CN111781063B - 一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法 - Google Patents

一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，包括步骤一：基于带基体裂纹长度的单胞模型求解单胞模型裂纹平面处复合材料基体及纤维承担的应力；步骤二：将步骤一中带裂纹的单胞模型的基体和纤维离散成n个单元；步骤三：基于步骤一和步骤二建立含裂纹长度的摩擦滑移模型；步骤四：基于步骤三中含裂纹长度的摩擦滑移模型计算谱加载下金属基复合材料界面滑移区分布规律。本发明的方法可以有效预测谱载荷下SiC/Ti复合材料界面滑移区分布规律。

Description

一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法
技术领域
本发明属于材料技术领域，特别涉及一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法。
背景技术
连续碳化硅纤维增强钛基复合材料(Titanium Matrix Composites，以下简称SiC/Ti)主要应用于航空发动机转子部件，其具备高比强度、比刚度等特性。连续SiC增强Ti基复合材料结构在承受离心应力时，一般承受的是拉拉载荷，且在实际工况中，拉拉载荷是复杂随机的，所以有必要研究SiC/Ti在谱载荷下的疲劳性能。研究金属基复合材料界面微观力学性能及其影响因素，可以深入理解金属基复合材料变形和失效机理，对金属基复合材料疲劳性能的研究具有重要指导意义。在建立SiC/Ti复合材料应力应变响应前，因在谱载荷下复合材料界面滑移区分布十分复杂，所以要先确定金属基复合材料在谱载荷加载下界面滑移区的分布。准确地预测SiC/Ti复合材料在谱载荷下的界面滑移区分布可以为分析材料在服役环境下的疲劳寿命打下坚实的基础。
现有技术中，专利CN104866690A“单向陶瓷基复合材料任意加卸载应力应变行为预测方法”公开了一种摩擦滑移模型并基于此模型计算单向陶瓷基复合材料在任意加卸载下的界面滑移区分布，该模型模拟的是陶瓷基基体裂纹为贯穿裂纹时复合材料的界面滑移规律，而金属基复合材料基体为弹塑性材料，在加载过程中基体裂纹不是贯穿裂纹且会随加载不断扩展，所以该方法不能用于确定金属基复合材料在任意加卸载下的界面滑移区。文献“FATIGUE LIFE PREDICTION OF FIBER-REINFORCED TITANIUM MATRIX COMPOSITES”提出了一种带基体裂纹长度的单胞模型并结合剪切滞后模型计算了常幅载荷下的金属基复合材料界面滑移区分布及应力应变曲线，但该方法并不能计算谱载荷下金属基复合材料界面滑移区的分布规律。
综上所述，有必要提供一种能有效确定金属基复合材料在谱载荷下界面滑移区分布规律的方法。
发明内容
为了解决现有技术中的问题，本发明提供了一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，该方法可以有效预测谱载荷下SiC/Ti复合材料界面滑移区分布规律。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，包括以下步骤：
步骤一：基于带基体裂纹长度的单胞模型求解单胞模型裂纹平面处复合材料基体及纤维承担的应力；
步骤二：将步骤一中带裂纹的单胞模型的基体和纤维离散成n个单元；
步骤三：基于步骤一和步骤二建立含裂纹长度的摩擦滑移模型；
步骤四：基于步骤三中含裂纹长度的摩擦滑移模型计算谱加载下金属基复合材料界面滑移区分布规律。
进一步的，所述步骤一包括以下步骤：
基于带裂纹长度的金属基复合材料单胞模型，确定金属基复合材料裂纹平面基体及纤维承担的应力，当复合材料两端受到大小为σ的拉伸载荷时，裂纹平面处，完好的基体承担的应力σm1为：
Figure BDA0002543677160000021
其中：Em为基体的弹性模量，E1为复合材料的弹性模量,E1＝VfEf+VmEm，Ef表示纤维的弹性模量，σ表示外加应力,Vf，Vm分别表示纤维和基体的体积分数，且Vf＝1-Vm；
由裂纹平面处轴向应力平衡，得到裂纹平面处纤维的应力σf1为：
Figure BDA0002543677160000022
其中：Q为基体裂纹平面处完好基体在整个基体面积的占比，P为一个中间量，仅为了简化公式；
Figure BDA0002543677160000023
Figure BDA0002543677160000024
其中：rf为纤维半径,r0为裂纹尖端半径。
进一步的，所述步骤二包括以下步骤：
将含基体裂纹长度的单胞模型中的基体和纤维离散成n个单元，n个单元依次编号为1,2,3,…i,…n，i表示第i个单元，单元之间用弹簧来连接，单胞长度为金属基复合材料基体相邻裂纹间距L的一半，即单胞长度为
Figure BDA0002543677160000031
每个单元长度
Figure BDA0002543677160000032
基体之间的柔度cf为：
Figure BDA0002543677160000033
其中：π为圆周率；
