CN111400898B - 基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法及设备 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，包括；S1、通过有效质量法对振型数进行预估；S2、确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；S3、将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；S4、测出在振动载荷情况下，平面阵列天线阵面上传感器布置点处的应变；S5、获取平面阵列天线阵面上天线单元各测点的应变模态振型和位移模态振型；S6、重构出天线单元的位移；本发明还公开了基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测设备。本发明利用了应变测量理论，通过采集天线单元少数点的振动变形信息来反映整个平面阵列天线阵面的模型特征，重构出天线单元的位移，提高了重构精度。
Description
技术领域
本发明涉及天线技术领域，具体涉及基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测 方法及设备。
背景技术
随着电子科学技术的发展，天线逐渐成为了不可或缺的电子产品，尤其是阵列天线，已经成为近几年天线研究的主要课题。但是，阵列天线由于其工作环境的特殊性， 会经常受到外部振动载荷的影响，因而其电性能就会受损，难以实现预期的工作需求。 因此研究振动对阵列天线的影响就显得十分重要。
正如以上所述，Harmen研究了振动对共形天线电性能的影响，但在其研究中并未对 天线对象进行随机振动分析求得天线的结构变形，而是通过对结构的模态分析确定了天 线的固有振型，振型是指弹性体或弹性系统自身固有的振动形式；用天线的第一阶固有振型来近似该天线的结构变形,这种方法很难反映出天线结构性能变化的真实情况。
宋立伟研究了随机振动对天线结构变形的影响；根据天线位移阵面响应均值和方差 来构造天线面板变形的一组随机样本，但由于采用的是近似的等质量实体模型，只是与实际研究对象大致相似，在细节上并没有过多处理，难以反映出天线的实际变形。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于提供基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预 测方法及设备，以解决利用随机振动对天线结构变形影响研究中，难以反映出天线实际变形的问题。
本发明通过以下技术手段实现解决上述技术问题的：
基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，包括以下步骤：
S1、通过有效质量法对振型数进行预估；
S2、确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；
S3、将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；
S4、使用测量仪，测出在振动载荷情况下，平面阵列天线阵面上传感器布置点处的应变，并将数据加以收集整理；
S5、根据收集的数据，获取平面阵列天线阵面上天线单元各测点的应变模态振型和 位移模态振型；
S6、根据应变模态振型和位移模态振型，确定天线单元各测点的位置，重构出天线单元的位移，预测出阵列天线振动变形。
通过有效质量法预估传感器数量，然后在平面阵列天线阵面上布置传感器，收集应 变数据进行分析，确定天线单元位置，重构出天线单元的位移；利用了应变测量理论，通过采集天线单元少数点的振动变形信息来反映整个平面阵列天线阵面的模型特征，重构出天线单元的位移，提高了重构精度。
作为本发明进一步的方案：所述步骤S1包括；
获取多自由度体系在地面运动作用下的微分方程，如下式：
其中，M表示质量，C表示阻尼，K表示刚度，I表示惯性矩，表示加速度，/>表示速度，x表示位移，/>实际地面运动加速度。
公式(1)实际为一相互偶联的方程组，将公式(1)的位移x作为位移向量x，再 按照xj＝{φ}iqi进行主坐标变换，其中{φ}j是第j阶模态的位移坐标转换矩阵，qj是第j 阶模态质点相对于地面的位移；
再利用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性将公式(1)转化为公式(2)，公式(1)转换为公式(2)的推导过程用到了振动学中的振型分解法，振型分解法为现 有技术，此处不再详细进行描述。
公式(2)为第j阶的模态方程，如下式：
其中，a0、α1代表地震作用下不同时刻对应的地震影响系数，qj表示第j阶模态 质点相对于地面的位移，表示第j阶模态质点相对于地面的速度，/>表示为第j阶 模态质点相对于地面的加速度，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频 率；γj为第j阶振型的振型参与系数，/>并且令/>代入到公 式(2)中；得到：
其中，ξj为对应的阻尼比；
利用反应谱对公式(3)计算处理可得：
其中，代表第j阶模态质点相对于地面的最大加速度，qj·max为第j阶模态 质点相对于地面的最大位移，Tj为第j阶模态的特征周期，Saj为第j阶模态的绝对加速 度最大值。
反应谱是在给定的地震加速度作用期间内，单质点体系的最大位移反应、速度反应 和加速度反应随质点自振周期变化的曲线，用作计算在地震作用下结构的内力和变形；其计算方法已为现有技术，此处不再详细介绍
由牛顿力学F＝ma，可知在第j阶振型在第i层板的耦合得到剪力为根据反应谱理论中Tj＝γjXji,因此由公式(4)可得，质点在第j阶振型中第i层板的加 速度然后将/>代入/>中，如下式：
其中，为质点在第j阶振型中第i层板的加速度，Mi为第i层板的质量，Xji为第 i层板的位移。
故第j阶振型所产生的基底剪力为
第j阶振型的有效质量为E Mj，所以转变为用E Mj来表征的公式：其中，E为该材料的弹性模量；
E Mj的计算公式为：
其中，{X}j为第j阶模态质点的位移模态矩阵；
获取第j阶振型所产生的最大基底剪力Vj，然后得到所有振型最大基底剪力Vj绝对值的组合V，下式：
