CN111438694A - 一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种四足机器人对角步态的双生成函数规划方法。本发明将生成函数的方法应用到四足机器人的最优在线步态生成中。运用虚拟腿技术，将四足机器人对角步态的模型等效为双足模型，通过拉格朗日能量法推导简化四足机器人的动力学模型，并对其进行线性化处理。建立代价函数，将步态规划转化为求解有限时间线性二次型最优控制问题,并用双生成函数算法求解得到最优状态和最优输入。本发明用于四足机器人的对角步态控制，用双生成函数方法进行求解能够将大量繁琐的微分方程计算过程放在线下进行，具有在线规划效率高、同时能对不同的边界条件进行规划的优势。

Description

一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法
技术领域
本发明涉及足式机器人领域，尤其涉及一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法
背景技术
在机器人领域，机器人行走过程中的能量消耗是被研究的重要问题。这个问题可以被形式化为一个标准的最优控制问题，一般可以通过Riccati变换方法、打靶法、参数优化等方法解决。然而，当处理大量不同的边界条件时，这些方法忽略了在线计算工作的重要性，这使在线步态的生成效率非常低。为此，Park C等提出了一种基于最优轨迹生成的单一生成函数(Generating Functions)方法，可以在不同边界条件下生成各自的最优轨迹。HaoZ 等将双生成函数的方法应用到了双足步行机器人平地行走时的步态规划，用该方法求解了有限时间线性二次型最优控制问题并在考虑能量最优的情况下生成最优步态和最优输入力矩。
将生成函数方法推广应用到了四足机器人对角步态规划上，虚拟腿技术用于分析四足机器人对角步态的动力学模型，将四足模型等效为双足机器人模型，通过简化模型降低了动力学模型较为复杂和繁琐的推导。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：提供一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法，采用这种方法，将传统生成函数方法中所需的数值积分放到了线下进行，线上只进行简单的代数运算，减少了系统在线计算工作量。
本发明包括以下步骤：
步骤1：利用虚拟腿技术，两条物理腿施加在机体上的力与力矩等价于一条虚拟腿作用在机体上的力与力矩，简化后的虚拟腿与简化前四足机器人的物理腿相比有着完全相同的功能。将四足机器人对角步态简化为双足步态，建立双足机器人模型。
步骤2：四足机器人是一个高度非线性强耦合的动力学系统，每条腿的关节越多，系统的广义变量就越多，在求解动力学方程的过程中就会越繁琐复杂。前一步骤采用虚拟腿技术，建立对角步态的动力学简化模型，将系统看作为四连杆系统，我们采用欧拉-拉格朗日的方法建立系统的动力学模型，公式如下所示：
Figure 3
步骤3：将双足机器人的能耗问题通过公式(2)，用关节角度和力矩建立代价函数在轨迹生成期间的最小化来表示。x为8×1的状态变量，分别表示机器人行走过程中的膝关节角度、髋关节角度、膝关节角速度、髋关节角速度。u为4×1的输入向量，分别表示机器人行走过程中的膝关节力矩和髋关节力矩。其中常数矩阵
Figure BDA0002501390420000012
为半正定矩阵，常数矩阵
Figure BDA0002501390420000013
为正定矩阵。
Figure 100002_2
步骤4：利用公式(3)制定机器人能量最优步态规划问题，通过最小化代价函数来求解机器人行走过程中关节角度和输入力矩的最优轨迹曲线。向量x0和
Figure BDA0002501390420000021
分别表示状态变量的初始值和末端值，也就是机器人一个步态周期的机体姿态的初值和终值，作为求解该问题的边界条件。
Figure BDA0002501390420000022
步骤5：在步骤4中已经将求解双足机器人行走过程中的关节角度和输入力矩的最优轨迹转化为了一个能量最优控制问题，采用双生成函数的方法求解该问题，公式(4)分别为生成函数前向和后向版本的表达式，时变系数矩阵
Xf(t)＝Xf(t)T,Xb(t)＝Xb(t)T,Zf(t)＝Zf(t)T,Zb(t)＝Zb(t)T,Yf(t)＝Yf(t)T, Yb(t)＝Yb(t)T维度均为n×n维，它们存在下面的正则变换如公式(5)所示:
Figure BDA0002501390420000023
Figure BDA0002501390420000024
步骤6：将步骤5中的生成函数表达式代入公式(6)的哈密顿-雅可比方程得到一列常微分方程，通过求解公式(7)得到符合要求的最优状态x*(t)，并通过公式(8)得到最优输入u*(t)。
