CN111709175A - 一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法及优化计算模型 - Google Patents

Abstract

本发明涉及桥梁施工领域，具体涉及一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法及优化计算模型。针对拱肋跨径大、吊重大、吊装节段数多、线形控制难的拱桥，采用传统方法施工过程中将产生较大的横向偏位；基于此，本发明通过有限元软件建立空间有限元模型，结合影响矩阵原理，计算拱圈在自重、各单位扣索力、各单位侧缆风索作用下位移影响矩阵，继而根据扣索和侧缆风索对位移的耦合作用并结合最优化计算理论，以合龙松索后与目标线形偏差为约束函数，施工过程中与目标线形偏差为目标函数，求解扣索力和侧缆风索初拉力进而计算施工中拱圈线形和索力；结果表明，跨径360m拱桥的拱圈合龙松索后竖向和横向偏位能分别控制在10mm和6mm以内，能实现拱圈高精度拼装。

Description

一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法及优化计算模型

技术领域

本发明涉及桥梁施工领域，特别是一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法及优化计算模型。

背景技术

现有的大跨径拱桥多采用缆索吊运斜拉扣挂施工技术，然而，随着拱圈跨径的不断增大、吊重及吊装节段数的不断增加，拱圈线形控制也面临着新的挑战。

目前，拱桥线形控制方法包括零弯矩法、正装法、改进迭代法和优化法等。零弯矩法假定拱肋节段间为铰接连接，根据力矩平衡原理求解各扣索索力；该方法计算简捷高效，但忽略了拱肋间的实际连接情况，因而，仅适合拱肋节段数少、跨径小的拱桥施工计算。正装法按照拱圈实际施工顺序模拟拱圈施工，通过反复调索的方式求解各扣索力；该方法通常要求计算人员有一定调索经验，且对于吊重大、拱肋节段数多的拱桥而言，常常很难调试出合适的扣索力。改进迭代法将影响矩阵乘调整系数，以进一步提高正装法的计算效率。传统的优化法通常以合龙线形为优化目标函数，求解各吊装施工过程中扣索力，造成拱圈施工过程中线形和各索力均匀性问题有待解决。此外，以上各计算方法主要应用于平行拱的施工监控计算分析，很少应用于大跨径提篮拱的监控计算。然而，大跨径提篮拱不同于平行拱，施工过程中易产生较大的横向偏位，导致施工风险较大。因此，一种更高效、高精度的施工控制方法有待进一步研究。

申请号为2017113998984的专利文件公开了一种拱桥悬臂拼装施工优化模型及优化计算方法，该方法以合龙松索后各控制节点的位移与目标线形位移的偏差为约束条件，以各吊装施工阶段的各控制点位移与目标位移差的向量范数或者各扣索初拉力荷载与安装预抬高为零时的扣索初拉力To的差的向量范数为优化目标函数，结合影响矩阵法建立“过程最优，结果可控”的悬臂拼装施工的最优计算理论，以严格控制每一施工吊装阶段的实际线形与目标线形，使得各控制节点预抬高值变化平缓、索力均匀性好，不会出现材料在施工过程中的应力集中现象，且约束条件少。

但该方法只考虑了施工过程中的竖向偏位，包括拱肋节段本身自重导致的下挠及横联自重造成的结构下挠；而对于拱肋跨径大、吊重大、吊装节段数多等的拱桥，如沙尾左江特大桥，在采用传统方法的施工过程中将产生较大的横向偏位，会造成重大的桥梁质量安全。

发明内容

本发明的目的在于：针对现有技术不能解决拱圈横向偏位的线形控制问题，提供一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，索力均匀性好，优化分析时约束条件少，在同时考虑竖向偏位及横向偏位的前提下，严格控制每一施工吊装阶段结构的实际线形与目标线形及索力，确保拼装精度。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，在拱肋节段各控制点处连接侧缆风索，以控制拱肋节段的横向位移；考虑侧缆风索、扣索及拱肋节段自重对拱圈位移的耦合作用，结合影响矩阵原理和最优化计算理论，求解拱肋节段各控制点处在不同施工阶段中的拱圈线形和索力，以使在索力作用下拱圈线形逼近目标线形。其中，索力包括侧缆风索索力和扣索索力。

