CN111598245A - 一种基于Grover算法的大数据集搜索方法、量子计算机 - Google Patents

一种基于Grover算法的大数据集搜索方法、量子计算机 Download PDF

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Abstract

本发明属于量子计算技术领域，公开了一种基于Grover算法的大数据集搜索方法、量子计算机，根据量子处理器的容量对数据集分块，每块数据集的大小为处理器一次能处理的最大数据量；以每块数据的迭代次数为自变量，列出搜到解时迭代次数的总期望值等式；列出搜索问题的约束条件，并将总期望值等式作为目标函数，对优化方程求解；按照求得的每块数据的迭代次数对相应数据块进行搜索；与完整Grover算法进行对比，得到优化搜索算法的优化率。本发明对较大数据集进行搜索可以有效减少查找次数，最优情况下优化率可以提高6％左右。相同搜索成功率的条件下减少查找次数，可以使整个系统中由错误率和退相干性产生的影响得到抵消。

Description

一种基于Grover算法的大数据集搜索方法、量子计算机
技术领域
本发明属于量子计算技术领域，尤其涉及一种基于Grover算法的大数据集 搜索方法、量子计算机。
背景技术
目前，量子计算是基于量子逻辑，利用量子态进行信息处理的方法。随着 量子计算机的发展，基于量子计算机运行的量子算法被人们发现，它解决一些 问题的效率将有可能远远超过经典算法，甚至可以解决经典计算机无法解决的 一些问题。Grover算法是一种量子搜索算法，该算法被证实可以对经典算法进 行二次加速从而更快速地解决问题。目前现有的能有效解决搜索问题的量子算 法绝大多数都是Grover算法的变体，这些Grover算法的改进算法在解决大数据 集上的搜索问题时需要消耗大量的量子比特来进行计算。由于量子的纠缠态难 以控制，因此处理器的量子比特数始终存在限制，目前谷歌所发布的量子计算 机仅72量子比特，IBM推出的仅53量子比特，如果搜索空间的大小超过了该 量子处理器所能承载的最大数据量时，便无法直接通过Grover算法搜索目标 项。因此，对于在量子计算机上，如何使用有限量子比特的处理器对大型的无 结构数据进行搜索是需要解决的重要问题。
综上所述，现有技术存在的问题是：
(1)现有技术在解决大数据集上的搜索问题时需要消耗大量的量子比特， 当搜索空间的大小超过处理器的量子比特限制时便无法直接找到问题的解。
(2)由于量子系统存在消相干性，所以搜索算法的查找次数越多系统的错 误率就越高，在数据量较大的情况下甚至会发生系统完全消相干从而导致无法 完成计算的情况。本发明的优化方法从Grover算法的迭代次数与对应的搜索概 率之间的关系入手，通过减少查找次数的方式提高搜索效率。
解决上述技术问题的难度：通用量子计算机利用量子的相干性和纠缠态来 实现量子计算，由于量子的自身特性，纠缠态的制备和保持是有严苛的条件限 制的，在实现计算过程中必须要想办法降低量子算法的运算复杂性和计算时间 来减少中间态，以求得算法的结果在保持一定准确率的同时有较高的实用性。 想要构建通用量子计算机帮助解决一些问题，如何实现高效搜索是一个至关重 要的技术节点。
解决上述技术问题的意义：本发明的搜索方法可以实现使用较少量子比特 的处理器完成大数据集上的搜索问题，解决了量子处理器在搜索问题上的比特 限制问题。同时，本发明的优化方法有效减少了搜索问题的查找次数，一定程 度上抵消了部分由于系统的消相干性带来的错误率。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于Grover算法的大数据集 搜索方法、量子计算机。
本发明是这样实现的，一种基于Grover算法的大数据集搜索方法，所述基 于Grover算法的大数据集搜索方法包括：
第一步，根据量子处理器的容量对数据集分块，每块数据集的大小为处理 器一次能处理的最大数据量；
第二步，以每块数据的迭代次数为自变量，列出搜到解时迭代次数的总期 望值等式；
第三步，列出搜索问题的约束条件，并将总期望值等式作为目标函数，对 优化方程求解；
第四步，按照求得的每块数据的迭代次数对相应数据块进行搜索，每个数 据块搜索完成后进行测量，检查坍塌态是否是问题的解；若不是，则进行下一 块搜索；若是，则搜索完成；
第五步，与完整Grover算法进行对比，得到优化搜索算法的优化率。
进一步，所述基于Grover算法的大数据集搜索方法的量子处理器为n-qubit， 一次能处理的数据量大小为N-bit(N＝2n)，整个搜索空间可均分为k块，则需 要处理的所有数据量表示为kN-bit。
进一步，所述基于Grover算法的大数据集搜索方法在数据集均匀分布的条 件下，假设P(Ej)是解在第j块的概率，P(Sj)是在第j块没有搜到解的概率，由 条件概率公式和贝叶斯定理可知：
Figure BDA0002409773730000031
其中，Pa表示在第a块进行i次Grover算法的迭代后找到解的概率，写成：
Figure BDA0002409773730000032
