CN111563294A - 基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本公开涉及结构动力学技术领域，尤其涉及基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法。曲杆周期结构包括多个彼此相连的单胞模型，而单胞模型包括两个彼此相交、且旋转对称的曲杆，该优化设计方法包括：以曲杆的曲率为设计变量，并限定设计变量的取值范围；基于设计变量计算单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵；基于单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵，建立单胞模型的频率波矢方程；求解频率波矢方程，以得到设计变量与曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系；将设计变量带入响应关系并进行计算，以得到带隙频率的最小值。该优化设计方法能够基于弹性波传播特性对曲杆周期结构进行优化，从而实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪。

Description

基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法

技术领域

本公开涉及结构动力学技术领域，尤其涉及一种基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法。

背景技术

在车辆交通、航空航天及船舶等领域，周期结构是指由相同构件依次拼接而成、具有重复性的整体结构，也就是说，周期结构是指由若干个梁、杆、索或板等元件按一定方式沿预定方向连接构成的结构，例如：车辆骨架、飞机骨架即为周期结构。

周期结构中的振动和噪声是以弹性波的形式进行传播，而周期结构中弹性波具有带隙特性，具体而言：当弹性波在周期结构中传播时，某些频率范围内的弹性波不能通过，称之为带隙，而某些频率范围内的弹性波可以传播，称之为通带。

目前，针对弹性波在周期结构中的传播特性的研究，主要集中在直杆周期结构，而对于曲杆周期结构，不仅没有建立弹性波的传播分析模型，也没有深入研究弹性波的传播特性的控制方法，使得无法对曲杆周期结构的几何结构进行优化，导致无法得到超宽(频率范围超宽)、超低(频率范围的整体位置超低)带隙的曲杆周期结构，也无法实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪功能，自然也无法为工程实际提供一定的借鉴。

所述背景技术部分公开的上述信息仅用于加强对本公开的背景的理解，因此它可以包括不构成对本领域普通技术人员已知的现有技术的信息。

发明内容

本公开的目的在于提供一种基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，该优化设计方法能够基于弹性波传播特性对曲杆周期结构进行优化，从而实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪，也能够为工程实际提供一定的借鉴。

为实现上述发明目的，本公开采用如下技术方案：

根据本公开的一个方面，提供一种基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，所述曲杆周期结构包括多个彼此相连且呈阵列分布的单胞模型，所述单胞模型包括两个彼此相交、且旋转对称的曲杆，其特征在于，所述优化设计方法包括：

以所述曲杆的曲率为设计变量，并限定所述设计变量的取值范围；

基于所述设计变量计算所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵；

基于所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵，建立所述单胞模型的频率波矢方程；

求解所述频率波矢方程，以得到所述设计变量与所述曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系；

将所述设计变量带入所述响应关系并进行计算，以得到所述带隙频率的最小值。

在本公开的一种示例性实施例中，所述曲杆的曲率满足如下第一关系式：

式中，γ为所述曲杆的曲率，c₀为所述曲杆的幅值，L为所述曲杆左右两端的直线距离。

在本公开的一种示例性实施例中，所述曲杆的幅值c₀、所述曲杆的弧长及所述曲杆的圆心角满足如下第二关系式：

式中，l为所述曲杆的弧长，θ为所述曲杆的圆心角，R为所述曲杆的半径。

在本公开的一种示例性实施例中，基于所述设计变量计算所述单胞的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵，包括：

将所述曲杆划分为多个相同的梁单元；

结合所述梁单元的竖向位移和旋转位移，建立所述梁单元的运动控制方程；

利用伽辽金方法对所述梁单元的运动控制方程进行求解，以得到所述梁单元的质量矩阵和所述梁单元的刚度矩阵；

对多个所述梁单元的质量矩阵和所述梁单元的刚度矩阵进行单元组装，以得到所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵。

