CN111786658B - 一种基于降维法的自适应滤波器 - Google Patents

一种基于降维法的自适应滤波器 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于降维法的自适应滤波器，该自适应滤波器在应用时包括以下步骤：设置滤波器的阶数N和约束方程的个数M，应该注意在设置这两个常数时应该满足N≤M的条件；对滤波器的权值h1,h2…hN进行初始化赋值分别为
Figure DDA0002575353400000011
将输入信号和误差信号代入自适应滤波算法中的迭代公式，按照从上到下的顺序求解下一时刻的滤波器权值
Figure DDA0002575353400000012
输入下一时刻的输入信号x(n+1)，根据新的输入信号x(n+1)和新的滤波器权值
Figure DDA0002575353400000013
对误差信号e进行更新；重新调用自适应滤波算法中的迭代公式求解出新的滤波器权值
Figure DDA0002575353400000014
重复调用前述步骤使自适应滤波器的权值向着使误差信号模值最小的点收敛；步骤6、当误差信号达到允许的范围内的时候停止。本发明具有收敛速度快、精度高、鲁棒性强、不需选择迭代步长等优点。

Description

一种基于降维法的自适应滤波器
技术领域
本发明属于信号处理技术领域，涉及一种基于降维法的自适应滤波器。
背景技术
目前自适应算法有很多，收敛速度最快的方法有维纳法和牛顿法，但是这两种方法都需要对矩阵进行求逆运算，导致运算量过大，运算时间过长，而且用两种方法做信号处理时，两种方法只能对平稳信号做处理，对于非平稳信号就会失效，所以这两种方法在工程应用中很不实用。
由于采用迭代的方法来求解，适合计算机、可编程电路等进行运算，所以基于迭代方式计算的自适应滤波器在工程上很常用。常用的自适应迭代算法有LMS(Least MeanSquare)算法和RLS(Recursive Least Square)算法。LMS算法具有运算量小、实现简单、可以处理非平稳信号的优点，但是缺点是收敛速度慢，而且需要考虑迭代步长的选择问题，迭代步长选择的过大则会造成无法收敛的结果，选择过小则会减小滤波器的收敛速度，迭代步长的选取一般要凭经验进行选取。RLS算法是利用上一时刻的滤波器权系数，根据代价函数自动调节得到当前时刻的滤波器权系数。这种算法克服了LMS收敛速度慢的缺点，同时也可以处理非平稳信号，但是这种算法的缺点是涉及矩阵的运算，致使程序编写比较复杂、计算量较大、算法趋于稳定之后的处理精度没有LMS算法高。目前也有很多针对于这两种算法的改进算法，虽然在一定程度上对两种算法的缺点有所改善，但是由于其基本求解思想没有改变导致这些改进算法还是具有相同的局限性。例如：迭代步长的问题，算法精度的问题等。
所以可以用于工程中的自适应滤波器应该具备这些优点：收敛速度快，运算量小、鲁棒性强、精度高、实现简单等优点。哪些算法在这些优点方面表现的越好就越适用于工程中。
现有技术中，急需一种基于降维法的自适应滤波器。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于降维法的自适应滤波器，采用降维的方法利用二次函数的性质来求解最优滤波器的权系数，其目的在于提高自适应滤波器的收敛速度，提高处理精度，减小运算量。
其技术方案如下：
一种基于降维法的自适应滤波器，所述自适应滤波器所用到的是有限长FIR滤波器，信号处理的方式是，输入信号与滤波器权值做卷积，假设N阶滤波器的权值分别为h1,h2…hN；设滤波器的输入为x，因为输入时离散数字信号，所以用x(n)代表第n时刻x的值；输出y为输入与滤波器权值的卷积，如下式所示。
y(n)＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)
d为自适应滤波器的期望信号，e为滤波器输出信号与期望信号之间的误差，即y和d之间做差得到的，如下式所示，式中e(n)，y(n)和d(n)分别代表第n时刻误差，输出信号和期望信号的值。
e(n)＝y(n)-d(n)
＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)
最优的滤波器权值是使输出信号最贴近于期望信号的滤波器权值。输出信号与误差信号之间的差最小，也就是误差信号的平方最小，误差信号的平方如下式所示。
e2(n)＝[h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)]2
也可以求解均方误差的最小值，均方误差函数如下式所示。
Figure BDA0002575353380000031
式中F(h1,h2…hN)是均方误差函数，其自变量是h1,h2…hN，函数代表将n时刻与前M-1时刻的平方误差函数相加之后取平均，其中M代表约束方程的个数。
使用降维法求解均方误差函数的最小值点所对应的滤波器的权值，得到基于降维法的自适应滤波算法的迭代公式如下所示：
Figure BDA0002575353380000032
Figure BDA0002575353380000033
Figure BDA0002575353380000034
Figure BDA0002575353380000035
Figure BDA0002575353380000036
式中M为约束方程的个数，N为自适应滤波器的阶数，要求约束方程的个数M大于等于滤波器的阶数N。
迭代公式中
Figure BDA0002575353380000041
代表第i个滤波器权系数第k次迭代所得到的值；
