CN111568456A - 基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，包括步骤：建立膝关节的三维模型，并获得X线成像系统的空间位置参数；分别在左X线图像和右X线图像中提取六个特征点对应的投影点的位置信息；估计特征点在三维空间中的位置坐标；计算股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁和胫骨近端转换到投影姿态的四元数q₂；根据四元数q₁和四元数q₂计算得到膝关节姿态角，确定膝关节的姿态。本发明通过对膝关节股骨和胫骨中的六个特征点进行三维重建，避免了迭代的配准过程与软组织伪影的影响，过程简便，减少了计算量，提高了计算效率，并且具有较高的准确度。

Description

基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法

技术领域

本发明涉及医疗辅助设备技术领域，特别是涉及一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法。

背景技术

膝关节是人体中最大最复杂的关节，也是自由度最大的关节，在日常生活中参与绝大多数的运动，并且维持身体的动态平衡。由于膝关节结构复杂，运动量大，所以在现实中膝关节具有很高的伤病率。对膝关节三维运动学的基础研究，有助于更全面地理解膝关节的结构与运动功能的关系，对研究运动损伤机理、临床诊断和指导康复训练等有着重要的意义。在康复治疗阶段，能够非侵入式地检测膝关节或者假关节的运动学参数和下肢运动姿态，对于医生更好地监测与评估患者的康复状况有着十分重要的意义。

目前，利用光学跟踪测量设备测量膝关节的运动姿态是一种常用方法，但是此方法由于存在软组织伪影的影响，准确度较低。另外，利用2D-3D配准的在体测量技术也是一种测量膝关节运动姿态的常用方法，此方法虽较于光学追踪系统准确度高，但是过程复杂，计算效率相对较低。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术存在的问题，提出了一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，该方法具有较高的准确度和计算效率。

本发明采取如下的技术方案：

一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、对膝关节进行CT扫描，建立膝关节的三维模型；对具有左X射线源、右X射线源与对应成像平面的X线成像系统进行标定，获得X线成像系统的空间位置参数，利用获得的空间位置参数在三维建模软件中建立虚拟成像空间；

步骤二、在所述三维模型中选取六个特征点，并分别在所述左X射线源对应的左X线图像和所述右X射线源对应的右X线图像中提取六个所述特征点对应的投影点的位置信息；

步骤三、利用所述左X射线源与所述左X线图像中的投影点以及所述右X射线源与所述右X线图像中的投影点组成投影射线，估计所述特征点在三维空间中的位置坐标；

步骤四、将所述三维模型中股骨远端上的三个特征点组成第一平面，根据估计得到的股骨远端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第二平面，对所述三维模型的股骨远端进行空间变换，使所述第一平面与所述第二平面平行，计算得到股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁；

将所述三维模型中胫骨近端上的三个特征点组成第三平面，根据估计得到的胫骨近端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第四平面，对所述三维模型的胫骨近端进行空间变换，使所述第三平面与所述第四平面平行，计算得到胫骨近端转换到投影姿态的四元数q₂；

步骤五、根据所述四元数q₁和所述四元数q₂计算得到膝关节姿态角，确定膝关节的姿态。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：本发明所提出的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法对膝关节股骨和胫骨中的六个特征点进行三维重建，避免了迭代的配准过程与软组织伪影的影响，过程简便，减少了计算量，提高了计算效率，并且具有较高的准确度。

附图说明

图1为本发明基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法的流程图；

图2为X线成像系统的空间位置示意图；

图3为在膝关节的三维模型上选取的特征点的示意图。

具体实施方式

下面将结合附图及较佳实施例对本发明的技术方案进行详细描述。

在其中一个实施例中，如图1所示，本发明公开一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，该方法包括以下步骤：

步骤一(S100)、对膝关节(股骨远端和胫骨近端)进行CT扫描，建立膝关节的三维模型；X线成像系统包括左X射线源和右X射线源与其对应成像平面，对X线成像系统进行标定，即标定左X射线源与对应的成像平面以及右X射线源与对应的成像平面，获得X线成像系统的空间位置参数，利用获得的空间位置参数在三维建模软件中建立虚拟成像空间；

