CN111814333A - 奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，包括：步骤S1，考虑一类追随者Lur’e网络并确认其领导节点；步骤S2，通过传感器获得各节点状态信息并建立误差网络模型；步骤S3，返回各邻接节点的状态信息并布置自适应牵制控制器；步骤S4，选取李雅普诺夫函数并在自适应牵制控制器的控制效果下达到聚类同步；步骤S5，通过搭建网络模型并利用此网络模型进行数值仿真，来验证追随者网络模型与领导节点之间的同步效果。本发明有效减少控制器个数同时降低控制成本。考虑到网络具有多种耦合方式，本文合理构造Lyapunov泛函，并有效利用扇形条件、非线性函数类概念以及Lyapunov稳定性定理等方法，给出了奇异Lur’e动态网络实现聚类同步的判定条件。

Description

奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法

技术领域

本发明涉及一种复杂网络同步方法，属于信息技术领域。

背景技术

近二十年来，复杂系统和复杂动态网络已成为生态科学、工程学和社会学等诸多学科领域广泛关注和研究的热点。现实世界和人类社会中存在大量与人们日常生活密切相关的复杂网络，如通信网、社交网和互联网等。网络上传播、扩散和同步等动力学行为是复杂动态网络研究的基本问题，尤其是同步这一集群行为更是受到了广泛关注。在当前文献中，许多重要的同步现象和模型已经得到了深入的研究，如全局同步，相同步和聚类同步等。

一般来说，聚类同步是指每一聚类中的任意动态节点相互同步而不同聚类之间没有要求。在现有大多数聚类同步工作中，考虑的都是具有非奇异节点的一般网络的聚类同步问题，即所有节点的局部动力学行为都是相同的。显然，假设所有节点都是具有相同的动力学行为很不现实，例如在新陈代谢、神经或者社交网络中，不同聚类中任意一对节点按照其功能划分是不同的。

事实上，大部分复杂网络是无法通过调节系统自身参数实现同步，因此设计合适的控制器就变得至关重要。现如今已经出现了许多有效的控制策略，如牵制控制，脉冲控制，自适应控制等。由于复杂网络具有规模巨大这一特点，从而为每一个节点施加控制器在现实中变得异常困难。而牵制控制作为一种仅控制一小部分节点的控制方式，受到广泛关注。另一方面，为了实现网络的同步，针对网络控制器一般需要非常大的控制器强度，这样不仅增加了控制成本同时造成了资源浪费。因此，樊春霞等提出了一种自适应牵制控制方法来实现复杂网络的同步。

对于一个复杂网络而言，状态向量是用来表示当前系统的空间位置，而状态导数向量则可以被看作是不同系统之间的信息交换速率。所以针对导数型耦合复杂网络，当前系统的变化率是由当前系统的动力学性态和与之相邻系统的变化率共同决定的。

到目前为止，具有奇异Lur’e系统经非线性、时滞和导数方式耦合而成的复杂动态网络的聚类同步问题还很少受到关注。理论证明的复杂性和实际应用的重要性促使本申请进行这项工作。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的不足，提供一种奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，充分考虑了复杂网络局部动力学行为不是完全相同这一现实情况，对奇异Lur’e网络进行建模；对奇异Lur’e网络进行建模时，同时考虑了三种不同的耦合方法，即一般状态耦合、延迟状态耦合和状态导数耦合；充分考虑了现有聚类中的Lur’e系统与其他聚类中的Lur’e系统存在定向路径情况，设计了一种自适应牵制控制器，巧妙选择受控节点。本发明采用的技术方案是：

一种奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，包括：

步骤S1，考虑一类追随者Lur’e网络并确认其领导节点；

步骤S2，通过传感器获得各节点状态信息并建立误差网络模型；

步骤S3，返回各邻接节点的状态信息并布置自适应牵制控制器；

步骤S4，选取李雅普诺夫函数并在自适应牵制控制器的控制效果下达到聚类同步；

步骤S5，通过搭建网络模型并利用此网络模型进行数值仿真，来验证追随者网络模型与领导节点之间的同步效果。

进一步地，步骤S1具体包括：

将每个聚类中的同步问题看成是一类领导-跟随问题；一个追随者Lur’e网络是由多个Lur’e系统经非线性、时滞和导数方式耦合而成的，第μ_i个聚类其具体网络模型如下：