其中，n为所选取的总的模态阶数。
取参与计算的振型数为m，m为正整数，m≤n，则1至m阶振型的基底总剪力 为：
由于在进行谱分析时，需要输入地震加速度谱，而模态分析时只需要施加约束即可，不需要施加载荷。因此需要假设模态分析时不同阶变形都是在相同的地震加速度谱 作用下所得到的。即假定各阶振型的加速度谱相同，同时E Mj为第j阶层有效质量， 所以所有阶振型有效质量为再获取得到有效质量的截断标准/>其中：
通过公式(9)可知，当数值上大于等于阈值，此时即可推导出m的数值，即可 预估出振型数。
作为本发明进一步的方案：所述步骤S1还包括；
通过振型分解法获取振型的地震作用力为:
F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj (10)
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,Xj为第j阶模态 位移，γj为第j阶振型的振型参与系数。
通过振型分解法可知，当F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj，此时振型对应的结构位移为D， 如下式：
其中，振型分解法为现有技术，此处不再详细进行描述。
根据能量守恒原理，结构的变形能等于外力做的功，在地震作用下，获取各 阶振型总的变形能：
获取m个截取的振型对应的变形能，m个振型对应的变形能，公式如下：
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,M为质量，Xj为第j 阶模态位移，γi为第j阶振型的振型参与系数，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的 位移，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率，E为该材料的弹性模 量。
获取以能量为标准的振型截断以振型能量/>为依据，根据反应谱的概念可任意取αj＝K/Tj，将αj＝K/Tj代入到公式(12)与公式(13)中，计算/>(其中，K为一常数)，如下式：
通过公式(14)可知，当数值上大于等于阈值，此时即可推导出m的数值， 即可预估出振型数。
作为本发明进一步的方案：所述传感器为应变传感器。
作为本发明进一步的方案：所述测量仪为应变测量仪。
作为本发明进一步的方案：所述步骤S5包括；
S51、阵列天线结构可以等效为一个多自由度线性系统，在机载环境下，该系统的动力微分方程可以描述为：
其中，M1为质量矩阵；C1为阻尼矩阵；K1为刚度矩阵；F1为荷载力向量；多 自由度线性系统的加速度、/>多自由度线性系统的速度、x(t)为多自由度线性系统的 位移向量，t代表时间；
将公式(15)转化为频域方程时，引入频率ω，令x(t)＝Xejωt、F1(t)＝F2ejωt，其中，e为单位向量，J为第j阶模态振型，ω为系统的固有频率，X为位移响应，F为力响 应；
将公式转化为频域方程(16)；如下式：
其中，mr为r阶模态质量，kr为r阶模态刚度、cr为r阶模态阻尼矩阵，且mr、kr、 cr均为对角阵；
由公式(16)得
将公式(16)转化为位移响应的表达式：引入变换方程其中/>为位移振型矩阵，q(t)为广义坐标；变换方程中x(t)转化为频域方程后记为位移响应X，q(t) 为广义坐标，转化为频域方程后记为q，即x(t)＝X、q(t)＝q，所以将x(t)＝X、q(t)＝q代入/>中，得位移响应的表达式：
令(kr-ω2mr+Jωcr)-1＝Yr，则公式(17)简化得到：
在三维结构中，位移向量为x＝(u,v,w)T，其中u、v、w代表分别为x、y、z三个 方向的位移；
对于公式(18)中，即则公式(18)转化为：
根据弹性力学原理，位移与应变之间的关系为:
式中，εx、εy、εz分别为x、y、z方向的应变。
将公式(20)代入到(19)中，得到：
获取应变补偿传递函数矩阵Hε，当公式(21)在z(竖直)方向激励时，x(水平) 方向的应变补偿传递函数矩阵Hε为:
式中，ψx为应变模态振型；为位移模态振型，且移模态振型/>可以通过有限元软件中直接获取；
再获取在j点激励引起i点响应的应变频响函数为；
公式(23)展开后如下：
其中，为j点的r阶位移模态振型，ψx1r,ψx2r,…,ψxnr代表i点的r阶应 变模态振型，i为正整数。
对于同一阶应变模态，模态质量mr、模态刚度kr、模态阻尼cr和位移模态均为 常数。因此可以定义一个应变模态振型系数αε使得
则公式(24)对应的第r阶应变频响函数为：
应变模态振型是被测结构上各测点与选定参考点间两个振幅的比值，与各测点振动 大小无关，因此公式(26)中，应变模态振型仅与各测点应变传递函数|Hε|的幅值有关，而与振型系数αε无关；在进行应变模态实验时，仅需获取各测点的|Hε|的幅值，便可得 到应变模态振型。
作为本发明进一步的方案：所述步骤S6包括；
S61、获取各测点的位移；
S62、根据模态转换法，重构出天线单元的位移。
作为本发明进一步的方案：所述步骤S61包括；所述各测点的位移v：
其中，φ为模态矩阵，q为广义模态坐标，qr为第r阶模态的广义模态坐标。
作为本发明进一步的方案：
根据模态转换法将公示(28)转化为：
其中，ε是实验所得的应变测量值，可通过步骤S5得到，且模态转换法为现有技术，此处不再详细进行描述。
公式(29)的最小二乘解为：
其中，{q}m*1为m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标；
通过公式(30)式可以解出m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标{q}m*1，(在进行模态分析时，由于在建模时存在局部坐标系和全局坐标系，因此需对其进行统 一，从而引入广义的模态坐标，这样算出来的位移会更加准确)；将(30)式代入(28) 式后就可得到所求各测点的位移，如下式：
令则公式(31)可以简化为：
{v}n*1＝[DST]n*m{ε}n*1 (32)
其中，[DST]n*m矩阵称为应变-位移转换矩阵，得到所求各测点的位移，从而确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