步骤二(S200)、在膝关节的三维模型中选取六个特征点(股骨中和胫骨中各选取三个特征点)，并分别在左X射线源对应的左X线图像和右X射线源对应的右X线图像中提取六个特征点对应的投影点的位置信息；

步骤三(S300)、利用左X射线源与左X线图像中的投影点以及右X射线源与右X线图像中的投影点组成投影射线，估计特征点在三维空间中的位置坐标；

步骤四(S400)、将三维模型中股骨远端上的三个特征点组成第一平面，根据估计得到的股骨远端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第二平面，对三维模型的股骨远端进行空间变换，使第一平面与第二平面平行，计算得到股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁；

将三维模型中胫骨近端上的三个特征点组成第三平面，根据估计得到的胫骨近端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第四平面，对三维模型的胫骨近端进行空间变换，使第三平面与第四平面平行，计算得到胫骨近端转换到投影姿态的四元数q₂；

步骤五(S500)、根据四元数q₁和四元数q₂计算得到膝关节姿态角，确定膝关节的姿态。

作为一种具体的实施方式，步骤一(S100)中，获得X线成像系统的空间位置参数过程包括以下步骤：

参见图2，图2所示为X线成像系统(即两个X射线源与对应的成像平面)的空间位置示意图，图中A点表示膝关节的三维模型上的某一特征点，a1、a2分别表示特征点A在右成像平面、左成像平面中的投影点，将左X射线源和右X射线源呈30°夹角放置，利用张正友标定法对X线成像系统进行立体标定，获得左X射线源与对应的成像平面的内参矩阵K₁、外参矩阵M₁、相机矩阵P₁和右X射线源与对应的成像平面的内参矩阵K₂、外参矩阵M₂、相机矩阵P₂，左X射线源和右X射线源的位置关系可用矩阵E表示为：

其中，x_l为空间中某点X在左X射线源的相机坐标系下的坐标，x_r为空间中某点X在右X射线源的相机坐标系下的坐标，R为右X射线源的相机坐标系与左X射线源的相机坐标系的旋转矩阵，t为平移向量；

得到两个X射线源与其成像平面的空间位置参数(内参矩阵、外参矩阵和相机矩阵)之后，还可以得到X线成像系统的基本矩阵F，基本矩阵F为：

F＝[K₂ t]_x K₂R K₁ ^-1 (2)

其中，[K₂ t]_x为三维列向量的反对称矩阵。

作为一种具体的实施方式，步骤二(S200)在膝关节的三维模型中选取六个特征点，并分别在左X线图像和右X线图像中提取六个特征点对应的投影点的位置信息的过程包括以下步骤：

膝关节特征点的选择需要分别在股骨远端和胫骨近端各选择三个不共线的标志点，标志点应该特征明显，便于确认其投影在X线图像中投影点的位置，因此选取三维模型中股骨远端上的股骨内上髁、股骨外上髁、股骨髁间凹为股骨三个特征点，选取三维模型中胫骨近端上的胫骨外侧髁、胫骨内侧髁和髁间隆起作为胫骨三个特征点，参见图3；

分别手动标注左X线图像和右X线图像中各个特征点的投影点位置；

对标注投影点位置后的左X线图像和右X线图像进行二值化处理，分别提取投影点的位置信息。

作为一种具体的实施方式，步骤二(S200)提取六个特征点对应的投影点的位置信息之后，还包括对提取的投影点的位置信息进行校准，获得最优投影点的位置坐标的过程，该过程包括以下步骤：

步骤二一、假设在左X线图像中提取的投影点为x₁＝(m，n，1)^T，在右X线图像中提取的投影点为x₂＝(m’，n’，1)^T，投影点x₁＝(m，n，1)^T对应的最优投影点为x’₁，投影点x₂＝(m’，n’，1)^T对应的最优投影点为x’₂，投影点x₁＝(m，n，1)^T、投影点x₂＝(m’，n’，1)^T、最优投影点x’₁以及最优投影点x’₂满足距离最小化公式：

C(x₁，x₂)＝d(x₁、x’₁)²+d(x’₂，x’₂)² (3)

