CN111709155B - 一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，包括以下步骤：S1.建立电力系统

机电暂态的纯微分方程模型；S2.根据S1中的所述纯微分方程模型，获取对应雅可比矩阵中的元素解析表达式，分析电力系统雅可比矩阵在多阶段中的符号特征，若f(x)的雅可比矩阵J(x)的非对角元素的值保持恒非正或恒非负，则存在混合单调分解函数；S3.采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统，并根据增广系统的解估计出不确定性的电力系统状态轨迹，通过状态轨迹分析电力系统机电暂态特性。本发明能够为不确定性问题提供量化分析结果，解决了现有技术中电网暂态特性分析难度增大的问题，为电力系统暂态特性分析提供了新的方法。

Description

一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法

技术领域

本发明涉及电网动态特性分析技术领域，更具体的说是涉及一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法。

背景技术

我国目前建成了世界上规模最大、电压等级最高的交直流混联电网。预期2020年，全社会用电量6.8-7.2万亿千瓦时，全国发电装机容量20亿千瓦，电能占终端能源消费比重达到27％。针对能源基地与负荷中心在地理上存在的空间错位，我国建设了特高压输电和常规输电技术的“西电东送”输电通道，并且通过超特高压交直流输电线路实现了各大区域电网互联。按照《电力系统安全稳定导则》的要求，确保交直流混联电网安全、稳定、可靠运行是重大而紧迫的国家需求。

随着直流容量的大幅增加和多种新能源的接入，电网暂态特性发生改变，增大了开展混联电网动态特性分析的难度。工程师们从混联电网的长期稳定运行中积累了丰富的经验。在稳定控制方面，一些简单的策略就能发挥良好的作用，例如提高直流电网惯性以提升电网同步稳定性；在电压最低的节点上切除负载，则其他节点的电压不会降低。这些已经得到充分验证的工程经验，蕴含电力系统的固有特性，只是目前缺乏对应的理论工具去解释这些现象。

在数学分析层面上，人们对系统动态行为的认识和研究不断深入，出现了不少新的分析方法和工具，其中混合单调性作为动态系统的定性性质，近年来逐渐得到关注。混合单调系统衍生于单调系统，更加贴近实际系统特性，结合混合单调分解技术能够提供类似于单调系统分析的强大分析能力。动态系统的混合单调分解，利用系统结构中固有的增长与衰减机制进行分解操作，构造一个增广的具有双边比较性能的单调系统。混合单调分解方法自然地利用动态系统的结构特性，不必要求原系统具有严格的单调性，能从特性更加清晰的增广系统给出原系统状态更为细致的非对称估计。

因此，如何提出一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法是本领域技术人员亟需解决的问题。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，通过对电力系统数学模型进行处理与分析，指出暂态过程中系统模型的雅可比矩阵符号特征，以此分析电力系统是否具备混合单调性，通过混合单调特性获取相应的增广系统，从而进一步对电力系统进行机电暂态特性分析。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，包括以下步骤：

S1.建立电力系统

机电暂态的纯微分方程模型；

S2.根据S1中的所述纯微分方程模型，获取对应雅可比矩阵中的元素解析表达式，分析电力系统雅可比矩阵在多阶段中的符号特征，若f(x)的雅可比矩阵J(x)的非对角元素的值保持恒非正或恒非负，则存在函数F满足以下条件：

1)

2)

3)

则判断当前电力系统

为具有混合单调特性的混合单调系统，函数F则为混合单调分解函数；

S3.采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统，并根据增广系统的解估计出不确定性的电力系统状态轨迹，通过状态轨迹分析电力系统机电暂态特性。

优选的，S1中包括以下内容：

对于同时考虑凸极效应与励磁调节的同步电机模型，电力系统动态纯微分方程模型为：

其中：

式中：N是非线性算子，E′_q为发电机q轴内电势向量，E_fd是励磁电压向量，T′_do为发电机d轴暂态时间常数对角矩阵，K_A和T_A分别是一阶PI励磁调节器的比例和积分系数对角矩阵，V_ref为参考电压向量，R_Id是确定的实数矩阵，X_d、X′_d分别是发电机d轴同步电抗、暂态电抗的对角矩阵，n_g表示发电机总数，i为非线性算子分量序号，c为系数，m，n为累加计算序号。