优选地，根据拱桥结构参数及施工实况，首先建立拱桥结构的空间有限元模型，并确定拱桥结构的各结构组、边界组和荷载组，形成各施工阶段。

优选地，结合影响矩阵法原理建立状态变量与设计变量的函数关系，导出拱圈在自重、各单位扣索力、各单位侧缆风索的耦合作用下的位移影响矩阵u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀，进行优化计算，其中，u_t为合龙松索后各控制点的目标位移向量，即一次落架的各控制点线形；M₁表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装拱肋时各控制点的位移影响矩阵、M₂表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装横联时各控制点的位移影响矩阵、M_n表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下拆除扣索时各控制点位移影响矩阵；C₁表示仅在自重作用下安装拱肋时各控制点位移影响矩阵、C₂表示仅在自重作用下安装横联时各控制点位移影响矩阵、C_n表示仅在自重作用下拆除扣索时位移影响矩阵；T₀为安装预抬高值为0状态下的荷载向量，即设计变量初始值。其中，u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀的结果可结合有限元软件计算。

优选地，在最优化计算过程中，以合龙松索后的线形与目标线形之间的偏差为约束函数，施工过程中的实际线形与目标线形之间的偏差为目标函数，以求解扣索力和侧缆风索的初拉力，进而计算施工中拱圈线形和索力。优化求解可采用数学工程优化软件。

优选地，在优化计算过程中，建立如下优化计算模型：

设计变量：x＝{x₁,x₂,x₃,…,x_n}^T

状态变量：

初始值：

约束条件：(u_n(x)-u_t)²≤Δu²

目标函数：minf(x)＝||u_h(x)-u_t||

式中，x为各扣索和侧缆风索的初拉力形成的荷载向量；u₁(x)为当前施工阶段拱肋悬臂端各控制点位移向量；u₂(x)为安装横联后的各控制点位移向量；u_n(x)为合龙松索后各控制点的位移向量；Δu为合龙松索后，控制点位移与目标位移的容许偏差值；为抵偿因安装横联造成的竖向位移和横向位移，取施工过程中各阶段悬臂端控制点预抬高值向量u_h(x)＝αu₁(x)+(1-α)u₂(x)。其中，α优选取值0.5；上述相关向量包括横向和竖向方向的对应分量。

进一步地，在优化计算模型计算过程中，判断各侧缆风索初拉力是否大于或者等于0，若是，则进一步计算各施工阶段的各索扣索力x和各控制点处预抬高值向量u_h(x)；若否，则需连接内侧缆风索，并增加内侧缆风索索力，然后重新导出位移影响矩阵并优化计算。其中，内侧缆风索索力作为恒荷载考虑，为减少内侧缆风索索力受施工阶段的干扰，内侧缆风索刚度一般取值很小。

优选地，设计Δu的步长，代入上述优化计算模型，得出Δu与目标函数minf(x)的关系曲线，根据该关系曲线的拐点得出Δu的取值；将Δu的取值代入上述优化计算模型，得出各施工阶段的各索扣索力x和控制点处预抬高值向量u_h(x)。

优选地，Δu取值于函数Δu-f横向分量和竖向分量中拐点处对应变量的较大值，可获取良好的施工线形。

优选地，拱桥为钢管混凝土拱桥。

本发明还提供一种大跨径拱桥拱圈线形控制的优化计算模型，其通过建立待拼装拱桥结构的有限元模型，结合正装法分析方法确定待拼装拱桥结构的结构组、边界组和荷载组，并据此形成结构的各施工阶段，然后结合影响矩阵原理建立状态变量与设计变量的函数关系，导出影响矩阵u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀，其中，u_t为合龙松索后各控制点的目标位移向量，即一次落架的各控制点线形；M₁表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装拱肋时各控制点的位移影响矩阵、M₂表示各单位扣索力、单位侧缆风力单独作用下安装横联时各控制点的位移影响矩阵、M_n表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下拆除扣索时各控制点位移影响矩阵；C₁表示仅在自重作用下安装拱肋时各控制点位移影响矩阵、C₂表示仅在自重作用下安装横联时各控制点位移影响矩阵、C_n表示仅在自重作用下拆除扣索时位移影响矩阵；T₀为安装预抬高值为0状态下的荷载向量，即设计变量初始值，并建立如下优化计算模型：