步骤二二、定义投影点x₁＝(m，n，1)^T和x₂＝(m’，n’，1)^T的变换矩阵，并将其平移到坐标原点：

步骤二三、分别计算左X射线源对应的成像平面中的极点e₁＝(e_x，e_y，e_z)^T和右X射线源对应的成像平面中的极点e₂＝(e’_x，e’_y，e’_z)^T，极点e₁和极点e₂分别满足Fe₁＝0和F^Te₂＝0，对极点e₁和极点e₂分别进行归一化，使e² _x+e² _y＝1，e’_x ²+e’_y ²＝1，并构造旋转矩阵R₁、R₂，使其满足R₁ e₁＝(1，0，e_z)^T、R₂ e₁＝(1，0，e’_z)^T，构造的旋转矩阵R₁、R₂分别为：

步骤二四、变换后的基本矩阵为F’＝R₂ T₂ ^-T F T₁ R₁ ^T，令f＝e_z、f’＝e’_z、a＝F’₂₂、b＝F’₂₃、c＝F’₃₂、d＝F’₃₃，变换后的基本矩阵F’可表示为以下形式：

步骤二五、用参数u参数化左X线图像中的对极线束，设左X线图像对应的对极线为l(u)，对极线l(u)可以表示为其通过左X线图像中的某点(0，u，1)^T与左X线图像中变换后的极点R₁ e₁的叉积，即：

l(u)＝(0，u，1)^T×(1，0，e_z)^T

＝(0，u，1)^T×(1，0，f)^T

＝(uf，1，-u)^T (8)

设右X线图像对应的对极线为l’(u)，对极线l’(u)可以利用变换后的基本矩阵F’计算得到：

l’(u)＝F’(0，u，1)^T＝(-f’(cu+d)，au+b，cu+d)^T (9)

步骤二六、因投影点在左X线图像、右X线图像中已经平移到坐标原点，所以投影点x₁＝(m，n，1)^T和投影点x₂＝(m’，n’，1)^T分别在左X线图像和右X线图像中与对应的对极线的距离可以表示为：

步骤二七、由于最优投影点在对极线上，因此将式(3)表示为利用参数u参数化的距离函数为：

对式(12)进行求导，得：

合并分母并使分子等于0，得

g(u)＝u((au+b)²+f'²(cu+d)²)²-(1+f²u²)²(ad-bc)(au+b)(cu+d)＝0 (14)

步骤二八、解式(14)得到6个根，比较将6个根分别代入式(12)并且u→∞时s(u)的值，得到使s(u)取最小值的最优解u_min；

步骤二九、计算最优解u_min下左X线图像和右X线图像分别对应的对极线，然后计算原点分别垂直于对极线的交点x”₁、x”₂，并对交点x”₁、x”₂做旋转变换，得到最优投影点x’₁和最优投影点x’₂的位置坐标：

x’₁＝T^-1 ₁ R^T ₁ x”₁ (15)

x’₂＝T^-1 ₂ R^T ₂ x”₂ (16)。

作为一种具体的实施方式，步骤三(S300)中估计特征点在三维空间中的位置坐标的过程包括以下步骤：

步骤三一、设最优投影点x’₁＝(a₁，b₁，1)^T，最优投影点x’₂＝(a₂，b₂，1)^T，最优投影点x’₁、最优投影点x’₂与三维空间中的特征点X、相机矩阵P₁、相机矩阵P₂之间存在如下关系：

展开上式，得

其中，P_n ^iT(i＝1,2,3；n＝1,2)为P_n的行。

式(18)表示的线性方程组可以表示为齐次线性方程AX＝0，其中，

步骤三二、利用奇异值分解法计算齐次方程组AX＝0的最小二乘解，特征点X的位置坐标为V对应于最小特征值的列，其中A＝UDV^T是A的奇异值分解。

作为一种具体的实施方式，步骤四(S400)中，对三维模型的股骨远端进行空间变换，使第一平面与第二平面平行，计算得到股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁的过程包括以下步骤：

