速度分布函数曲线的对比也证明了这一点。

优化后的采样方案和稀疏采样方案相比，从图1-2中可以看出，密集采样与优化后的采样方案在计算结果方面都吻合得很好，而从理论上说也应当如此，因为三个采样方案采用的是同一算法，因此不论是稀疏采样还是优化后的采样，都理应是从密集采样方案中选取的点而已。

在算法中，当取得速度分布函数曲线之后，将会对这一曲线求得积分，也就是说，如果优化后的采样方案真的比稀疏采样方案优秀，那么它的积分值应该会比稀疏方案更加接近密集采样方案。

进一步的可以通过下表中三种采样方案积分结果对比进一步进行分析：

	稀疏采样	优化采样	密集采样
				采样点数	64	64	768
积分值	4.57184E-09	4.51929E-09	4.51164E-09

表中是三种采样方案积分结果的对比，从表中可以看出：从数值结果看，优化后的采样方案的积分值比稀疏方案更加接近密集采样方案，也就是离散采样后的积分结果与Maxwell平滑曲线差距会进一步缩小，且精度提升了一个数量级；从计算量看，优化后的采样用稀疏采样方案同样的计算量，达到了更接近密集采样的计算精度，提升了计算效率。又因为这一过程是统一算法中计算量较大的过程之一，因此对统一算法运算速度的提高将大有助益。

以上方案只是一种较佳实例的说明，但并不局限于此。在实施本发明时，可以根据使用者需求进行适当的替换和/或修改。

这里说明的设备数量和处理规模是用来简化本发明的说明的。对本发明的应用、修改和变化对本领域的技术人员来说是显而易见的。

尽管本发明的实施方案已公开如上，但其并不仅仅限于说明书和实施方式中所列运用。它完全可以被适用于各种适合本发明的领域。对于熟悉本领域的人员而言，可容易地实现另外的修改。因此在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念下，本发明并不限于特定的细节和这里示出与描述的图例。

Claims (1)

1.一种气体动理论统一算法中离散速度坐标点选取的优化方法，其特征在于，包括：

S1，通过在稀疏采样方案中，对网格中气体分子速度分布函数曲线随来流参数变化的图像进行对比，得到与速度分布函数曲线对称轴相关联的输入参数；

S2，基于输入参数与关联速度分布函数曲线的多个实例，得到输入参数与曲线对称轴位置的线性关系；

S3，将线性关系结果代入至统一算法程序中，对离散速度坐标点的采样选取进行优化；

在S1中，所述输入参数根据速度分布函数曲线的峰值确定为采用来流马赫数；

在S2中，所述线性关系的获得方式包括：

S21、设定速度分布函数曲线对称轴位置与输入参数的线性关系为y=ax+b，采用线性回归算法作为分析线性关系的机器学习工具；

S22、在稀疏方案和密集方案皆在Gauss-Legendre数值积分法的采样规则前提下，将对称轴问题拆分为统计曲线的左边界点及右边界点；

S23、制备来流马赫数与左边界、右边界能够逐一对应的数据统计表，用作机器学习的素材来源；

S24、采用留出法作为测试方法，将数据采用3：1的比例划分为训练集和测试集，可知线性关系中的系数a的取值范围约在0.837~0.838之间，系数b的绝对值集中在9.3左右；

S25、基于均方差较小、决定系数较大，且左、右边界点所属系数b的绝对值相近，故可得到：

左边界点坐标：L(Ma) ≈ 0.83Ma－9.3；

右边界点坐标：R(Ma) ≈ 0.83Ma＋9.3；

进而得到速度分布函数曲线对称轴位置与来流马赫数的关系为Vx=0.83Ma；

在S3中，将线性关系代入至统一算法的方法被配置为包括：

统一算法在计算前，通过设置来流马赫数Ma的值，对速度分布函数曲线对称轴位置Vx进行预判，再据此位置得到让采样点更趋近于曲线峰值附近的优化采样方案。

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