在本公开的一种示例性实施例中，所述梁单元的运动控制方程满足如下第三关系式：

式中，G为所述梁单元的材料的剪切模量；ρ为所述梁单元的材料的密度；A为所述梁单元的横截面积；κ为与所述梁单元的横截面形状有关的剪切因子；I为所述梁单元的横截面极惯性矩；

其中，w为所述梁单元的竖向位移，φ为所述梁单元的旋转位移，x为所述梁单元的长度。

在本公开的一种示例性实施例中，所述梁单元的质量矩阵和刚度矩阵分别满足如下第四关系式：

式中，N₁、N₂为形状函数N(x)＝[N₁ N₂]^T中的参数，M^e为所述梁单元的质量矩阵，Ke为所述梁单元的刚度矩阵。

在本公开的一种示例性实施例中，建立所述单胞模型的频率波矢方程，包括：

利用有限元法对所述单胞模型进行离散，以得到所述单胞模型的位移矢量的运动方程；

基于布洛赫定理求解出所述位移矢量的自由度缩减矩阵；

将所述位移矢量的运动方程和所述位移矢量的自由度缩减矩阵相结合，以得到所述频率波矢方程。

在本公开的一种示例性实施例中，所述位移矢量的运动方程满足如下第五关系式：

式中，M为所述单胞模型的质量矩阵；K为所述单胞模型的刚度矩阵；q＝{q₁，q₂，q₃，q₄，q_i}^T为所述单胞模型的位移矢量，

f＝{f₁，f₂，f₃，f₄，0}^T为所述单胞模型的节点力矢量；

在本公开的一种示例性实施例中，所述位移矢量的自由度缩减矩阵满足如下第六关系式：

q＝Qq_r

式中，Q为所述位移矢量的自由度缩减矩阵，q_r为缩减后的向量，且q_r＝{q_i q₁ q₂}^T；

在本公开的一种示例性实施例中，所述频率波矢方程满足如下第七关系式：

[K_r(k₁，k₂)-ω²M_r(k₁，k₂)]q_r＝0

式中，K_r为缩减后的刚度矩阵，M_r为缩减后的质量矩阵，ω为所述曲杆周期结构的自振频率；(k₁，k₂)为所述曲杆周期结构的波数。

本公开实施方式的基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，其中：曲杆周期结构包括多个彼此相连且呈阵列分布的单胞模型，而每个单胞模型包括两个彼此相交、且旋转对称的曲杆。

在实施过程中，首先，以曲杆的曲率为设计变量，并限定设计变量的取值范围；其次，基于设计变量计算单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵；接着，基于单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵，建立单胞模型的频率波矢方程；随后，求解频率波矢方程，以得到设计变量与曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系；最后，将设计变量带入响应关系并进行计算，以得到带隙频率的最小值，当然，与带隙频率的最小值相对应的曲杆曲率即为曲杆周期结构的最优曲率。

由此，本公开实施方式的优化设计方法不但建立了曲杆周期结构中弹性波的传播分析模型，也明确了弹性波传播特性的调控机理。因此，该优化设计方法能够基于弹性波传播特性对曲杆周期结构进行优化，从而实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪，也能够为工程实际提供一定的借鉴。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本公开的实施例，并与说明书一起用于解释本公开的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本公开的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本公开实施方式曲杆周期结构的结构示意图。

图2是本公开实施方式曲杆周期中单胞模型的示意图。

图3是本公开实施方式曲杆周期中单胞模型的另一个示意图。

图4是本公开实施方式基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法的流程示意图。

图5是本公开实施方式单胞模型中曲杆的参数示意图。

图6是本公开实施方式第一布里渊区和不可约布里渊区的示意图。

图中：1、单胞模型；2、曲杆；21、第一曲杆；22、第二曲杆。

具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施例。然而，示例实施例能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的范例；相反，提供这些实施例使得本公开将更加全面和完整，并将示例实施例的构思全面地传达给本领域的技术人员。所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施例中。在下面的描述中，提供许多具体细节从而给出对本公开的实施例的充分理解。