步骤四一、设三维模型中股骨远端上的三个特征点在世界坐标系下的坐标分别为X₁、X₂、X₃，估计得到的股骨远端上的三个特征点在世界坐标系下的位置坐标为X’₁、X’₂、X’₃，向量x₁₂、x₁₃为第一平面上由特征点X₁、X₂、X₃构成的向量，向量x’₁₂、x’₁₃为第二平面上由特征点X’₁、X’₂、X’₃构成的向量；

步骤四二、计算第一平面的法向量n₁与第二平面的法向量n₂分别为：

步骤四三、计算垂直于法向量n₁与法向量n₂的单位向量n₁₂和法向量n₁与法向量n₂的夹角：

步骤四四、计算股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁为：

计算胫骨近端转换到投影姿态的四元数q₂的计算方法与计算股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁的计算方法相同，此处不再赘述。

作为一种具体的实施方式，步骤五(S500)中根据四元数q₁和四元数q₂计算得到膝关节姿态角的过程包括以下步骤：

步骤五一、利用四元数q₁对股骨坐标系表示旋转，确定股骨的最终姿态，利用四元数q₂对胫骨坐标系表示旋转，确定胫骨的最终姿态。

设一点在原股骨坐标系中的坐标为x_股，在旋转后的股骨坐标系中的坐标为x’_股，在原胫骨坐标系中的坐标为x_胫，在旋转后的胫骨坐标系中的坐标为x’_胫，则

其中，x_股、x’_股、x_胫、x’_胫在上式中为虚四元数形式；

步骤五二、胫股关节运动学测量，以胫骨为参考基准，固定胫骨观测股骨的运动；

根据多个点之间的位置关系，采用奇异值分解法计算求取旋转后股骨坐标系与胫骨坐标系之间的空间变换矩阵M_4×4：

x’_胫＝M_4×4x’_股 (24)

其中，

R_股胫为股骨坐标系与胫骨坐标系之间的旋转矩阵，t_股胫为股骨坐标系与胫骨坐标系之间的平移向量，α、β、γ分别为绕股骨坐标系Z、Y、X轴的旋转角度；

步骤五三、根据式(27)求解α、β、γ，α、β、γ即为所求膝关节姿态角：

本发明的有益效果在于：本发明所提出的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法对膝关节股骨和胫骨中的六个特征点进行三维重建，避免了迭代的配准过程与软组织伪影的影响，过程简便，减少了计算量，提高了计算效率，并且具有较高的准确度。

以上所述实施例的各技术特征可以进行任意的组合，为使描述简洁，未对上述实施例中的各个技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (7)

1.一种基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、对膝关节进行CT扫描，建立膝关节的三维模型；对具有左X射线源、右X射线源与对应成像平面的X线成像系统进行标定，获得X线成像系统的空间位置参数，利用获得的空间位置参数在三维建模软件中建立虚拟成像空间；

步骤二、在所述三维模型中选取六个特征点，并分别在所述左X射线源对应的左X线图像和所述右X射线源对应的右X线图像中提取六个所述特征点对应的投影点的位置信息；

步骤三、利用所述左X射线源与所述左X线图像中的投影点以及所述右X射线源与所述右X线图像中的投影点组成投影射线，估计所述特征点在三维空间中的位置坐标；

步骤四、将所述三维模型中股骨远端上的三个特征点组成第一平面，根据估计得到的股骨远端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第二平面，对所述三维模型的股骨远端进行空间变换，使所述第一平面与所述第二平面平行，计算得到股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁；

将所述三维模型中胫骨近端上的三个特征点组成第三平面，根据估计得到的胫骨近端上的三个特征点的位置坐标将该三个特征点组成第四平面，对所述三维模型的胫骨近端进行空间变换，使所述第三平面与所述第四平面平行，计算得到胫骨近端转换到投影姿态的四元数q₂；

步骤五、根据所述四元数q₁和所述四元数q₂计算得到膝关节姿态角，确定膝关节的姿态。

2.根据权利要求1所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤一中获得X线成像系统的空间位置参数过程包括以下步骤：