优选的，对于同时考虑凸极效应与励磁调节的同步电机模型，得到对应雅可比矩阵中的元素解析表达式的具体过程如下：

/>

式中：

由/>

组成。

优选的，S3中采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统的具体内容包括：

对于非线性系统：

其中，状态向量

控制向量/>

矩阵/>

N(x)为非线性算子；

若矩阵A和T确定，则分解为：A＝A⁺+A^-,T＝T⁺+T^-；

若非线性算子N(x)具有单调性质，则混合单调分解函数F为：F(x⁺,x^-)＝A⁺x⁺+A^-x^-+T⁺N(x⁺)+T^-N(x^-)

根据混合单调分解函数F，构造出的增广系统为：

通过所构造出的增广系统计算增广系统的解获取原非线性系统的解的双边约束。

经由上述的技术方案可知，与现有技术相比，本发明公开提供了一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，通过对电力系统数学方程模型进行处理与分析，根据暂态过程中系统模型的雅可比矩阵符号特征，来分析电力系统蕴含混合单调性质。对于具有混合单调性的电力系统模型，能够结合混合单调分解技术对系统状态起正作用和负作用的部分进行拆分，挖掘了各状态变量间的增长和衰减机制，分析系统动态特性，解释电网运行经验，通过混合单调分解函数构造单调的增广系统，其能够对应保序性质得到的双边约束给出原不确定性电力系统状态轨迹的估计，为不确定性问题提供量化分析结果，解决了现有技术中电网暂态特性分析难度增大的问题，为电力系统暂态特性分析提供了新的方法。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图。

图1附图为本发明提供的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法流程示意图；

图2附图为本发明提供的单调系统和混合单调系统的真实集与估计集的对比示意图；

图3附图为本发明提供的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法雅可比矩阵元素的值曲线示意图；其中图(a)为

曲线示意图，图(b)为/>

曲线示意图，图(c)为/>

曲线示意图，图(d)为/>

曲线示意图，图(e)为/>

曲线示意图，图(f)为/>

曲线示意图；

图4附图为本发明提供的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法初始状态不确定下的包络解曲线示意图；其中图(a)为发电机内电势包络解曲线示意图，图(b)为励磁电压包络解曲线示意图；

图5附图为本发明提供的三机九节点系统拓扑示意图；

图6附图为本发明提供的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法控制参数不确定下的包络解曲线示意图；其中图(a)为发电机内电势包络解曲线示意图，图(b)为励磁电压包络解曲线示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明实施例公开了一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，如图1所示，包括以下步骤：

S1.建立电力系统

机电暂态的纯微分方程模型；

S2.根据S1中的所述纯微分方程模型，获取对应雅可比矩阵中的元素解析表达式，分析电力系统雅可比矩阵在多阶段中的符号特征，若f(x)的雅可比矩阵J(x)的非对角元素的值保持恒非正或恒非负，则存在函数F满足以下条件：

1)

2)

3)

则判断当前电力系统

为具有混合单调特性的混合单调系统，函数F则为混合单调分解函数；

S3.采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统，并根据增广系统的解估计出不确定性的电力系统状态轨迹，通过状态轨迹分析电力系统机电暂态特性。

关于混合单调性的充分条件，在混合单调分解函数中，其函数值不随着第一组变量的增大而减小，即偏导数的值不小于零；其函数值不随第二组变量的增大而增加，即偏导数的值不大于零。采用矩阵形式描述，则动态系统

为混合单调系统的一个充分条件是右端函数f(x)的雅可比矩阵J(x)的非对角元素的符号不变，其值保持恒非正或恒非负。

为了进一步实施上述技术方案，需要说明的是：

混合单调系统包含固有的增长与衰减机制，其对应的混合单调分解函数F清楚地描述了系统中的增长部分和衰减部分。利用混合单调分解函数F，继续对增长与衰减机制进行操作，构造一个增广的具有双边比较性能的单调系统，那么就能从特性更加清晰的增广系统给出原系统状态更为细致的非对称估计。

(1)确定的线性连续时间系统

任何确定的线性连续时间系统都是混合单调系统，都存在混合单调分解函数F，其增广系统存在统一的形式。

考虑线性连续时间系统：

式中：状态向量/>

控制向量/>

系统矩阵/>

已知系统矩阵是独立且确定的，根据系统矩阵中元素的符号特征可作如下分解：A(t)＝A⁺(t)+A^-(t)，式中：

由此获得该系统所对应的混合单调分解函数F，证明任何确定的线性连续时间系统都是混合单调系统，其混合单调分解函数F为：

式中：状态向量

利用混合单调分解函数F，构造出如下的增广系统：

若x⁺ ₀＝x^- ₀＝x₀，则增广系统解与原系统解满足x⁺(t)＝x^-(t)＝x(t)。易知增广系统的雅可比矩阵内的所有非对角元素都非负，满足单调系统的充分条件。如果存在初值