其中：

是节点的状态向量i＝1，2…，M；

是常数矩阵；τ＞0是耦合时滞，正常数c₁，c₂，c₃是网络的耦合强度；Γ＝diag{r₁，r₂，…，r_n}表示内部耦合矩阵，为了简单起见，假设Γ为单位矩阵；

是在

上连续可微的非线性函数；

和

是由网络拓扑结构所决定的耦合矩阵，另外它还满足耗散条件，即

和

其中如果第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统有连接，b_ij(≠b_ji)＞0(q_ij(≠q_ji)＞0)，否则b_ij＝0(q_ij＝0)；

是导数型耦合矩阵，并假设它是对称矩阵且满足耗散条件，即当第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统相连时有w_ij＝w_ji＞0，否则w_ij＝w_ji＝0；u_i(t)是自适应牵制控制器；

是非线性耦合函数且

记

Ay_i(t)＝[a₁y_i(t)，a₂y_i(t)，…a_ny_i(t)]^T，#(2)

其中：

假设函数

满足如下扇形条件：

其中

和

是两个非负正数；

确认领导节点：一类具有不同节点的追随者Lur’e网络，将其分成若干个聚类并在每个聚类中任意选取一个节点作为领导节点；确认如下第μ_i个聚类的领导节点为：

其中

在第μ_i个聚类中的所有Lur’e系统都可用公式(1)表示。

进一步地，步骤S2具体包括：

通过传感器获得各节点的状态信息，则能够得到误差向量e_i(t)＝y_i(t)-s_μi(t)的状态信息，其中

得到如下带有非线性、时滞和导数方式耦合的被控奇异Lur’e误差网络模型：

为了简化分析，定义下列函数：

根据上述定义以及扇形条件(4)，得到如下条件：

显然上式等价于

其中a_je_i(t)≠0和

为了后续理论分析方便，记

其中：k＝1，2…，m；通过对所述误差网络模型的处理，从而可以将复杂网络各节点的同步问题转换为一个误差网络全局稳定性问题。

进一步地，步骤S3具体包括：

为了实现公式(1)表示的追随者Lur’e网络即节点与公式(5)表示的领导节点之间的网络同步，通过向每个节点传输邻接节点与目标同步节点的状态信息，和矩阵B满足耗散条件，则对于所有

有

因此，针对

设计了如下自适应牵制控制器u_i(t)：

否则，当

设计u_i(t)＝0；其中∈_i(t)＞0是时变负反馈控制增益。

本发明的优点在于：

1)为了反映耦合网络的真实情况，本发明考虑了具有三种不同耦合方式的奇异Lur’e网络模型，一般状态耦合、延迟状态耦合、导数状态耦合。由此可以知道，第i个Lur’e系统的变化速度是由第i个Lur’e系统的动力学及其相邻神经网络的速度决定的。

2)本发明中只要满足结论中所提及的两个条件则就可以实现奇异Lur’e网络的聚类同步。

3)在本发明中通过设计的牵制控制从而有效减少控制器个数，并通过针对控制强度设计自适应更新法则，得到最优控制强度，最终有效降低了控制成本。

4)在本发明中通过引用非线性函数类概念(NCF)、S-过程以及扇形条件等方法得到的充分条件有效降低了系统的保守性。

附图说明

图1为本发明实施例中的方法流程图。

图2为本发明实施例中的自适应牵制控制的奇异Lur’e网络聚类同步实现流程图。

图3为本发明实施例中的Lur’e系统结构图。

图4为本发明实施例中的每个聚类的同步误差示意图。

图5为本发明实施例中的两个聚类之间同步误差示意图。

图6为本发明实施例中的自适应控制强度演化曲线示意图。

具体实施方式

下面结合具体附图和实施例对本发明作进一步说明。

本发明实施例提出一种奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，包括：

步骤S1，考虑一类追随者Lur’e网络并确认其领导节点；

此步骤中，考虑一类追随者Lur’e网络并确认其领导节点，因此可将本申请中的同步问题看成是一类领导-跟随问题；一个追随者Lur’e网络是由多个Lur’e系统(节点)经非线性、时滞和导数方式耦合而成的，第μ_i个聚类其具体网络模型如下：

