CN111832168A - 一种面向高维多目标优化的可视化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面向高维多目标优化的可视化方法，通过对多种多目标优化算法得到的最优解集中各目标的分析，给出一组合理的目标排序。针对多目标优化算法在高维问题上得到的最优解集，进行非支配排序将解集中被支配的解集过滤掉以保证最优解都是非支配解；然后通过核方法，评估解集中各目标之间的关联程度，并且生成一组关联矩阵；通过生成的关联矩阵，找出一组能直观反映最优解集中各目标冲突和关系的最优排序；最终在平行坐标轴上展现出目标的重新排序过后的最优解集。本发明能够针对不同优化算法在实际的高维多目标问题中产生的最优解提供一个新型的可视化方法，从而为决策者提供优质的解集信息，最终节约了在分析最优解过程中的时间和人力成本。

Description

一种面向高维多目标优化的可视化方法

技术领域

本发明涉及一种面向高维多目标优化的可视化方法，属于计算机软件开发技术领域。

背景技术

随着当今社会的发展，人工智能领域越来越受公众关注，其中针对高维的多目标优化问题也开始受到海内外研究者广泛的关注。在实际生产和工程时，高维的多目标优化问题往往也代表着算法需要同时优化的目标函数个数超过三个，最终算法得到的最优解集的目标数目也会同样是大于三个。在低维(二维，三维)优化问题再，最终解集的可视化往往是选用二维或三维坐标轴的散点图表示，其解集在帕累托面上的分布与解集各目标之间的关系很容易体现出来。但是在高维的多目标优化问题中，由于解集的目标个数大于三，二维和三维的散点图已经无法在解集的可视化上得到应用，取而代之的是高维平行坐标轴图。高维的平行坐标轴图可以在一定程度上反映解集的性质，但是由于其只能按目标刚开始规定顺序将解集展现在坐标轴上，会在一定程度上影响解集内部各目标之间关系的展现。总的来说，为了给决策者提供更多解集中各目标间的信息以便其能正确的评估解集的质量，能够快速的对解集的各目标进行排序，并最大程度上将解集内部各目标的关系体现出来，其在多目标优化问题的可视化的过程中是十分重要的步骤。

本专利采用的可视化方法可以快速的找出解集中各目标的关联程度，并且能快速的给出一个排序方案，利用该方案结合高维平行坐标轴图可以尽可能的将解集的内部各目标之间的关系反映在平行坐标轴上，以便为决策者提供解集相关的信息。下面将简单介绍一些多目标优化中涉及的相关概念。

高维多目标优化可视化相关概念：

1)帕累托支配(pareto dominance)：n维目标向量(在本专利中，用数学术语将解集中n个不同的目标表示为n维目标向量，如下文中提到非支配解集A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}就是一个四维向量)a累托支配目标向量b，当且仅当：

其中，a＞b表示目标向量a点支配目标向量b，a_i＜b_i表示a中的任意第i个目标a_i都要小于b点中的第i个目标b_i。

2)帕累托最优(pareto optimality)：若要定义某个目标向量a是帕累托最优，当且仅当：

a∈A，a＞A/a

其中，A为目标空间，其包含了包含目标向量a即其他目标向量。若目标向量a支配了目标空间A中除其本身以外所有的目标向量，则可定义该目标向量a为帕累托最优。

3)帕累托最优集(pareto optimal set)：帕累托最优集是由所有帕累托最优的目标向量组成的集合。

4)帕累托最优前沿(pareto optimal front)：帕累托前沿是帕累托最优集中的所有目标向量的集合。

另外，在帕累托最优集中的目标向量被称作非支配(non-dominated)向量，即在目标空间里没有目标向量帕累托支配非支配向量，并且非支配向量组成了空间上的帕累托前沿。

6)非支配排序法：每一个目标向量都会位于自身的帕累托前沿，在自身的帕累托前沿中各个目标向量彼此非支配，而且每一个非支配向量根据其在帕累托前沿位置进行排序，然后根据各个向量之间的距离进行对比，组成了非支配排序。

发明内容

本发明针对上述问题的不足，提出一种面向高维多目标优化的可视化方法，本发明能够在面对不同的工业和实际需求能够快速而准确地提供算法得到的最优解在高维平行坐标轴的可视化方案，从而节约决策者在判断算法优劣和观察解集信息的过程中的时间和人力等方面的代价，更直观的提供了高维多目标优化问题的可视化中最优解内部的目标间的信息。

