CN111339706A - 基于pod的转子-轴承系统模型二次降阶方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种基于POD的转子‑轴承系统模型二次降阶方法，建立复杂双转子‑轴承系统的动力学模型，先基于CMS方法进行一级模型降阶，再基于POD方法进行二级模型降阶。本发明使得转子系统在模式展开时具有更高的计算效率，能够快速阐明复杂航空发动机涡轮转子的动力学行为和复杂的非线性振动问题，从而帮助研究人员更好的分析发动机涡轮转子‑轴承系统的振动现象，进而对发动机涡轮转子‑轴承系统进行优化。
Description
技术领域
本发明涉及动力学与控制领域，具体涉及一种基于模态综合法(CMS)、本征正交分解(POD)方法的航空发动机圆柱壳-圆锥壳-轮盘组合双转子-轴承系统的动力学模型二次降阶方法。
背景技术
转子-轴承系统是航空发动机涡轮的核心部件，具有结构复杂、自由度高、多非线性和耦合并存的特点。一般在高温、高转速、高负荷以及复杂多变的工况下运行，它的本质是一个非线性系统。工程中处理上述大型复杂系统的常用办法是利用有限元、有限差分、有限体积等方法进行数值仿真分析。然而通过有限元等方法得到的复杂系统的自由度可能成千上万，若系统中存在较强的流固耦合作用，其自由度可能达到百万、千万、甚至上亿，导致现代计算机一次计算所需要的机时达到几小时、几十小时甚至更长。因此开发一种快速、准确的模型降阶方法很有必要。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供一种基于POD的转子-轴承系统模型二次降阶方法，建立复杂双转子-轴承系统的动力学模型，先基于CMS方法进行一级模型降阶，再基于POD方法进行二级模型降阶。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案的步骤为：
一、建立复杂双转子-轴承系统的动力学模型
复杂双转子-轴承系统的结构阻尼为比例阻尼，在考虑赫兹接触变形、变柔度振动和间隙的情况下，得到复杂双转子-轴承系统的运动微分方程的表达形式如下：
式中：M,K,C,G分别为系统的总质量矩阵、总刚度矩阵、总阻尼矩阵、总陀螺矩阵，C＝α0M+α1K，α0,α1为常数，ω为转速，q代表位移，
为速度，
加速度，Fg为重力向量，F(t)为偏心激励，Fb(q,t)为各支承轴承径向面内的Hertz接触力，表达式如下：
式中：θij,δij分别为第i个轴承第j个滚动体的瞬时转角以及其与套圈的接触变形，n为Hertz接触非线性指数(球轴承n＝3/2,滚子轴承n＝10/9)，H(δij)为Heaviside函数，
为第i个轴承接触刚度，
为第i个轴承滚动体数目，Ωi为第i个轴承保持架转速，δi0为第i个轴承初始径向游隙；
二、基于CMS方法的一级模型降阶
采用模态综合法对复杂转子系统的线性部分进行一次降阶，详细步骤为：
首先将有限元建立的圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统，根据套装双转子结构划分为低压转子(L)和高压转子(H)两个子结构系统，然后将两个子结构系统的物理坐标qi＝[qiI,qiB]，分别按内部坐标qiI和边界坐标qiB进行分块，i＝L,H，各子结构系统的动力学方程写为：
式中
分别为子结构根据内部坐标和边界坐标划分的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵及作用力向量，其中
为子结构速度，
为子结构加速度；
计算支承边界固定约束下的主模态
和约束释放模态
其中niI,niB,nik分别为相应子结构的内部节点坐标数、边界坐标数、保留约束主模态个数，约束释放模态ψiC通过式(4)求得：
从而通过Craig-Bampton变换，将各子结构的物理坐标投影到截断模态张成的子空间上：
将式(5)带入方程(3)得子结构的动力学降阶模型为：
式中
综合高低压转子结构的降阶模型可得圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统的总体缩减模型为：
式中
u＝{uL,uH}分别为降阶模型的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，作用力向量及降阶坐标向量；
三、基于POD方法的二级模型降阶
应用POD方法对一次降阶模型直接进行二次降阶时，先通过数值方法求解方程(7)的响应信号
作为采样快照矩阵，u0，
ω，ts分别为采样信号的初始位置、初始速度、转速、采样时间长度，m为一次降阶模型的自由度数，通过式(8)计算自相关矩阵的特征向量：
在式(8)中，NS为时间长度ts的采样数据个数；
按特征值的降阶顺序排列；
设
表示一个线性子空间，由第一个l阶本征正交模型(POM)表示，其中l是二阶ROM的维数，由式(9)确定：
并且，l的选择满足σ≥99％的要求；
将特征向量按特征值降序排列，则得到POD降阶模态
将一次降阶模型投影到前l阶降阶模态张成的子空间上：
式中
