CN111428406A - 钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法。该方法包括：建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长和波深估算模型；基于有限元及动力学仿真确定所述波长和波深估算模型的参数；分析小半径曲线内轨波磨波长和波深发展特性；基于小半径曲线钢轨振动频响特性计算及车辆通过激励分析和波磨主振频率分析，提出了轨道结构超谐振动导致波磨产生的理论。该发明能对曲线内轨波磨的产生和发展趋势进行预判，为维修部门提供有针对性的钢轨打磨或维保建议，从而降低时间、经济成本，提升曲线车辆运行的寿命及安全性。

Description

钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法

技术领域

本发明涉及钢轨波磨分析技术领域，尤其涉及一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法。

背景技术

钢轨波磨是一种轨头表面缺陷，是出现于钢轨表面的一种不平顺现象，其外形呈现出类似波浪的形状，具有很强的周期性。国内外观测统计结果表明，地铁线路上的钢轨波磨主要出现在小半径曲线地段，其中内侧钢轨尤为严重。地铁线路上大量出现的钢轨波磨会引起车辆、转向架、轮对的剧烈振动，使轮轨间的相互作用力大大增强，这加速了机车车辆和轨道各组成部件的损坏。此外，钢轨波磨导致列车的剧烈震动，使乘客舒适性降低的同时还引发了恼人的环境噪声。线路运量增加、运行车速提高、列车轴重上升等因素导致小半径曲线上的钢轨波磨问题日趋严重。钢轨波磨给地铁运营带来安全隐患的同时，也会增加钢轨打磨及保养维护的经济成本。目前关于钢轨波磨的问题受到了相关研究者的密切关注。

钢轨波磨会破坏轮轨几何轮廓的匹配性能，严重影响行车的安全性、经济性和舒适性。为了减缓或抑制地铁钢轨波磨的产生及发展，提高钢轨服役寿命，各国轨道交通领域研究人员针对地铁钢轨波磨的产生机理、钢轨波磨发展影响因素及钢轨波磨预测等方面进行了大量的研究。掌握地铁小半径曲线内轨波磨的产生机理，对其进行有效的预测，能极大地方便运营及维修部门对曲线内轨的合理使用，减缓或抑制钢轨波磨的产生及发展，提升地铁车辆运行的安全性和稳定性。

针对地铁钢轨的波磨产生机理问题，目前有基于轮对的振动模态分析提出轮对的振动特性影响波磨发展和最终形成的研究，有轮轨系统自激振动导致波磨产生的研究，既有研究表明现有的钢轨波磨成因理论可用于解释一些波磨存在的现象，并不能解释所有的波磨现象且没有一个具有简便性和地铁实际运营条件下的可预测性的曲线波磨波长和波深估算模型。

基于小半径曲线轨道结构振动频率响应特性及车辆-轨道耦合动力学理论、轮轨接触磨耗理论推导得到小半径曲线内轨的波磨波长估算模型和波深估算模型，借助有限元及动力学仿真模型对不同半径的曲线内轨波磨波长和波深进行估算，结合估算结果的时频分析研究小半径曲线内轨波磨的发展特性，提出小半径曲线内轨波磨产生及发展机理。从而为曲线钢轨的使用和维保策略制定提供参考，该方法具有较高的创新性和实用性，对提高经济效益和保障地铁车辆的安全可靠运行具有重要的意义。

在目前地铁小半径曲线上地铁车辆的运营中，曲线内轨的波磨问题较为严重，钢轨波磨会引起车辆、转向架和轮对的剧烈振动，从而加速车辆和轨道各部件的损坏，严重影响行车的安全性和平稳性。此外，钢轨波磨导致列车的剧烈振动，使乘客舒适性降低的同时还引发了恼人的环境噪声。因此，为了进行有依据性的钢轨打磨或维保，以延缓曲线内轨波磨的发展，提高运行安全性和可靠性，地铁运营公司亟需得到一种有效地小半径曲线上内轨波磨的产生机理及波长波深的估算方法。

发明内容

本发明的实施例提供了一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，以克服现有技术的问题。

为了实现上述目的，本发明采取了如下技术方案。

一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，包括：

建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长和波深估算模型；

基于有限元及动力学仿真确定所述波长和波深估算模型的参数；

基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真进行小半径曲线钢轨振动频响特性计算、小半径曲线钢轨波磨波长估算曲线计算和钢轨磨耗计算。

优选地，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长和波深估算模型，包括：

基于轨道结构振动频率响应特性及车辆-轨道耦合动力学理论推导得到钢轨小半径曲线内轨的波磨波长预测模型，用以评估n次列车通过后轨面原始不平顺继续发展成为钢轨波磨的趋势及波磨主波长；同时引入基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型，结合小半径曲线线路的曲线轨道半径、扣件刚度以及扣件间距特性提出小半径曲线内轨磨耗模型，对n次列车通过后的钢轨波磨的波深进行估算。

优选地，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长估算模型，具体包括：

假设线路原有不平顺的波长为L_k，频率为f_k，不平顺幅值为Δz_k，则经过n列车之后的轨面波磨波长预测函数表示为：

式中，k为材料磨耗系数；ρ为材料密度；b为修正的轮轨接触椭圆长半轴；N为轮轨接触法向力；d表示轮轨间弹性变形量；T_y,T_y,0分别表示横向蠕滑力及其实部部分；c为修正的接触椭圆系数；C_y,C_y,0分别表示横向蠕滑率及其实部部分；v为列车通过速度；f为轮对滚动频率；r_i为各车轮的瞬时滚动半径，i＝1,2；F_z,F_y分别是轨道结构的垂向及横向振动位移响应特性；

(1)曲线轨道钢轨振动频率响应特性

在分析曲线轨道钢轨的动力响应特性时，将钢轨简化为曲线梁，将扣件简化为弹簧阻尼支点单元，此时轨道简化为等间距离散点支承的钢轨模型，在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸，曲线梁坐标系按照右手螺旋法则规定；

自由振动下，忽略高阶微量，曲线梁的径向、垂向及扭转振动微分方程为：

其中，u_x,u_y,u_z,

分别是t时刻点z在x,y,z方向上的位移及绕z轴的扭转角；m为钢轨单位长度内的参振质量；ρ为钢轨材料密度；A为截面面积；I_d为截面扭转常数；I₀为截面极惯性矩；E,G分别为弹性模量和剪切模量；I_x,I_y分别为绕x,y轴的截面惯性矩；I_w为钢轨截面扭转翘曲常数；R为小半径曲线半径；M₀车辆走行部单轮簧下质量；