作为本发明进一步的方案：基于所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预 测方法的预测设备；包括：
预估模块，用于通过有效质量法对振型数进行预估；
确定模块，用于确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；
布置模块；用于将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；
测量模块，用于使用测量仪，测出在振动载荷下阵面上传感器布置点处的应变，并将数据加以收集整理；
获取模块，用于获取平面阵列天线阵面的应变模态振型和位移模态振型；
重构模块，用于确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
本发明的优点在于：
1.由于天线在不同工作环境条件下会有不同的部位发生形变，本发明通过有效质量法预估传感器数量，然后在平面阵列天线阵面上布置传感器，收集应变数据进行分析，确定天线单元位置，重构出天线单元的位移；利用了应变测量理论，通过采集天线单元 少数点的振动变形信息来反映整个平面阵列天线阵面的模型特征，重构出天线单元的位移，提高了重构精度，从而更好地预测出天线单元的实际变形。
2.由于某些天线模型比较复杂，天线建模比较困难，且建模计算单元位移需要更长的时间，本发明通过模态法对采集到的应变进行处理，不需要进行软件仿真就可以快 速预测出平面阵列天线阵面的变形信息，也使该方法更实用于工程实际；另外，通过该 方法重构出的平面阵列天线阵面变形信息可以为后续分析补偿天线电性能奠定基础，使天线服役过程中有更高的可靠性和稳定性。
附图说明
图1为本发明实施例1的系统方框图。
图2为本发明实施例1的结构示意图。
图3是本发明仿真实验中传感器布置示意图。
图4是本发明仿真实验中方案1施加载荷的仿真验证图。
图5是本发明仿真实验中方案2施加载荷的仿真验证图。
图6是本发明仿真实验中方案3施加载荷的仿真验证图。
图7是本发明仿真实验中方案1实验验证和仿真对比图。
图8是本发明仿真实验中方案2实验验证和仿真对比图。
图9是本发明仿真实验中方案3实验验证和仿真对比图。
图中，301-预估模块，302-确定模块，303-布置模块，304-测量模块，305-获取模块， 306-重构模块。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明 一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在 没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1
如图1，基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，包括以下步骤：
S1、通过有效质量法对振型数进行预估，包括：
S11、获取多自由度体系在地面运动作用下的微分方程，如下式：
其中，M表示质量，C表示阻尼，K表示刚度，I表示惯性矩，表示加速度，/>表示速度，x表示位移，/>实际地面运动加速度。
公式(1)实际为一相互偶联的方程组，将公式(1)的位移x作为位移向量x，再 按照xj＝{φ}iqi进行主坐标变换，其中{φ}j是第j阶模态的位移坐标转换矩阵，qj是第j 阶模态质点相对于地面的位移；
再利用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性将公式(1)转化为公式(2)，公式(1)转换为公式(2)的推导过程用到了振动学中的振型分解法，振型分解法为现 有技术，此处不再详细进行描述。
公式(2)为第j阶的模态方程，如下式：
其中，a0、α1代表地震作用下不同时刻对应的地震影响系数，qj表示第j阶模态 质点相对于地面的位移，表示第j阶模态质点相对于地面的速度，/>表示为第j阶 模态质点相对于地面的加速度，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频 率；γj为第j阶振型的振型参与系数，/>其中，Xj为第j模态位移，I为 地面运动影响向量，M表示质量；并且令/>代入到公式(2)中；得到：
其中，ξj为对应的阻尼比；
利用反应谱对公式(3)计算处理可得：
其中，代表第j阶模态质点相对于地面的最大加速度，qj·max为第j阶模态 质点相对于地面的最大位移，Tj为第j阶模态的特征周期，Saj为第j阶模态的绝对加速 度最大值，Saj(Tj)代表Tj的第j阶模态的绝对加速度最大值。
反应谱是在给定的地震加速度作用期间内，单质点体系的最大位移反应、速度反应 和加速度反应随质点自振周期变化的曲线，用作计算在地震作用下结构的内力和变形；其计算方法已为现有技术，此处不再详细介绍。
由牛顿力学定理，可知在第j阶振型在第i层板的耦合得到剪力为根据反应谱理论中Tj＝γjXji,因此由公式(4)可得，质点在第j阶振型中第i层板的加速度然后将/>代入/>中，如下式：
其中，为质点在第j阶振型中第i层板的加速度，Mi为第i层板的质量，Xji为第 i层板的位移，i为正整数。
故第j阶振型所产生的基底剪力为
第j阶振型的有效质量为E Mj，所以转变为用E Mj来表征的公式：其中，E为该材料的弹性模量，Mj第j层板的质量；
E Mj的计算公式为：
其中，{X}j为第j阶模态质点的位移模态矩阵；
获取第j阶振型所产生的最大基底剪力Vj，然后得到所有振型最大基底剪力Vj绝对值的组合V，下式：
其中，n为所选取的总的模态阶数。
取参与计算的振型数为m，m为正整数，m≤n，则1至m阶振型的基底总剪力 为：
由于在进行谱分析时，需要输入地震加速度谱，而模态分析时只需要施加约束即可，不需要施加载荷。因此需要假设模态分析时不同阶变形都是在相同的地震加速度谱 作用下所得到的。即假定各阶振型的加速度谱相同，同时E Mj为第j阶层有效质量， 所以所有阶振型有效质量为再获取得到有效质量的截断标准/>其中：
通过公式(9)可知，当数值上大于等于事先设定的阈值(所述阈值为某一精度，该精度可以根据实际工作需要确定，本实施例中优选为30)，此时即可推导出m的数值，即可预估出振型数。