其中，
Figure BDA0002409773730000033
M是解的个数，本发明中值为1，N是量 子系统一次运算时能处理的数据集大小；
由式
Figure BDA0002409773730000034
得，
Figure BDA0002409773730000035
的增大会使原本解在某块的概率值
Figure BDA0002409773730000036
增大为
Figure BDA0002409773730000037
证得等式
Figure BDA0002409773730000038
在定义域内是单调递增 的，且当概率接近1时递增速度变慢，拐点为
Figure BDA0002409773730000039
进一步，所述第二步中，以Grover算法中Oracle的调用次数作为查找次数， 找到一个解所需的查找次数的期望值E表示为：
Figure BDA00024097737300000310
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后 找到解的概率，见式
Figure BDA00024097737300000311
进一步，所述第三步中，等式
Figure BDA0002409773730000041
为优化问题的目标函数，该优化问题的约束条件可转述为以下方程：
Figure BDA0002409773730000042
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后找 到解的概率，Pe是优化算法成功搜到一个解的指定概率，ia是第a块数据的迭 代次数，N是量子系统一次运算时能处理的数据集大小。
进一步，所述第四步中选定一个Pe的值，应用牛顿内点法对上述步骤四中的 方程求解，所得(i1，i2，i3，…ik)为每块数据的迭代次数，对相应的数据块进行搜索， 能使查找次数的期望值达到局部可行最小值。
进一步，所述第五步中计算优化率：
Figure BDA0002409773730000043
其中，Emax指每个数据块使用原始Grover算法进行计算找到目标项的查找 次数期望值，E是以指定概率Pe找到解所对应的期望值。
本发明的另一目的在于提供一种所述基于Grover算法的大数据集搜索方法 在量子计算机大数据集搜索中的应用。
综上所述，本发明的优点及积极效果为：本发明考虑到量子计算机可以用 于计算的量子比特数目始终存在限制，当数据集的大小超过量子计算机一次的 计算量时，设计了一种优化的搜索算法，用来解决如何完成整个数据集上有且 仅有一个解的搜索问题。本发明的优化算法可以对基础Grover算法提高至多6％ 左右的搜索效率。根据量子计算机的算力极限将数据集分块，由条件概率公式 可知，在位于前面的数据块中没有搜到解的情况下，解在后面数据块的概率会 增加，又由于Grover算法的迭代次数决定了找到解的概率，由此设计了每块数 据块迭代次数不同的搜索算法，并列出了优化方程，计算出局部可行最优解， 得到每块数据的最优迭代次数。依据本发明的优化结果分别对每块数据块进行 相应迭代次数的Grover搜索，能以最小的期望值搜到问题的解。
本发明提出将目前量子处理器无法直接计算的大数据集进行分块搜索，根 据全概率公式计算出查找次数的期望值公式，列出优化方程并设置一个可接受 的找到目标态的概率值，根据优化理论中的牛顿内点法可以求出每个数据块的 具体查找次数，根据算出的查找次数对对应的数据块进行搜索测量，可以用更 少的查找次数得到问题的解。解决了当分布均匀的数据集大小超过了量子处理 器的量子比特数时如何进行高效搜索的问题。
本发明基于原始Grover的一种优化算法，使用本算法对较大数据集进行搜 索可以有效减少查找次数，最优情况下优化率可以提高6％左右。相同搜索成功 率的条件下减少查找次数，可以使整个系统中由错误率和退相干性产生的影响 得到抵消。
附图说明
图1是本发明实施例提供的基于Grover算法的大数据集搜索方法流程图。
图2是本发明实施例提供的20-qubit时迭代次数对应搜索成功概率示意图。
图3是本发明实施例提供的每块迭代次数对应图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例， 对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以 解释本发明，并不用于限定本发明。
针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于Grover算法的大数据集 搜索方法、量子计算机，下面结合附图对本发明作详细的描述。
如图1所示，本发明实施例提供的基于Grover算法的大数据集搜索方法包 括以下步骤：
S101：根据量子处理器的容量对数据集分块，每块数据集的大小为处理器 一次能处理的最大数据量。
S102：以每块数据的迭代次数为自变量，列出搜到解时迭代次数的总期望 值等式。
S103：列出搜索问题的约束条件，并将总期望值等式作为目标函数，对优 化方程求解。