在钢轨垂向上和径向各施加一个单位谐振力e^jwt，w为激振圆频率，则钢轨的径向和垂向振动微分方程写成：

钢轨振动得常微分方程组，为

通过解常微分方程(7)可得小半径曲线内轨上的径向(横向)位移响应柔度，即

其中，l是两股钢轨轨顶中心距之半；h,s分别是小半径曲线外轨实设超高和轨底坡度；

且

同理，通过解常微分方程(8)可得小半径曲线内轨上的垂向位移响应柔度，即

其中，α,β分别是曲线梁坐标及力学模型依据钢轨垂向振动微分方程(10)的特征方程，经过求解得到的共轭复数特征根的实部和虚部，且有

α,β＝f(R,w,k_r,c_r,EI_x) (11)

(2)曲线轨道轮轨接触参数

车辆通过小半径曲线时第一轮对的受力情况为：T_yL,T_yR分别是小半径曲线上内外轨上所受横向蠕滑力；T_L,T_R分别是小半径曲线上内外轨上所受纵向蠕滑力；φ_w,

分别是轮对的摇头角和摇头角速度；y_w,

分别是轮对的横移量和横移速度；F_sVL,F_sVR分别是一系悬挂左右垂向力；F_sLL,F_sLR分别是一系悬挂左右横向力；N,N_R分别是内外轨上的轮轨接触法向力；δ_L,δ_R分别是内外轨上的轮轨接触角；F_rVL,F_rVR分别是轨下支承的左右垂向力；

F_rLL,F_rLR分别是轨下支承的左右横向力；φ_sew是小半径曲线的外轨超高角，

l是两股钢轨轨顶中心距之半；

针对小半径曲线内轨上的轮轨接触关系，钢轨在横向荷载或偏心垂直荷载作用下，将产生水平位移和扭转，扭转变形引起水平位移，令扭转角为

得到小半径曲线内轨轮轨接触法向力如式(12)所示：

其中

h_c——车辆重心距轨面的高度；

h——小半径曲线外轨实设超高；

v——运行车速；

R——小半径圆曲线半径；

m_c——车辆的参振质量；

m_b——构架参振质量；

m_w——轮对的参振质量；

i＝1,2——小半径曲线内外轨。

G——轮轨接触常数；

η_rz——钢轨垂向不平顺；

δ_L——轮轨接触角；

Δu_z——轨道的垂向形变。

假设车辆稳态通过小半径曲线，且左右车轮的横向蠕滑力达到饱和状态，即蠕滑力等于摩擦因数与法向力的乘积：

即

T_y,0＝μNcosη₀·cosφ_w (13)

其中

μ——轮轨间摩擦系数；

η₀——轮轨接触冲角；

φ_w——轮对摇头角。

考虑到小半径曲线超高引起的钢轨横向振动影响，横向蠕滑率的计算为：

其中

y_w——轮轨横向振动位移量；

y_r——小半径曲线内轨横向振动位移量；

r₀——轮对名义滚动半径；

η_ry——钢轨横向不平顺。

将上述曲线轨道钢轨振动频率响应特性及曲线轮轨接触参数代入计算可得小半径曲线内轨的波磨波长估算模型。

优选地，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波深估算模型，具体包括：

采用基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型计算小半径曲线上钢轨的表面磨耗量，根据Archard材料磨耗模型可知，车轮i驶过线路x位置处后造成此处产生的钢轨磨耗质量Δm_i为：

Δm_i(x)＝kW_i(x) (15)

式中，k为材料磨耗系数；W_i(x)为车轮i驶过线路x位置处对钢轨所做的摩擦功；

设在时间步长Δt内，轮对i与钢轨间的摩擦功率P_i(x)保持不变，则有：

W_i(x)＝P_i(x)·Δt (16)

考虑自旋效应对磨耗的影响，则

P_i(x)＝T_x·C_x+T_y·C_y+M_z·ξ_z (17)

式中，T_x,T_y分别为纵向、横向蠕滑力；M_z为轮轨间绕z轴的力矩；C_x,C_y,ξ_z分别为纵向、横向、自旋蠕滑率；

将式(16)、(17)代入式(15)，并设置计算步长时计算得到该时刻对应位置的钢轨表面磨耗深度d_i(x)，即

其中，A为车轮i在x位置处与钢轨的接触面积。

因此，一节车厢单次驶过钢轨位置x处所造成的钢轨表面磨耗深度D(x)为：

将上述小半径曲线轮轨接触参数代入式(19)即得到小半径曲线内轨波磨波深的估算模型。

优选地，所述的基于有限元及动力学仿真确定所述波长和波深估算模型的参数，包括：

基于ABQUS有限元软件搭建轮轨接触系统有限元模型，结合有限元频响分析、模态分析，研究小半径曲线轨道系统固有振动对钢轨波磨发展的影响；

借助UM动力学软件搭建车辆-轨道耦合动力学仿真模型，根据该车辆-轨道耦合动力学仿真模型得到轨道动力响应指标在时程上的分布，基于摩擦功理论的摩擦磨损计算理论模型借助车辆-轨道耦合动力学仿真模型，提取车辆过曲线时引起轮轨间的纵向、横向及自旋蠕滑力参数和与之对应的横向、纵向、自旋蠕滑率参数进行磨耗深度的计算。

优选地，所述的基于ABQUS有限元软件搭建轮轨接触系统有限元模型，包括：

通过三维软件SolidWorks分别对轮对和钢轨按照实际尺寸1：1进行建模，导入ABAQUS软件进行轮轨装配，建立了轨道总长度为50m的轮轨接触有限元模型，该模型采用C3D8I六面体单元划分网格，共计578752个节点和498648个单元；

在所述轮轨接触有限元模型中，轮对两端添加的载荷通过分布耦合方式施加在车轴两端轴颈上，轮对作用于轨道上的横向力和垂向力则通过轨道支撑力来平衡，轮对的边界约束条件施加在车轴两端的中心位置，钢轨的两端面添加hinged-hinged约束。

优选地，所述的借助UM动力学软件搭建车辆-轨道耦合动力学仿真模型，包括：

所述车辆-轨道耦合动力学模型包括两个悬挂减振系统，一节车辆由车体、前后转向架以及四个轮对组成，建模时，忽略车体、转向架、轮对的弹性形变，一、二系悬挂均通过线性弹簧阻尼单元模拟，考虑轮对沉浮、横摆、侧滚、摇头4个方向的自由度，对于车体和转向架，则考虑沉浮、横摆、侧滚、摇头、点头5个方向自由度；