所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施例中。在下面的描述中，提供许多具体细节从而给出对本公开的实施例的充分理解。然而，本领域技术人员将意识到，可以实践本公开的技术方案而没有所述特定细节中的一个或更多，或者可以采用其它的方法、组元、材料等。在其它情况下，不详细示出或描述公知结构、材料或者操作以避免模糊本公开的主要技术创意。

虽然本说明书中使用相对性的用语，例如“上”“下”来描述图标的一个组件对于另一组件的相对关系，但是这些术语用于本说明书中仅出于方便，例如根据附图中所述的示例的方向。能理解的是，如果将图标的装置翻转使其上下颠倒，则所述在“上”的组件将会成为在“下”的组件。其他相对性的用语，例如“高”“低”“顶”“底”“左”“右”等也作具有类似含义。

当某结构在其它结构“上”时，有可能是指某结构一体形成于其它结构上，或指某结构“直接”设置在其它结构上，或指某结构通过另一结构“间接”设置在其它结构上。用语“一个”、“一”、“所述”用以表示存在一个或多个要素/组成部分/等；用语“包括”和“具有”用以表示开放式的包括在内的意思并且是指除了列出的要素/组成部分/等之外还可存在另外的要素/组成部分/等。用语“第一”和“第二”等仅作为标记使用，不是对其对象的数量限制。

众所周知，周期结构中的质点间存在着相互作用的弹性力，当某处物质粒子离开平衡位置(发生应变)时，该粒子在弹性力的作用下发生振动，同时，又引起周围粒子的应变和振动，这样形成的振动在弹性介质中的传播过程称为“弹性波”。弹性波的传播特性可包括相速度、群速度、传播路径以及能量分布规律等，此处不再一一详细介绍。

周期结构中的振动和噪声是以弹性波的形式进行传播，而周期结构的几何构型会影响弹性波的带隙特性，由此，可通过建立周期结构中弹性波的传播分析模型来明确弹性波传播特性的调控机理，再基于弹性波传播特性对曲杆周期结构进行优化，从而实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪。

因此，本公开实施方式中提供一种基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，用来对曲杆周期结构的几何构型进行优化，以得到具有最小带隙频率的曲杆周期结构。

举例而言，该曲杆周期结构可以为三角形、正方形或正六边形等，此处不再一一列举。

如图1和图2所示，该曲杆周期结构可以为正方形曲杆周期结构，该正方形曲杆周期结构可包括多个单胞模型1，且多个单胞模型1可彼此相连且呈阵列分布，而每个单胞模型1可包括两个彼此相交、且旋转对称的曲杆2。

具体而言，如图3所示，该单胞模型1可包括彼此相交的第一曲杆21和第二曲杆22，其中：

第一曲杆21可具有沿第一方向分布的第一弧形部和第二弧形部，该第一弧形部位于第一曲杆21和第二曲杆22的相交点的一侧，该第二弧形部位于相交点的另一侧，且该第一弧形部和该第二弧形部的突起朝向相反。第二曲杆22可具有沿第二方向分布的第三弧形部和第四弧形部，且第二方向垂直于所述第一方向。另外，该第三弧形部位于相交点的一侧，该第四弧形部位于相交点的另一侧，且该第三弧形部和该第四弧形部的突起朝向相反。

需要注意的是，第一弧形部、第二弧形部、第三弧形部和第四弧形部的曲率可以相同，以使本公开实施方式的正方形曲杆周期结构为规格形状，当然，第一弧形部、第二弧形部、第三弧形部和第四弧形部的曲率也可以不同，此处不作特殊限定。

如图4所示，本公开实施方式中基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法可包括以下步骤：

步骤S110，以曲杆的曲率为设计变量，并限定设计变量的取值范围；

步骤S120，基于设计变量计算单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵；

步骤S130，基于单胞模型的质量矩阵和单胞模型的刚度矩阵，建立单胞模型的频率波矢方程；

步骤S140，求解频率波矢方程，以得到设计变量与曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系；

步骤S150，将设计变量带入响应关系并进行计算，以得到带隙频率的最小值。

本公开实施方式中基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，能够计算出带隙频率的最小值，与带隙频率的最小值相对应的曲杆曲率即为曲杆周期结构的最优曲率。由此，该优化设计方法不但建立了曲杆周期结构中弹性波的传播分析模型，也明确了弹性波传播特性的调控机理。