一种面向高维多目标优化的可视化方法，包括以下步骤：

步骤1，利用多目标优化算法针对某个高维多目标优化问题进行求解，经过多次迭代筛选，将多目标优化算法每次求解得到的解集合并成一个集合，最终得出一组针对该问题的最优解集；

步骤2，根据步骤1确定的一组最优解集，进行非支配排序，将最优解集中所有的非支配解过滤掉，保证该解集中所有的解都是非支配解；

步骤3，步骤2得到的非支配解集，利用最大均值距离来度量非支配解集各目标之间的关联程度。在非支配解集中的每个目标都会与除该目标之外的其他所有目标进行相关性分析，得到各目标间的关联程度，并且构造一个关联矩阵保存非支配解集中各目标之间的关联信息；

步骤4，步骤3得到了一个非支配解集中各目标的关联矩阵，利用一组新型的快速的排序算法进行筛选。首先选择两个相关性最大的两个目标并分别设为排序的第一位α₁和第二位α₂，并且设置当前搜索的目标为排序为α₂，然后按行搜索找到解集中与当前搜索的目标α₂相关性最大的目标α₃，然后依次迭代到最好一个目标α_n，最终找到一组关于解集各目标相关性降序的排列顺序，并直接保存排列顺序{α₁，α₂，...，α_n}；

步骤5，步骤4得到了一组最优排序，结合高维可视化常用的平行坐标轴展示的方法，将解集展现在高维平行坐标轴上。

所述步骤1中针对不同的高维问题，利用多目标优化算法会多次求解，可以得到几组针对该问题的解集。由于算法得到的解集会分布是不相同的，计算几组算法求得的最优解集的并集。最终求得最优解的并集可以将尽可能将该算法在帕累托最优面上的分布体现出来。

所述步骤2中非支配排序，利用支配关系将步骤2中得到的所有最优解的并集进行非支配排序，将所有解集中被支配的解过滤掉，最终得到的解集是非支配解集。非支配关系的判断如下所示：

其中，a＞b表示最优解集中a点支配b点，a_i＜b_i表示a点中的任意第i个目标都要小于b点中的第i个目标。

所述步骤3中根据非支配解集生成一组关于解集中各目标相关程度的关联矩阵：

步骤31，令i＝0，i表示解集中当前第i个目标；

步骤32，令j＝0，j表示与步骤41中第i个目标相关的第j个目标；

步骤33，利用最大均值距离计算解集中第i个目标与第j个目标的相关程度MMD(f(i)，f(j))，其公式如下：

其中Ф(·)是映射，用于将原变量映射到再生核希尔伯特空间中(RKHS)；再生核希尔伯特空间是具有再生性＜K(x，·)，K(y，·)＞_H＝K(x，y)的希尔伯特空间，其空间中的内积可以转化成核函数，最终MMD可以直接通过核函数

进行计算；f(i)和f(j)表示解集中第i和第j个目标，s与t表示其目标的第s与t个解的下标。

步骤34，汇总解集中各目标间最大均值距离数值并保存成关联矩阵格式：

其中MMD_ij表示解集中第i与第j个目标最大均值距离(关联程度)，若距离越小则表示两个目标的相关性越大。

所述步骤4中根据步骤3生成的关联矩阵找出一组最优排列，可以最大化反映解集中各目标之间的关系：

步骤41，令index＝1，在关联矩阵MMD_matrix中找到各目标间关联性最大的两个目标，即找出MMD_matrix中数值最小的位置MMD_min；并设置在MMD_matrix中初始搜索的行为MMD_min所在的行α₁，并生成排序矩阵{α₁，...，α_i，...，α_n}，最终排序矩阵中的顺序为解集在平行坐标轴上显示的排列顺序；

步骤42，令index＝index+1；在关联矩阵MMD_matrix第α_index-1行中找出的当前列中找出最小值MMD_min，并赋值为MMD_min，根据MMD_min所在的列索引，记为α_index；将之前的α_index-1列和当前的α_index列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α_index-1行赋值为NaN；

步骤43，如果index≠n，其中n为解集中目标的个数，则继续进行步骤42的操作，搜索解集中与当前第α_index目标关联程度最大的下一个目标，直至index＝n；