纤维之间的柔度cm为：
Figure BDA0002543677160000034
其中：rm为基体半径。
进一步的，所述步骤三的具体步骤为：
将加载过程中的纤维与基体的滑移处理为准静态平衡过程，分为平衡状态和增量状态；
在平衡状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
Figure BDA0002543677160000035
其中：Ff,i表示第i个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i表示第i个基体单元受到的轴向拉力，fk,i表示第i个单元界面剪应力，其中fk,i第一个下标k表示加载步数，fk,i第二个下标i表示单元序号，Ff,i+1为表示第i+1个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i+1表示第i+1个基体单元受到的轴向拉力；
在增量状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
ΔFf,i＝Δfk,i+ΔFf,i+1
ΔFm,i＝-Δfk,i+ΔFm,i+1
其中：ΔFf,i,ΔFm,i分别表示第i个纤维和基体单元受到的力增量，ΔFf,i+1，ΔFm,i+1分别表示第i+1个纤维和基体单元受到的力增量，Δfk,i第i个单元界面剪应力增量，其中Δfk,i第一个下标k表示加载步数，Δfk,i第二个下标i表示单元序号；
纤维和基体在增量状态下产生的位移为：
Figure BDA0002543677160000041
Figure BDA0002543677160000042
其中：
Figure BDA0002543677160000043
表示纤维承担的增量力，
Figure BDA0002543677160000044
为基体上承担的增量力，Δσ表示复合材料承受的外应力增量，Δum,i，Δuf,i分别表示基体和纤维的位移增量；
由于未发生滑移的单元纤维和基体产生的位移相等，求解得到
Figure BDA0002543677160000045
基于求解出的界面剪应力Δfk,i，若满足Δfk,i+fk,i＞fmax+fΔt，将发生正向滑移，令该单元的界面剪力Δfk,i＝fmax+fΔt-fk,i；若满足Δfk,i+fk,i＜-fmax-fΔt，将会发生反向滑移，令该单元界面剪力Δfk,i＝-fmax-fΔt-Δfk,i；随后删除第i个单元的方程，因为此单元已发生滑移，重构n-1个方程，求解Δfk,i，重复判断是否滑移，直到不在有新的单元发生滑移，然后更新界面剪力fk,i＝Δfk,i+fk,i；
其中：fmax＝2πrfleτi,max为界面最大摩擦力，τi,max为界面最大剪应力，fΔt＝2πrfleμσr,Δt为残余应力引起的摩擦力，其中：μ为库仑摩擦系数，取值为0.3，σr,Δt为复合材料在制作过程中界面产生的残余热应力。
进一步的，所述步骤四包括以下步骤：
基于带裂纹长度的摩擦滑移模型计算滑移区分布，认为每根纤维上的滑移区分布情况相同；
初次加载时应力从0开始加载时，正向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000051
其中：
Figure BDA0002543677160000052
为外加应力为σ时纤维承担的力，
Figure BDA0002543677160000053
为基体承担的力，当加载到第一个峰值
Figure BDA0002543677160000054
时，正向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000055
卸载时，反向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000056
正向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000057
卸载到第一个谷值
Figure BDA0002543677160000058
时，反向滑移区的长度
Figure BDA0002543677160000059
最多存在两个滑移区；再加载到第二个峰值
Figure BDA00025436771600000510
时，正向滑移区长度为
Figure BDA00025436771600000511
反向滑移区长度为
Figure BDA00025436771600000512
第二个正向滑移区长度为
Figure BDA00025436771600000513
此时最多存在三个滑移区；进一步卸载到第二个谷值
Figure BDA00025436771600000514
时，反向滑移区长度为
Figure BDA00025436771600000515
正向滑移区长度为l31＝l21-lR31，第二个反向滑移区长度为lR32＝lR21-lR31-l31，第二个正向滑移区长度为l32＝l11-lR31-lR32-l31，此时最多存在四个滑移区，以此计算后续加卸载滑移区分布：