S12、振型对结构影响的大小还可依据其能量大小而定，对振型的选取可以以振型能量大小为依据，下面将从能量的角度推导有效质量。
通过振型分解法获取振型的地震作用力为:
F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj (10)
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,Xj为第j阶模态 位移，γj为第j阶振型的振型参与系数。
通过振型分解法可知，当F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj，此时振型对应的结构位移为D， 如下式：
其中，Dj为第j阶振型的的位移，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振 动圆频率，振型分解法为现有技术，此处不再详细进行描述。
根据能量守恒原理，结构的变形能等于外力做的功，在地震作用下，获取各 阶振型总的变形能：
其中，Π为各阶振型总的变形能；{X}I代表第i阶模态质点的位移模态矩阵；
获取m个截取的振型对应的变形能，m个振型对应的变形能，公式如下：
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,M为质量，Xj为第j 阶模态位移，γi为第i阶振型的振型参与系数，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的 位移，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率，E为该材料的弹性模 量。
获取以能量为标准的振型截断以振型能量/>为依据，根据反应谱的概念可任意取αj＝K/Tj，将αj＝K/Tj代入到公式(12)与公式(13)中，计算/>(其中，K为一常数)，如下式：
通过公式(14)可知，当数值上大于等于事先设定的阈值(所述阈值为某一 精度，该精度可以根据实际工作需要确定，本实施例中优选为30)，此时即可推导出m的数值，即可预估出振型数。
通过在剪力和能量的角度推到了有效质量法是从总的地震力满足某一精度的角度 确定振型数，它是一个总体上的和的控制方法，因此，那些局部振动对应的振型的有效质量往往很小，有时人们经常将其滤掉，但当对关键薄弱部位单独进行分析时，其局部 振型的影响是不能忽略的。阵列天线结构相对较为简单，因此使用有效质量法来确定阵列天线在模态分析时的振型数是合理的正确的。
S2、确定传感器个数m，传感器个数m即等于振型数；
根据振型数等于布置传感器个数的思想，即可确定出应变采集实验所需的应变传感器个数。
S3、将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；且传感器为应变传感器；
S4、使用测量仪，测出在振动载荷情况下，平面阵列天线阵面上传感器布置点处的应变，并将数据加以收集整理；且所述测量仪为应变测量仪；
S5、根据收集的数据，获取平面阵列天线阵面的天线单元各测点的应变模态振型和位移模态振型，包括以下步骤；
S51、阵列天线结构可以等效为一个多自由度线性系统，在机载环境下，该系统的动力微分方程可以描述为：
其中，M1为质量矩阵；C1为阻尼矩阵；K1为刚度矩阵；F1为荷载力向量；多 自由度线性系统的加速度、/>多自由度线性系统的速度、x(t)为多自由度线性系统的 位移向量，t代表时间；
将公式(15)转化为频域方程时，引入固有频率ω，令x(t)＝Xejωt、F1(t)＝F2ejωt，其中，e为单位向量，J为第j阶模态振型，ω为系统的固有频率，X为位移响应，F为 力响应；
将公式转化为频域方程(16)；如下式：
其中，mr为r阶模态质量，kr为r阶模态刚度、cr为r阶模态阻尼矩阵，且mr、kr、cr均为对角阵；
由公式(16)得
将公式(16)转化为位移响应的表达式：引入变换方程其中/>为位移振型矩阵，q(t)为广义坐标；变换方程中x(t)转化为频域方程后记为位移响应X，q(t) 为广义坐标，转化为频域方程后记为q，即x(t)＝X、q(t)＝q，所以将x(t)＝X、q(t)＝q代入/>中，得位移响应的表达式：
令(kr-ω2mr+Jωcr)-1＝Yr，则公式(17)简化得到：
在三维结构中，位移向量为x＝(u,v,w)T，其中u、v、w代表分别为x、y、z三个 方向的位移；
对于公式(18)中，即则公式(18)转化为：
根据弹性力学原理，位移与应变之间的关系为:
式中，εx、εy、εz分别为x、y、z方向的应变。
将公式(20)代入到(19)中，得到：
获取应变补偿传递函数矩阵Hε，当公式(21)在z(竖直)方向激励时，x(水平) 方向的应变补偿传递函数矩阵Hε为:
式中，ψx为应变模态振型；为位移模态振型，且移模态振型/>可以通过有限元软件中直接获取；
再获取在j点激励引起i点响应的应变频响函数为；
公式(23)展开后如下：
其中，为j点的r阶位移模态振型，ψx1r,ψx2r,…,ψxnr代表i点的r阶应变模态振型，i为正整数。
对于同一阶应变模态，模态质量mr、模态刚度kr、模态阻尼cr和位移模态均为 常数。因此可以定义一个应变模态振型系数αε使得
则公式(24)对应的第r阶应变频响函数为：
应变模态振型是被测结构上各测点与选定参考点间两个振幅的比值，与各测点振动 大小无关，因此公式(26)中，应变模态振型仅与各测点应变传递函数|Hε|的幅值有关，而与振型系数αε无关；在进行应变模态实验时，仅需获取各测点的|Hε|的幅值，便可得 到应变模态振型，而|Hε|的幅值可以直接通过实现测得。
S6、确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移；对于一个确定的线性系统，通常采用模态叠加的方法来求解运动微分方程，模态叠加法常用于近似求解系统动力学响应。在模态空间下，模态的正交性是多自由度系统能够有解的前提，即：
其中，M1为质量矩阵；K1为刚度矩阵,为模态分析时第r阶模态的位移矩阵，/>为静力分析时的位移矩阵，r＝1,2…m；
重构出天线单元位移的具体步骤如下：
根据模态叠加原理，可得各测点的位移v：
其中，φ为模态矩阵，q为广义模态坐标，qr为第r阶模态的广义模态坐标；