最终可以得到一组最优的排序{α₁，...，α_i，...，α_n}，其中α_i为解集中某个目标的下标值。

所述步骤5中在高维的平行坐标轴上按步骤四得到的最有排序的顺序依次展示出非支配解集的形态。

本发明的一种面向高维多目标优化的可视化方法，相比现有技术，具有以下有益效果：

本发明提供的一种面向高维多目标优化的可视化方法，在面对不同的工业和实际需求能够快速而准确地提供算法得到的最优解在高维平行坐标轴的可视化方案，从而节约决策者在判断算法优劣和观察解集信息的过程中的时间和人力等方面的代价，更直观的提供了高维多目标优化问题的可视化中最优解内部的目标间的信息。

附图说明

图1为经过可视化方法处理的前后解集在高维平行坐标轴上的分布状况图，其中图1a是未经可视化方法处理前解集在高维平行坐标轴上的分布状况图，图1b是经过可视化方法处理前解集在高维平行坐标轴上的分布状况图。

图2为针对高维多目标优化问题的可视化方法的流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

一种基于规则挖掘的军事方案优化方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1，利用多目标优化算法针对某个高维多目标优化问题进行求解，经过多次迭代筛选，将多目标优化算法每次求解得到的解集合并成一个集合，最终得出一组针对该问题的最优解集；

步骤2，根据步骤1确定的一组最优解集，进行非支配排序，将最优解集中所有的非支配解过滤掉，保证该解集中所有的解都是非支配解；

步骤3，步骤2得到的非支配解集，利用最大均值距离来度量非支配解集各目标之间的关联程度。在非支配解集中的每个目标都会与除该目标之外的其他所有目标进行相关性分析，得到各目标间的关联程度，并且构造一个关联矩阵保存非支配解集中各目标之间的关联信息；

步骤4，步骤3得到了一个非支配解集中各目标的关联矩阵，利用一组新型的快速的排序算法进行筛选。首先选择两个相关性最大的两个目标并分别设为排序的第一位α₁和第二位α₂，并且设置当前搜索的目标为排序为α₂，然后按行搜索找到解集中与当前搜索的目标α₂相关性最大的目标α₃，然后依次迭代到最好一个目标α_n，最终找到一组关于解集各目标相关性降序的排列顺序，并直接保存排列顺序{α₁，α₂，...，α_n}；

步骤5，步骤4得到了一组最优排序，结合高维可视化常用的平行坐标轴展示的方法，将解集展现在高维平行坐标轴上。

所述步骤1中针对不同的高维问题，利用多目标优化算法会多次求解，可以得到几组针对该问题的解集。由于算法得到的解集会分布是不相同的，计算几组算法求得的最优解集的并集。最终求得最优解的并集可以将尽可能将该算法在帕累托最优面上的分布体现出来。

所述步骤2中非支配排序，利用支配关系将步骤2中得到的所有最优解的并集进行非支配排序，将所有解集中被支配的解过滤掉，最终得到的解集是非支配解集。非支配关系的判断如下所示：

其中，a＞b表示最优解集中a点支配b点，a_i＜b_i表示a点中的任意第i个目标都要小于b点中的第i个目标。

所述步骤3中根据非支配解集生成一组关于解集中各目标相关程度的关联矩阵：

步骤31，令i＝0，i表示解集中当前第i个目标；

步骤32，令j＝0，j表示与步骤31中第i个目标相关的第j个目标；

步骤33，利用最大均值距离计算解集中第i个目标与第j个目标的相关程度MMD(f(i)，f(j))，其公式如下：

其中Ф(·)是映射，用于将原变量映射到再生核希尔伯特空间中(RKHS)；再生核希尔伯特空间是具有再生性＜K(x，·)，K(y，·)＞_H＝K(x，y)的希尔伯特空间，其空间中的内积可以转化成核函数，最终MMD可以直接通过核函数