那么可得到/>

利用单调系统的保序特性，增广系统对应不同初值的解具有如下保序关系：

即原系统状态轨迹x(t)存在如下保序包络关系：

可见增广系统的解为原始系统的解提供了双边约束，给出了原系统状态的非对称估计。

(2)确定的非线性系统

如果非线性部分具有单调性质，那么非线性部分也存在混合单调分解函数与增广系统。

考虑非线性系统：

式中状态向量/>

控制向量

矩阵/>

N(x)为非线性算子。如果矩阵A和T确定，作如下分解：A＝A⁺+A^-,T＝T⁺+T^-。再进一步，如果非线性算子N(x)具有单调性质，就可以获得混合单调函数与增广系统，从增广系统的解获取原非线性系统的解的双边约束。混合单调函数表示为：

F(x⁺,x^-)＝A⁺x⁺+A^-x^-+T⁺N(x⁺)+T^-N(x^-)

增广系统为：

因此，求出增广系统的解，即可为原始系统的解提供双边约束，有利于获得复杂问题状态可达集的快速估计。以包含扰动的二维输出映射f(x,d)的一步可达状态估计为例，图2给出了对应单调系统和混合单调系统的真实集与估计集的对比。一步真实可达集是不规则的，而一步估计可达集是由两个参数空间顶点映射值构成的矩形，能够覆盖真实集。对于单调系统，真实集的两个顶点所对应的状态一定能达到；而对于混合单调系统，估计集的两个顶点所对应的状态不一定能达到，快速估计结果的保守性更强。

在本实施例中，通过三种电力系统模型来分别进行混合单调性分析：

(1)同步机采用经典模型

在一个多机系统中，假设负荷均为恒阻抗类型，可以当作无源节点并入网络；假设同步机采用经典模型，发电机机端节点能用暂态电抗后的内电势节点替代，得到一个简化的等值网络。根据基尔霍夫定律，对应等值网络有如下代数方程：

式中：Y₁₁，Y₁₂，Y₂₁，Y₂₁为在发电机升压变压器支路上叠加暂态电抗的分块导纳矩阵，E为同步发电机内电势向量，V为无注入电流的节点电压向量，I_G为注入电流向量。

展开上式并整理有

式中：Y称为简化网络矩阵。

采用直角坐标形式描述网络方程，并结合x-y坐标系与d-q坐标之间的变化公式，得到电流分量I_d，I_q与电磁功率Pe关于E的显式函数，即：

式中：n_g表示发电机总数，G_ij和B_ij为Y的元素，E_j为E的元素。

至此，通过消去代数方程组，电力系统动态可由纯微分方程组描述，推导过程如下：

在实数形式下，分析当同步发电机采用经典模型；负荷均为恒阻抗类型，那么描述系统动态的DAE可以写成如下形式：

微分方程组(Differential Equations)：

代数方程组(Algebraic Equations)：

可见在假设条件下，代数方程中的代数量可以全部用状态量表示，DAE转变成了ODE，则有：

(2)同步机忽略凸极效应但考虑励磁调节

假设负荷均为恒阻抗类型；同步发电机的数学模型考虑励磁磁链变化，不计定子电阻和阻尼绕组影响，并忽略转子凸极效应；一阶PI励磁系统参与调节，消去电力网络与控制环节对应的代数方程，得到描述电网动态特性的纯微分方程组，推导过程如下：

在实数形式下，分析当同步发电机不计阻尼绕组影响(对应3阶)，并忽略定子电阻，凸极效应时；负荷均为恒阻抗类型；考虑一阶PI励磁调节器的作用，那么描述系统动态的DAE可以写成如下形式：

微分方程组(Differential Equations)：

代数方程组(Algebraic Equations)

/>

可见在假设条件下，代数方程中的代数量可以全部用状态量表示，DAE转变成了ODE，则有：

(3)同步机考虑凸极效应与励磁调节

当同步发电机考虑转子凸极效应时，注入电流有复数表达形式：

式中:Y_GG，Y_GL，Y_LG，Y_LL并入发电机虚拟导纳的分块导纳矩阵；V_G为发电机节点电压向量，V_L为其余节点电压向量，δ为发电机功角的对角矩阵，X_q和X′_d分别为发电机q轴同步电抗和d轴暂态电抗的对角矩阵，E′_q为发电机内电势向量。