其中：

是节点的状态向量i＝1，2…，M；

是常数矩阵；τ＞0是耦合时滞，正常数c₁，c₂，c₃是网络的耦合强度；Γ＝diag{r₁，r₂，…，r_n}表示内部耦合矩阵，为了简单起见，假设Γ为单位矩阵；

是在

上连续可微的非线性函数；

和

是由网络拓扑结构所决定的耦合矩阵，另外它还满足耗散条件，即

和

其中如果第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统有连接，b_ij(≠b_ji)＞0(q_ij(≠q_ji)＞0)，否则b_ij＝0(q_ij＝0)；

是导数型耦合矩阵，并假设它是对称矩阵且满足耗散条件，即当第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统相连时有w_ij＝w_ji＞0，否则w_ij＝w_ji＝0；u_i(t)是自适应牵制控制器，它将在之后被设计；

是非线性耦合函数且

记

Ay_i(t)＝[a₁y_i(t)，a₂y_i(t)，…a_ny_i(t)]^T，#(2)

其中：

假设函数

满足如下扇形条件：

其中

和

是两个非负正数；

确认领导节点：由于本申请讨论的是一类具有不同节点的追随者Lur’e网络，所以要将其分成若干个聚类并在每个聚类中任意选取一个节点作为领导节点；在本申请中，确认如下第μ_i个聚类的领导节点为：

其中

在第μ_i个聚类中的所有Lur’e系统都可用公式(1)表示；因此，公式(1)表示的追随者Lur’e网络与公式(5)表示的领导节点的聚类同步问题就可以看作是领导-追随问题；

步骤S2，通过传感器获得各节点状态信息并建立误差网络模型；具体包括：

通过传感器获得各节点的状态信息，则可以得到误差向量e_i(t)＝y_i(t)-s_μi(t)的状态信息，其中

得到如下带有非线性、时滞和导数方式耦合的被控奇异Lur’e误差网络模型：

为了简化分析，定义下列函数：

根据上述定义以及扇形条件(4)，得到如下条件：

显然上式等价于

其中a_je_i(t)≠0和

为了后续理论分析方便，记

其中：k＝1，2…，m；通过对所述误差网络模型的处理，从而可以将复杂网络各节点的同步问题转换为一个误差网络全局稳定性问题，更易于处理；

步骤S3，返回各邻接节点的状态信息并布置自适应牵制控制器；

为了实现公式(1)表示的追随者Lur’e网络即节点与公式(5)表示的领导节点之间的网络同步，通过向每个节点传输邻接节点与目标同步节点的状态信息，和矩阵B满足耗散条件，则对于所有

有

因此，针对

设计了如下自适应牵制控制器u_i(t)：

否则，当

设计u_i(t)＝0；其中∈_i(t)＞0是时变负反馈控制增益；

本发明所设计的自适应牵制控制器中第一部分用于同步同一聚类中的所有Lur’e系统，而其余几项则用于削弱不同聚类之间由Lur’e系统连接造成的相互影响；

定义：若对于任意初值，只有当μ_i＝μ_j时才有lim_t→∞||y_i-y_j||＝0，而当μ_i≠μ_j时lim_t→∞||y_i-y_j||≠0则称有g个聚类的复杂动态网络是聚类同步的；

下面，将讨论具有非线性、时滞和导数方式耦合的公式(1)表示的追随者Lur’e网络的聚类同步条件；所有的数学表述都是基于Lyapunov稳定性定理、扇形条件、非线性函数类概念等方法，本发明利用所设计的公式(10)表示的自适应牵制控制器实现公式(1)表示的追随者Lur’e网络即节点与公式(5)表示的领导节点之间聚类同步的充分条件；