进行计算；f(i)和f(j)表示解集中第i和第j个目标，s与t表示其目标的第s与t个解的下标。

步骤34，汇总解集中各目标间最大均值距离数值并保存成关联矩阵格式：

其中MMD_ij表示解集中第i与第j个目标最大均值距离(关联程度)，若距离越小则表示两个目标的相关性越大。

所述步骤4中根据步骤3生成的关联矩阵找出一组最优排列，可以最大化反映解集中各目标之间的关系：

步骤41，令index＝1，在关联矩阵MMD_matrix中找到各目标间关联性最大的两个目标，即找出MMD_matrix中数值最小的位置MMD_min；并设置在MMD_matrix中初始搜索的行为MMD_min所在的行α₁，并生成排序矩阵{α₁，...，α_i，...，α_n}，最终排序矩阵中的顺序为解集在平行坐标轴上显示的排列顺序；

步骤42，令index＝index+1；在关联矩阵MMD_matrix第α_index-1行中找出的当前列中找出最小值MMD_min，并赋值为MMD_min，根据MMD_min所在的列索引，记为α_index；将之前的α_index-1列和当前的α_index列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α_index-1行赋值为NaN；

步骤43，如果index≠n，其中n为解集中目标的个数，则继续进行步骤42的操作，搜索解集中与当前第α_index目标关联程度最大的下一个目标，直至index＝n；

最终可以得到一组最优的排序{α₁，...，α_i，...，α_n}，其中α_i为解集中某个目标的下标值。

所述步骤5中在高维的平行坐标轴上按步骤四得到的最有排序的顺序依次展示出非支配解集的形态。

实施案例

一、总体实现方案

一种面向高维多目标优化的可视化方法，以基于高维平行坐标轴的高维可视化方法，提出一种基于最大均值距离的重新排列方法的高维多目标优化问题的可视化方法。基于最大均值距离的重排列方法的高维多目标优化问题的可视化方法，如图2所示。

二、具体实现步骤

(1)算法生成最优解

利用多目标优化算法(SPEA2+SDE)针对一个四维多目标优化问题(ML-DMP)进行问题求解，算法经过多次迭代筛选最终求得多个基于ML-DMP问题的解集S₁，...，S_n，将SPEA2+SDE算法每次求解得到的解集合并成一个集合，最终得出一组针对该问题的最优解集S。

(2)非支配排序

根据步骤1确定的优化算法得到的目标问题的最优解集S进行非支配排序，将解集S中所有非支配点过滤掉，以保证最终解集S中的点都是收敛到帕累托前沿上的点，且尽可能的展现出其在帕累托前沿上的分布。其中非支配排序的判断如下所示：

其中，a＞b表示最优解集中a点支配b点，a_i＜b_i表示a点中的任意第i个目标都要小于b点中的第i个目标。若解集S中某个点a被解集S中除该点外的点b支配，则判定a为解集中的被支配点，即

最终在非支配排序中解S集中的a点可以被过滤掉。经过非支配排序后，得到的解集S为非支配的解集。

(3)生成关联矩阵

步骤2得到的非支配解集S，利用最大均值距离MMD来度量解集S中的各个目标之间的关联程度，其中解集S中每个目标表示为f(i)。在解集S中的每个目标都会与除该目标之外的其他所有目标进行相关性分析，得到各目标间的关联程度，并且构造一个关联矩阵保存解集S中各目标之间的关联信息。

首先计算解集S中第一个目标f(1)与除了第一个目标f(1)之外目标f(2)，f(3)，f(4)的最大均值距离的值，并生成关联矩阵MMD_matrix记录为MMD₁₂，MMD₁₃，MMD₁₄。其中MMD_ij的计算公式为：

其中Ф(·)是映射，用于将原变量映射到再生核希尔伯特空间中(RKHS)；再生核希尔伯特空间是具有再生性＜K(x，·)K(y，·)＞_H＝K(x，y)的希尔伯特空间，其空间中的内积可以转化成核函数，最终MMD可以直接通过核函数

进行计算；f(i)和f(j)表示解集S中第i和第j个目标，s与t表示其目标的第s与t个解的下标；n₁/n₂分别表示为解集S中目标i/j的数目。

在关联矩阵MMD_matrix中，由于解集S中每个目标的和自身的关联度一定是最大的，会影响搜索，所以对关联矩阵MMD_matrix中所有的主对角线元素赋值为NaN，例如关联矩阵MMD_matrix中一行第一列的赋值为MMD₁₁＝NaN。

