CN111552916A - 一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法 - Google Patents

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CN111552916A CN202010348403.0A CN202010348403A CN111552916A CN 111552916 A CN111552916 A CN 111552916A CN 202010348403 A CN202010348403 A CN 202010348403A CN 111552916 A CN111552916 A CN 111552916A
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Abstract

本发明公开了一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法。首先，根据扩散的基本反应原理与质量守恒定律，基于菲克第一定律、菲克第二定律、多孔介质中溶质扩散行为特性、实验初始条件、实验边界条件，并进行积分后得出扩散反应方程；其次，运用图形处理趋近法，得出趋近线参数，进而取得初始表观扩散系数与初始有效扩散系数；最后，运用基于迭代与分析方法的参数识别的方法，反复迭代与分析，并不断缩小归一化均方根误差，最终得出误差更小的表观扩散系数。方法简单，准确度高，适用范围广。

Description

一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法
技术领域
本发明涉及一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，属于土木与环境工程的技术领域。
背景技术
我国针对目前环境问题日益突出的情况，提出了一套成体系的污染场地技术，主要分为两大体系：一是修复体系，针对修复体系方面，已经逐渐形成固化/稳定化、淋洗、热脱吸、化学氧化/还原、曝气/气象抽提及生物降解等物理、化学和生物修复污染土和地下水的综合技术体系，这些修复技术可分为异位修复和原位修复两种；二是隔离体系，所谓隔离体系，即指将污染物进行隔离，隔离体系同样可以分为原位隔离和异位隔离，其中原位隔离可分为主动隔离和被动隔离。主动隔离系统包括抽吸和地下水排水，而被动隔离包括水平隔离、竖向隔离和加盖隔离，填埋法和堆蓄存法属于异位隔离。隔离体系中最重要的就是控制污染的扩散，其中污染物的扩散试验就是判断隔离效果优劣的最直观试验，目前计算扩散系数的方法主要有：一维情况下的Fick's first law公式；针对均质和各向同性的多孔介质的Fick's second law公式；运用图像法处理数据的Crank公式等，在这些已有的计算扩散系数的方法中均表现为计算次数与公式单一，数据存在一定的误差，没有剔除掉在运算中产生的误差，导致数据误差积累，进而使得最终预测结果和实际试验结果误差较大的情况。这种精度较低的情况，会影响对于隔离体系材料的研发和计算，故有必要提升扩散试验结果的精度。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：提供一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，该方法主要是基于扩散的基本反应原理、质量守恒定律、图形法和迭代分析法对原有计算方法进行改进，可以尽可能地忽略试验数据中的误差数据，同时可以得出误差更小、更加精确的扩散系数。
为解决上述技术问题，本发明是通过如下步骤这样实现的：
步骤1：建立扩散反应方程；
步骤2：图形法处理数据；
步骤3：基于迭代分析方法的数据处理过程；
步骤4：计算归一化均方根误差。
详细步骤如下所示：
步骤1：建立扩散反应方程
一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法：它积分后得出的浓度的扩散反应方程为
Figure BDA0002471008750000021
累积浓度的扩散反应方程为
Figure BDA0002471008750000022
扩散是原子和分子通过布朗运动从高浓度区域移动到较低浓度区域的过程。菲克第一定律描述粒子通量F(每单位横截面积)，它与浓度梯度成正比，C是溶质的浓度，D是扩散系数。对于一维情况，它表示为：
Figure BDA0002471008750000023
如果多孔介质是均质的和各向同性的，那么质量守恒会导致菲克第二定律：
Figure BDA0002471008750000031
多孔介质中的溶质扩散行为不同于游离水或理想溶液中的溶质扩散行为。多孔介质中的溶质扩散行为受粒子运动路径的长度，弯曲度(τ)，孔的不规则空间，收缩性(δ)和可能的孔径的影响。孔扩散系数Dp用于表征多孔介质中的扩散行为，这与自由水Dw中的扩散系数有关，关系如下：
Figure BDA0002471008750000032
在多孔介质中，颗粒的通路更复杂。在考虑横截面积下，有效扩散系数De可表示为：