步骤S4，选取李雅普诺夫函数并在自适应牵制控制器的控制效果下达到聚类同步；

在上面所设计的自适应牵制控制器的作用下并选取如下李雅普诺夫函数：

其中符号

表示克罗克内积，I_m是m维单位矩阵，常数ξ＞σ＞0，ρ＞0并且θ是变量，dθ是积分变量，则V(t)沿着误差网络模型(6)关于时间t的导数为；

分别考虑V₁(t)，V₂(t)，V₃(t)，V₄(t)四部分，记

利用克罗克内积将V₁(t)表示为

其中：

I_M是M维单位矩阵；

首先将通过公式(9)和S过程来证明V₁(t)＜0；根据结论中的条件(i)，存在正常数

针对

有如下不等式成立：

其中，

因此，由V₁(t)-G＜0与G≤0可知V₁(t)＜0；

记

又有l_k(·)∈NCF(ξ，σ)，则可以推导出

对于V₃(t)，有

其中：P＝diag{∈₁，∈₂，…，∈_M}，另

结合公式(12)，(16)，(17)和(18)有

其中：

根据结论中的条件(ii)，可以得到V₂(t)+V₃(t)+V₄(t)＜0；

综上可知

由李雅普诺夫稳定性定理和定义可知公式(1)表示的追随者Lur’e网络可实现聚类同步，即e_i(t)→0，∈_i(t)→∈_i(t→∞)；也就是说，节点在每个聚类(第μ_i聚类同步到目标状态

)中完全同步到相应聚类的目标状态；因此，聚类同步流

是全局稳定的；

结论：

若存在正常数η，∈_i，

和正定矩阵

使得(i)矩阵不等式：

(ii)对于一个正定对角矩阵C，有

则公式(6)表示的被控奇异Lur’e误差网络是全局稳定的，即在控制强度自适应法则：

和公式(10)表示的自适应牵制控制器作用下，公式(1)表示的追随者Lur’e网络即节点与公式(5)表示的领导节点可实现聚类同步，

其中：

步骤S5，通过搭建网络模型并利用此网络模型进行数值仿真，来验证追随者网络模型与领导节点之间的同步效果；

以下是一个具体的数值仿真实例；

步骤1：确定追随者Lur’e网络和领导节点；选择经典Lur’e系统的代表，考虑如下蔡氏电路：

其中：非线性函数

选取6个蔡氏电路组成的追随者Lur’e网络如图3，其中数字1，2，3，4，5，6表示6个Lur’e追随者节点，而1，2，3三个追随节点构成聚类U₁＝{1，2，3}，后面3个追随者节点构成聚类U₂＝{4，5，6}，从图3中可以看出只有节点2和节点4是属于不同聚类且直接相连的节点，所以选择这两个节点作为牵制节点，其中属于聚类U₁的Lur’e系统动态行为如公式(23)，而属于聚类U₂的Lur’e系统动态行为如公式(24)；

且非线性函数

满足扇形条件[0，k]；

且非线性函数

满足扇形条件[0，1]。

步骤2：取非线性耦合函数l_k∈NCF(1.3，0.2)，k＝1，2，3。并令ρ＝0.5，γ₁＝0.1，Δ₁＝1，γ₂＝0.1，Δ₂＝1，τ＝0.1，c₁＝0.95，c₂＝0.5，c₃＝0.1使用MATLAB线性矩阵不等式工具箱解线性矩阵不等式(20)-(22)可以得到满足公式(1)表示的奇异追随者Lur’e网络的具体参数：Z₁＝8.153，Z₂＝11.834，η＝1以及正定对角阵C＝diag{0.5741，0.5741，0.033，0.2447，0.1339}，P＝diag{0，2.085，0，2.361，0，0}。