接着计算解集S中第二个目标f(2)与除了第二个目标f(2)之外目标f(1)，f(3)，f(4)的最大均值距离的值，在对应的关联矩阵MMD_matrix中记为MMD₂₁，MMD₂₃，MMD₂₄，第二个主对角先元素赋值为NaN，即MMD₂₂＝NaN；解集S中第三个目标f(3)与除了第三个目标f(3)之外目标f(1)，f(2)，f(4)的最大均值距离的值，在对应的关联矩阵MMD_matrix中记为MMD₃₁，MMD₃₂，MMD₃₄，第三个主对角先元素赋值为NaN，即MMD₃₃＝NaN；解集S中第四个目标f(4)与除了第四个目标f(4)之外目标f(1)，f(2)，f(3)的最大均值距离的值，在对应的关联矩阵MMD_matrix中记为MMD₄₁，MMD₄₂，MMD₄₃，第四个主对角先元素赋值为NaN，即MMD₄₄＝NaN。

最终汇总解集S中各目标间最大均值距离数值，其中数值越小则代表两个目标之间的关联程度大，并保存成关联矩阵格式：

(4)在关联矩阵中寻找目标间最优排序

根据步骤3得到了一个关于非支配解集S中的各目标的关联矩阵MMD_matrix，然后利用一组新型的快速的排序算法进行筛选。然后进行初始化的过程，之后再关联矩阵MMD_matrix中的搜索方式是按目标间关联程度的降序查找，即每次搜索都是寻找当前关联矩阵中的最小值MMD_min，最终找到的目标之间的关联性会越来越大，每次MMD_min的数值也会越来越大。

步骤41，令index＝1，在关联矩阵MMD_matrix中找到各目标间关联性最大的两个目标，即找出MMD_matrix中数值最小的位置，为MMD₂₄和MMD₄₂；并设置最初始点搜索行为2，并生成排序矩阵{α₁，α₂，α₃，α₄}，其中α₁＝2；

步骤42，令index＝2，在关联矩阵MMD_matrix第α₁＝2行中找出的当前列中找出最小值MMD_min，并赋值为MMD_min＝MMD₂₄，根据MMD_min所在的列索引，记为α₂＝4；将之前的α₁列和当前的α₂列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α₁行赋值为NaN；经过搜索运算，关联矩阵MMD_matrix经过重新赋值后格式如下：

步骤43，因为index＝2，则继续进行步骤42的操作；令index＝3，在关联矩阵MMD_matrix第α₂＝4行中的最小值MMD₄₁并赋值为MMD_min＝MMD₄₁，根据MMD_min所在的列索引，记为α₃＝1；将之前的α₂列和当前的α₃列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α₂行赋值为NaN；经过搜索运算，关联矩阵MMD_matrix经过重新赋值后格式如下：

步骤44，因为index＝3，则继续进行步骤42的操作；令index＝4，在关联矩阵MMD_matrix第α₃＝1行中的最小值MMD₁₃并赋值为MMD_min＝MMD₁₃，根据MMD_min所在的列索引，记为α₄＝3；将之前的α₃列和当前的α₄列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α₃行赋值为NaN；经过搜索运算，关联矩阵MMD_matrix经过重新赋值后格式如下：

步骤45，因为index＝4，则停止搜索，且得到了一组排序矩阵{α₁，α₂，α₃，α₄}＝{2，4，1，3}，每个α_i表示解集S中第i个目标的索引。

(5)结合排序在高维平行坐标轴上展示

步骤4得到了最优排序，结合高维可视化常用的平行坐标轴展示的方法，将解集展现在高维平行坐标轴上。

上面结合附图所描述的本发明优选具体实施例仅用于说明本发明的实施方式，而不是作为对前述发明目的和所附权利要求内容和范围的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术和权利保护范畴。

Claims (6)

1.一种面向高维多目标优化的可视化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，利用多目标优化算法针对某个高维多目标优化问题进行求解，经过多次迭代筛选，将多目标优化算法每次求解得到的解集合并成一个集合，最终得出一组针对该问题的最优解集；

步骤2，根据步骤1确定的一组最优解集，进行非支配排序，将最优解集中所有的非支配解过滤掉，保证该解集中所有的解都是非支配解；

步骤3，步骤2得到的非支配解集，利用最大均值距离来度量非支配解集各目标之间的关联程度。在非支配解集中的每个目标都会与除该目标之外的其他所有目标进行相关性分析，得到各目标间的关联程度，并且构造一个关联矩阵保存非支配解集中各目标之间的关联信息；