设计变量：x＝{x₁,x₂,x₃,…,x_n}^T

状态变量：

初始值：

约束条件：(u_n(x)-u_t)²≤Δu²

目标函数：minf(x)＝||u_h(x)-u_t||

式中，x为各扣索和侧缆风索的初拉力形成的荷载向量；u₁(x)为当前施工阶段拱肋悬臂端各控制点位移向量；u₂(x)为安装横联后的各控制点位移向量；u_n(x)为合龙松索后各控制点的位移向量；Δu为合龙松索后，控制点位移与目标位移的容许偏差值；为抵偿因安装横联造成的竖向位移和横向位移，取施工过程中各阶段悬臂端控制点预抬高值向量u_h(x)＝0.5(u₁(x)+u₂(x))。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

1、本发明通过考虑侧缆风索(控制横向偏位)和扣索力(控制竖向偏位)对位移的耦合作用，基于影响矩阵原理和最优化计算理论建立大跨径提篮拱拱圈一次张拉施工优化计算方法，有效克服了传统施工监控方法存在的拱圈横向偏位大、索力均匀性差、拱圈应力大等问题。

2、以沙尾左江特大桥为工程依托，采用本发明方法从拱圈线形、索力均匀性和拱圈应力三个方面验证了本文方法具有良好的适应性，能实现拱圈高精度拼装。

附图说明

图1是实施例1中提篮式钢管混凝土拱桥的施工结构示意图。

图2是一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法的流程图。

图3是内侧缆风索及侧缆风索在拱桥结构上位置的俯视图。

图4是Δu与目标函数f(x)之间的关系曲线。

图5是传统方法与本发明方法的线形对比分析图。

图6是本发明拱圈横向偏差对比分析图。

图7是本发明拱圈竖向偏差对比分析图。

图8是本发明中的扣索索力变化图。

图9是零弯矩发育本发明方法的各扣索最大索力对比分析图。

图10是传统方法与本发明方法的拱圈应力对比分析图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明作详细的说明。

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

首先以如图1所示的一座钢管混凝土拱桥为例，说明影响矩阵法的计算原理及过程。本实施例在原有方案采用缆索吊运斜拉扣挂、通过扣索控制竖向偏位的基础上，在拱桥两侧设置侧缆风索来控制各拱肋节段的横向偏位。

拱桥斜拉扣挂施工过程中，各扣索索力荷载主要包括结构恒荷载产生的荷载效应、其他扣索张拉、侧缆风索索和索自身变形产生的荷载效应几个部分。基于叠加原理，可得到式(1)所示影响矩阵方程：

E_user＝M·f+E_const (1)

式中，E_user指各控制点的目标位移向量；f为各扣索和侧缆风索索初拉力荷载向量；E_const为考虑施工阶段恒载作用下各控制节点的位移向量；M为各单位扣索力和单位侧缆风索索力单独作用下形成的影响矩阵，因此，M和f分别如式(2)和式(3)所示：

式中，表示Δ_1,2扣2号扣索在单位荷载单独作用下对扣点1产生的竖向位移；Δ_1,2缆表示2号侧缆风索索在单位荷载单独作用下对扣点1产生的竖向位移；▽_1,2扣表示2号扣索在单位荷载单独作用下对侧缆风索扣点1产生的横向位移；▽_1,2缆表示2号侧缆风索索在单位荷载单独作用下对侧缆风索扣点1产生的横向位移，其它依此类推。

f＝[f_1扣 f_2扣…f_11扣 f_12扣 f_1缆 f_2缆…f_11缆 f_12缆]^T (3)

式(3)中，f_1扣和f_1缆分别表示1号扣索索力和1号侧缆风索索力值，其它依此类推。

然后结合线性代数的相关理论，可得到各扣索和侧缆风索索初拉力荷载向量f：

f＝M^-1·(E_user-E_const) (4)

本实施例提供一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，具体的流程图如图2所示，该优化计算方法包括以下步骤：