因此，该优化设计方法能够基于弹性波传播特性对曲杆周期结构进行优化，从而得到具有超低、超宽带隙的曲杆周期结构，进而实现曲杆周期结构在低频范围的减振降噪。

下面对本公开实施方式提供的控制方法的各个步骤进行详细说明：

在步骤S110中，以曲杆2的曲率为设计变量，并限定设计变量的取值范围。

如图5所示，c₀为曲杆2的幅值，L为曲杆2的左右两端的直线距离，θ为曲杆2的圆心角，R为曲杆2的半径，d为曲杆2的宽度，由此，曲杆2的弯曲程度γ可满足第一关系式：

需要注意的是，在L不变的前提下，因为c₀的取值肯定大于零，此时，曲杆2的第一弧形部、第二弧形部、第三弧形部和第四弧形部均为半椭圆形；随着c₀的取值逐渐增大，曲杆2的弯曲程度γ也逐渐增大，在c₀＝L/4时，曲杆2的第一弧形部、第二弧形部、第三弧形部和第四弧形部均为半圆形。

因此，可限定曲杆2的弯曲程度γ的取值范围为(0，1]，当然，曲杆2的弯曲程度γ的取值范围也可大于1，此处不作特殊限定。

同时，曲杆2的幅值c₀、曲杆2的弧长l和曲杆2的圆心角θ也满足第二关系式：

在步骤S120中，基于设计变量计算单胞模型1的质量矩阵和单胞模型1的刚度矩阵。

具体而言，步骤S120可以包括以下步骤：

步骤S1201，将曲杆2划分为多个相同的梁单元；

步骤S1202，结合梁单元的竖向位移和旋转位移，建立梁单元的运动控制方程；

步骤S1203，利用伽辽金方法对梁单元的运动控制方程进行求解，以得到梁单元的质量矩阵和所述梁单元的刚度矩阵；

步骤S1204，对多个梁单元的质量矩阵和梁单元的刚度矩阵进行单元组装，以得到单胞模型1的质量矩阵和单胞模型1的刚度矩阵。。

需要注意的是，梁单元的数量越多，分析结果越精确，但是数量越多，计算速度和效率也会越慢，在实际过程中需要合理选择梁单元的数量，此处不做特殊限定。

因为梁单元具有两个节点，而每个节点具有轴向位移、竖向位移和旋转位移三个自由度，本申请仅考虑竖向位移和旋转位移，从而得到梁单元的运动控制方程，如第三关系式所示：

式中，G为梁单元的材料的剪切模量；ρ为梁单元的材料的密度；A为梁单元的横截面积；κ为与梁单元的横截面形状有关的剪切因子；I为梁单元的横截面极惯性矩；

其中，w为梁单元的竖向位移，φ为梁单元的旋转位移，x为梁单元的长度，具体过程此处不再详细描述。

另外，伽辽金方法是一种数值分析方法，通过选取有限多项式函数(又称形状函数)，并将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分满足原方程，从而得到一组易于求解的线性代数方程，且满足自然边界条件。因此，利用伽辽金方法对梁单元的运动控制方程进行求解可包括以下步骤：

首先，用向量w^e表示竖向位移w和旋转位移φ，表达式为：w^e＝[wφ]^T；

其次，引入形状函数N(x)＝[N₁ N₂]^T，形状函数N(x)与梁单元的位移的关系满足w＝N(x)w^e，且形状函数N(x)具有系列参数，如下所示：

N₁＝[N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄]^T

N₂＝[N₂₁ N₂₂ N₂₃ N₂₄]^T

最后，把w＝N(x)w^e代入如第三关系式所示的梁单元的运动控制方程，求解并得到形状函数N(x)，再用能量法对梁单元进行积分，从而得到梁单元的质量矩阵M^e和刚度矩阵K^e，如第四关系式所示：