Figure BDA0002501390420000031
x*(t)←Xb(t)(Xf(t)-Xb(t))-1Yf(t)Τx(t0)-Xf(t)(Xf(t)-Xb(t))-1Yb(t)Τx(tf) 公式(7)
u*(t)←R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1Yf(t)Τx(t0)+R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1Yb(t)Τx(tf) 公式(8)
本发明是一种步态规划方法，将双生成函数方法应用到了四足机器人的对角步态规划中。该方法能够将大量繁琐的微分方程计算过程放在线下进行，具有在线规划效率高、同时能对不同的边界条件进行规划的优势。此外，在应用时需要将机器人动力学模型线性化，因为该方法是针对线性系统进行规划的，而线性化所引起的建模误差可以由所涉及的PD控制系统来进行调节控制。
附图说明
图1四足机器人双生成函数法对角步态规划的总体示意方框图
图2双生成函数算法求解最优轨迹流程图
具体实施方式
本发明将生成函数方法推广应用到了四足机器人对角步态规划上，虚拟腿技术用于分析四足机器人对角步态的动力学模型，将四足模型等效为双足机器人模型，通过简化模型降低了动力学模型较为复杂和繁琐的推导。用能量相关性能指标将机器人行走问题转化为最优控制问题，同时在求解最优控制问题的哈密顿系统中的正则变换里引入一对合适的生成函数，推导出双生成函数生成的最优轨迹。
一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法,它包括以下步骤：
步骤1：本发明研究的是占空比系数β＝0.5情况下的对角小跑步态，机器人在每个运动周期内的对角双腿具有相同的相位，且协调一致工作符合虚拟腿的使用条件，故当四足机器人处于对角小跑步态时，其对角双腿可以用机体质心处的虚拟腿代替，四足机器人可以看作是一个双足机器人，其模型可以等效为双足模型。将两条物理腿施加在机体上的力与力矩等价于一条虚拟腿作用在机体上的力与力矩，这样利用虚拟腿技术，将四足机器人对角步态简化为双足步态。
步骤2：四足机器人是一个高度非线性强耦合的动力学系统，每条腿的关节越多，系统的广义变量就越多，在求解动力学方程的过程中就会越繁琐复杂。在步骤1中采用虚拟腿技术，建立双足步态的动力学简化模型，采用欧拉-拉格朗日的方法建立系统的动力学模型，如公式(1)所示：
Figure 4
其中θ＝[θ1 θ2 θ3 θ4]Τ，u表示为膝关节和髋关节的输入力矩， u＝[u1 u2 u3 u4]T，
Figure BDA0002501390420000033
代表广义质量矩阵，
Figure BDA0002501390420000034
代表科氏力矩阵，
Figure BDA0002501390420000041
代表重力项和摩擦项。
虽然经四足机器人模型简化后的双足机器人模型降低了模型的复杂和冗余程度，但是仍然是包含摩擦项的多变量高度非线性方程。为了方便后续算法的研究，我们将其进行线性化处理。首先，我们定义状态变量
Figure BDA0002501390420000042
其中各变量依次定义为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8并通过公式(2)的四个微分方程可以整理得到动力学方程
Figure BDA0002501390420000043
其中
Figure BDA0002501390420000044
Figure BDA0002501390420000045
为了得到机器人的零点位置，我们将非线性函数
Figure BDA0002501390420000046
进行二阶泰勒展开，当(x,u)＝(0,0)的时候，非线性函数
Figure BDA0002501390420000047
表示状态变量x(t)对于所有t都是常数。此时机器人属于静止状态，角速度和各关节的输入力矩都为零，因此 (x,u)＝(0,0)也被称为机器人的平衡点。最后给出了机器人动力学方程在 (x,u)＝(0,0)处的状态方程，如公式(3)所示：
Figure BDA0002501390420000048
步骤3：对于双足机器人行走，能耗问题一直都是研究的热点。这个问题实际上就是为了协调机器人在正常行走过程中输入力矩的和机器人行走姿态(关节角度)，可以用角度和力矩所构成的代价函数在轨迹生成期间最小化来表示。通过公式(4)设定了一个代价函数。
Figure BDA0002501390420000049
其中，
Figure BDA00025013904200000410
为正定矩阵，
Figure BDA00025013904200000411
为正定矩阵，t0和tf分别为起始时间和终止时间。在此基础上，通过公式(5)来表示四足机器人的能量最优的小跑步态问题。