S1，根据待拼装拱桥结构的几何参数、材料参数、边界条件和荷载工况建立结构的有限元模型，例如可通过有限元软件MIDAS CIVIL建立空间有限元模型，然后结合正装法分析方法确定待拼装拱桥结构的结构组、边界组和荷载组，并据此形成结构的各施工阶段；

S2，结合影响矩阵法原理建立状态变量与设计变量的函数关系，导出各个在自重、各单位扣索力、各单位侧缆风索索力的耦合作用下的影响矩阵u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀，其中，u_t为合龙松索后各控制点的目标位移向量，即一次落架的各控制点线形；M₁表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装拱肋时各控制点的位移影响矩阵、M₂表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装横联时各控制点的位移影响矩阵、M_n表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下拆除扣索时各控制点位移影响矩阵；C₁表示仅在自重作用下安装拱肋时各控制点位移影响矩阵、C₂表示仅在自重作用下安装横联时各控制点位移影响矩阵、C_n表示仅在自重作用下拆除扣索时位移影响矩阵；T₀为安装预抬高值为0状态下的荷载向量，即设计变量初始值，并建立如下优化计算模型：

设计变量：x＝{x₁,x₂,x₃,…,x_n}^T

状态变量：

初始值：

约束条件：(u_n(x)-u_t)²≤Δu²

目标函数：minf(x)＝||u_h(x)-u_t||

式中，x为各扣索和侧缆风索的初拉力形成的荷载向量；u₁(x)为当前施工阶段拱肋悬臂端各控制点位移向量；u₂(x)为安装横联后的各控制点位移向量；u_n(x)为合龙松索后各控制点的位移向量；Δu为合龙松索后，控制点位移与目标位移的容许偏差值；为抵偿因安装横联造成的竖向位移和横向位移，取施工过程中各阶段悬臂端控制点预抬高值向量u_h(x)＝αu₁(x)+(1-α)u₂(x)，α取值0.5；

S3，判断各侧缆风索初拉力是否大于或者等于0，若是，则进行下一步；若否，则在拱肋节段各控制点处连接内侧缆风索，并增加内侧缆风索索力(内侧缆风索及侧缆风索的相对位置如图3，内侧缆风索朝拱桥结构内侧偏拉，侧缆风索朝拱桥结构外侧偏拉)，重复步骤S2，重新导出位移影响矩阵并优化计算，直至各侧缆风索初拉力大于或者等于0；

S4，设计Δu的步长，代入上述优化计算模型，得出Δu与目标函数minf(x)的关系曲线，该关系曲线包括横向和竖向偏位分量，根据关系曲线的拐点选取较大值得出Δu的取值；

S5，将步骤S4得到的Δu的取值代入上述优化计算模型，得出各施工阶段的各索扣索力x和各控制点处预抬高值向量u_h(x)。

相比传统方法不考虑横向偏位影响，下面通过一拱桥实施例，来具体说明本发明一次斜拉挂扣优化计算方法的应用。

该拱桥是一座中承式大跨径提篮式钢管混凝土拱桥，主跨360m，两岸拱座均采用明挖扩大基础。主拱肋截面形式为四肢桁式结构，矢跨比1/4.533，拱轴线为倒悬链线m＝1.55，两拱肋在竖直面内向桥轴线侧倾斜10°。拱顶截面径向高为7.0m；拱脚截面径向高为12.0m，肋宽为2.0m；上、下弦为

的钢管混凝土主弦管；管内混凝土采用C60。

在步骤S4中，取Δu步距为0.5mm，采用本文方法、利用相关数学工程优化软件，比如mathcad，计算Δu与目标函数f(x)之间的关系曲线，见图4。由图4可知，拱圈竖向偏位f(x)和横向偏位f(x)拐点分别出现在8mm和6mm的位置，即当Δu≥8mm时，竖向偏位f(x)和横向偏位f(x)均接近零，表征施工过程中横向偏位和竖向偏位较小，具有良好的施工线形。基于此，这里取合龙松索后横向和竖向位移偏差限值Δu＝10mm，获取各施工阶段的各控制点处的扣索力及预抬高值向量，即可获得合龙松索后的线形，开展拱圈斜拉扣挂施工优化计算分析：