将式(10)带入式(7)得到二次降阶模型的运动微分方程为：
式中
初始条件由v0＝ψTu0，
确定；
先通过数值方法求得一次降阶模型的响应，然后通过模态扩展，加入截断的高阶模态，通过Craig-Bampton变换，得到一次降阶系统包含高阶模态的响应，再利用POD方法进行二次降阶，具体过程如下：
先通过数值方法求解方程(7)一次降阶的模态坐标下的振动响应，然后通过Craig-Bampton变换得到原系统物理坐标下的振动响应为：
然后分别扩展高低压子结构截断的约束主模态个数，nH，nL为相应的扩展模态数，n＝nH+nL为系统扩展的总模态数，由方程(13)得模态扩展后的坐标变换关系：
对式(13)进行变换可得：
将方程(13)带入式(14)，得到模态扩展后的振动响应为：
再由式(15)截取一次降阶模型对应的模态坐标的快照响应信号
作为采样快照矩阵；最后由式(8)、(10)、(11)得到二次降阶模型的运动微分方程；通过求解二次降阶模型的振动响应
再由式(8)和(10)得到原系统物理坐标下的振动响应为：
而直接二次降阶模型对应的原系统物理坐标下的振动响应为：
式(16)包含了原系统高阶模态的信息，能更好的逼近原系统的振动响应。
本发明的有益效果是使得转子系统在模式展开时具有更高的计算效率，能够快速阐明复杂航空发动机涡轮转子的动力学行为和复杂的非线性振动问题，从而帮助研究人员更好的分析发动机涡轮转子-轴承系统的振动现象，进而对发动机涡轮转子-轴承系统进行优化。
附图说明
图1是本发明结合CMS和POD的两层模型约简方法的原理图。
图2是本发明航空发动机圆柱壳-圆锥壳-轮盘组合双转子-轴承系统示意图。
图3是本发明转子系统两种轴段单元的示意图，其中，图3(a)为圆锥单元的示意图，图3(b)为圆柱单元的示意图。
图4是本发明全阶模型(FOM)和一阶降阶模型(ROM)前四阶模态形状的比较(横轴坐标：发动机轴向位移纵轴坐标：横向振动位移)，其中，图4(a)为一阶模态振型，图4(b)为二阶模态振型，图4(c)为三阶模态振型，图4(d)为四阶模态振型。
图5是本发明低压转速520rad/s，转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型、直接二次降阶模型低压涡轮频谱图及轴心轨迹对比图。图5(a)为一次降阶低压涡轮频谱图，图5(b)为一次降阶低压涡轮轴心轨迹图，图5(c)为模态扩展二次降阶低压涡轮频谱图，图5(d)为模态扩展二次降阶低压涡轮轴心轨迹图，图5(e)为直接二次降阶低压涡轮频谱图，图5(f)为直接二次降阶低压涡轮轴心轨迹图。
图中：a、c、e：横轴坐标为频率，纵轴坐标为幅值；b、d、f：横纵坐标均为相关方向幅值。
图6是本发明转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型以及直接二次降阶模型的幅频响应曲线对比图，图6(a)为一次降阶低压涡轮幅频曲线(x)，图6(b)为一次降阶低压涡轮幅频曲线(y)，图6(c)为模态扩展二次降阶低压涡轮幅频曲线(x)，图6(d)为模态扩展二次降阶低压涡轮幅频曲线(y)，图6(e)为直接二次降阶低压涡轮幅频曲线(x)，图6(f)为直接二次降阶低压涡轮幅频曲线(y)。
图中：ωL为低压转速，ΩL为低压额定转速；横轴坐标为转速比，纵轴坐标为幅值。
图7是本发明低压转速1050rad/s，转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型、直接二次降阶模型低压涡轮频谱图及轴心轨迹对比图，图7(a)为一次降阶低压涡轮频谱图，图7(b)为一次降阶低压涡轮轴心轨迹，图7(c)为模态扩展二次降阶低压涡轮频谱图，图7(d)为模态扩展二次降阶低压涡轮轴心轨迹，图7(e)为直接二次降阶低压涡轮频谱图，图7(f)为直接二次降阶低压涡轮轴心轨迹。
图中：a、c、e图：横轴坐标：频率，纵轴坐标：幅值；b、d、f图：横纵坐标均为相关方向幅值。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
建立复杂双转子-轴承系统的动力学模型，然后基于CMS方法进行一级模型降阶，再基于POD方法进行二级模型降阶，最终得到降价阶后的模型方程，(流程如图1)。下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。
一、建立复杂双转子-轴承系统的动力学模型
利用有限元方法进行建模，用牛顿第二定律推导出支座的运动微分方程。假设如图2所示的复杂双转子-轴承系统的结构阻尼为比例阻尼，在考虑赫兹接触变形、变柔度振动和间隙的情况下，得到复杂双转子-轴承系统的运动微分方程的表达形式如下：
式中：M,K,C,G分别为系统的总质量矩阵、总刚度矩阵、总阻尼矩阵、总陀螺矩阵，C＝α0M+α1K，α0,α1为常数，ω为转速，q代表位移，
为速度，
加速度，Fg为重力向量，F(t)为偏心激励，Fb(q,t)为各支承轴承径向面内的Hertz接触力，表达式如下：