在模态转换中，并不要求知道所有的模态，只需知道其中起主导作用的那几阶模态， 因为在工程中，只有一部分模态才能被激励。在精度满足要求的前提下，通过截断模态可以提高计算效率，在n自由度系统中，截取其中m阶模态，根据模态转换法可得下面 公式：
其中，ε是实验所得的应变测量值，可通过步骤S5得到，且模态转换法为现有技术，此处不再详细进行描述。
公式(29)的最小二乘解为：
其中，{q}m*1为m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标；
通过公式(30)式可以解出m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标{q}m*1，(在进行模态分析时，由于在建模时存在局部坐标系和全局坐标系，因此需对其进行统 一，从而引入广义的模态坐标，这样算出来的位移会更加准确)；将(30)式代入(28) 式后就可得到所求各测点的位移，如下式：
令则公式(31)可以简化为：
{v}n*1＝[DST]n*m{ε}n*1 (32)
其中，[DST]n*m矩阵称为应变-位移转换矩阵，得到所求各测点的位移，从而确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
工作原理：本发明通过有效质量法预估传感器数量，然后在平面阵列天线阵面上布 置传感器，收集应变数据进行分析，确定天线单元位置，重构出天线单元的位移。
实施例2
基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法的预测设备，包括；
预估模块，用于通过有效质量法对振型数进行预估；还包括；
获取多自由度体系在地面运动作用下的微分方程，如下式：
其中，M表示质量，C表示阻尼，K表示刚度，I表示惯性矩，表示加速度，/>表示速度，x表示位移，/>实际地面运动加速度。
公式(1)实际为一相互偶联的方程组，将公式(1)的位移x作为位移向量x，再 按照xj＝{φ}iqi进行主坐标变换，其中{φ}j是第j阶模态的位移坐标转换矩阵，qj是第j 阶模态质点相对于地面的位移；
再利用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性将公式(1)转化为公式(2)，公式(1)转换为公式(2)的推导过程用到了振动学中的振型分解法，振型分解法为现 有技术，此处不再详细进行描述。
公式(2)为第j阶的模态方程，如下式：
其中，a0、α1代表地震作用下不同时刻对应的地震影响系数，qj表示第j阶模态 质点相对于地面的位移，表示第j阶模态质点相对于地面的速度，/>表示为第j阶 模态质点相对于地面的加速度，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频 率；γj为第j阶振型的振型参与系数，/>并且令/>代入到公 式(2)中；得到：
其中，ξj为对应的阻尼比；
利用反应谱对公式(3)计算处理可得：
其中，代表第j阶模态质点相对于地面的最大加速度，qj·max为第j阶模态 质点相对于地面的最大位移，Tj为第j阶模态的特征周期，Saj为第j阶模态的绝对加速 度最大值。
在第j阶振型在第i层板的耦合得到剪力为根据反应谱理论中Tj＝γjXji, 因此由公式(4)可得，质点在第j阶振型中第i层板的加速度/>然后将代入/>中，得到公式(5)：
其中，为质点在第j阶振型中第i层板的加速度，Mi为第i层板的质量，Xji为第 i层板的位移，i为正整数。
故第j阶振型所产生的基底剪力为
第j阶振型的有效质量为E Mj，所以转变为用E Mj来表征的公式：其中，E为该材料的弹性模量；
E Mj的计算公式为：
其中，{X}j为第j阶模态质点的位移模态矩阵；
获取第j阶振型所产生的最大基底剪力Vj，然后得到所有振型最大基底剪力Vj绝对值的组合V，下式：
其中，n为所选取的总的模态阶数。
取参与计算的振型数为m，m为正整数，m≤n，则1至m阶振型的基底总剪力 为：
由于在进行谱分析时，需要输入地震加速度谱，而模态分析时只需要施加约束即可，不需要施加载荷。因此需要假设模态分析时不同阶变形都是在相同的地震加速度谱 作用下所得到的。即假定各阶振型的加速度谱相同，同时E Mj为第j阶层有效质量， 所以所有阶振型有效质量为再获取得到有效质量的截断标准/>其中：/>
通过公式(9)可知，当数值上大于等于阈值，此时即可推导出m的数值，即可 预估出振型数；
还包括；通过振型分解法获取振型的地震作用力为:
F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj (10)
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,Xj为第j阶模态 位移，γj为第j阶振型的振型参与系数。
通过振型分解法可知，当F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj，此时振型对应的结构位移为D， 如下式：
其中，振型分解法为现有技术，此处不再详细进行描述。
根据能量守恒原理，结构的变形能等于外力做的功，在地震作用下，获取各 阶振型总的变形能：
获取m个截取的振型对应的变形能，m个振型对应的变形能，公式如下：
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,M为质量，Xj为第j 阶模态位移，γi为第j阶振型的振型参与系数，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的 位移，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率，E为该材料的弹性模 量。
获取以能量为标准的振型截断以振型能量/>为依据，根据反应谱的概念可任意取αj＝K/Tj，将αj＝K/Tj代入到公式(12)与公式(13)中，计算/>(其中，K为一常数)，如下式：
通过公式(14)可知，当数值上大于等于阈值，此时即可推导出m的数值， 即可预估出振型数。/>
确定模块，用于确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；