展开上式，得到：

式中：

/>

可见用V_G表示的网络代数方程仍是隐函数。考虑到故障持续时间远小于发电机的惯性时间常数，假定发电机的转速ω和功角δ在故障期间维持恒定，下面采用Dommel-Sato迭代与共轭运算对式进行求解，有：

式中：

数值计算经验表明矩阵

的谱半径/>

矩阵幂级数序列A′绝对收敛，得到封闭形式的发电机节点电压解，如下：

因此，微分方程组中的代数变量，例如发电机节点电压向量V_G，d轴电流向量I_d和发电机电压幅值向量|V_G|，均具有关于状态变量的解耦解析表达形式，如下：

V_G＝K_GE′_q

I_d＝R_IdE′_q

|V_G|＝N(E′_q)

式中：K_G是确定的复数矩阵，R_Id是确定的实数矩阵，N是关于E′_q非线性函数。

仅考虑励磁电压和发电机内部电势的动态变化，消去微分方程组中的代数变量，得到如下的动态系统：

式中：N是非线性算子，E′_q为发电机q轴内电势向量，E_fd是励磁电压向量，T′_do为发电机d轴暂态时间常数对角矩阵，K_A和T_A分别是一阶PI励磁调节器的比例和积分系数对角矩阵，V_ref为参考电压向量，R_Id是确定的实数矩阵，X_d、X′_d分别是发电机d轴同步电抗、暂态电抗的对角矩阵。

对于上述技术方案中，S2中分析电力系统雅可比矩阵在多阶段中符号特征，论证电力系统在多阶段中具有混合单调性质,具体实施过程如下：

如图5所示，采用IEEE3机9节点电网算例，网络拓扑与系统参数如表1所示，

表1

分析线路5-7末端靠近母线7处发生故障期间和断开线路5-7切除故障后系统雅可比矩阵的符号特征，说明电力系统在一定条件下是混合单调系统，可以借助混合单调理论方法及混合单调分解工具来分析电网动态特性。

(1)同步机采用经典模型

根据该模型的纯微分方程得到对应雅可比矩阵中的元素解析表达式为：

式中：分子均对应第i个分量，分母含i表示分块矩阵的对角元素，分母含j表示分块矩阵的非对角元素。

在t∈[0,0.0833s]故障过程中，δ₃₁∈[10.89°,16.43°]，雅可比矩阵J中元素存在不变的符号特征，如下：

式中：“+”表示该位置元素值为正数，“-”表示该位置元素值为负数，“0”表示该位置元素值为零。

在t∈[0.0833s,1.0s]故障切除后，δ₂₁∈[6.58°,78.6°]，δ₃₁∈[5.29°,52.7°]，δ₂₃∈[1.67°,28.2°]，雅可比矩阵J中元素存在不变的符号特征，如下：

在故障持续和故障切除后这两个时段，系统雅可比矩阵的元素符号固定，说明系统状态量之间的相互作用是明确的，例如同步机自身的功角的变大阻碍了自身转子角速度的上升，符合传统同步机的单机稳定特性；但同时会恶化网络上相连的其余同步机的角速度变化，促使其继续上升，这体现了网络上同步机之间相互制约平衡的机制。

(2)同步机忽略凸极效应但考虑励磁调节时电网特征

根据该模型可得到相应雅可比矩阵中元素的解析表达式如下：

/>

三相金属性接地故障发生在t＝0s，于t＝0.05s切除故障线路，根据解析表达式与相应仿真数据，获得雅可比矩阵中变化的元素在t∈[-0.1,1.0s]内变化曲线，如图3所示。

在故障持续期间t∈[0,0.05s]，系统雅可比矩阵的所有元素均不发生正负符号变化；在故障切除后t∈[0.05s,1.0s],除

外，其余元素仍保持符号不变。偏导数符号不变的特征，解释了状态量之间的作用机制，例如/>

中自身偏导数值均为负，相互间偏导数值均为正，说明同步机自身具有维持磁链不变的特性，但又通过网络相互平衡。

(3)同步机考虑凸极效应与励磁调节时电网特征

动态系统中的非线性算子N，具有齐次特性，E_q′对应励磁绕组磁链，在t∈[0,0.1s]内保持恒正；系数c经数值检验，在t∈[0,0.1s]内保持非负。因此非线性算子N具有单调且有界特性，原系统可以得到混合单调分解函数与增广系统。