De＝θDp (4)
其中，θ代表孔隙度。
因此代入公式(2)，可得：
Figure BDA0002471008750000033
当存在吸附时，需要考虑由介质吸收的化学物质。等式(5)变为：
Figure BDA0002471008750000034
其中，C*是吸附在固体上的溶质的浓度。对于平衡表面反应，线性吸附等温线描述了C*和C之间的线性关系：
C*＝kdC (7)
其中kd是用于评估当流体通过介质迁移时从溶液中除去的化学物质的程度的分配系数。kd等于每单位质量固相的固相溶质质量/每单位体积液相溶质质量。确定kd的最方便的方法是测量固相和液相中化学物质的浓度，然后计算如下：
Figure BDA0002471008750000041
其中Ci和Cs分别是初始部分和平衡部分中化学物质的浓度，V和M分别是溶液的体积(ml)和溶质的质量(g)，将等式(7)代入等式(6)并重新排列项可得：
Figure BDA0002471008750000042
通过吸附，表观扩散系数Da可以从柱测试的瞬态结果计算，避免达到稳态所需的长时间。因此，菲克吸收物种的第二定律可以写成：
Figure BDA0002471008750000043
其中表观扩散系数Da与有效扩散系数De相关，
Figure BDA0002471008750000044
扩散反应方程式(11)可以转换为扩散形式，其解可以从扩散方程获得。阻滞因子Rf是无量纲参数，定义如下：
Figure BDA0002471008750000045
对于非反应性示踪剂，kd＝0，并且结合方程(4)、(11)和(12)，Da可以写成：
Figure BDA0002471008750000046
等式(10)相关的初始条件和边界条件分别为：
C(x,0)＝0；0<x<L (14)
C(0,t)＝C0 (15)
C(L,t)＝0 (16)
其中C0是入口容器中示踪剂的初始浓度，L是材料的长度。可以使用变量分离方法来求解该等式。它可以表示为t和x的函数：
Figure BDA0002471008750000051
累积浓度(Ct)可以通过利用菲克第一定律并将等式(17)的积分关于t来求解：
Figure BDA0002471008750000052
其中V1和V0分别是入口和出口容器的容积，A是柱的横截面积。在所提出的迭代和分析方法中使用Da来表示表观扩散系数，而在图形方法中使用
Figure BDA0002471008750000057
步骤2：图形法处理数据
试验测得的污染物累积浓度后，绘制污染物浓度随时间变化曲线图，纵坐标为浓度，横坐标为时间，如图2所示。污染物浓度曲线可分为两部分，一是早期浓度，体现为曲率从低到高的弯曲阶段；二是晚期浓度，拟合曲率基本保持固定数值。本方法采用晚期浓度数据，使得试验结果更加精确，降低误差，表观扩散系数
Figure BDA0002471008750000058
和有效扩散系数
Figure BDA0002471008750000059
具体计算式如下：
Figure BDA0002471008750000053
Figure BDA0002471008750000054
其中tx是晚期浓度拟合直线与横轴的交点，m为晚期浓度拟合直线的斜率，V是溶液的体积，A是阻隔材料的表面积，阻滞因子Rf G的计算如下：
Figure BDA0002471008750000055
其中θT是理论孔隙度，由体积密度ρb和真密度ρt计算得出：
Figure BDA0002471008750000056
步骤3：基于迭代分析方法的数据处理过程
在这项研究中，全时间跨度实验数据用于反演扩散系数。使用提出的基于迭代分析方法的数据处理过程估算表观扩散系数和孔隙率，交替应用迭代过程以找到具有局部误差最小值的Da和θE，直到找到全局误差最小值，估计误差函数的误差主要包括浓度的均方根误差和理论孔隙率的均方根误差的总和。它被定义为：
Figure BDA0002471008750000061
其中α和β分别是浓度和孔隙度贡献的加权因子，N是实验中的测量次数，Cp是计算的浓度(来自分析溶液)，Cm是测量的浓度，θE是计算出来的孔隙率。
误差越小表示处理结果的效果越好。有效孔隙率可以与理论孔隙度不同。在本方法中，α＝β＝1意味着浓度和孔隙度的误差在参数识别过程中具有相等的权重。
步骤4：计算归一化均方根误差(NRMSE)
归一化均方根误差有助于在具有不同尺度的数据集或模型之间进行比较。
计算为：
Figure BDA0002471008750000062
其中N是实验中的测量次数，Cpi是计算的浓度(来自迭代分析法)，Cmi是测量的浓度，
Figure BDA0002471008750000063
是测量浓度的平均值。较小的NRMSE表明本方法的拟合效果更好。
本发明有以下积极的效果：
1、更加准确地计算扩散试验中得出的扩散系数。本发明实施了一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，考虑了扩散试验前期数据中存在的误差并进行剔除，以及采用了重复多次反复迭代分析的方法，通过分别对于扩散系数和孔隙率的两个轮回迭代分析，依次达到最小误差值，最后输出归一化均方根误差最小的表观扩散系数和孔隙率，以保证后续一系列以这两个关键数据为基础的计算数据，更加具有说服力。