Figure BDA0002501390420000051
该问题通过最小化公式(4)的代价函数来求解机器人行走过程中关节角度和输入力矩的最优轨迹曲线。公式(3)中的系统的状态方程也就是线性化之后的机器人动力学方程，在固定的时间间隔t∈[t0,tf],向量x0和xf均
Figure BDA0002501390420000052
分别表示状态变量的初始值和末端值，也就是机器人一个步态周期的机体姿态的初值和终值，作为求解四足机器人步态问题能量最优的边界条件。
步骤4：用双生成函数方法来求解最优轨迹。首先给出生成函数的表达式，如公式(6) 所示：
Figure BDA0002501390420000053
其中的时变系数矩阵Xf(t)＝Xf(t)T，Xb(t)＝Xb(t)T，Zf(t)＝Zf(t)T， Zb(t)＝Zb(t)T，Yf(t)＝Yf(t)T，Yb(t)＝Yb(t)T,Yf(t),Yb(t)T的维度均为n×n。公式(6) 也满足相应的哈密顿-雅克比方程。分别通过离线和在线部分计算x*(t)和u*(t)。
步骤5：离线部分计算生成函数的系数矩阵在t∈[t0,tf]的Xf(t)，yf(t)，Xb(t)， yb(t)。常系数矩阵A,Q,G，初始时间t0，终端时间tf以及时间间隔Δt已知，0→Xf(t0)， -I→yf(t0)，0→Xb(tf)，-I→yb(tf)；通过公式(7)计算Xf(t+Δt)， yf(t+Δt)，Xb(t)，yb(t)。
当t＝[t0,tf]时，
Xf(t+Δt)←Xf(t)+(AXf(t)-Xf(t)TAT-Xf(t)TQXf(t)+G)·Δt
yf(t+Δt)←yf(t)-(yf(t)QXf(t)-yf(t)AT)·Δt
当t＝[tf,t0]时，
Xb(t)←Xb(t-Δt)+(AXb(t)-Xb(t)ΤAΤ-Xb(t)ΤQXb(t)+G)·Δt
yb(t)←yb(t-Δt)-(yb(t)QXb(t)-yb(t)AΤ)·Δt 公式(7)
步骤6：在线部分计算输出最优状态x*(t)和u*(t)，将步骤5中计算得到的Xf(t)，yf(t)，Xb(t)，yb(t)和常系数矩阵B和R代入公式(8)中。
x(t0)←x0,x(tf)←xf
x*(t)←Xb(t)(Xf(t)-Xb(t))-1yf(t)Τx(t0)-Xf(t)(Xf(t)-Xb(t))-1yb(t)Τx(tf)
u*(t)←R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1yf(t)Τx(t0)+R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1yb(t)Τx(tf) 公式(8)
步骤5和步骤6分别表示生成函数算法的在线部分和离线部分。在模型较为复杂的情况下，求解常微分矩阵方程组需要占用大量的内存空间，因为在生成函数算法中这部分是离线求解的，极大地提高了算法执行的效率。步骤6中可以方便地更改边界条件x(t0),x(tf) 以及初始时间t0,终端时间tf来按任务需求生成不同的最优轨迹，因为步骤6中几乎全部都是代数运算，所以当机器人切换步态需要改变边界条件参数时，这种改变带来的在线计算量几乎为零。

Claims (1)

1.一种基于双生成函数的四足机器人对角步态规划方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：利用虚拟腿技术，将四足机器人对角步态简化为双足步态，建立双足机器人模型。
步骤2：在双足机器人模型的基础上建立对角步态的动力学简化模型，通过公式(1)，采用欧拉-拉格朗日方法建立系统的动力学模型
Figure 1
步骤3：将机器人的步态规划问题转换为能量最优控制问题，通过公式(2)，用关节角度和力矩建立代价函数，通过最小化代价函数来求解机器人行走过程中关节角度和输入力矩的最优轨迹曲线。
Figure 2
步骤4：采用双生成函数法求解步骤3中的能量最优控制问题，公式(4)为生成函数的前向和后向版本。
Figure FDA0002501390410000013
步骤5：双生成函数法分为在线和离线部分，离线部分计算生成函数的系数矩阵在t∈[t0,tf]的Xf(t)，yf(t)，Xb(t)，yb(t)，在线部分计算输出最优状态x*(t)和u*(t)，通过公式(5)公式(6)求解x*(t)和u*(t)。
x*(t)←Xb(t)(Xf(t)-Xb(t))-1yf(t)Τx(t0)-Xf(t)(Xf(t)-Xb(t))-1yb(t)Τx(tf)公式(5)
u*(t)←R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1yf(t)Τx(t0)+R-1BΤ(Xf(t)-Xb(t))-1yb(t)Τx(tf)公式(6) 。
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