(1)线形分析

由图5可知，采用传统方法计算合龙松索后各控制点线形与目标线形最大偏差超450mm，施工过程中各控制点线形偏差超500mm，超出规范[11](《钢管混凝土拱桥结构技术规范》(GB50923-2013)要求的合龙横向偏位限值L/6000＝60mm，施工风险大。而采用本文方法计算合龙松索后各控制点线形与目标线形偏差最大偏差接近于零，施工过程中各控制点线形能控制在50mm以内，具有良好的横向线形。

进一步地，对比分析拱圈合龙松索后及施工过程中各控制点的拱圈横向和竖向偏位情况，如图6和图7所示：拱圈合龙松索后各控制点与目标线形横向偏差和竖向偏差分别控制在7mm和10mm以内，远小于规范(《钢管混凝土拱桥结构技术规范》(GB50923-2013)要求的横向偏位限值L/6000＝60mm和竖向偏位限值L/3000＝120mm，具有良好的拼装精度。此外，施工过程中各控制点与目标线形最大横向偏位和竖向偏位分别控制在50mm和40mm范围内，施工过程中线形波动较少，施工安全性好。

(2)索力分析

从各扣索最大索力值和各扣索在施工过程中索力变化两方面对比零弯矩法分析本文方法的索力均匀性，由于扣索数量较多，这里仅取1#-4#号扣索进行索力变化分析，对比结果如图8和图9所示：

采用“零弯矩法”计算索力时，各扣索索力随着吊装节段数的增加而产生较大的波动，扣索索力均匀性较差。而采用本文的一次张拉施工优化方法计算各扣索索力时，随着拱肋吊装节段数的增加各扣索索力变化较小，索力均匀性较好。由此表明本文提出的一次张拉施工优化计算方法能够有效地克服传统施工监控计算方法的缺陷，可以保证各吊装施工过程中各扣索索力的均匀性良好。

采用“零弯矩法”计算各扣索在吊装施工过程中最大索力时，相邻两扣索存在突变，如7#扣索与8#扣索在整个吊装施工过程中最大扣索力分别为1001.6kN和1316.2kN，二者差值达314.6kN。此外，根据图9各扣索最大索力情况，采用零弯矩法计算各扣索最大索力较本文方法明显大，即采用本文方法所需配索较少，更为经济。

(3)拱圈应力分析

为确保施工安全，对比传统方法(不考虑横向偏位影响)和本文方法计算施工过程中拱圈最大应力和最小应力情况，如图10所示：当不考虑横向偏位的影响时，拱圈最大应力和最小应力分别达到257.3MPa和191.4MPa，施工风险较大。采用本文提出一次张拉张拉施工优化计算方法能将拱圈的最大应力和最小应力分别控制在130.5MPa和117.2Mpa，显著提高了拱圈的施工安全。

本文方法不仅适用于提篮式钢管混凝土拱桥，也同样可推广应用于斜拉桥、混凝土拱桥等不同类型的桥梁施工中。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，

在拱肋节段各控制点处连接侧缆风索；

考虑侧缆风索、扣索及拱肋节段自重对拱圈位移的耦合作用，结合影响矩阵原理和最优化计算理论，求解拱肋节段各控制点处在不同施工阶段中的拱圈线形和索力，以使在索力作用下拱圈线形逼近目标线形。

2.根据权利要求1所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，根据拱桥结构参数及施工实况，首先建立拱桥结构的空间有限元模型，并确定拱桥结构的各结构组、边界组和荷载组，形成各施工阶段。

3.根据权利要求1所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，结合影响矩阵原理建立状态变量与设计变量的函数关系，导出拱圈在自重、各单位扣索力、各单位侧缆风索作用下的位移影响矩阵u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀，进行优化计算，其中，u_t为合龙松索后各控制点的目标位移向量，即一次落架的各控制点线形；M₁表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装拱肋时各控制点的位移影响矩阵、M₂表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装横联时各控制点的位移影响矩阵、M_n表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下拆除扣索时各控制点位移影响矩阵；C₁表示仅在自重作用下安装拱肋时各控制点位移影响矩阵、C₂表示仅在自重作用下安装横联时各控制点位移影响矩阵、C_n表示仅在自重作用下拆除扣索时位移影响矩阵；T₀为安装预抬高值为0状态下的荷载向量，即设计变量初始值。