2、方法简单，使用方便。本发明的计算方法采用两次迭代分析的方法，便可以得出归一化均方根误差最小的表观扩散系数和孔隙率，整体计算思路清晰，运用编程实现整体过程，使用起来非常方便。
3、适用范围广。本发明的计算方法思路，依托于以归一化误差为依据的多因素依次反复迭代分析的方法，不止适用于扩散试验还可应用于其他环境岩土工程领域的数据分析方法。
附图说明
图1为基于迭代分析的计算扩散参数流程图；
图2为污染物浓度随时间变化曲线图。
具体实施方式
下面将结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。
实施例1
一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，详细步骤如下：
步骤1：建立扩散反应方程
一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法：它积分后得出的浓度的扩散反应方程为
Figure BDA0002471008750000081
累积浓度的扩散反应方程为
Figure BDA0002471008750000082
扩散是原子和分子通过布朗运动从高浓度区域移动到较低浓度区域的过程。菲克第一定律描述粒子通量F(每单位横截面积)，它与浓度梯度成正比，C是溶质的浓度，D是扩散系数。对于一维情况，它表示为：
Figure BDA0002471008750000083
如果多孔介质是均质的和各向同性的，那么质量守恒会导致菲克第二定律：
Figure BDA0002471008750000084
多孔介质中的溶质扩散行为不同于游离水或理想溶液中的溶质扩散行为。多孔介质中的溶质扩散行为受粒子运动路径的长度，弯曲度(τ)，孔的不规则空间，收缩性(δ)和可能的孔径的影响。孔扩散系数Dp用于表征多孔介质中的扩散行为，这与自由水Dw中的扩散系数有关，关系如下：
Figure BDA0002471008750000085
在多孔介质中，颗粒的通路更复杂。在考虑横截面积下，有效扩散系数De可表示为：
De＝θDp (4)
其中，θ代表孔隙度。
因此代入公式(2)，可得：
Figure BDA0002471008750000086
当存在吸附时，需要考虑由介质吸收的化学物质。等式(5)变为：
Figure BDA0002471008750000091
其中，C*是吸附在固体上的溶质的浓度。对于平衡表面反应，线性吸附等温线描述了C*和C之间的线性关系：
C*＝kdC (7)
其中kd是用于评估当流体通过介质迁移时从溶液中除去的化学物质的程度的分配系数。kd等于每单位质量固相的固相溶质质量/每单位体积液相溶质质量。确定kd的最方便的方法是测量固相和液相中化学物质的浓度，然后计算如下：
Figure BDA0002471008750000092
其中Ci和Cs分别是初始部分和平衡部分中化学物质的浓度，V和M分别是溶液的体积(ml)和溶质的质量(g)，将等式(7)代入等式(6)并重新排列项可得：
Figure BDA0002471008750000093
通过吸附，表观扩散系数Da可以从柱测试的瞬态结果计算，避免达到稳态所需的长时间。因此，菲克吸收物种的第二定律可以写成：
Figure BDA0002471008750000094
其中表观扩散系数Da与有效扩散系数De相关，
Figure BDA0002471008750000095
扩散反应方程式(11)可以转换为扩散形式，其解可以从扩散方程获得。阻滞因子Rf是无量纲参数，定义如下：
Figure BDA0002471008750000096
对于非反应性示踪剂，kd＝0，并且结合方程(4)、(11)和(12)，Da可以写成：
Figure BDA0002471008750000101
等式(10)相关的初始条件和边界条件分别为：
C(x,0)＝0；0<x<L (14)
C(0，t)＝C0 (15)
C(L,t)＝0 (16)
其中C0是入口容器中示踪剂的初始浓度，L是材料的长度。可以使用变量分离方法来求解该等式。它可以表示为t和x的函数：
Figure BDA0002471008750000102
累积浓度(Ct)可以通过利用菲克第一定律并将等式(17)的积分关于t来求解：
Figure BDA0002471008750000103
其中V1和V0分别是入口和出口容器的容积，A是柱的横截面积。在所提出的迭代和分析方法中使用Da来表示表观扩散系数，而在图形方法中使用
Figure BDA0002471008750000104
步骤2：图形法处理数据
试验测得的污染物累积浓度后，绘制污染物浓度随时间变化曲线图，纵坐标为浓度，横坐标为时间，如图2所示。污染物浓度曲线可分为两部分，一是早期浓度，体现为曲率从低到高的弯曲阶段；二是晚期浓度，拟合曲率基本保持固定数值。本方法采用晚期浓度数据，使得试验结果更加精确，降低误差，表观扩散系数
Figure BDA0002471008750000105
和有效扩散系数