所述车辆-轨道耦合动力学模型采用柔性轨道模型，采用考虑剪切变形的Timoshenko梁，扣件部分采用Bushing力员进行模拟，轨下结构部分通过有限元软件建立三维实体单元模型再导入UM前处理中，道床板与钢轨的连接通过力元模拟，考虑横/纵/垂3个方向上的刚度和阻尼。

优选地，所述的基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真进行小半径曲线钢轨振动频响特性计算、小半径曲线钢轨波磨波长估算曲线计算和钢轨磨耗计算，包括：

针对不同曲线半径的线路条件，基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真对曲线内轨波磨波长估算曲线进行计算，得到小半径曲线内轨圆曲线中点位置的垂向及横向频响特性曲线，将不同曲线半径的钢轨振动频响数据代入小半径曲线钢轨波磨增长函数模型中得到不同小半径曲线内轨的波磨增长函数曲线；

基于小半径曲线的钢轨磨耗仿真数据对n次列车通过后的钢轨磨耗进行估算，计算轨面波磨波深的同时进行时频分析提取时频特征，分析上不同曲线半径工况下的波磨波长和波深的发展特性。

优选地，所述的方法还包括：

通过对不同半径的曲线内轨波磨发展特性的研究，分别分析车辆通过激励、轨道结构固有振动模态以及波磨主振频率，提出轨道结构超谐共振导致波磨产生的波磨产生机理。

由上述本发明的实施例提供的技术方案可以看出，本发明实施例。

本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，这些将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例提供的一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法的处理流程图；

图2为本发明实施例提供的一种曲线梁坐标及力学模型；

图3为本发明实施例提供的一种小半径曲线上第一轮对受力图；

图4为本发明实施例提供的一种连续弹性支承无限长梁模型图；

图5为本发明实施例提供的一种轮轨接触有限元模型；

图6为本发明实施例提供的一种车辆-轨道耦合动力学模型；

图7不同小半径曲线内轨的振动频响曲线；

图8不同小半径曲线内轨的波磨增长率函数曲线；

图9不同小半径曲线内轨磨耗曲线；

图10不同小半径曲线内轨磨耗量的1/3倍频程曲线；

图11不同小半径曲线内轨超谐振动模态分析。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施方式，所述实施方式的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

本技术领域技术人员可以理解，除非特意声明，这里使用的单数形式“一”、“一个”、“所述”和“该”也可包括复数形式。应该进一步理解的是，本发明的说明书中使用的措辞“包括”是指存在所述特征、整数、步骤、操作、元件和/或组件，但是并不排除存在或添加一个或多个其他特征、整数、步骤、操作、元件、组件和/或它们的组。应该理解，当我们称元件被“连接”或“耦接”到另一元件时，它可以直接连接或耦接到其他元件，或者也可以存在中间元件。此外，这里使用的“连接”或“耦接”可以包括无线连接或耦接。这里使用的措辞“和/或”包括一个或更多个相关联的列出项的任一单元和全部组合。

本技术领域技术人员可以理解，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以几个具体实施例为例做进一步的解释说明，且各个实施例并不构成对本发明实施例的限定。

本发明实施例结合曲线内轨波磨波长波深的估算模型，能对地铁小半径曲线内轨在一定的累计通车内轨面会产生的波磨波长波深进行估算，从而对轨面上波磨的产生机理进行分析，提出波磨产生及发展理论，为抑制或减缓小半径曲线内轨波磨的产生及发展提供了理论依据。

本发明实施例提出的一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，并且，基于上述波磨波长及波深发展特性的研究，提出了轨道结构超谐共振导致波磨产生的理论。上述钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法的的处理流程如图1所示，包括如下的处理步骤：

步骤10、建立轨道小半径曲线内轨的波磨波长和波深估算模型

曲线轨道结构可视为一种周期性的离散支承结构，考虑到周期性结构的振动频率响应特性，当有车辆在轨道上驶过时，必然引起轮轨间接触力的周期性变化。这种呈周期性出现的轮轨接触力以及轮轨接触面积导致了钢轨表面的初始周期性磨损。基于这种考虑，本发明首先基于轨道结构振动频率响应特性及车辆-轨道耦合动力学理论推导得到小半径曲线内轨的波磨波长预测模型，用以评估n次列车通过后轨面原始不平顺继续发展成为钢轨波磨的趋势及波磨主波长；同时引入基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型，结合小半径曲线线路的特殊性即小半径曲线轨道结构作为一种特殊的线路形式，曲线轨道半径、扣件刚度以及扣件间距等均会影响钢轨振动的衰减情况，进而影响钢轨表面磨损的发展，提出小半径曲线内轨磨耗模型，对n次列车通过后的钢轨波磨的波深进行估算。

步骤20、基于有限元及动力学仿真确定估算模型参数

基于小半径曲线内轨波磨的波长波深估算理论模型，为确定上述估算模型中所需参数，本发明首先基于ABQUS有限元软件搭建了轮轨接触系统有限元模型，方便计算小半径曲线轨道的固有振动频率响应特性，同时可结合有限元频响分析、模态分析，研究小半径曲线轨道系统固有振动对钢轨波磨发展的影响。

小半径曲线内轨波磨的波长估算模型中不仅涉及曲线钢轨振动频率响应特性，还需考虑小半径曲线线路参数的特殊性确定轮轨接触法向力、蠕滑力、蠕滑率等参数。因此，本发明借助UM动力学软件搭建车辆-轨道耦合动力学仿真模型以得到轨道动力响应指标在时程上的分布，将相关参数计算结果代入上述小半径曲线内轨波磨波长估算模型中进行计算，分析轨道初始不平顺是否可能发展成为钢轨初始波磨以及波磨波长特性。

基于摩擦功理论的摩擦磨损计算理论模型借助车辆-轨道耦合动力学仿真模型，提取车辆过曲线时引起轮轨间的纵向、横向及自旋蠕滑力参数和与之对应的横向、纵向、自旋蠕滑率等参数进行磨耗深度的计算。此外，将小半径曲线钢轨磨耗仿真模型及MATLAB数值计算程序集成进行联合仿真，对钢轨表面磨耗进行累积叠加计算以得到n次列车通过后钢轨表面的磨耗。