布置模块；用于将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；且传感器为应变传感器；
测量模块，用于使用测量仪，测出在振动载荷下阵面上传感器布置点处的应变，并将数据加以收集整理；且所述测量仪为应变测量仪；
获取模块，用于获取平面阵列天线阵面的应变模态振型和位移模态振型；还包括；
阵列天线结构可以等效为一个多自由度线性系统，在机载环境下，该系统的动力微分方程可以描述为：
其中，M1为质量矩阵；C1为阻尼矩阵；K1为刚度矩阵；F1为荷载力向量；多 自由度线性系统的加速度、/>多自由度线性系统的速度、x(t)为多自由度线性系统的 位移向量，t代表时间；
将公式(15)转化为频域方程时，引入频率ω，令x(t)＝Xejωt、F1(t)＝F2ejωt，其中，e为单位向量，j为第j阶模态振型，ω为系统的固有频率，X为位移响应，F为力响 应；
将公式转化为频域方程(16)；如下式：
其中，mr为r阶模态质量，kr为r阶模态刚度、cr为r阶模态阻尼矩阵，且mr、kr、 cr均为对角阵；
由公式(16)得
将公式(16)转化为位移响应的表达式：引入变换方程其中/>为位移振型矩阵，q(t)为广义坐标；变换方程中x(t)转化为频域方程后记为位移响应X，q(t) 为广义坐标，转化为频域方程后记为q，即x(t)＝X、q(t)＝q，所以将x(t)＝X、q(t)＝q代入/>中，得位移响应的表达式：
令(kr-ω2mr+jωcr)-1＝Yr，则公式(17)简化得到：
在三维结构中，位移向量为x＝(u,v,w)T，其中u、v、w代表分别为x、y、z三个 方向的位移；
对于公式(18)中，即则公式(18)转化为：
/>
根据弹性力学原理，位移与应变之间的关系为:
式中，εx、εy、εz分别为x、y、z方向的应变。
将公式(20)代入到(19)中，得到：
获取应变补偿传递函数矩阵Hε，当公式(21)在z(竖直)方向激励时，x(水平) 方向的应变补偿传递函数矩阵Hε为:
式中，ψx为应变模态振型；为位移模态振型，且移模态振型/>可以通过有限元软件中直接获取；
再获取在j点激励引起i点响应的应变频响函数为；
公式(23)展开后如下：
其中，为j点的r阶位移模态振型，ψx1r,ψx2r,…,ψxnr代表i点的r阶应 变模态振型，i为正整数。
对于同一阶应变模态，模态质量mr、模态刚度kr、模态阻尼cr和位移模态均为 常数。因此可以定义一个应变模态振型系数αε使得
则公式(24)对应的第r阶应变频响函数为：
/>
应变模态振型是被测结构上各测点与选定参考点间两个振幅的比值，与各测点振动 大小无关，因此公式(26)中，应变模态振型仅与各测点应变传递函数|Hε|的幅值有关，而与振型系数αε无关；在进行应变模态实验时，仅需获取各测点的|Hε|的幅值，便可得 到应变模态振型；而|Hε|的幅值可以直接通过实现测得。
重构模块，用于确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移；还包括；所述各 测点的位移v：
其中，φ为模态矩阵，q为广义模态坐标，qr为第r阶模态的广义模态坐标。
根据模态转换法将公示(28)转化为：
其中，ε是实验所得的应变测量值，可通过步骤S5得到，且模态转换法为现有技术，此处不再详细进行描述。
公式(29)的最小二乘解为：
其中，{q}m*1为m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标；
通过公式(30)式可以解出m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标{q}m*1，(在进行模态分析时，由于在建模时存在局部坐标系和全局坐标系，因此需对其进行统 一，从而引入广义的模态坐标，这样算出来的位移会更加准确)；将(30)式代入(28) 式后就可得到所求各测点的位移，如下式：
/>
令则公式(31)可以简化为：
{v}n*1＝[DST]n*m{ε}n*1 (32)
其中，[DST]n*m矩阵称为应变-位移转换矩阵，得到所求各测点的位移，从而确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
示例性的，通过以下仿真实验进一步说明本发明的优点：
一、本实例中以平面阵列天线为例，以下是本例中平面阵列天线的材料属性和几何 尺寸：
表1 阵列天线实验模型材料属性和尺寸
| 结构 | 尺寸(长*宽*高)/mm3 | 属性 |
| 微带天线单元 | 50*38.7*0.018 | 铜 |
| 介质基板 | 800*300*1.5 | FR4 |
| 铝板 | 800*300*2.5 | 铝 |
表2 FR4材料属性
表3 铝材料属性
| 组成 | 铝板 |
| 弹性模量Pa | 7e10 |
| 泊松比 | 0.3 |
| 密度kg/m3 | 2.7e3 |
表4 铜板材料属性
| 组成 | 铜 |
| 弹性模量Pa | 2.2e8 |
| 泊松比 | 0.4 |
| 密度kg/m3 | 2.2e3 |
二、传感器布置方案的确定；
在确定了振型数之后，我们就可得到传感器的布置个数，然后将传感器均匀的布置 在平面阵列天线的阵面上；如图3所示；图3是本发明仿真实验中传感器布置示意图，图3中的阴影部分为应变传感器，且所述应变传感器通过胶粘于平面阵列天线阵面的背 面上。
三、使用应变测量仪，采集振动载荷下传感器布置点处的应变；
本实验采用了三种方案来模拟随机振动中阵列天线可能出现的三种变形：
方案一载荷施加位置为天线板中间，载荷大小为20N，如图4；图4是本发明仿真 实验中方案1施加载荷的仿真验证图；
方案二载荷施加位置为天线板两端，每端的载荷大小为10N，如图5及图8，图5 是本发明仿真实验中方案2施加载荷的仿真验证图；图8是本发明仿真实验中方案2实 验验证和仿真对比图；
方案三载荷施加的位置为天线板的一端，载荷大小为20N，如图6，图6是本发明 仿真实验中方案3施加载荷的仿真验证图；
从上述三种方案中看出，三种方案的约束都是固定天线板的两端。
四、结果与分析；
图7、图8、图9中“预测位置”为通过本发明理论计算得到的天线单元位移，“仿 真位置”是利用ANSYS软件仿真得到的天线单元位移(单位为mm)；用模态法公式求得 8个天线单元位移后，用matlab对模态法求得的位移值与在有限元分析软件中提取的阵 元位置处的位移值进行对比，画出数据对比图。