其中：σ为外加应力，Vf,Vm分别为纤维、基体的体积分数，Em,Ef,E1分别为基体、纤维和复合材料的弹性模量，τ为界面剪应力，rf为纤维半径，
Figure BDA0002543677160000061
分别表示在应力
Figure BDA0002543677160000062
下裂纹平面处纤维承担的力，F1 m,max,
Figure BDA0002543677160000063
分别表示在应力
Figure BDA0002543677160000064
下裂纹平面处基体承担的应力，
Figure BDA0002543677160000065
分别表示在应力
Figure BDA0002543677160000066
下裂纹平面处纤维承担的力，
Figure BDA0002543677160000067
分别表示在应力
Figure BDA0002543677160000068
下裂纹平面处基体承担的应力，载荷历程中第j个峰值和谷值用
Figure BDA0002543677160000069
表示，在应力
Figure BDA00025436771600000610
下裂纹平面处纤维承担的力用
Figure BDA00025436771600000611
表示，在应力
Figure BDA00025436771600000612
下裂纹平面处基体承担的应力用
Figure BDA00025436771600000613
表示，由公式
Figure BDA00025436771600000614
求出。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
(1)、本发明提供了一种能有效确定金属基复合材料在谱载荷下界面滑移区分布规律，可以为后续金属基复合材料在谱载荷下界面性能的研究提供理论基础。
(2)、本发明不仅可以确定金属基复合材料在谱载荷下界面滑移区分布规律，结合剪切滞后模型还可以得到金属基复合材料在谱载荷加载下的本构关系。
(3)、本发明为金属基复合材料在实际工况中的疲劳寿命研究提供了理论基础。
附图说明
图1是本发明的步骤流程图；
图2是金属基复合材料圆柱单胞模型图；
图3是带基体裂纹长度的摩擦滑移模型示意图；
图4是载荷谱；
图5是图4中载荷谱A、B、C和D点的滑移区分布。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作更进一步的说明。
实施例1
本实施例中所用到的参数如下表所示。
Figure BDA0002543677160000071
一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，包括以下步骤：
步骤一：基于带基体裂纹长度的单胞模型求解单胞模型裂纹平面处复合材料基体及纤维承担的应力；
基于带裂纹长度的金属基复合材料单胞模型，如图2所示，确定金属基复合材料裂纹平面基体及纤维承担的应力，当复合材料两端受到大小为σ的拉伸载荷时，裂纹平面处，完好的基体承担的应力σm1为：
Figure BDA0002543677160000072
其中：Em为基体的弹性模量，E1为复合材料的弹性模量,E1＝VfEf+VmEm，Ef表示纤维的弹性模量，σ表示外加应力,Vf，Vm分别表示纤维和基体的体积分数，且Vf＝1-Vm；
由裂纹平面处轴向应力平衡，得到裂纹平面处纤维的应力σf1为：
Figure BDA0002543677160000073
其中：Q为基体裂纹平面处完好基体在整个基体面积的占比，P为一个中间量，仅为了简化公式；
Figure BDA0002543677160000081
Figure BDA0002543677160000082
其中：rf为纤维半径，r0为裂纹尖端半径。
步骤二：基于步骤一，将步骤一中带裂纹的单胞模型的基体和纤维离散成n个单元；
将含基体裂纹长度的单胞模型中的基体和纤维离散成n个单元，n个单元依次编号为1,2,3,…i,…n，i表示第i个单元，单元之间用弹簧来连接，单胞长度为金属基复合材料基体相邻裂纹间距L的一半，即单胞长度为
Figure BDA0002543677160000083
每个单元长度
Figure BDA0002543677160000084
如图3所示；
基体之间的柔度cf为：
Figure BDA0002543677160000085
其中：π为圆周率；
纤维之间的柔度cm为：
Figure BDA0002543677160000086
其中：rm为基体半径。
步骤三：基于步骤一和步骤二建立含裂纹长度的摩擦滑移模型；
将加载过程中的纤维与基体的滑移处理为准静态平衡过程，分为平衡状态和增量状态；
在平衡状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
Figure BDA0002543677160000087
其中：Ff,i表示第i个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i表示第i个基体单元受到的轴向拉力，fk,i表示第i个单元界面剪应力，其中fk,i第一个下标k表示加载步数，fk,i第二个下标i表示单元序号，Ff,i+1为表示第i+1个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i+1表示第i+1个基体单元受到的轴向拉力；