步骤30、分析小半径曲线内轨波磨波长和波深发展特性

通过小半径曲线钢轨波磨波长估算理论模型分析可知，小半径曲线上初始不平顺能否持续发展成为波磨病害，主要受钢轨振动频率响应特性及轮轨接触动力学影响。根据对小半径曲线内轨波磨增长预测模型的推导可知，曲线半径对其的影响不容忽视。因此，本发明基于小半径曲线钢轨波磨的波长波深估算理论模型，借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真进行小半径曲线钢轨振动频响特性计算、小半径曲线钢轨波磨波长估算曲线计算和钢轨磨耗计算。针对不同曲线半径的线路工况，首先利用联合仿真模型对曲线内轨波磨波长估算曲线进行计算，分析上述不同曲线半径的线路上钢轨波磨的波长发展特性；然后基于小半径曲线的钢轨磨耗仿真数据对n次列车通过后的钢轨磨耗进行时频分析提取时频特征，与波磨波长估算模型分析结果相互佐证。

步骤40、提出小半径曲线内轨波磨产生机理

基于小半径曲线内轨波磨的发展特性，对比分析了车辆过曲线时产生的激励频率、轨道结构的频率响应特性及小半径曲线内轨波磨的波长估算结果，提出小半径曲线内轨波磨的产生及发展机理。此外，借助轮轨接触系统有限元模型进行轨道结构的振动模态分析，指出导致轨面上特定波长波磨产生的轨道结构固有振动振型。

进一步地，上述步骤10具体包括：

1.小半径曲线内轨波磨波长估算模型

波磨增长函数的实质是磨损特征量的实部可以预测钢轨某位置的初始不平顺在经过列车之后是否继续发展形成周期性的磨耗，即可以评价初始不平顺的发展趋势，评估轨道初始不平顺是否可引发波磨病害并可预测波磨的波长。

假设线路原有不平顺的波长为L_k，频率为f_k，不平顺幅值为Δz_k，则经过n列车之后的轨面波磨波长预测函数可表示为：

式中，k为材料磨耗系数；ρ为材料密度；b为修正的轮轨接触椭圆长半轴；N为轮轨接触法向力；d表示轮轨间弹性变形量；T_y,T_y,0分别表示横向蠕滑力及其实部部分；c为修正的接触椭圆系数；C_y,C_y,0分别表示横向蠕滑率及其实部部分；v为列车通过速度；f为轮对滚动频率；r_i为各车轮的瞬时滚动半径，i＝1,2；F_z,F_y分别是轨道结构的垂向及横向振动位移响应特性。

研究小半径曲线内轨波磨主波长的估算，不可忽视小半径曲线线路的特殊性。这种特殊性体现在两方面。一方面是指特殊的轮轨接触关系，当车辆通过曲线半径较小的线路时，轮对冲角的多变性会导致轮轨间发生纵向滑动；此外，由于曲线外轨超高的设置以及曲线内外轨轮对偏载的现象引起的横向荷载会产生较强的钢轨横向振动以及钢轨扭转振动，导致轨道轨距的变化，从而影响轮轨接触状态。另一方面则体现在曲线轨道结构振动频率响应特性的特殊性。因此，本发明研究小半径曲线上钢轨波磨波长估算模型时，考虑小半径曲线上轮轨接触参数及频响特性的特殊性进行参数确定。

(1)曲线轨道钢轨振动频率响应特性

在分析曲线轨道钢轨的动力响应特性时，将钢轨简化为曲线梁，将扣件简化为弹簧阻尼支点单元，此时轨道简化为等间距离散点支承的钢轨模型，如图2所示的曲线梁坐标及力学模型，在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸。曲线梁坐标系按照右手螺旋法则规定。

自由振动下，忽略高阶微量，曲线梁的径向、垂向及扭转振动微分方程为：

其中，u_x,u_y,u_z,

分别是t时刻点z在x,y,z方向上的位移及绕z轴的扭转角；m为钢轨单位长度内的参振质量；ρ为钢轨材料密度；A为截面面积；I_d为截面扭转常数；I₀为截面极惯性矩；E,G分别为弹性模量和剪切模量；I_x,I_y分别为绕x,y轴的截面惯性矩；I_w为钢轨截面扭转翘曲常数；R为小半径曲线半径；M₀车辆走行部单轮簧下质量。

考虑到曲线轨道的曲线半径远大于钢轨截面尺寸，可忽略翘曲扭转，因而取I_w＝0，且忽略钢轨轴向形变对钢轨径向的影响，并考虑曲线梁的“弯扭耦合”特性，在钢轨垂向上和径向各施加一个单位谐振力e^jwt，w为激振圆频率，则钢轨的径向和垂向振动微分方程可以写成：

钢轨振动得常微分方程组，为

通过解常微分方程(7)可得小半径曲线内轨上的径向(横向)位移响应柔度，即

其中，l是两股钢轨轨顶中心距之半；h,s分别是小半径曲线外轨实设超高和轨底坡度。

且

同理，通过解常微分方程(8)可得小半径曲线内轨上的垂向位移响应柔度，即

其中，α,β分别是图2所示的曲线梁坐标及力学模型依据钢轨垂向振动微分方程(10)的特征方程，经过求解得到的共轭复数特征根的实部和虚部，且有

α,β＝f(R,w,k_r,c_r,EI_x) (11)

(2)曲线轨道轮轨接触参数

图3所示为车辆通过小半径曲线时，第一轮对的受力情况。其中，T_yL,T_yR分别是小半径曲线上内外轨上所受横向蠕滑力；T_L,T_R分别是小半径曲线上内外轨上所受纵向蠕滑力；φ_w,

分别是轮对的摇头角和摇头角速度；y_w,

分别是轮对的横移量和横移速度；F_sVL,F_sVR分别是一系悬挂左右垂向力；F_sLL,F_sLR分别是一系悬挂左右横向力；N,N_R分别是内外轨上的轮轨接触法向力；δ_L,δ_R分别是内外轨上的轮轨接触角；F_rVL,F_rVR分别是轨下支承的左右垂向力；F_rLL,F_rLR分别是轨下支承的左右横向力；φ_sew是小半径曲线的外轨超高角，

l是两股钢轨轨顶中心距之半。

因小半径曲线上钢轨波磨病害多发于内轨，因此本发明中仅关注小半径曲线内轨上的轮轨接触关系。从图3中轮对的受力图示可知，因小半径曲线上存在未被平衡超高，车轮在内外轨上出现偏载。钢轨在横向荷载或偏心垂直荷载作用下，将产生水平位移和扭转。扭转变形也引起水平位移，令扭转角为