S104：按照求得的每块数据的迭代次数对相应数据块进行搜索，每个数据 块搜索完成后进行测量，检查坍塌态是否是问题的解，若不是，则进行下一块 搜索；若是，则搜索完成。
S105：与完整Grover算法进行对比，得到优化搜索算法的优化率。
在本发明的优选实施例中，一方面因为由条件概率公式可知，在位于前面 的数据块中没有搜到解的情况下，解存在于后面数据块的概率会增加，另一方 面由于Grover算法的迭代次数决定了系统测量后坍塌到解的概率，因此本发明 的优化搜索算法针对每个数据块的迭代次数做了相应的优化，可使其不需用达 到Grover算法的最大迭代次数也能以相应的概率搜到解。
在本发明的优选实施例中，步骤S101中，量子处理器为n-qubit，一次能处 理的数据量大小为N-bit(N＝2n)，整个搜索空间可均分为k块，则需要处理的 所有数据量表示为kN-bit。
在本发明的优选实施例中，在数据集均匀分布的条件下，假设P(Ej)是解在 第j块的概率，P(Sj)是在第j块没有搜到解的概率。由条件概率公式和贝叶斯 定理可知：
Figure BDA0002409773730000061
其中，Pa表示在第a块进行i次Grover算法的迭代后找到解的概率，可写 成：
Figure BDA0002409773730000071
其中，
Figure BDA0002409773730000072
M是解的个数，本发明中值为1，N是量 子系统一次运算时能处理的数据集大小。
由式(1)得，
Figure BDA0002409773730000073
的增大会使原本解在某块的概率值
Figure BDA0002409773730000074
增大为
Figure BDA0002409773730000075
又易证得等式(2)在定义域内是单调递增的，且当概率接近1时递增速度变 慢，拐点为
Figure BDA0002409773730000076
由此，可以使位于后面块的搜索概率适当提高从而达到减少迭代次数、节 省计算时间和步骤的目的。
在本发明的优选实施例中，步骤S102中，以Grover算法中Oracle的调用 次数作为查找次数，找到一个解所需的查找次数的期望值E表示为：
Figure BDA0002409773730000077
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后 找到解的概率，见式(2)。
在本发明的优选实施例中，步骤S103中，等式(3)即为优化问题的目标函数， 该优化问题的约束条件可转述为以下方程：
Figure BDA0002409773730000078
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后找 到解的概率，Pe是优化算法成功搜到一个解的指定概率，ia是第a块数据的迭 代次数，N是量子系统一次运算时能处理的数据集大小。
在本发明的优选实施例中，步骤S104中，选定一个Pe的值，应用牛顿内点 法对上述步骤四中的方程求解，所得(i1，i2，i3，…ik)即为每块数据的迭代次数，按 照此解对相应的数据块进行搜索，能使查找次数的期望值达到局部可行最小值。
在本发明的优选实施例中，步骤S105中，为了说明该优化算法的优化效果， 可用以下方式来计算优化率：
Figure BDA0002409773730000081
其中，Emax指每个数据块使用原始Grover算法进行计算找到目标项的查找 次数期望值，E是以指定概率Pe找到解所对应的期望值。
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的描述。
假设现在的量子处理器有n＝20-qubit大小，能处理的经典数据量极限是 N＝220-bit大小。搜索空间的大小是230-bit均匀分布的数据集，空间内有且仅有 一个解，一次计算无法完成整个数据集上的搜索。应用本发明提供的算法对数 据集进行搜索的具体实施案例包括以下步骤：
(1)根据量子处理器的容量对数据集分块，由于量子处理器有20-qubit， 它每次所能处理的经典数据量极限是220-bit大小，而搜索空间大小为222-bit，所 以将大数据集分为：
Figure BDA0002409773730000082
(2)证明在数据集均匀分布的条件下，本发明优化算法的可行性。假设P(Ej) 是解在第j块的概率，P(Sj)是在第j块没有搜到解的概率。由条件概率公式和贝 叶斯定理可证得：
Figure BDA0002409773730000083
其中，Pa表示在第a块进行i次Grover算法的迭代后找到解的概率，例如： 将一个搜索空间均分成10个数据块，搜索空间中有且仅有一个解，则解在每一 块中的概率均为。然后，分别以P1，P2，P3，P4，P5的成功概率在前五个数据块中进行 搜索，每块迭代完成后进行测量，检查到的坍塌态不是问题的解。这时，解在 第六个数据块中的概率表示为：
Figure RE-GDA0002576414380000091
比原来的
Figure RE-GDA0002576414380000092