在增量状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
ΔFf,i＝Δfk,i+ΔFf,i+1
ΔFm,i＝-Δfk,i+ΔFm,i+1
其中：ΔFf,i,ΔFm,i分别表示第i个纤维和基体单元受到的力增量，ΔFf,i+1，ΔFm,i+1分别表示第i+1个纤维和基体单元受到的力增量，Δfk,i第i个单元界面剪应力增量，其中Δfk,i第一个下标k表示加载步数，Δfk,i第二个下标i表示单元序号；
纤维和基体在增量状态下产生的位移为：
Figure BDA0002543677160000091
Figure BDA0002543677160000092
其中：
Figure BDA0002543677160000093
表示纤维承担的增量力，
Figure BDA0002543677160000094
为基体上承担的增量力，Δσ表示复合材料承受的外应力增量，Δum,i，Δuf,i分别表示基体和纤维的位移增量；
由于未发生滑移的单元纤维和基体产生的位移相等，求解得到
Figure BDA0002543677160000101
基于求解出的界面剪应力Δfk,i，若满足Δfk,i+fk,i＞fmax+fΔt，将发生正向滑移，令该单元的界面剪力Δfk,i＝fmax+fΔt-fk,i；若满足Δfk,i+fk,i＜-fmax-fΔt，将会发生反向滑移，令该单元界面剪力Δfk,i＝-fmax-fΔt-Δfk,i；随后删除第i个单元的方程，因为此单元已发生滑移，重构n-1个方程，求解Δfk,i，重复判断是否滑移，直到不在有新的单元发生滑移，然后更新界面剪力fk,i＝Δfk,i+fk,i；
其中：fmax＝2πrfleτi,max为界面最大摩擦力，τi,max为界面最大剪应力，fΔt＝2πrfleμσr,Δt为残余应力引起的摩擦力，其中：μ为库仑摩擦系数，取值为0.3，σr,Δt为复合材料在制作过程中界面产生的残余热应力。
步骤四：基于步骤三中含裂纹长度的摩擦滑移模型计算谱加载下金属基复合材料界面滑移区分布规律；
基于带裂纹长度的摩擦滑移模型计算滑移区分布，认为每根纤维上的滑移区分布情况相同；
初次加载时应力从0开始加载时，正向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000102
其中：
Figure BDA0002543677160000103
为外加应力为σ时纤维承担的力，
Figure BDA0002543677160000104
为基体承担的力，当加载到第一个峰值
Figure BDA0002543677160000105
时，正向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000106
卸载时，反向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000107
正向滑移区的长度为
Figure BDA0002543677160000111
卸载到第一个谷值
Figure BDA0002543677160000112
时，反向滑移区的长度
Figure BDA0002543677160000113
最多存在两个滑移区；再加载到第二个峰值
Figure BDA0002543677160000114
时，正向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000115
反向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000116
第二个正向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000117
此时最多存在三个滑移区；进一步卸载到第二个谷值
Figure BDA0002543677160000118
时，反向滑移区长度为
Figure BDA0002543677160000119
正向滑移区长度为l31＝l21-lR31，第二个反向滑移区长度为lR32＝lR21-lR31-l31，第二个正向滑移区长度为l32＝l11-lR31-lR32-l31，此时最多存在四个滑移区，以此计算后续加卸载滑移区分布：
其中：σ为外加应力，Vf,Vm分别为纤维、基体的体积分数，Em,Ef,E1分别为基体、纤维和复合材料的弹性模量，τ为界面剪应力，rf为纤维半径，
Figure BDA00025436771600001110
分别表示在应力
Figure BDA00025436771600001111
下裂纹平面处纤维承担的力，F1 m,max,
Figure BDA00025436771600001112
分别表示在应力
Figure BDA00025436771600001113
下裂纹平面处基体承担的应力，
Figure BDA00025436771600001114
分别表示在应力
Figure BDA00025436771600001115