将所述左X射线源和所述右X射线源呈30°夹角放置，利用张正友标定法对所述X线成像系统进行立体标定，获得所述左X射线源与对应的成像平面的内参矩阵K₁、外参矩阵M₁、相机矩阵P₁和所述右X射线源与对应的成像平面的内参矩阵K₂、外参矩阵M₂、相机矩阵P₂，所述左X射线源和所述右X射线源的位置关系可用矩阵E表示为：

其中，x_l为空间中某点X在所述左X射线源的相机坐标系下的坐标，x_r为空间中某点X在所述右X射线源的相机坐标系下的坐标，R为所述右X射线源的相机坐标系与所述左X射线源的相机坐标系的旋转矩阵，t为平移向量；

所述X线成像系统的基本矩阵F为：

F＝[K₂ t]_xK₂R K₁ ^-1 (2)

其中，[K₂ t]_x为三维列向量的反对称矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤二包括以下步骤：

选取所述三维模型中股骨远端上的股骨内上髁、股骨外上髁、股骨髁间凹以及胫骨近端上的胫骨外侧髁、胫骨内侧髁和髁间隆起作为所述特征点；

分别手动标注所述左X线图像和所述右X线图像中各个所述特征点的投影点位置；

对标注投影点位置后的所述左X线图像和所述右X线图像进行二值化处理，分别提取投影点的位置信息。

4.根据权利要求3所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤二还包括对提取的投影点的位置信息进行校准，获得最优投影点的位置坐标的过程，该过程包括以下步骤：

步骤二一、假设在所述左X线图像中提取的投影点为x₁＝(m，n，1)^T，在所述右X线图像中提取的投影点为x₂＝(m’，n’，1)^T，投影点x₁＝(m，n，1)^T对应的最优投影点为x’₁，投影点x₂＝(m’，n’，1)^T对应的最优投影点为x’₂，投影点x₁＝(m，n，1)^T、投影点x₂＝(m’，n’，1)^T、最优投影点x’₁以及最优投影点x’₂满足距离最小化公式：

C(x₁，x₂)＝d(x₁、x’₁)²+d(x’₂，x’₂)² (3)

步骤二二、定义投影点x₁＝(m，n，1)^T和x₂＝(m’，n’，1)^T的变换矩阵，并将其平移到坐标原点：

步骤二三、分别计算所述左X射线源对应的成像平面中的极点e₁＝(e_x，e_y，e_z)^T和所述右X射线源对应的成像平面中的极点e₂＝(e’_x，e’_y，e’_z)^T，极点e₁和极点e₂分别满足Fe₁＝0和F^Te₂＝0，对极点e₁和极点e₂分别进行归一化，使e² _x+e² _y＝1，e’_x ²+e’_y ²＝1，并构造旋转矩阵R₁、R₂，使其满足R₁ e₁＝(1，0，e_z)^T、R₂ e₁＝(1，0，e’_z)^T，构造的旋转矩阵R₁、R₂分别为：

步骤二四、变换后的基本矩阵为F’＝R₂T₂ ^-TF T₁R₁ ^T，令f＝e_z、f’＝e’_z、a＝F’₂₂、b＝F’₂₃、c＝F’₃₂、d＝F’₃₃，F’可表示为以下形式：

步骤二五、用参数u参数化所述左X线图像中的对极线束，设所述左X线图像对应的对极线为l(u)，对极线l(u)可以表示为其通过所述左X线图像中的某点(0，u，1)^T与所述左X线图像中变换后的极点R₁ e₁的叉积，即：

l(u)＝(0，u，1)^T×(1，0，e_z)^T

＝(0，u，1)^T×(1，0，f)^T

＝(uf，1，-u)^T (8)

设所述右X线图像对应的对极线为l’(u)，对极线l’(u)可以利用变换后的基本矩阵F’计算得到：

l’(u)＝F’(0，u，1)^T＝(-f’(cu+d)，au+b，cu+d)^T (9)