在步骤S130中，基于单胞模型1的质量矩阵和单胞模型1的刚度矩阵，建立单胞模型1的频率波矢方程。

具体而言，步骤S130可包括以下步骤：

在步骤S1301，利用有限元法对单胞模型1进行离散，以得到单胞模型1的位移矢量的运动方程，且位移矢量的运动方程满足第五关系式：

式中，M为单胞模型1的质量矩阵；K为单胞模型1的刚度矩阵；

q＝{q₁，q₂，q₃，q₄，q_i}^T为单胞模型1的位移矢量，

f＝{f₁，f₂，f₃，f₄，0}^T为单胞模型1的节点力矢量。

在步骤S1302，基于布洛赫定理求解出位移矢量的自由度缩减矩阵，且位移矢量的自由度缩减矩阵满足第六关系式：

q＝Qq_r

式中，Q为位移矢量的自由度缩减矩阵，q_r为缩减后的向量，且q_r＝{q_i q₁ q₂}^T。

在步骤S1303，将位移矢量的运动方程和位移矢量的自由度缩减矩阵相结合，以得到频率波矢方程，且频率波矢方程满足第七关系式：

[K_r(k₁，k₂)-ω²M_r(k₁，k₂)]q_r＝0

式中，K_r为缩减后的刚度矩阵，M_r为缩减后的质量矩阵，ω为曲杆周期结构的自振频率；(k₁，k₂)为曲杆周期结构的波数。

在步骤S140中，求解频率波矢方程，以得到设计变量与曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系。

如前所述，弹性波的传播特性与曲杆周期结构的自振频率ω及波数(k₁，k₂)有关。因此，可选择在第一布里渊区边缘上的波数，并通过求解频率波矢方程得到弹性波传播的带隙特性。

具体而言，如图6所示，布里渊区位于倒空间之中，而倒空间由倒格矢

和

两个基础矢量构成，其中：T、X和M在倒格矢下的坐标分别为(0，0)、

和

波矢k沿着路径T-X-M-T进行取值，将TX、XM和MT这三个段线N等分，即可得到坐标确定的很多点，再将这些点带入频率波矢方程(第七关系式)，从而求解出与预定设计变量(曲杆2的曲率)相对应的带隙频率，进而计算出设计变量与曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系，此处不再详细描述。

在步骤S150中，将设计变量带入响应关系并进行计算，以得到带隙频率的最小值。

如前所述，曲杆2的弯曲程度γ(设计变量)的取值范围为(0,1]，将该范围内的多个数值带入设计变量与带隙频率之间的响应关系，即可求解出带隙频率的最小值，而与带隙频率的最小值相对应的曲杆2的曲率即为曲杆周期结构的最优曲率。

另外，本公开实施方式还提供一种基于带隙的曲杆周期结构的制造方法，用于制造按照上述优化设计方法求出的具有最优曲率的曲杆周期结构，具体的制造过程不再详细描述。

当然，该制造方法能够制造出具有超低、超宽带隙的曲杆周期结构，此处不再赘述。

应当理解的是，本公开不将其应用限制到本说明书提出的部件的详细结构和布置方式。本公开能够具有其他实施方式，并且能够以多种方式实现并且执行。前述变形形式和修改形式落在本公开的范围内。应可理解的是，本说明书公开和限定的本公开延伸到文中和/或附图中提到或明显的两个或两个以上单独特征的所有可替代组合。所有这些不同的组合构成本公开的多个可替代方面。本说明书所述的实施方式说明了已知用于实现本公开的最佳方式，并且将使本领域技术人员能够利用本公开。

Claims (10)

1.一种基于带隙的曲杆周期结构的优化设计方法，所述曲杆周期结构包括多个彼此相连且呈阵列分布的单胞模型，所述单胞模型包括两个彼此相交、且旋转对称的曲杆，其特征在于，所述优化设计方法包括：