故轮轨间法向力计算还要考虑钢轨扭转的影响。最后得到小半径曲线内轨轮轨接触法向力如式(12)所示。

其中

h_c——车辆重心距轨面的高度；

h——小半径曲线外轨实设超高；

v——运行车速；

R——小半径圆曲线半径；

m_c——车辆的参振质量；

m_b——构架参振质量；

m_w——轮对的参振质量；

i＝1,2——小半径曲线内外轨。

G——轮轨接触常数；

η_rz——钢轨垂向不平顺；

δ_L——轮轨接触角；

Δu_z——轨道的垂向形变。

小半径曲线地段，轮轨间的蠕滑力达到饱和，轮踏面与轨头间出现真实的滑动。本研究假设车辆稳态通过小半径曲线，且左右车轮的横向蠕滑力达到饱和状态，即蠕滑力等于摩擦因数与法向力的乘积。

即

T_y,0＝μNcosη₀·cosφ_w (13)

其中

μ——轮轨间摩擦系数；

η₀——轮轨接触冲角；

φ_w——轮对摇头角。

考虑到小半径曲线超高引起的钢轨横向振动影响，横向蠕滑率的计算为

其中

y_w——轮轨横向振动位移量；

y_r——小半径曲线内轨横向振动位移量；

r₀——轮对名义滚动半径；

η_ry——钢轨横向不平顺。

在小半径曲线内轨波磨波长估算函数表达式(1)中，材料磨耗系数取经验值2.103e-13m3/J、材料密度可依据中国地铁采用的65kg/m钢轨材料设置为7800kg/m3。将上述曲线轨道钢轨振动频率响应特性及曲线轮轨接触参数代入计算可得小半径曲线内轨波磨波长估算模型。

2.小半径曲线内轨波磨波深估算模型

采用基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型计算小半径曲线上钢轨的表面磨耗量，根据Archard材料磨耗模型可知，车轮i驶过线路x位置处后造成此处产生的钢轨磨耗质量Δm_i可表示为：

Δm_i(x)＝kW_i(x) (15)

式中，k为材料磨耗系数；W_i(x)为车轮i驶过线路x位置处对钢轨所做的摩擦功。

假设在较短的时间步长Δt内，轮对i与钢轨间的摩擦功率P_i(x)保持不变，则有

W_i(x)＝P_i(x)·Δt (16)

考虑自旋效应对磨耗的影响，则

P_i(x)＝T_x·C_x+T_y·C_y+M_z·ξ_z (17)

式中，T_x,T_y分别为纵向、横向蠕滑力；M_z为轮轨间绕z轴的力矩；C_x,C_y,ξ_z分别为纵向、横向、自旋蠕滑率。

将式(16)、(17)代入式(15)，并设置足够短的计算步长时则可计算得到该时刻对应位置的钢轨表面磨耗深度d_i(x)，即

其中，A为车轮i在x位置处与钢轨的接触面积。

因此，一节车厢单次驶过钢轨位置x处所造成的钢轨表面磨耗深度D(x)可表示为：

将上述小半径曲线轮轨接触参数代入式(19)即得到小半径曲线内轨波磨波深的估算模型。

进一步地，上述的步骤20基于有限元及动力学仿真确定估算模型参数，具体包括：

步骤2、(1)轨道振动计算模型的选取

在对轮轨接触系统进行振动分析时，若要考虑低频振动(＜10Hz)，则钢轨支承刚度和阻尼要考虑扣件、道床和路基即全部轨道的钢轨与阻尼。用于高频振动分析时(＞50Hz)，由于道床和路基对高频振动影响较小，模型中的钢轨支承刚度与阻尼只取为扣件的刚度和阻尼。此外，本发明针对普通短轨枕轨道结构形式，该轨道结构中的短轨枕镶在轨道板内，并固结在一起，它们之间几乎没有减振缓冲特性。因此，针对地铁小半径曲线上短波波磨激起的高频振动分析，为了便于建模分析，本发明的轨道模型中不单独考虑短轨枕，而将其与轨道板等轨下结构作为整体一起考虑，故可以用相对较简单的单层弹性点支撑梁模型进行研究分析。图4为本发明实施例提供的一种连续弹性支承无限长梁模型图。

(2)轮轨有限元模型

在保证分析精度并避免计算量过大的前提下，通过三维软件SolidWorks分别对轮对和钢轨按照实际尺寸1：1进行建模，然后导入ABAQUS软件进行轮轨装配，建立了轨道总长度为50m的轮轨接触有限元模型。由于模型比较大，如果对模型进行整体网格细化则对计算机性能要求更高，因此本模型中仅对轮轨接触部分细化网格。本模型全部采用C3D8I六面体单元划分网格，共计578752个节点和498648个单元。材料建模参数见表1。

由于轮轨接触的复杂行，本模型简化了载荷加载方式和边界约束条件以利于分析。轮对两端添加的载荷通过分布耦合方式施加在车轴两端轴颈上，轮对作用于轨道上的横向力和垂向力则通过轨道支撑力来平衡。轮对的边界约束条件施加在车轴两端的中心位置，钢轨的两端面添加hinged-hinged约束。此外，本模型中不单独考虑道床、地基等结构，而是将轨下结构(扣件系统、道床板与地基)看作整体，与钢轨底面的连接采用弹簧和阻尼单元模拟，直接在扣件与钢轨接触面见加上接地弹簧，通过改变弹簧的刚度和阻尼来模拟实际轨下支承结构。添加初始支承刚度和阻尼后的轮轨接触模型如图5所示。

(3)车辆-轨道耦合动力学模型

车辆模型以广州地铁A型车结构为建模原型，共有两个悬挂减振系统，一节车辆由车体、前后转向架以及四个轮对组成，如图6所示。为避免模型过大，仅考虑一节车辆进行建模，不考虑列车编组的影响。建模时，忽略车体、转向架、轮对的弹性形变，视它们为刚体。一、二系悬挂均通过线性弹簧阻尼单元模拟，忽略非线性特性。此外，考虑轮对沉浮、横摆、侧滚、摇头4个方向的自由度，对于车体和转向架，则考虑沉浮、横摆、侧滚、摇头、点头5个方向自由度。

为准确描述曲线轨道特性，模型中采用柔性轨道模型。钢轨模型采用考虑剪切变形的Timoshenko梁，其能较好地体现高频振动的影响，适用于研究钢轨波磨问题。扣件部分采用Bushing力员进行模拟。轨下结构部分(道床板及地基)则通过有限元软件建立三维实体单元模型再导入UM前处理中，作为动力学模型的一个子系统。道床板与钢轨的连接均通过力元模拟，考虑横/纵/垂3个方向上的刚度和阻尼。本章所建柔性轨道结构全场500m，由40块道床板组成(12.5m×40)。本模型中的轨道不平顺取广州地铁3号线实测不平顺数据，进行动力学计算时采用Kik-Piotrowski接触模型进行轮轨接触法向仿真计算，该模型计算速度快、可靠性高。对于轮轨切向接触计算，基于FASTSIM算法导出轮轨切向应力及蠕滑力的计算。建模参数见表2。