Figure BDA0002471008750000106
具体计算式如下：
Figure BDA0002471008750000111
Figure BDA0002471008750000112
其中tx是晚期浓度拟合直线与横轴的交点，m为晚期浓度拟合直线的斜率，V是溶液的体积，A是阻隔材料的表面积，阻滞因子Rf G的计算如下：
Figure BDA0002471008750000113
其中θT是理论孔隙度，由体积密度ρb和真密度ρt计算得出：
Figure BDA0002471008750000114
步骤3：基于迭代分析方法的数据处理过程
在这项研究中，全时间跨度实验数据用于反演扩散系数。使用提出的基于迭代分析方法的数据处理过程估算表观扩散系数和孔隙率，交替应用迭代过程以找到具有局部误差最小值的Da和θE，直到找到全局误差最小值，估计误差函数的误差主要包括浓度的均方根误差和理论孔隙率的均方根误差的总和。它被定义为：
Figure BDA0002471008750000115
其中α和β分别是浓度和孔隙度贡献的加权因子，N是实验中的测量次数，Cp是计算的浓度(来自分析溶液)，Cm是测量的浓度，θE是计算出来的孔隙率。
步骤4：计算归一化均方根误差(NRMSE)
归一化均方根误差有助于在具有不同尺度的数据集或模型之间进行比较。
计算为：
Figure BDA0002471008750000121
其中N是实验中的测量次数，Cpi是计算的浓度(来自迭代分析法)，Cmi是测量的浓度，
Figure BDA0002471008750000123
是测量浓度的平均值。
本发明的具体实施方式由matlab软件编程实现，下面对该代码进行具体的阐述与说明，见表1：
表1
Figure BDA0002471008750000122
Figure BDA0002471008750000131
Figure BDA0002471008750000141
Figure BDA0002471008750000151
Figure BDA0002471008750000161
Figure BDA0002471008750000171
Figure BDA0002471008750000181
本实施例采用六偏磷酸钠改良的砂土-膨润土材料，六偏磷酸钠(简称SHMP)为上海星萌化工科技有限公司提供的国标工业级六偏磷酸钠，分子式(NaPO3)6，有效成分含量不小于96％，比重约为1.85，水溶液为酸性。膨润土和砂土的基本物理化学性质见表2。六偏磷酸钠改良的砂土-膨润土材料中膨润土质量分数为9.6％，砂土质量分数为90.4％，后加入2％的SHMP进行拌和，形成高度20mm，直径74.55mm的土柱单元试样，该试样参数如表3。污染液分别选用浓度为5、10、50mmol/L的Pb(NO3)2溶液，然后每天测试底层Pb污染液浓度变化，测得浓度数据后代入具备迭代分析的DPIN法和传统无迭代分析的求解方法，分别求出表观扩散系数
Figure BDA0002471008750000183
有效扩散系数
Figure BDA0002471008750000184
等，并求出归一化均方根误差进行直观比对，能发现方法得出的扩散系数更加精确，并且误差更小，详细的数据见表4。
表2
Figure BDA0002471008750000182
Figure BDA0002471008750000191
表3
Figure BDA0002471008750000192
表4
Figure BDA0002471008750000193
Figure BDA0002471008750000201
由表4可知，在不同Pb(NO3)2浓度下，分别按传统求解方法和DPIN求解方法求出表观扩散系数Da/(m2/s)、有效扩散系数De/(m2/s)、理论孔隙度θT/(％)、归一化均方根误差，通过横向对比两种方法的归一化均方根误差可知，传统求解方法的归一化均方根误差分别是0.329、0.270、0.221，DPIN求解方法的归一化均方根误差分别是0.108、0.210、0.130，DPIN求解方法的归一化均方根误差均比传统图解法求出的归一化均方根误差小，其中传统求解方法三次归一化均方根误差平均值为0.273，DPIN求解方法三次归一化均方根误差平均值为0.149，表明DPIN求解方法的结果更加精确，拟合效果会更好。
上述具体实施方式不以任何形式限制本发明的技术方案，凡是采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案均落在本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1：建立浓度的扩散反应方程；
步骤2：图形法处理数据；
步骤3：基于迭代分析方法的数据处理过程；
步骤4：计算归一化均方根误差。
2.根据权利要求1所述的一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于：所述步骤1建立的浓度扩散反应方程为
Figure FDA0002471008740000011
累积浓度的扩散反应方程为
Figure FDA0002471008740000012