下裂纹平面处纤维承担的力，
Figure BDA00025436771600001116
分别表示在应力
Figure BDA00025436771600001117
下裂纹平面处基体承担的应力，载荷历程中第j个峰值和谷值用
Figure BDA00025436771600001118
表示，在应力
Figure BDA00025436771600001119
下裂纹平面处纤维承担的力用
Figure BDA00025436771600001120
表示，在应力
Figure BDA00025436771600001121
下裂纹平面处基体承担的应力用
Figure BDA00025436771600001122
表示，由公式
Figure BDA00025436771600001123
求出。
本发明是一种连续碳化硅纤维增强钛基复合材料在常温环境下拉-拉谱载荷界面滑移区模拟方法，基于上述分析计算图4载荷历程滑移区的分布规律，结果如图5所示，A,B,C,D分别为载荷历程中A,B,C,D点的滑移区分布规律，其中纵坐标表示滑移方向，1表示该单元正向滑移，-1表示该单元反向滑移，0表示该单元不发生滑移，横坐标表示单元序号。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：基于带基体裂纹长度的单胞模型求解单胞模型裂纹平面处复合材料基体及纤维承担的应力；
步骤二：将步骤一中带裂纹的单胞模型的基体和纤维离散成n个单元；
步骤三：基于步骤一和步骤二建立含裂纹长度的摩擦滑移模型；
所述步骤三的具体步骤为：
将加载过程中的纤维与基体的滑移处理为准静态平衡过程，分为平衡状态和增量状态；
在平衡状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
Figure FDA0003959061770000011
其中：Ff,i表示第i个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i表示第i个基体单元受到的轴向拉力，fk,i表示第i个单元界面剪应力，其中fk,i第一个下标k表示加载步数，fk,i第二个下标i表示单元序号，Ff,i+1为表示第i+1个纤维单元受到的轴向拉力，Fm,i+1表示第i+1个基体单元受到的轴向拉力；
在增量状态下，第i个纤维和基体单元满足力的平衡方程：
ΔFf,i＝Δfk,i+ΔFf,i+1
ΔFm,i＝-Δfk,i+ΔFm,i+1
其中：ΔFf,i,ΔFm,i分别表示第i个纤维和基体单元受到的力增量，ΔFf,i+1，ΔFm,i+1分别表示第i+1个纤维和基体单元受到的力增量，Δfk,i第i个单元界面剪应力增量，其中Δfk,i第一个下标k表示加载步数，Δfk,i第二个下标i表示单元序号；
纤维和基体在增量状态下产生的位移为：
Figure FDA0003959061770000012
Figure FDA0003959061770000021
其中：
Figure FDA0003959061770000022
表示纤维承担的增量力，
Figure FDA0003959061770000023
为基体上承担的增量力，Δσ表示复合材料承受的外应力增量，Δum,i，Δuf,i分别表示基体和纤维的位移增量，Em为基体的弹性模量，E1为复合材料的弹性模量,E1＝VfEf+VmEm，Ef表示纤维的弹性模量，σ表示外加应力,Vf，Vm分别表示纤维和基体的体积分数，且Vf＝1-Vm，rf为纤维半径,rm为基体半径，r0为裂纹尖端半径，Q为基体裂纹平面处完好基体在整个基体面积的占比，P为一个中间量，仅为了简化公式；
由于未发生滑移的单元纤维和基体产生的位移相等，求解得到：
Figure FDA0003959061770000024
基于求解出的界面剪应力Δfk,i，若满足Δfk,i+fk,i＞fmax+fΔt，将发生正向滑移，令该单元的界面剪力Δfk,i＝fmax+fΔt-fk,i；若满足Δfk,i+fk,i＜-fmax-fΔt，将会发生反向滑移，令该单元界面剪力Δfk,i＝-fmax-fΔt-Δfk,i；随后删除第i个单元的方程，因为此单元已发生滑移，重构n-1个方程，求解Δfk,i，重复判断是否滑移，直到不在有新的单元发生滑移，然后更新界面剪力fk,i＝Δfk,i+fk,i；
其中：fmax＝2πrfleτi,max为界面最大摩擦力，τi,max为界面最大剪应力，fΔt＝2πrfleμσr,Δt为残余应力引起的摩擦力，其中：μ为库仑摩擦系数，取值为0.3，σr,Δt为复合材料在制作过程中界面产生的残余热应力；
步骤四：基于步骤三中含裂纹长度的摩擦滑移模型计算谱加载下金属基复合材料界面滑移区分布规律。
2.根据权利要求1所述的金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，其特征在于，所述步骤一包括以下步骤：
基于带裂纹长度的金属基复合材料单胞模型，确定金属基复合材料裂纹平面基体及纤维承担的应力，当复合材料两端受到大小为σ的拉伸载荷时，裂纹平面处，完好的基体承担的应力σm1为：
Figure FDA0003959061770000031