步骤二六、投影点x₁＝(m，n，1)^T和投影点x₂＝(m’，n’，1)^T分别在所述左X线图像和所述右X线图像中与对应的对极线的距离可以表示为：

步骤二七、由于最优投影点在对极线上，因此将式(3)表示为利用参数u参数化的距离函数为：

对式(12)进行求导，得：

合并分母并使分子等于0，得

g(u)＝u((au+b)²+f'²(cu+d)²)²-(1+f²u²)²(ad-bc)(au+b)(cu+d)＝0 (14)

步骤二八、解式(14)得到6个根，比较将6个根分别代入式(12)并且u→∞时s(u)的值，得到使s(u)取最小值的最优解u_min；

步骤二九、计算最优解u_min下左X线图像和右X线图像分别对应的对极线，然后计算原点分别垂直于对极线的交点x”₁、x”₂，并对交点x”₁、x”₂做旋转变换，得到最优投影点x’₁和最优投影点x’₂的位置坐标：

x’₁＝T^-1 ₁ R^T ₁ x”₁ (15)

x’₂＝T^-1 ₂ R^T ₂ x”₂ (16)。

5.根据权利要求4所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤三中估计所述特征点在三维空间中的位置坐标的过程包括以下步骤：

步骤三一、设最优投影点x’₁＝(a₁，b₁，1)^T，最优投影点x’₂＝(a₂，b₂，1)^T，最优投影点x’₁、最优投影点x’₂与三维空间中的特征点X、相机矩阵P₁、相机矩阵P₂之间存在如下关系：

展开上式，得

其中，P_n ^iT(i＝1,2,3；n＝1,2)为P_n的行。

式(18)表示的线性方程组可以表示为齐次线性方程AX＝0，其中，

步骤三二、利用奇异值分解法计算齐次方程组AX＝0的最小二乘解，特征点X的位置坐标为V对应于最小特征值的列，其中A＝UDV^T是A的奇异值分解。

6.根据权利要求5所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤四中，对所述三维模型的股骨远端进行空间变换，使所述第一平面与所述第二平面平行，计算得到股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁的过程包括以下步骤：

步骤四一、设所述三维模型中股骨远端上的三个特征点在世界坐标系下的坐标分别为X₁、X₂、X₃，估计得到的股骨远端上的三个特征点在世界坐标系下的位置坐标为X’₁、X’₂、X’₃，向量x₁₂、x₁₃为第一平面上由特征点X₁、X₂、X₃构成的向量，向量x’₁₂、x’₁₃为第二平面上由特征点X’₁、X’₂、X’₃构成的向量；

步骤四二、计算第一平面的法向量n₁与第二平面的法向量n₂分别为：

步骤四三、计算垂直于法向量n₁与法向量n₂的单位向量n₁₂和法向量n₁与法向量n₂的夹角：

步骤四四、计算股骨远端转换到投影姿态的四元数q₁为：

。

7.根据权利要求6所述的基于特征点三维重建的膝关节姿态测量方法，其特征在于，步骤五根据所述四元数q₁和所述四元数q₂计算得到膝关节姿态角的过程包括以下步骤：

步骤五一、利用四元数q₁对股骨坐标系表示旋转，确定股骨的最终姿态，利用四元数q₂对胫骨坐标系表示旋转，确定胫骨的最终姿态；

设一点在原股骨坐标系中的坐标为x_股，在旋转后的股骨坐标系中的坐标为x’_股，在原胫骨坐标系中的坐标为x_胫，在旋转后的胫骨坐标系中的坐标为x’_胫，则

其中，x_股、x’_股、x_胫、x’_胫在上式中为虚四元数形式；

步骤五二、胫股关节运动学测量，以胫骨为参考基准，固定胫骨观测股骨的运动；

根据多个点之间的位置关系，采用奇异值分解法计算求取旋转后股骨坐标系与胫骨坐标系之间的空间变换矩阵M_4×4:

x’_胫＝M_4×4x’_股 (24)

其中，

R_股胫为股骨坐标系与胫骨坐标系之间的旋转矩阵，t_股胫为股骨坐标系与胫骨坐标系之间的平移向量，α、β、γ分别为绕股骨坐标系Z、Y、X轴的旋转角度；

步骤五三、根据式(27)求解α、β、γ，α、β、γ即为膝关节姿态角：

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