步骤4，步骤3得到了一个非支配解集中各目标的关联矩阵，利用一组新型的快速的排序算法进行筛选。首先选择两个相关性最大的两个目标并分别设为排序的第一位α₁和第二位α₂，并且设置当前搜索的目标为排序为α₂，然后按行搜索找到解集中与当前搜索的目标α₂相关性最大的目标α₃，然后依次迭代到最好一个目标α_n，最终找到一组关于解集各目标相关性降序的排列顺序，并直接保存排列顺序{α₁，α₂，...，α_n}；

步骤5，步骤4得到了一组最优排序，结合高维可视化常用的平行坐标轴展示的方法，将解集展现在高维平行坐标轴上。

2.根据权利要求1所述的针对高维多目标优化问题的可视化方法，其特征在于：所述步骤1中针对不同的高维问题，利用多目标优化算法会多次求解，可以得到几组针对该问题的解集。由于算法得到的解集会分布是不相同的，计算几组算法求得的最优解集的并集。最终求得最优解的并集可以将尽可能将该算法在帕累托最优面上的分布体现出来。

3.根据权利要求1所述的针对高维多目标优化问题的可视化方法，其特征在于：所述步骤2中非支配排序，利用支配关系将步骤2中得到的所有最优解的并集进行非支配排序，将所有解集中被支配的解过滤掉，最终得到的解集是非支配解集。非支配关系的判断如下所示：

其中，a＞b表示最优解集中a点支配b点，a_i＜b_i表示a点中的任意第i个目标都要小于b点中的第i个目标。

4.根据权利要求1所述的针对高维多目标优化问题的可视化方法，其特征在于：所述步骤3 中根据非支配解集生成一组关于解集中各目标相关程度的关联矩阵：

步骤31，令i＝0，i表示解集中当前第i个目标；

步骤32，令j＝0，j表示与步骤41中第i个目标相关的第j个目标；

步骤33，利用最大均值距离计算解集中第i个目标与第j个目标的相关程度MMD(f(i)，f(j))，其公式如下：

其中Φ(·)是映射，用于将原变量映射到再生核希尔伯特空间中(RKHS)；再生核希尔伯特空间是具有再生性＜K(x，·)，K(y，·)＞H＝K(x，y)的希尔伯特空间，其空间中的内积可以转化成核函数，最终MMD可以直接通过核函数

进行计算；f(i)和f(j)表示解集中第i和第j个目标，s与t表示其目标的第s与t个解的下标。

步骤34，汇总解集中各目标间最大均值距离数值并保存成关联矩阵格式：

其中MMD_ij表示解集中第i与第j个目标最大均值距离(关联程度)，若距离越小则表示两个目标的相关性越大。

5.根据权利要求1所述的针对高维多目标优化问题的可视化方法，其特征在于：所述步骤4中根据步骤3生成的关联矩阵找出一组最优排列，可以最大化反映解集中各目标之间的关系：

步骤41，令index＝1，在关联矩阵MMD_matrix中找到各目标间关联性最大的两个目标，即找出MMD_matrix中数值最小的位置MMD_min；并设置在MMD_matrix中初始搜索的行为MMD_min所在的行α₁，并生成排序矩阵{α₁，...，α_i，...，α_n}，最终排序矩阵中的顺序为解集在平行坐标轴上显示的排列顺序；

步骤42，令index＝index+1；在关联矩阵MMD_matrix第α_index-1行中找出的当前列中找出最小值MMD_min，并赋值为MMD_min，根据MMD_min所在的列索引，记为α_index；将之前的α_index-1列和当前的α_index列在关联矩阵MMD_matrix中赋值为NaN，将当前关联矩阵MMD_matrix中做过搜索运算的第α_index-1行赋值为NaN；

步骤43，如果index≠n，其中n为解集中目标的个数，则继续进行步骤42的操作，搜索解集中与当前第α_index目标关联程度最大的下一个目标，直至index＝n；

最终可以得到一组最优的排序{α₁，...，α_i，...，α_n}，其中α_i为解集中某个目标的下标值。

6.根据权利要求1所述的针对高维多目标优化问题的可视化方法，其特征在于：所述步骤5中在高维的平行坐标轴上按步骤四得到的最有排序的顺序依次展示出非支配解集的形态。

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