Figure BDA0002575353380000042
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求一阶导数，
Figure BDA0002575353380000043
代表对函数求完导数后的自变量赋值；
Figure BDA0002575353380000044
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求二阶导数，不同的迭代公式里的分别代表对不同权系数h1,h2…hN进行求导和赋值；
Figure BDA0002575353380000045
也代表对函数中的自变量进行赋值。
进一步，所述基于降维法的自适应滤波器的应用步骤如下：
步骤1、设置滤波器的阶数N和约束方程的个数M，应该注意在设置这两个常数时应该满足N≤M的条件；
步骤2、随机选取一组数值
Figure BDA0002575353380000046
对滤波器的权值h1,h2…hN进行初始化赋值；
步骤3、将输入信号和误差信号代入自适应滤波算法中的迭代公式，按照从上到下的顺序求解下一时刻的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000047
步骤4、输入下一时刻的输入信号x(n+1)，根据新的输入信号x(n+1)和新的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000048
对误差信号e进行更新；
步骤5、重新调用自适应滤波算法中的迭代公式求解出新的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000049
重复调用步骤3至步骤4使自适应滤波器的权值向着使误差信号模值最小的点收敛；
步骤6、当误差信号到允许的范围内的时候停止。
本发明的有益效果：
本发明的基于降维法的自适应滤波器相较于当前常用的LMS算法和RLS算法主要表现出以下优点：①收敛速度快；②精度高；③鲁棒性强；④不需选择迭代步长；⑤采用迭代运算方式，适合计算机和可编程硬件实现等。
附图说明
图1基于降维法的自适应滤波器的运算流程图；
图2基于降维法的自适应滤波器的原理图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明的技术方案作进一步详细地说明。
降维算法原理
本算法主要应用二次函数越接近极值，函数曲面越集中的特点来加快求极值过程中的收敛速度,通过把高维函数降到二维,利用抛物线的性质循环迭代求解函数的最优解。为了简单的解释该算法可以应用二元二次函数来进行解释：假设二元二次函数方程为z＝x2+y2，其中x、y为自变量,z为因变量，其几何形状是一个碗面，碗底代表二次函数的极值，此时任取一个常数x0作为x的初始值对碗面进行平行于yoz平面的纵切将得到一条以y为自变量z为因变量的抛物线，求解这条抛物线的极值y0，然后以y0作为y的初始值对碗面进行平行于xoz平面的纵切将会得到第二条抛物线，可以想象第二条抛物线的极值对比于第一条抛物线将更接近于碗底，依照这种方式循环迭代的求解x和y纵切面上的极值，得到的抛物线的极值将越来越逼近于碗底。
该算法详细的推导过程如下：将多元二次函数降维到二维平面上，多元二次函数降维到二维平面上的形状是一条抛物线，应用抛物线的性质根据其他系数求出抛物线的极值。
抛物线的性质为：抛物线的一般式为y＝ax2+bx+c，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x＝-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极值点。
1、假设多元二次函数的一般形式为f2＝(a1x1+a2x2+…+anxn+c0)2，其中x1、x2…xn为自变量，f2为因变量，c0为常数。将多元二次函数的一个自变量x1当作未知数，其他自变量x2、x3…xn代入初始值当作系数，此时多元二次函数变成了一个以x1为自变量，f2为因变量的二次抛物线，根据抛物线的性质可以很容易的求出此抛物线的极值点；
2、以第1步求得的极值点作为x1的初始值，将x2作为自变量，其他自变量代带入初始值作为系数，求解以x1为自变量，f2为因变量的二次抛物线，用抛物线的性质求此抛物线的极值点；
3、将第2步求得的极值点作为x2的初始值，应用同样的方法依次求解其他自变量的取值；
4、当求完xn的取值之后，再返回来从x1开始求极值点，按照这种方式循环迭代的运算。求得的极值x1、x2…xn将会越来越逼近于多元二次函数的极值点。
这种二次函数求极值的方法需要约束方程的个数大于等于自变量的个数，即使多元二次函数存在着极值点。具体解释如下所示：
令多元二次函数为
Figure BDA0002575353380000061
上式中
f1＝(a11x1+a12x2+…+a1nxn+c1)
f2＝(a21x1+a22x2+…+a2nxn+c2)
Figure BDA0002575353380000062
fm＝(am1x1+am2x2+…+amnxn+cm)
上式中F(x1,x2…xn)代表多元二次函数的因变量，x1,x2…xn代表自变量,aij,(i∈[1,m],j∈[1,n])代表方程中的系数,m代表约束方程的个数,n代表自变量的个数，若应用这种方法求二次函数极值就要求n≤m，这里要求f1,f2…fm是线性无关的，若是存在线性相关组则要求f1,f2…fm的最大线性无关组的个数大于等于自变量的个数，即使得二次函数存在极值点。.