其中：Em为基体的弹性模量，E1为复合材料的弹性模量,E1＝VfEf+VmEm，Ef表示纤维的弹性模量，σ表示外加应力,Vf，Vm分别表示纤维和基体的体积分数，且Vf＝1-Vm；
由裂纹平面处轴向应力平衡，得到裂纹平面处纤维的应力σf1为：
Figure FDA0003959061770000032
其中：Q为基体裂纹平面处完好基体在整个基体面积的占比，P为一个中间量，仅为了简化公式；
Figure FDA0003959061770000033
Figure FDA0003959061770000034
其中：rf为纤维半径,r0为裂纹尖端半径。
3.根据权利要求2所述的金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，其特征在于，所述步骤二包括以下步骤：
将含基体裂纹长度的单胞模型中的基体和纤维离散成n个单元，n个单元依次编号为1,2,3,…i,…n，i表示第i个单元，单元之间用弹簧来连接，单胞长度为金属基复合材料基体相邻裂纹间距L的一半，即单胞长度为
Figure FDA0003959061770000041
每个单元长度
Figure FDA0003959061770000042
基体之间的柔度cf为：
Figure FDA0003959061770000043
其中：π为圆周率；
纤维之间的柔度cm为：
Figure FDA0003959061770000044
其中：rm为基体半径。
4.根据权利要求1所述的金属基复合材料在谱载荷下的界面滑移区确定方法，其特征在于，所述步骤四包括以下步骤：
基于带裂纹长度的摩擦滑移模型计算滑移区分布，认为每根纤维上的滑移区分布情况相同；
初次加载时应力从0开始加载时，正向滑移区长度为
Figure FDA0003959061770000045
其中：
Figure FDA0003959061770000046
为外加应力为σ时纤维承担的力，
Figure FDA0003959061770000047
为基体承担的力，当加载到第一个峰值
Figure FDA0003959061770000048
时，正向滑移区的长度为
Figure FDA0003959061770000049
卸载时，反向滑移区的长度为
Figure FDA00039590617700000410
正向滑移区的长度为
Figure FDA00039590617700000411
卸载到第一个谷值
Figure FDA00039590617700000412
时，反向滑移区的长度
Figure FDA0003959061770000051
最多存在两个滑移区；再加载到第二个峰值
Figure FDA0003959061770000052
时，正向滑移区长度为
Figure FDA0003959061770000053
反向滑移区长度为
Figure FDA0003959061770000054
第二个正向滑移区长度为
Figure FDA0003959061770000055
此时最多存在三个滑移区；进一步卸载到第二个谷值
Figure FDA0003959061770000056
时，反向滑移区长度为
Figure FDA0003959061770000057
正向滑移区长度为l31＝l21-lR31，第二个反向滑移区长度为lR32＝lR21-lR31-l31，第二个正向滑移区长度为l32＝l11-lR31-lR32-l31，此时最多存在四个滑移区，以此计算后续加卸载滑移区分布：
其中：σ为外加应力，Vf,Vm分别为纤维、基体的体积分数，Em,Ef,E1分别为基体、纤维和复合材料的弹性模量，τ为界面剪应力，rf为纤维半径，
Figure FDA0003959061770000058
分别表示在应力
Figure FDA0003959061770000059
下裂纹平面处纤维承担的力，
Figure FDA00039590617700000510
分别表示在应力
Figure FDA00039590617700000511
下裂纹平面处基体承担的应力，
Figure FDA00039590617700000512
分别表示在应力
Figure FDA00039590617700000513
下裂纹平面处纤维承担的力，
Figure FDA00039590617700000514
分别表示在应力
Figure FDA00039590617700000515
下裂纹平面处基体承担的应力，载荷历程中第j个峰值和谷值用
Figure FDA00039590617700000516
表示，在应力
Figure FDA00039590617700000517
下裂纹平面处纤维承担的力用
Figure FDA00039590617700000518
表示，在应力
Figure FDA00039590617700000519
下裂纹平面处基体承担的应力用
Figure FDA00039590617700000520
表示，由公式
Figure FDA00039590617700000521
求出。
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