步骤3：搭建公式(1)表示的奇异追随者Lur’e网络的Simulink模型，得到仿真结果，并通过定义同步误差

得到图4，表示聚类1和聚类2的同步误差随着时间t的演化曲线

i∈U₁，j+3∈U₂得到图5表示两个聚类之间的误差。根据自适应更新定律(22)，得到图6表示自适应控制强度随时间变化曲线。通过对上述图4-图6分析可知，在同一个聚类中的每个Lur’e系统是完全同步的，而在不同聚类里的任何两个Lur’e系统是不同步的，再结合定义可知此追随者Lur’e网络实现了聚类同步。

最后所应说明的是，以上具体实施方式仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照实例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，其特征在于，包括：

步骤S1，考虑一类追随者Lur’e网络并确认其领导节点；

步骤S2，通过传感器获得各节点状态信息并建立误差网络模型；

步骤S3，返回各邻接节点的状态信息并布置自适应牵制控制器；

步骤S4，选取李雅普诺夫函数并在自适应牵制控制器的控制效果下达到聚类同步；

步骤S5，通过搭建网络模型并利用此网络模型进行数值仿真，来验证追随者网络模型与领导节点之间的同步效果。

2.如权利要求1所述的奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，其特征在于，

步骤S1具体包括：

将同步问题看成是一类领导-跟随问题；一个追随者Lur’e网络是由多个Lur’e系统经非线性、时滞和导数方式耦合而成的，其具体网络模型如下：

其中：

是节点的状态向量i＝1，2…，M；

是常数矩阵；τ＞0是耦合时滞，正常数c₁，c₂，c₃是网络的耦合强度；Γ＝diag{r₁，r₂，…，r_n}表示内部耦合矩阵，为了简单起见，假设Γ为单位矩阵；

是在

上连续可微的非线性函数；

和

是由网络拓扑结构所决定的耦合矩阵，另外它还满足耗散条件，即

和

其中如果第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统有连接，b_ij(≠b_ji)＞0(q_ij(≠q_ji)＞0)，否则b_ij＝0(q_ij＝0)；

是导数型耦合矩阵，并假设它是对称矩阵且满足耗散条件，即当第j个Lur’e系统与第i个Lur’e系统相连时有w_ij＝w_ji＞0，否则w_ij＝w_ji＝0；u_i(t)是自适应牵制控制器；L(y(t))：

是非线性耦合函数且

记

Ay_i(t)＝[a₁y_i(t)，a₂y_i(t)，…a_ny_i(t)]^T，#(2)

其中：

假设函数

满足如下扇形条件：

其中

和

是两个非负正数；

确认领导节点：一类具有不同节点的追随者Lur’e网络，将其分成若干个聚类并在每个聚类中任意选取一个节点作为领导节点；确认如下第μ_i个聚类的领导节点为：

其中

在第μ_i个聚类中的所有Lur’e系统都可用公式(1)表示。

3.如权利要求2所述的奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，其特征在于，

步骤S2具体包括：

通过传感器获得各节点的状态信息，则能够得到误差向量e_i(t)＝y_i(t)-s_μi(t)的状态信息，其中

得到如下带有非线性、时滞和导数方式耦合的被控奇异Lur’e误差网络模型：

为了简化分析，定义下列函数：

根据上述定义以及扇形条件(4)，得到如下条件：

显然上式等价于

其中a_je_i(t)≠0和

为了后续理论分析方便，记

其中：k＝1，2…，m；通过对所述误差网络模型的处理，从而可以将复杂网络各节点的同步问题转换为一个误差网络全局稳定性问题。

4.如权利要求3所述的奇异Lur’e网络聚类同步的牵制节点选择方法，其特征在于，

步骤S3具体包括：

为了实现公式(1)表示的追随者Lur’e网络即节点与公式(5)表示的领导节点之间的网络同步，通过向每个节点传输邻接节点与目标同步节点的状态信息，和矩阵B满足耗散条件，则对于所有

有

因此，针对

设计了如下自适应牵制控制器u_i(t)：

否则，当

设计u_i(t)＝0；其中∈_i(t)＞0是时变负反馈控制增益。

Images