根据以上所提到的抛物线的性质可以求得抛物线的极值点位于x＝-b/2a处，为了求解函数中的系数a,b可以采用对函数求导数的方法求得，即b＝y′x|x＝0，2a＝y″xx。y′x|x＝0代表y对x求一阶导数后令x的取值为0,y″xx代表y对x求二阶导数,所以二次函数的极值点位于x＝-y′x|x＝0/y″xx处。
F(x1,x2…xn)是n元二次函数，应用这种方法求解其极值的步骤如下：
首先，给n个自变量随机设定初始值
Figure BDA0002575353380000071
应用此种方法多次循环迭代使n个自变量的取值向着极值点收敛，得到迭代方程如下
Figure BDA0002575353380000072
Figure BDA0002575353380000073
Figure BDA0002575353380000074
Figure BDA0002575353380000075
上式中
Figure BDA0002575353380000076
中的k代表第k次迭代xn的取值；
Figure BDA0002575353380000077
代表均方误差函数对滤波器权系数x1求一阶导数，
Figure BDA0002575353380000078
代表对函数求完导数后的自变量赋值；
Figure BDA0002575353380000081
代表均方误差函数对滤波器权系数x1求二阶导数，不同的迭代公式里的分别代表对不同权系数x1、x2…xn进行求导和赋值；
Figure BDA0002575353380000082
也代表对函数中的自变量进行赋值
自适应滤波器原理如图2所示。
自适应滤波器所用到的是有限长FIR滤波器，信号处理的方式是，输入信号与滤波器权值做卷积，假设N阶滤波器的权值分别为h1,h2…hN；设滤波器的输入为x，因为输入时离散数字信号，所以用x(n)代表第n时刻x的值；输出y为输入与滤波器权值的卷积，如下式所示。
y(n)＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)
d为自适应滤波器的期望信号，e为滤波器输出信号与期望信号之间的误差，即y和d之间做差得到的，如下式所示，式中e(n)，y(n)和d(n)分别代表第n时刻误差，输出信号和期望信号的值。
e(n)＝y(n)-d(n)
＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)
最优的滤波器权值是使输出信号最贴近于期望信号的滤波器权值。输出信号与误差信号之间的差最小，也就是误差信号的平方最小，误差信号的平方如下式所示。
e2(n)＝[h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)]2
也可以求解均方误差的最小值，均方误差函数如下式所示。
Figure BDA0002575353380000083
式中F(h1,h2…hN)是均方误差函数，其自变量是h1,h2…hN，函数代表将n时刻与前M-1时刻的平方误差函数相加之后取平均，其中M代表约束方程的个数。
使用降维法求解均方误差函数的最小值点所对应的滤波器的权值，得到基于降维法的自适应滤波算法的迭代公式如下所示：
Figure BDA0002575353380000091
Figure BDA0002575353380000092
Figure BDA0002575353380000093
式中M为约束方程的个数，N为自适应滤波器的阶数，要求约束方程的个数M大于等于滤波器的阶数N。
迭代公式中
Figure BDA0002575353380000094
代表第i个滤波器权系数第k次迭代所得到的值；
Figure BDA0002575353380000095
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求一阶导数，
Figure BDA0002575353380000096
代表对函数求完导数后的自变量赋值；
Figure BDA0002575353380000097
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求二阶导数，不同的迭代公式里的分别代表对不同权系数h1,h2…hN进行求导和赋值；
Figure BDA0002575353380000098
也代表对函数中的自变量进行赋值。
应用步骤如图1所示。
根据以上推导将基于降维法的自适应滤波器的应用步骤总结如下：
步骤1、设置滤波器的阶数N和约束方程的个数M，应该注意在设置这两个常数时应该满足N≤M的条件；
步骤2、随机选取一组数值
Figure BDA0002575353380000101
对滤波器的权值h1,h2…hN进行初始化赋值；
步骤3、将输入信号和误差信号代入自适应滤波算法中的迭代公式，按照从上到下的顺序求解下一时刻的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000102