进一步地，上述步骤30中的分析小半径曲线内轨波磨波长和波深发展特性具体包括：

针对不同曲线半径的线路条件，首先利用联合仿真模型对曲线内轨波磨波长估算曲线进行计算，然后基于小半径曲线的钢轨磨耗仿真数据对n次列车通过后的钢轨磨耗进行估算，计算轨面波磨波深的同时进行时频分析提取时频特征，分析上不同曲线半径工况下的波磨波长和波深的发展特性。

(1)小半径曲线内轨波磨波长发展特性分析

图7所示为不同半径的小半径曲线内轨圆曲线中点位置的垂向及横向频响特性曲线。图中显示半径250m的小半径曲线内轨主要固有振动频率为150Hz、200Hz,半径300m的小半径曲线内轨以100Hz横向振动、190Hz垂向振动为主要结构固有振动，半径400m的小半径曲线内轨固有振动频率偏低，分别是90Hz及160Hz。随着曲线半径的增加，曲线内轨的固有振动频率趋于低频，图中显示半径1000m的曲线内轨固有振动频率最低，分别为60Hz和140Hz。

将上述不同曲线半径的钢轨振动频响数据代入小半径曲线钢轨波磨增长函数模型中得到了图8所示的不同小半径曲线内轨的波磨增长函数曲线。从图中可以看出与图7不同半径曲线内轨振动频响曲线不同的是半径越小的曲线其内轨初始不平顺发展成波磨的趋势越大。相同的运营工况下，与半径400m以下的小半径曲线内轨相比，半径高于400m曲线内轨上形成波磨病害较慢。

此外，图中不同半径曲线内轨的波磨增长函数曲线表明曲线半径大小对曲线内轨上波磨的波长有一定影响，半径越小的小半径曲线上对应了波长越短的钢轨波磨。例如图中半径250m曲线内轨上波磨病害的频率为202Hz，而半径300m、400m以及半径1000m曲线其内轨波磨的主频率分别为184Hz、168Hz、92Hz。本工况中设置列车运行速度为50km/h，则上述四条曲线内轨波磨病害的波长分别为：

(2)小半径曲线内轨波磨波深发展特性分析

为验证曲线上次列车通过后内轨的磨耗状态是否符合上述波磨增长函数曲线，基于磨耗理论模型分别对半径250m、300m、400m、1000m的四条曲线内轨的磨耗量进行了计算，结果如图9所示。

从图9中可以看出半径越小的曲线内轨磨耗速度越高，例如半径250m的曲线内轨在通车1万列之后的磨耗量高达0.117mm，而同样的累计通车后，半径1000m的曲线内轨磨耗量仅为0.00632mm。这是因为在中等半径和小半径曲线地段，轮轨间蠕滑力基本达到饱和状态即轮轨间纵、横两个方向蠕滑力合力大小等于库仑摩擦力，而大半径曲线地段轮轨间表现为蠕滑，其纵、横两个方向蠕滑力合力大小未超过库仑摩擦力。按照Achard材料摩擦磨损模型，轮轨间磨损量的大小正比于轮轨间蠕滑所做摩擦功，因此半径越小的曲线内轨上波磨发展速度也越快。

为了进一步研究不同小半径曲线上钢轨磨耗的频谱特性，对上述磨耗数据进行了1/3倍频处理，得到图10所示的磨耗1/3倍频曲线。从图10中可以看出半径250m及半径300m的两个小半径曲线上波磨发展趋势较为接近，均有3个波磨主要波长，分别是71mm、138mm、207mm和74mm、142mm、211mm，对应的通过频率分别是196Hz、100Hz、67Hz和188Hz、98Hz、65Hz；半径400m和半径1000m的曲线内轨波磨均出现了两个主要波长，分别是94mm、183mm和137mm、284mm，对应的车辆通过频率分别是147Hz、75Hz和101Hz、53Hz。以上4条不同半径曲线内轨出现的高频短波波长(71mm、74mm、94mm、137mm)与上述波磨增长模型的计算结果比较接近，因此可以认为磨耗计算结果验证了波磨增长模型的预测结果。

进一步地，上述步骤40中的提出小半径曲线内轨波磨产生机理包括：

考虑到本发明采用的离散支撑柔性轨道模型(考虑钢轨弹性和重力，扣件刚度和阻尼)，扣件间距0.6m，车辆以50km/h速度通过时引起的通过激励频率为23Hz。从不同半径曲线的磨耗频谱曲线中可以发现，小半径曲线钢轨主波长波磨的通过频率存在倍频现象。例如上述半径250m-1000m四条曲线的通过频率196Hz、188Hz、147Hz以及101Hz分别是轨道结构离散支承激励频率的9倍频、8倍频、6倍频和4倍频。

结合图7可以发现，以上这4种超谐振动频率接近对应半径曲线内轨的固有振动频率(202Hz、184Hz、168Hz、60Hz)，从而导致了图10波磨增长曲线中所示的对应波长波磨的形成。这就说明轨道结构的不连续支承特性使得车辆通过曲线内轨时引起了轨道的超谐共振，这种共振频率使得轨面原始不平顺中相应的频率成分不断加剧，进而使得轨面上的不平顺得以扩展形成了对应波长的波浪形磨耗。为了进一步探索钢轨波磨产生的机理，图11给出了不同小半径曲线轮轨系统对应上述超谐振动频率的振动模态分析结果。

图11中所示分别是上述4种不同半径曲线内轨上对应磨耗主振频率的振动模态。以子图(a)半径250m的曲线内轨振动模态为例进行说明。子图(a)展示了250m小半径曲线内轨在60Hz、100Hz及200Hz频率上的振动模态，此频率接近n次列车通过后曲线内轨磨耗形成的波磨主波长对应的通过频率。从图中可以看出，针对本模型中选择的轨道长度，60Hz时，轨道发生垂向一阶弯曲振动，随着固有频率的增大，钢轨垂向弯曲的波数增多，波长减小。钢轨200Hz的振动振型呈现为垂向5阶弯曲振动，并伴有横向扭转振动。根据上文提到的，钢轨200Hz的固有频率与曲线内轨上71mm主波长波磨的实际通过频率196Hz相接近，同时也接近曲线轨道离散支承引起的车辆通过激励频率9倍频207Hz。可见，200Hz频率下曲线内轨的垂向5阶弯扭振动与钢轨上74mm主波长波磨的产生有密切关系。同理推断，半径300m曲线内轨196Hz的垂向4阶弯扭振动导致了钢轨轨面74mm主波长波磨的产生；半径400m曲线内轨148Hz与曲线内轨94mm主波长波磨的实际通过频率147Hz非常接近，即曲线内轨148Hz的垂向4阶弯曲振动对轨面上94mm主波长波磨的产生影响甚大；而随着曲线半径的增大，曲线内轨的固有振动频率越来越低，且同样的n次列车通过后，轨面上的不平顺不易形成波磨。通过分析可知，半径1000m曲线内轨上产生的长波波磨(主波长284mm)与该曲线内轨50Hz的横向一阶弯曲振动有关。