图7是本发明仿真实验中方案1实验验证和仿真对比图；图9是本发明仿真实验中方案3实验验证和仿真对比图；通过图7到图9可以看出，通过理论计算得到的天线单 元位移和利用ANSYS软件仿真得到的天线单元位移误差很小，所以证明通过实验测得应 变进而通过本发明预测得到天线单元位移的方法是正确的、可行的。
以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或 者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。
Claims (10)
1.基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、通过有效质量法对振型数进行预估；
所述步骤S1包括；
获取多自由度体系在地面运动作用下的微分方程，如下式：
其中，M表示质量，C表示阻尼，K表示刚度，I表示惯性矩，表示加速度，/>表示速度，x表示位移，/>实际地面运动加速度；
将公式(1)的位移x作为位移向量x，再按照xj＝{φ}iqi进行主坐标变换，其中，{φ}j是第j阶模态的位移坐标转换矩阵，qj是第j阶模态质点相对于地面的位移；
再利用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性将公式(1)转化为公式(2)，如下式：
其中，a0、α1代表地震作用下不同时刻对应的地震影响系数，qj表示第j阶模态质点相对于地面的位移，表示第j阶模态质点相对于地面的速度，/>表示为第j阶模态质点相对于地面的加速度，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率；γj为第j阶振型的振型参与系数，/>并且利用公式/>代入到公式(2)中；得到：
其中，ξj为对应的阻尼比；
利用反应谱对公式(3)计算处理：
其中，代表第j阶模态质点相对于地面的最大加速度，qj·max为第j阶模态质点相对于地面的最大位移，Tj为第j阶模态的特征周期，Saj为第j阶模态的绝对加速度最大值；
第j阶振型在第i层板的耦合得到剪力为根据反应谱理论中Tj＝γjXji,因此由公式(4)可得，质点在第j阶振型中第i层板的加速度/>然后将/>代入/>中，如下式：
其中，为质点在第j阶振型中第i层板的加速度，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的位移，i为正整数；
故第j阶振型所产生的基底剪力为
第j阶振型的有效质量为E Mj，所以转变为用E Mj来表征的公式：其中，E为该材料的弹性模量；
E Mj的计算公式为：
其中，{X}j为第j阶模态质点的位移模态矩阵；
获取第j阶振型所产生的最大基底剪力Vj，然后得到所有振型最大基底剪力Vj绝对值的组合V，下式：
其中，n为所选取的总的模态阶数；
取参与计算的振型数为m，m为正整数，则1至m阶振型的基底总剪力为：
E Mj为第j阶层有效质量，所有阶振型有效质量为
获取得到有效质量的截断标准其中：
当数值上大于等于事先设定的阈值，此时通过公式(9)即可获得m的数值，即可预估出振型数；
S2、确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；
S3、将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；
S4、使用测量仪，测出在振动载荷情况下，平面阵列天线阵面上传感器布置点处的应变数据，并将数据加以收集整理；
S5、根据收集的数据，获取平面阵列天线阵面上天线单元各测点的应变模态振型和位移模态振型；
S6、根据应变模态振型和位移模态振型，确定天线单元各测点的位置，重构出天线单元的位移，预测出阵列天线振动变形。
2.根据权利要求1所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述步骤S1还包括；
通过振型分解法获取振型的地震作用力为:
F＝∑Fj＝∑αjγjgMXj (10)
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,Xj为第j阶模态位移，γj为第j阶振型的振型参与系数；
公式(10)通过振型分解法得到振型对应的结构位移为D，如下式：
在地震作用下，获取各阶振型总的变形能：
其中，n为所选取的总的模态阶数；
获取m个截取的振型对应的变形能，m个振型对应的变形能，公式如下：
其中，αj为第j阶模态的地震影响系数，g为重力加速度,M为质量，Xj为第j阶模态位移，γi为第j阶振型的振型参与系数，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的位移，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率，E为该材料的弹性模量；
获取以能量为标准的振型截断以振型能量/>为依据，任意取αj＝K/Tj，其中，K为一常数，将αj＝K/Tj代入到公式(12)与公式(13)中，计算/>如下式：
当数值上大于等于实现设定的阈值，通过公式(14)获得m的数值，预估出振型数。
3.根据权利要求1所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述传感器为应变传感器。
4.根据权利要求1所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述测量仪为应变测量仪。
5.根据权利要求1-4任一所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述步骤S5包括：
阵列天线等效为一个多自由度线性系统，在机载环境下，该系统的动力微分方程为：
其中，M1为质量矩阵；C1为阻尼矩阵；K1为刚度矩阵；F1为荷载力向量；多自由度线性系统的加速度、/>多自由度线性系统的速度、x(t)为多自由度线性系统的位移向量，t代表时间；
将公式(15)转化为频域方程时，令x(t)＝XeJωt、F1(t)＝F2eJωt，其中，e为单位向量，J为第j阶模态振型，ω为系统的固有频率，X为位移响应，F为力响应；