电力系统自然存在明显的分块特性，根据分区域讨论的雅可比矩阵元素的符号特征，t∈[0,0.1s]雅可比矩阵的符号特性总结如下

上式所示结果的符号都是明确的，说明原系统具有混合单调性质。

上述技术方案中，采用电力系统混合单调分解结果，构造单调的增广系统，并给出不确定性电力系统状态轨迹的估计，为不确定性问题提供量化分析结果，实施如下：

对3机电力系统上述模型中固有的增长与衰减机制进行分解操作，构造混合单调分解函数与增广系统。图4展示了对应增广系统取[1.02x₀,-0.98x₀]作为初值，其中x₀为标称状态，增广系统解与原系统解的对比。对于E_fd1而言，在初值存在扰动下的状态轨迹集合是不规则的，最高初值的状态迹线和最低初值的状态迹线存在交错。由于电力系统的强耦合性和强非线性，这种现象的存在给系统动态响应定量分析带来困难。通过应用混合单调理论构造出对应增广系统，其解轨迹能够给出了原系统包含不确定性时的保守估计，提供便捷的量化分析结果。

单调系统的动态特别简单，不仅便于系统初值稳定分析，还可以扩展到有控制输入的情形，即认为控制量是一类不变的状态量。图6展示了一阶PI励磁环节比例系数不确定性对系统响应的影响，其中变化的范围分别是K_A＝4，

可以看到包含控制不确定性参数的增广系统的解仍构成原解的上下边界。

通过对电力系统数学方程进行处理，得到适合开展系统混合单调性质分析的动态系统模型；在确定新的动态系统具有混合单调特性之后，构造对应的单调增广系统，能够仅开展顶点计算给出包含不确定性的原系统的响应估计，从而在诸如限幅环节分析、新能源机组高低压跳闸等方面提供助力。

本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。对于实施例公开的装置而言，由于其与实施例公开的方法相对应，所以描述的比较简单，相关之处参见方法部分说明即可。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (4)

1.一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1.建立电力系统

机电暂态的纯微分方程模型；

S2.根据S1中的所述纯微分方程模型，获取对应雅可比矩阵中的元素解析表达式，分析电力系统雅可比矩阵在多阶段中的符号特征，若f(x)的雅可比矩阵J(x)的非对角元素的值保持恒非正或恒非负，则存在函数F满足以下条件：

1)

2)

3)

则判断当前电力系统

为具有混合单调特性的混合单调系统，函数F则为混合单调分解函数；

S3.采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统，并根据增广系统的解估计出不确定性的电力系统状态轨迹，通过状态轨迹分析电力系统机电暂态特性。

2.根据权利要求1所述的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，其特征在于，S1中包括以下内容：

对于同时考虑凸极效应与励磁调节的同步电机模型，机电暂态的纯微分方程模型为：

其中：

式中：N是非线性算子，E′_q为发电机q轴内电势向量，E_fd是励磁电压向量，T′_do为发电机d轴暂态时间常数对角矩阵，K_A和T_A分别是一阶PI励磁调节器的比例和积分系数对角矩阵，V_ref为参考电压向量，R_Id是确定的实数矩阵，X_d、X′_d分别是发电机d轴同步电抗、暂态电抗的对角矩阵，n_g表示发电机总数，i为非线性算子分量序号，c为系数，m，n为累加计算序号。

3.根据权利要求2所述的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，其特征在于，对于同时考虑凸极效应与励磁调节的同步电机模型，得到对应雅可比矩阵中的元素解析表达式的具体过程如下：

/>

式中：

由/>

组成。

4.根据权利要求1所述的一种基于混合单调特性的电力系统机电暂态特性分析方法，其特征在于，S3中采用所述混合单调分解函数，构造单调的增广系统的具体内容包括：

对于非线性系统：

其中，状态向量/>

控制向量/>

矩阵/>

N(x)为非线性算子；

若矩阵A和T确定，则分解为：A＝A⁺+A^-,T＝T⁺+T^-；

若非线性算子N(x)具有单调性质，则混合单调分解函数F为：F(x⁺,x^-)＝A⁺x⁺+A^-x^-+T⁺N(x⁺)+T^-N(x^-)

根据混合单调分解函数F，构造出的增广系统为：

通过所构造出的增广系统计算增广系统的解获取原非线性系统的解的双边约束。

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