4.根据权利要求3所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，在最优化计算过程中，以合龙松索后的线形与目标线形之间的偏差为约束函数，施工过程中的实际线形与目标线形之间的偏差为目标函数。

5.根据权利要求4所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，在优化计算过程中，建立如下优化计算模型：

设计变量：x＝{x₁,x₂,x₃,…,x_n}^T

状态变量：

初始值：x＝T₀，

约束条件：(u_n(x)-u_t)²≤Δu²

目标函数：min f(x)＝||u_h(x)-u_t||

式中，x为各扣索和侧缆风索的初拉力形成的荷载向量；u₁(x)为当前施工阶段拱肋悬臂端各控制点位移向量；u₂(x)为安装横联后的各控制点位移向量；u_n(x)为合龙松索后各控制点的位移向量；Δu为合龙松索后，控制点位移与目标位移的容许偏差值；为抵偿因安装横联造成的竖向位移和横向位移，取施工过程中各阶段悬臂端控制点预抬高值向量u_h(x)＝αu₁(x)+(1-α)u₂(x)。

6.根据权利要求5所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，还包括以下步骤：在优化计算过程中，判断各侧缆风索初拉力是否大于或者等于0，若是，则进一步计算各施工阶段的各索扣索力x和各控制点处预抬高值向量u_h(x)；若否，则在拱肋节段连接内侧缆风索，并增加内侧缆风索索力，然后重新导出位移影响矩阵并优化计算。

7.根据权利要求5所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，包括设计Δu的步长，代入上述优化计算模型，得出Δu与目标函数minf(x)的关系曲线，根据该关系曲线的拐点得出Δu的取值；将Δu的取值代入上述优化计算模型，得出各施工阶段的各索扣索力x和各控制点处预抬高值向量u_h(x)。

8.根据权利要求7所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，Δu取值于函数Δu-f横向分量和竖向分量中拐点处对应变量的较大值。

9.根据权利要求1-8任一项所述的一种大跨径拱桥拱圈线形控制方法，其特征在于，所述拱桥为钢管混凝土拱桥。

10.一种大跨径拱桥拱圈线形控制的优化计算模型，其特征在于：通过建立待拼装拱桥结构的有限元模型，结合正装法分析方法确定待拼装拱桥结构的结构组、边界组和荷载组，并据此形成结构的各施工阶段，然后结合影响矩阵原理建立状态变量与设计变量的函数关系，导出影响矩阵u_t、M₁、M₂、M_n、C₁、C₂、C_n及T₀，其中，u_t为合龙松索后各控制点的目标位移向量，即一次落架的各控制点线形；M₁表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下安装拱肋时各控制点的位移影响矩阵、M₂表示各单位扣索力、单位侧缆风力单独作用下安装横联时各控制点的位移影响矩阵、M_n表示各单位扣索力、单位侧缆风力作用下拆除扣索时各控制点位移影响矩阵；C₁表示仅在自重作用下安装拱肋时各控制点位移影响矩阵、C₂表示仅在自重作用下安装横联时各控制点位移影响矩阵、C_n表示仅在自重作用下拆除扣索时位移影响矩阵；T₀为安装预抬高值为0状态下的荷载向量，即设计变量初始值，并建立如下优化计算模型：

设计变量：x＝{x₁,x₂,x₃,…,x_n}^T

状态变量：

初始值：x＝T₀，

约束条件：(u_n(x)-u_t)²≤Δu²

目标函数：min f(x)＝||u_h(x)-u_t||

式中，x为各扣索和侧缆风索的初拉力形成的荷载向量；u₁(x)为当前施工阶段拱肋悬臂端各控制点位移向量；u₂(x)为安装横联后的各控制点位移向量；u_n(x)为合龙松索后各控制点的位移向量；Δu为合龙松索后，控制点位移与目标位移的容许偏差值；为抵偿因安装横联造成的竖向位移和横向位移，取施工过程中各阶段悬臂端控制点预抬高值向量u_h(x)＝αu₁(x)+(1-α)u₂(x)。

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