以所述曲杆的曲率为设计变量，并限定所述设计变量的取值范围；

基于所述设计变量计算所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵；

基于所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵，建立所述单胞模型的频率波矢方程；

求解所述频率波矢方程，以得到所述设计变量与所述曲杆周期结构的带隙频率之间的响应关系；

将所述设计变量带入所述响应关系并进行计算，以得到所述带隙频率的最小值。

2.根据权利要求1所述的优化设计方法，其特征在于，所述曲杆的曲率满足如下第一关系式：

式中，γ为所述曲杆的曲率，c₀为所述曲杆的幅值，L为所述曲杆左右两端的直线距离。

3.根据权利要求2所述的优化设计方法，其特征在于，所述曲杆的幅值c₀、所述曲杆的弧长及所述曲杆的圆心角满足如下第二关系式：

式中，l为所述曲杆的弧长，θ为所述曲杆的圆心角，R为所述曲杆的半径。

4.根据权利要求3所述的优化设计方法，其特征在于，基于所述设计变量计算所述单胞的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵，包括：

将所述曲杆划分为多个相同的梁单元；

结合所述梁单元的竖向位移和旋转位移，建立所述梁单元的运动控制方程；

利用伽辽金方法对所述梁单元的运动控制方程进行求解，以得到所述梁单元的质量矩阵和所述梁单元的刚度矩阵；

对多个所述梁单元的质量矩阵和所述梁单元的刚度矩阵进行单元组装，以得到所述单胞模型的质量矩阵和所述单胞模型的刚度矩阵。

5.根据权利要求4所述的优化设计方法，其特征在于，所述梁单元的运动控制方程满足如下第三关系式：

式中，G为所述梁单元的材料的剪切模量；ρ为所述梁单元的材料的密度；A为所述梁单元的横截面积；κ为与所述梁单元的横截面形状有关的剪切因子；I为所述梁单元的横截面极惯性矩；

其中，w为所述梁单元的竖向位移，φ为所述梁单元的旋转位移，x为所述梁单元的长度。

6.根据权利要求4所述的优化设计方法，其特征在于，所述梁单元的质量矩阵和刚度矩阵分别满足如下第四关系式：

式中，N₁、N₂为形状函数N(x)＝[N₁ N₂]^T中的参数，M^e为所述梁单元的质量矩阵，K^e为所述梁单元的刚度矩阵。

7.根据权利要求6所述的优化设计方法，其特征在于，建立所述单胞模型的频率波矢方程，包括：

利用有限元法对所述单胞模型进行离散，以得到所述单胞模型的位移矢量的运动方程；

基于布洛赫定理求解出所述位移矢量的自由度缩减矩阵；

将所述位移矢量的运动方程和所述位移矢量的自由度缩减矩阵相结合，以得到所述频率波矢方程。

8.根据权利要求7所述的优化设计方法，其特征在于，所述位移矢量的运动方程满足如下第五关系式：

式中，M为所述单胞模型的质量矩阵；K为所述单胞模型的刚度矩阵；q＝{q₁,q₂,q₃,q₄,q_i}^T为所述单胞模型的位移矢量，

f＝{f₁,f₂,f₃,f₄,0}^T为所述单胞模型的节点力矢量。

9.根据权利要求7所述的优化设计方法，其特征在于，所述位移矢量的自由度缩减矩阵满足如下第六关系式：

q＝Qq_r

式中，Q为所述位移矢量的自由度缩减矩阵，q_r为缩减后的向量，且q_r＝{q_i q₁ q₂}^T。

10.根据权利要求7所述的优化设计方法，其特征在于，所述频率波矢方程满足如下第七关系式：

[K_r(k₁，k₂)-ω²M_r(k₁,k₂)]q_r＝0

式中，K_r为缩减后的刚度矩阵，M_r为缩减后的质量矩阵，ω为所述曲杆周期结构的自振频率；(k₁,k₂)为所述曲杆周期结构的波数。

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