其中C0是入口容器中示踪剂的初始浓度，L是材料的长度；V0和V1分别是入口和出口容器的容积，A是柱的横截面积；Da来表示表观扩散系数；θ代表孔隙度。
3.根据权利要求2所述的一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于：获得累积浓度的扩散反应方程的推导基于以下步骤：
(1)菲克的第一定律描述粒子通量F，它与浓度梯度成正比，C是溶质的浓度，D是扩散系数，表示为：
Figure FDA0002471008740000013
(2)菲克第二定律是多孔介质的均质性和各向同性在质量守恒背景下产生：
Figure FDA0002471008740000014
(3)孔扩散系数Dp与自由水Dw中的扩散系数有关，关系如下：
Figure FDA0002471008740000021
其中τ是弯曲度、δ是收缩性；
(4)在多孔介质中考虑横截面积，有效扩散系数De可表示为：
De＝θDp (4)
其中，θ代表孔隙度；代入公式(2)，可得：
Figure FDA0002471008740000022
(5)当存在吸附时，等式(5)变为：
Figure FDA0002471008740000023
其中，C*是吸附在固体上的溶质的浓度；
(6)对于平衡表面反应，线性吸附等温线描述了C*和C之间的线性关系：
C*＝kaC (7)
其中，kd等于每单位质量固相的固相溶质质量/每单位体积液相溶质质量，计算如下：
Figure FDA0002471008740000024
Ci和Cs分别是初始部分和平衡部分中化学物质的浓度，V和M分别是溶液的体积ml和溶质的质量g，将等式(7)代入等式(6)并重新排列产生：
Figure FDA0002471008740000025
(7)菲克第二定律可以写成：
Figure FDA0002471008740000026
其中表观扩散系数Da与有效扩散系数De相关，
Figure FDA0002471008740000031
(8)阻滞因子Rf是无量纲参数，定义如下：
Figure FDA0002471008740000032
(9)对于非反应性示踪剂，kd＝0并且结合方程(4)、(11)和(12)，Da可以写成：
Figure FDA0002471008740000033
等式(11)相关的初始条件和边界条件分别为：
C(x，0)＝0；0＜x＜L (14)
C(0,t)＝C0 (15)
C(L,t)＝0 (16)
其中C0是入口容器中示踪剂的初始浓度，L是材料的长度；
(10)使用变量分离方法求解该等式，表示为t和x的函数：
Figure FDA0002471008740000034
累积浓度Ct可以通过利用菲克第一定律并将等式(18)的积分关于t来求解：
Figure FDA0002471008740000035
其中V1和V0分别是入口和出口容器的容积，A是柱的横截面积。
4.根据权利要求1所述的一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于：步骤2所述图形法处理数据是：试验测得的污染物累积浓度后，绘制污染物浓度随时间变化的曲线，纵坐标为浓度，横坐标为时间；污染物浓度曲线采用晚期浓度数据，表观扩散系数
Figure FDA0002471008740000041
和有效扩散系数
Figure FDA0002471008740000042
具体计算式如下：
Figure FDA0002471008740000043
Figure FDA0002471008740000044
其中tx是晚期浓度拟合直线与横轴的交点，m为晚期浓度拟合直线的斜率，V为溶液的体积，B为阻隔材料的表面积，阻滞因子Rf G的计算如下：
Figure FDA0002471008740000045
θT是理论孔隙度，由体积密度ρb和真密度ρt计算得出：
Figure FDA0002471008740000046
5.根据权利要求1所述的一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于：步骤3所述提出基于迭代分析方法的数据处理过程是：估算表观扩散系数和孔隙率，交替应用迭代过程以找到具有局部误差最小值的Da和θE，找到全局误差最小值，估计误差函数的误差主要包括浓度的均方根误差和理论孔隙率的均方根误差的总和，估计误差被定义为：
Figure FDA0002471008740000047
其中α和β分别是浓度和孔隙度贡献的加权因子，N是实验中的测量次数，Cp是来自分析溶液计算的浓度，Cm是测量的浓度，θE是计算出来的孔隙率。
6.根据权利要求1所述的一种在扩散试验中基于迭代分析法计算表观扩散参数的方法，其特征在于：步骤4所述的计算归一化均方根误差为：
Figure FDA0002471008740000051
其中N是实验中的测量次数，Cpi是来自迭代分析法计算的浓度，Cmi是测量的浓度，
Figure FDA0002471008740000052
是测量浓度的平均值。
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