综上所述，本发明实施例提出的小半径曲线内轨波磨波长和波深估算模型，并借助有限元、车辆-轨道耦合动力学仿真及MATLAB数值计算程序的联合仿真估算了n次列车通过后轨面原始不平顺继续发展成为钢轨波磨的趋势及主波长及轨面磨耗波深，并通过轨面波磨的发展特性分析提出了小半径曲线内轨波磨的产生及发展机理，即轨道结构超谐共振导致波磨产生的理论。该发明不仅能对曲线内轨波磨的产生和发展趋势进行预判，为维修部门提供有针对性的钢轨打磨或维保建议，从而降低时间、经济成本，而且能得到影响曲线内轨波磨产生的关键因素，通过致因分析来进行相应的设计及运行调整，抑制或减缓曲线内轨波磨的产生或发展，从而提升曲线车辆运行的寿命及安全性。因此，该发明具有一定的经济效益和社会效益，可为轨道养护部门提供运维保障的决策支持。

本领域普通技术人员可以理解：附图只是一个实施例的示意图，附图中的模块或流程并不一定是实施本发明所必须的。

通过以上的实施方式的描述可知，本领域的技术人员可以清楚地了解到本发明可借助软件加必需的通用硬件平台的方式来实现。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品可以存储在存储介质中，如ROM/RAM、磁碟、光盘等，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本发明各个实施例或者实施例的某些部分所述的方法。

本说明书中的各个实施例均采用递进的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于装置或系统实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述得比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。以上所描述的装置及系统实施例仅仅是示意性的，其中所述作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部模块来实现本实施例方案的目的。本领域普通技术人员在不付出创造性劳动的情况下，即可以理解并实施。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (9)

1.一种钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，包括：

建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长和波深估算模型；

基于有限元及动力学仿真确定所述波长和波深估算模型的参数；

基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真进行小半径曲线钢轨振动频响特性计算、小半径曲线钢轨波磨波长估算曲线计算和钢轨磨耗计算。

2.根据权利要求1所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长和波深估算模型，包括：

基于轨道结构振动频率响应特性及车辆-轨道耦合动力学理论推导得到钢轨小半径曲线内轨的波磨波长预测模型，用以评估n次列车通过后轨面原始不平顺继续发展成为钢轨波磨的趋势及波磨主波长；同时引入基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型，结合小半径曲线线路的曲线轨道半径、扣件刚度以及扣件间距特性提出小半径曲线内轨磨耗模型，对n次列车通过后的钢轨波磨的波深进行估算。

3.根据权利要求2所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波长估算模型，具体包括：

假设线路原有不平顺的波长为L_k，频率为f_k，不平顺幅值为Δz_k，则经过n列车之后的轨面波磨波长预测函数表示为：

式中，k为材料磨耗系数；ρ为材料密度；b为修正的轮轨接触椭圆长半轴；N为轮轨接触法向力；d表示轮轨间弹性变形量；T_y,T_y,0分别表示横向蠕滑力及其实部部分；c为修正的接触椭圆系数；C_y,C_y,0分别表示横向蠕滑率及其实部部分；v为列车通过速度；f为轮对滚动频率；r_i为各车轮的瞬时滚动半径，i＝1,2；F_z,F_y分别是轨道结构的垂向及横向振动位移响应特性；

(1)曲线轨道钢轨振动频率响应特性

在分析曲线轨道钢轨的动力响应特性时，将钢轨简化为曲线梁，将扣件简化为弹簧阻尼支点单元，此时轨道简化为等间距离散点支承的钢轨模型，在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸，曲线梁坐标系按照右手螺旋法则规定；

自由振动下，忽略高阶微量，曲线梁的径向、垂向及扭转振动微分方程为：

其中，u_x,u_y,u_z,

分别是t时刻点z在x,y,z方向上的位移及绕z轴的扭转角；m为钢轨单位长度内的参振质量；ρ为钢轨材料密度；A为截面面积；I_d为截面扭转常数；I₀为截面极惯性矩；E,G分别为弹性模量和剪切模量；I_x,I_y分别为绕x,y轴的截面惯性矩；I_w为钢轨截面扭转翘曲常数；R为小半径曲线半径；M₀车辆走行部单轮簧下质量；

在钢轨垂向上和径向各施加一个单位谐振力e^jwt，w为激振圆频率，则钢轨的径向和垂向振动微分方程写成：

钢轨振动得常微分方程组，为

通过解常微分方程(7)可得小半径曲线内轨上的径向(横向)位移响应柔度，即

其中，l是两股钢轨轨顶中心距之半；h,s分别是小半径曲线外轨实设超高和轨底坡度；

且

同理，通过解常微分方程(8)可得小半径曲线内轨上的垂向位移响应柔度，即

其中，α,β分别是曲线梁坐标及力学模型依据钢轨垂向振动微分方程(10)的特征方程，经过求解得到的共轭复数特征根的实部和虚部，且有

α,β＝f(R,w,k_r,c_r,EI_x) (11)

(2)曲线轨道轮轨接触参数

车辆通过小半径曲线时第一轮对的受力情况为：T_yL,T_yR分别是小半径曲线上内外轨上所受横向蠕滑力；T_L,T_R分别是小半径曲线上内外轨上所受纵向蠕滑力；φ_w,