大。因 此，相应地增加在第六块的搜索成功概率可以提高在整个搜索空间找到解的成 功概率，也就是适当增加在第六块的算法迭代次数。
因此，可以使位于后面块的搜索概率适当提高从而达到减少迭代次数、节 省计算时间和步骤的目的。
同时，迭代次数和Grover算法搜索到解的成功概率之间的对应关系可写成：
Figure BDA0002409773730000093
其中，
Figure BDA0002409773730000094
又易证得等式(4)在定义域内是单调递增的，且当概率接近1时递增速度变慢。
图2是20-qubit系统中Grover算法的迭代次数对应搜索成功的概率图，图 中趋势显示，迭代次数在接近最大阈值804次时概率值的增加速度显著减慢， 迭代次数在708次时Grover算法成功概率已经达到96.47％，在754次时达到 99.02％，而在800次时仅增长到99.99％。在当前数据块中，迭代754次后找到 解的期望值是754/0.9902约等于761次，迭代800次后找到解的期望值是 800/0.9999约等于800次。显而易见，用761次迭代找到一个解的结果明显优于 800次迭代。
由此，基于大样本的情况下，数据块可以不必迭代到最大阈值，而是迭代 到一个合适的次数就能以最优的情况找到解，从而达到减少迭代次数、节省计 算时间和步骤的目的。
(3)计算搜到解时迭代次数的总期望值等式：
Figure BDA0002409773730000095
(4)列出搜索问题的约束条件，并将上述步骤三中的等式作为目标函数， 对优化方程求解：
Figure BDA0002409773730000101
假设现在仅需以96.5％的概率找到解，则上式中Pe值为0.965。用牛顿内点 法对上述优化方程求解得：
Figure BDA0002409773730000102
(5)按照(4)所求得的每块数据的迭代次数((i1，i2，i3，…i100))对相应数据块进行搜索，每个数据块搜索完成后进行测量，检查坍塌态是否是问题的解，若不 是，则进行下一块搜索；若是，则搜索完成。
(6)计算优化搜索算法的优化率。将上述步骤四所得到的解((i1，i2，i3，…i100))代入步骤三所求得的迭代次数总期望值公式中，求得E的值为36757，而Emax的 值为40589，代入以下公式求得优化率为：
Figure BDA0002409773730000103
下面结合证明对本发明的技术方案作进一步的描述。
(一)在单个数据库块上进行Grover算法时，算法的迭代次数同测量后系 统坍塌到解的概率之间存在以下函数关系：
Figure BDA0002409773730000104
其中，Pa表示在第α块进行i次Grover算法的迭代后找到解的概率，
Figure BDA0002409773730000105
M表示解的个数，在本发明中值为1，N是量子系统单次运 行的解空间大小，因此式(5)的定义域为
Figure BDA0002409773730000111
已知Pa的值域范围在 [0，1]上，则定义域也可表示为
Figure BDA0002409773730000112
这里
Figure BDA0002409773730000113
在定义域内对式(5)求二阶导可得：
Figure BDA0002409773730000114
令式(6)中P″＝0，则得到拐点
Figure BDA0002409773730000115
当
Figure BDA0002409773730000116
时，P″＞0，当
Figure BDA0002409773730000117
时，P″＜0。因此，式(5)的一阶导数在
Figure BDA0002409773730000118
处取极大值。
在定义域内对式(5)求一阶导可得：
Figure BDA0002409773730000119
当ia＝0时，P′的值大于0；当
Figure BDA00024097737300001110
时，P′的值等于0。考虑到式(7)在定义域 内存在一个极大值，所以P′的值域是大于等于0的。由此可知，式(5)在定义域内 是单调递增的，并且存在一个拐点
Figure BDA00024097737300001111
这意味着，Grover算法的成功概率 是随着迭代次数的增加而递增的，在拐点之前增速也是递增的，但是在拐点之 后，增速越来越慢。
在拐点之后成功概率越接近1的情况下，迭代次数的增量对应很少的成功概 率增量。另一方面，由于量子系统存在退相干性，迭代次数的增多会造成系统 的错误率明显增高甚至解相干。所以，在实际应用中，将系统的Grover算法成 功概率增加到最高并没有比选择较低一点的成功概率更加高效实用。
(二)在数据集均匀分布的条件下，由于对每块数据块的搜索结果都进行了 即时测量，所以可以设P(Ej)是解在第j块的概率，P(Sj)是在第j块没有搜到解的概 率。由条件概率公式可知：
Figure BDA00024097737300001112
由于数据集是均匀分布的，所以式(8)中的分母为：
Figure BDA00024097737300001113
同时，由贝叶斯定理可知式(8)中的分子为：