将公式转化为频域方程(16)；如下式：
其中，mr为r阶模态质量，kr为r阶模态刚度、cr为r阶模态阻尼矩阵，且mr、kr、cr均为对角阵；
由公式(16)得
利用变换方程将公式(16)转化为位移响应的表达式，其中/>为位移振型矩阵，q(t)为广义坐标；变换方程中x(t)转化为频域方程后记为位移响应X，q(t)为广义坐标，转化为频域方程后记为q，即x(t)＝X、q(t)＝q，所以将/>x(t)＝X、q(t)＝q代入/>中，得位移响应的表达式：
利用(kr-ω2mr+Jωcr)-1＝Yr，简化公式(17)：
在三维结构中，位移向量为x＝(u,v,w)T，其中u、v、w代表分别为x、y、z三个方向的位移；
对于公式(18)中，即则公式(18)转化为：
利用公式(20)代入(19)中，
其中，公式(20)是位移与应变之间的关系，公式如下:
式中，εx、εy、εz分别为x、y、z方向的应变；
代入到(19)中，得到：
获取应变补偿传递函数矩阵Hε，当公式(21)在竖直z方向激励时，水平x方向的应变补偿传递函数矩阵Hε为:
式中，ψx为应变模态振型；为位移模态振型，且移模态振型/>通过有限元软件中直接获取；
再获取在j点激励引起i点响应的应变频响函数为；
公式(23)展开后如下：
其中，为j点的r阶位移模态振型，ψx1r,ψx2r,…,ψxnr代表i点的r阶应变模态振型，其中，i的取值为1-n中的整数；
利用公式(25)代入公式(24)，公式(25)如下：
则公式(24)转化为对应的第r阶应变频响函数为：
获取各测点的|Hε|的幅值，便可得到应变模态振型。
6.根据权利要求1所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述步骤S6包括；
S61、获取各测点的位移；
S62、根据模态转换法，重构出天线单元的位移。
7.根据权利要求6所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述步骤S61包括；
所述阵列天线阵面中天线单元的各测点的位移；
其中，φ为模态矩阵，q为广义模态坐标，qr为第r阶模态的广义模态坐标。
8.根据权利要求7所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法，其特征在于，所述步骤S62包括；
根据模态转换法将公式(28)转化为：
其中，ε是实验所得的应变测量值，
公式(29)的最小二乘解为：
其中，{q}m*1为m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标；
通过公式(30)式解出m阶应变模态、位移模态所对应的广义模态坐标{q}m*1；将(30)式代入(28)式后就可得到各测点的位移，如下式：
令则公式(31)可以简化为：
{v}n*1＝[DST]n*m{ε}n*1 (32)
其中，[DST]n*m矩阵称为应变-位移转换矩阵，得到所求各测点的位移，从而确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
9.基于权利要求1-8任一所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测方法的预测设备，其特征在于，包括；
预估模块(301)，用于通过有效质量法对振型数进行预估；
确定模块(302)，用于确定传感器个数，传感器个数即等于振型数；
布置模块(303)；用于将传感器均匀布置在平面阵列天线阵面上；
测量模块(304)，用于使用测量仪，测出在振动载荷下阵面上传感器布置点处的应变，并将数据加以收集整理；
获取模块(305)，用于获取平面阵列天线阵面的应变模态振型和位移模态振型；
重构模块(306)，用于确定天线单元的位置，重构出天线单元的位移。
10.基于权利要求9所述的基于主模态法和应变的阵列天线振动变形预测设备，其特征在于，所述预估模块(301)还包括：
获取多自由度体系在地面运动作用下的微分方程，如下式：
其中，M表示质量，C表示阻尼，K表示刚度，I表示惯性矩，表示加速度，/>表示速度，x表示位移，/>实际地面运动加速度；
将公式(1)的位移x作为位移向量x，再按照xj＝{φ}iqi进行主坐标变换，其中，{φ}j是第j阶模态的位移坐标转换矩阵，qj是第j阶模态质点相对于地面的位移；
再利用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性将公式(1)转化为公式(2)，如下式：
其中，a0、α1代表地震作用下不同时刻对应的地震影响系数，qj表示第j阶模态质点相对于地面的位移，表示第j阶模态质点相对于地面的速度，/>表示为第j阶模态质点相对于地面的加速度，ωj为第阶j模态的无阻尼单质点体系的自由振动圆频率；γj为第j阶振型的振型参与系数，/>并且利用公式/>代入到公式(2)中；得到：
其中，ξj为对应的阻尼比；
利用反应谱对公式(3)计算处理：
其中，代表第j阶模态质点相对于地面的最大加速度，qj·max为第j阶模态质点相对于地面的最大位移，Tj为第j阶模态的特征周期，Saj为第j阶模态的绝对加速度最大值；
第j阶振型在第i层板的耦合得到剪力为根据反应谱理论中Tj＝γjXji,因此由公式(4)可得，质点在第j阶振型中第i层板的加速度/>然后将/>代入/>中，如下式：
其中，为质点在第j阶振型中第i层板的加速度，Mi为第i层板的质量，Xji为第i层板的位移，i为正整数；
故第j阶振型所产生的基底剪力为
第j阶振型的有效质量为EMj，所以转变为用EMj来表征的公式：其中，E为该材料的弹性模量；
EMj的计算公式为：
其中，{X}j为第j阶模态质点的位移模态矩阵；
获取第j阶振型所产生的最大基底剪力Vj，然后得到所有振型最大基底剪力Vj绝对值的组合V，下式：
其中，n为所选取的总的模态阶数；
取参与计算的振型数为m，m为正整数，则1至m阶振型的基底总剪力为：
EMj为第j阶层有效质量，所有阶振型有效质量为
获取得到有效质量的截断标准其中：
当数值上大于等于事先设定的阈值，此时通过公式(9)即可获得m的数值，即可预估出振型数。
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