步骤4、输入下一时刻的输入信号x(n+1)，根据新的输入信号x(n+1)和新的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000103
对误差信号e进行更新；
步骤5、重新调用自适应滤波算法中的迭代公式求解出新的滤波器权值
Figure BDA0002575353380000104
重复调用步骤3至步骤4使自适应滤波器的权值误差函数的极值点收敛；
步骤6、当误差信号到允许的范围内的时候停止。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换均落入本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于降维法的自适应滤波器，所述自适应滤波器所用到的是有限长FIR滤波器，信号处理的方式是，输入信号与滤波器权值做卷积，假设N阶滤波器的权值分别为h1,h2…hN；设滤波器的输入为x，因为输入时离散数字信号，所以用x(n)代表第n时刻x的值；输出y为输入与滤波器权值的卷积，如下式所示；
y(n)＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)
d为自适应滤波器的期望信号，e为滤波器输出信号与期望信号之间的误差，即y和d之间做差得到的，如下式所示，式中e(n)，y(n)和d(n)分别代表第n时刻误差，输出信号和期望信号的值；
e(n)＝y(n)-d(n)
＝h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)
最优的滤波器权值是使输出信号最贴近于期望信号的滤波器权值；输出信号与误差信号之间的差最小，也就是误差信号的平方最小，误差信号的平方如下式所示；
e2(n)＝[h1x(n)+h2x(n-1)+…+hNx(n-N+1)-d(n)]2
或者求解均方误差的最小值，均方误差函数如下式所示；
Figure FDA0002575353370000011
式中F(h1,h2…hN)是均方误差函数，其自变量是h1,h2…hN，函数代表将n时刻与前M-1时刻的平方误差函数相加之后取平均，其中M代表约束方程的个数；
使用降维法求解均方误差函数的最小值点所对应的滤波器的权值，得到基于降维法的自适应滤波算法的迭代公式如下所示：
Figure FDA0002575353370000021
Figure FDA0002575353370000022
Figure FDA0002575353370000023
式中M为约束方程的个数，N为自适应滤波器的阶数，要求约束方程的个数M大于等于滤波器的阶数N；
迭代公式中
Figure FDA0002575353370000024
代表第i个滤波器权系数第k次迭代所得到的值；
Figure FDA0002575353370000025
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求一阶导数，
Figure FDA0002575353370000026
代表对函数求完导数后的自变量赋值；
Figure FDA0002575353370000027
代表均方误差函数对滤波器权系数h1求二阶导数，不同的迭代公式里的分别代表对不同权系数h1,h2…hN进行求导和赋值；
Figure FDA0002575353370000028
也代表对函数中的自变量进行赋值。
2.根据权利要求1所述的基于降维法的自适应滤波器，其特征在于：所述基于降维法的自适应滤波器的应用步骤如下：
步骤1、设置滤波器的阶数N和约束方程的个数M，应该注意在设置这两个常数时应该满足N≤M的条件；
步骤2、随机选取一组数值
Figure FDA0002575353370000031
对滤波器的权值h1,h2…hN进行初始化赋值；
步骤3、将输入信号和误差信号代入自适应滤波算法中的迭代公式，按照从上到下的顺序求解下一时刻的滤波器权值
Figure FDA0002575353370000032
步骤4、输入下一时刻的输入信号x(n+1)，根据新的输入信号x(n+1)和新的滤波器权值
Figure FDA0002575353370000033
对误差信号e进行更新；
步骤5、重新调用自适应滤波算法中的迭代公式求解出新的滤波器权值
Figure FDA0002575353370000034
重复调用步骤3至步骤4使自适应滤波器的权值误差函数的极值点收敛；
步骤6、当误差信号到允许的范围内的时候停止。
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CN104009734A (zh) * 2014-05-07 2014-08-27 西安理工大学 梯度变步长lms自适应滤波方法
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一种基于交互投影原理的快速自适应横向传播建模算法;王腾等;《西安交通大学学报》;20050510(第05期);全文 *

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