Figure BDA0002409773730000121
因此，式(8)可写成：
Figure BDA0002409773730000122
由式(11)得，
Figure BDA0002409773730000123
的增大会使原本解在某块的概率值
Figure BDA0002409773730000124
增大为
Figure BDA0002409773730000125
因此，在测量当前计算的数据块之后，得到的坍塌态不是解的情况下，可以适当提高 位于后面的数据块的搜索概率，从而达到减少迭代次数、节省计算时间和步骤 的目的。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述基于Grover算法的大数据集搜索方法包括：
第一步，根据量子处理器的容量对数据集分块，每块数据集的大小为处理器一次能处理的最大数据量；
第二步，以每块数据的迭代次数为自变量，列出搜到解时迭代次数的总期望值等式；
第三步，列出搜索问题的约束条件，并将总期望值等式作为目标函数，对优化方程求解；
第四步，按照求得的每块数据的迭代次数对相应数据块进行搜索，每个数据块搜索完成后进行测量，检查坍塌态是否是问题的解；若不是，则进行下一块搜索；若是，则搜索完成；
第五步，与完整Grover算法进行对比，得到优化搜索算法的优化率。
2.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述基于Grover算法的大数据集搜索方法的量子处理器为n-qubit，一次能处理的数据量大小为N-bit(N＝2n)，整个搜索空间可均分为k块，则需要处理的所有数据量表示为kN-bit。
3.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述基于Grover算法的大数据集搜索方法在数据集均匀分布的条件下，假设P(Ej)是解在第j块的概率，P(Sj)是在第j块没有搜到解的概率，由条件概率公式和贝叶斯定理可知：
Figure FDA0002409773720000011
其中，Pa表示在第a块进行i次Grover算法的迭代后找到解的概率，写成：
Figure FDA0002409773720000012
其中，
Figure FDA0002409773720000013
M是解的个数，本发明中值为1，N是量子系统一次运算时能处理的数据集大小；
由式
Figure FDA0002409773720000021
得，
Figure FDA0002409773720000022
的增大会使原本解在某块的概率值
Figure FDA0002409773720000023
增大为
Figure FDA0002409773720000024
证得等式
Figure FDA0002409773720000025
在定义域内是单调递增的，且当概率接近1时递增速度变慢，拐点为
Figure FDA0002409773720000026
4.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述第二步中，以Grover算法中Oracle的调用次数作为查找次数，找到一个解所需的查找次数的期望值E表示为：
Figure FDA0002409773720000027
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后找到解的概率，见式
Figure FDA0002409773720000028
5.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述第三步中，等式
Figure FDA0002409773720000029
为优化问题的目标函数，该优化问题的约束条件可转述为以下方程：
Figure FDA00024097737200000210
其中，k是数据块的块数，Pa表示在第a块进行ia次Grover算法的迭代后找到解的概率，Pe是优化算法成功搜到一个解的指定概率，ia是第a块数据的迭代次数，N是量子系统一次运算时能处理的数据集大小。
6.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述第四步中选定一个Pe的值，应用牛顿内点法对上述步骤四中的方程求解，所得(i1，i2，i3，…ik)为每块数据的迭代次数，对相应的数据块进行搜索，能使查找次数的期望值达到局部可行最小值。
7.如权利要求1所述的基于Grover算法的大数据集搜索方法，其特征在于，所述第五步中计算优化率：
Figure FDA0002409773720000031
其中，Emax指每个数据块使用原始Grover算法进行计算找到目标项的查找次数期望值，E是以指定概率Pe找到解所对应的期望值。
8.一种如权利要求1～7任意一项所述基于Grover算法的大数据集搜索方法在量子计算机大数据集搜索中的应用。
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