分别是轮对的摇头角和摇头角速度；y_w,

分别是轮对的横移量和横移速度；F_sVL,F_sVR分别是一系悬挂左右垂向力；F_sLL,F_sLR分别是一系悬挂左右横向力；N,N_R分别是内外轨上的轮轨接触法向力；δ_L,δ_R分别是内外轨上的轮轨接触角；F_rVL,F_rVR分别是轨下支承的左右垂向力；F_rLL,F_rLR分别是轨下支承的左右横向力；φ_sew是小半径曲线的外轨超高角，

l是两股钢轨轨顶中心距之半；

针对小半径曲线内轨上的轮轨接触关系，钢轨在横向荷载或偏心垂直荷载作用下，将产生水平位移和扭转，扭转变形引起水平位移，令扭转角为

得到小半径曲线内轨轮轨接触法向力如式(12)所示：

其中

h_c——车辆重心距轨面的高度；

h——小半径曲线外轨实设超高；

v——运行车速；

R——小半径圆曲线半径；

m_c——车辆的参振质量；

m_b——构架参振质量；

m_w——轮对的参振质量；

i＝1,2——小半径曲线内外轨。

G——轮轨接触常数；

η_rz——钢轨垂向不平顺；

δ_L——轮轨接触角；

Δu_z——轨道的垂向形变。

假设车辆稳态通过小半径曲线，且左右车轮的横向蠕滑力达到饱和状态，即蠕滑力等于摩擦因数与法向力的乘积：

即

T_y,0＝μNcosη₀·cosφ_w (13)

其中

μ——轮轨间摩擦系数；

η₀——轮轨接触冲角；

φ_w——轮对摇头角。

考虑到小半径曲线超高引起的钢轨横向振动影响，横向蠕滑率的计算为：

其中

y_w——轮轨横向振动位移量；

y_r——小半径曲线内轨横向振动位移量；

r₀——轮对名义滚动半径；

η_ry——钢轨横向不平顺。

将上述曲线轨道钢轨振动频率响应特性及曲线轮轨接触参数代入计算可得小半径曲线内轨的波磨波长估算模型。

4.根据权利要求3所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的建立轨道小半径曲线内轨波磨的波深估算模型，具体包括：

采用基于摩擦功理论的摩擦磨损计算模型计算小半径曲线上钢轨的表面磨耗量，根据Archard材料磨耗模型可知，车轮i驶过线路x位置处后造成此处产生的钢轨磨耗质量Δm_i为：

Δm_i(x)＝kW_i(x) (15)

式中，k为材料磨耗系数；W_i(x)为车轮i驶过线路x位置处对钢轨所做的摩擦功；

设在时间步长Δt内，轮对i与钢轨间的摩擦功率P_i(x)保持不变，则有：

W_i(x)＝P_i(x)·Δt (16)

考虑自旋效应对磨耗的影响，则

P_i(x)＝T_x·C_x+T_y·C_y+M_z·ξ_z (17)

式中，T_x,T_y分别为纵向、横向蠕滑力；M_z为轮轨间绕z轴的力矩；C_x,C_y,ξ_z分别为纵向、横向、自旋蠕滑率；

将式(16)、(17)代入式(15)，并设置计算步长时计算得到该时刻对应位置的钢轨表面磨耗深度d_i(x)，即

其中，A为车轮i在x位置处与钢轨的接触面积。

因此，一节车厢单次驶过钢轨位置x处所造成的钢轨表面磨耗深度D(x)为：

将上述小半径曲线轮轨接触参数代入式(19)即得到小半径曲线内轨波磨波深的估算模型。

5.根据权利要求4所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的基于有限元及动力学仿真确定所述波长和波深估算模型的参数，包括：

基于ABQUS有限元软件搭建轮轨接触系统有限元模型，结合有限元频响分析、模态分析，研究小半径曲线轨道系统固有振动对钢轨波磨发展的影响；

借助UM动力学软件搭建车辆-轨道耦合动力学仿真模型，根据该车辆-轨道耦合动力学仿真模型得到轨道动力响应指标在时程上的分布，基于摩擦功理论的摩擦磨损计算理论模型借助车辆-轨道耦合动力学仿真模型，提取车辆过曲线时引起轮轨间的纵向、横向及自旋蠕滑力参数和与之对应的横向、纵向、自旋蠕滑率参数进行磨耗深度的计算。

6.根据权利要求5所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的基于ABQUS有限元软件搭建轮轨接触系统有限元模型，包括：

通过三维软件SolidWorks分别对轮对和钢轨按照实际尺寸1：1进行建模，导入ABAQUS软件进行轮轨装配，建立了轨道总长度为50m的轮轨接触有限元模型，该模型采用C3D8I六面体单元划分网格，共计578752个节点和498648个单元；

在所述轮轨接触有限元模型中，轮对两端添加的载荷通过分布耦合方式施加在车轴两端轴颈上，轮对作用于轨道上的横向力和垂向力则通过轨道支撑力来平衡，轮对的边界约束条件施加在车轴两端的中心位置，钢轨的两端面添加hinged-hinged约束。

7.根据权利要求6所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的借助UM动力学软件搭建车辆-轨道耦合动力学仿真模型，包括：

所述车辆-轨道耦合动力学模型包括两个悬挂减振系统，一节车辆由车体、前后转向架以及四个轮对组成，建模时，忽略车体、转向架、轮对的弹性形变，一、二系悬挂均通过线性弹簧阻尼单元模拟，考虑轮对沉浮、横摆、侧滚、摇头4个方向的自由度，对于车体和转向架，则考虑沉浮、横摆、侧滚、摇头、点头5个方向自由度；

所述车辆-轨道耦合动力学模型采用柔性轨道模型，采用考虑剪切变形的Timoshenko梁，扣件部分采用Bushing力员进行模拟，轨下结构部分通过有限元软件建立三维实体单元模型再导入UM前处理中，道床板与钢轨的连接通过力元模拟，考虑横/纵/垂3个方向上的刚度和阻尼。

8.根据权利要求1至7任一项所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真进行小半径曲线钢轨振动频响特性计算、小半径曲线钢轨波磨波长估算曲线计算和钢轨磨耗计算，包括：

针对不同曲线半径的线路条件，基于所述波长和波深估算模型借助ABQUS有限元软件、UM软件及MATLAB数值计算程序的联合仿真对曲线内轨波磨波长估算曲线进行计算，得到小半径曲线内轨圆曲线中点位置的垂向及横向频响特性曲线，将不同曲线半径的钢轨振动频响数据代入小半径曲线钢轨波磨增长函数模型中得到不同小半径曲线内轨的波磨增长函数曲线；

基于小半径曲线的钢轨磨耗仿真数据对n次列车通过后的钢轨磨耗进行估算，计算轨面波磨波深的同时进行时频分析提取时频特征，分析上不同曲线半径工况下的波磨波长和波深的发展特性。

9.根据权利要求1所述的钢轨小半径曲线内轨的波磨波长和波深的估算方法，其特征在于，所述的方法还包括：

通过对不同半径的曲线内轨波磨发展特性的研究，分别分析车辆通过激励、轨道结构固有振动模态以及波磨主振频率，提出轨道结构超谐共振导致波磨产生的波磨产生机理。

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