式中：θij,δij分别为第i个轴承第j个滚动体的瞬时转角以及其与套圈的接触变形，n为Hertz接触非线性指数(球轴承n＝3/2,滚子轴承n＝10/9)，H(δij)为Heaviside函数，
为第i个轴承接触刚度，
为第i个轴承滚动体数目，Ωi为第i个轴承保持架转速，δi0为第i个轴承初始径向游隙；
二、基于CMS方法的一级模型降阶
由于复杂双转子-轴承系统有限元模型自由度较高，并包含各支承轴承的非线性，且真机轴承的滚动体数目较多，需要更短的时间步长才能求得轴承的响应信息，因此直接数值计算整机转子-轴承系统的非线性响应需要花费很长的计算时间。然而应用POD方法对复杂系统进行模型降阶时，需要预先获得原系统一定时间长度的响应信号来构造POD降阶模态。为避免长时间的计算，本发明用模态综合法对复杂转子系统的线性部分进行一次降阶。
首先将有限元建立的圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统(如图3)根据套装双转子结构划分为低压转子(L)和高压转子(H)两个子结构系统，然后将两个子结构系统的物理坐标qi＝[qiI,qiB]，分别按内部坐标qiI和边界坐标qiB进行分块，i＝L,H，各子结构系统的动力学方程写为：
式中
分别为子结构根据内部坐标和边界坐标划分的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵及作用力向量，其中
为子结构速度，
为子结构加速度；
计算支承边界固定约束下的主模态
和约束释放模态
其中niI,niB,nik分别为相应子结构的内部节点坐标数、边界坐标数、保留约束主模态个数，约束释放模态ψiC通过式(4)求得：
从而通过Craig-Bampton变换，将各子结构的物理坐标投影到截断模态张成的子空间上：
将式(5)带入方程(3)得子结构的动力学降阶模型为：
式中
综合高低压转子结构的降阶模型可得圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统的总体缩减模型为：
式中
u＝{uL,uH}分别为降阶模型的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，作用力向量及降阶坐标向量；
三、基于POD方法的二级模型降阶
一次降阶后，得到的降阶模型忽略了系统高阶模态的影响，如果直接利用POD方法对一次降阶模型进行二次降阶，得到的模型只是对一次降阶模型的近似，与原系统存在非一一对应关系，因此二次降阶模型可能与原系统存在较大误差。
故此在利用POD方法对一次降阶模型进行二次降阶时，加入模态综合法截断的高阶模态，通过Craig-Bampton变换，得到一次降阶模型包含高阶模态的响应，再利用POD方法进行二次降阶，由此减少二次降阶的误差。
应用POD方法对一次降阶模型直接进行二次降阶时，先通过数值方法求解方程(7)的响应信号
作为采样快照矩阵，u0，
ω，ts分别为采样信号的初始位置、初始速度、转速、采样时间长度(NS数据长度)，m为一次降阶模型的自由度数，通过式(8)计算自相关矩阵的特征向量：
在式(8)中，NS为时间长度ts的采样数据个数；
按特征值的降阶顺序排列；
设
表示一个线性子空间，由第一个l阶本征正交模型(POM)表示，其中l是二阶ROM的维数，由式(9)确定：
并且，l的选择满足σ≥99％的要求；
将特征向量按特征值降序排列，则得到POD降阶模态
将一次降阶模型投影到前l阶降阶模态张成的子空间上：
式中
将式(10)带入式(7)得到二次降阶模型的运动微分方程为：
式中
初始条件由v0＝ψTu0，
确定；
由于方程(11)是对一次降阶模型的近似，不同的POD降阶模态变换矩阵
得到一次降阶模型的振动响应u(t)不同；并且模态综合法截断了较多的高阶模态，再由Craig-Bampton变换得到原系统物理坐标下的振动响应qr(t)，因经过两次非一一的坐标变换，将与原系统实际物理坐标下的振动响应q(t)存在很大误差。为解决这一问题，本发明先通过数值方法求得一次降阶模型的响应，然后通过模态扩展，加入截断的高阶模态，通过Craig-Bampton变换，得到一次降阶系统包含高阶模态的响应，再利用POD方法进行二次降阶，具体过程如下：
先通过数值方法求解方程(7)一次降阶的模态坐标下的振动响应，然后通过Craig-Bampton变换得到原系统物理坐标下的振动响应为：
然后分别扩展高低压子结构截断的约束主模态个数，nH，nL为相应的扩展模态数，n＝nH+nL为系统扩展的总模态数，由方程(13)得模态扩展后的坐标变换关系：
对式(13)进行变换可得：
将方程(13)带入式(14)，得到模态扩展后的振动响应为：
再由式(15)截取一次降阶模型对应的模态坐标的快照响应信号
作为采样快照矩阵；最后由式(8)、(10)、(11)得到二次降阶模型的运动微分方程；通过求解二次降阶模型的振动响应
再由式(8)和(10)得到原系统物理坐标下的振动响应：
而直接二次降阶模型对应的原系统物理坐标下的振动响应为：
相比于上式，式(16)包含了原系统高阶模态的信息，能更好的逼近原系统的振动响应。下面将进行数值验证。
四、数据分析验证方法可靠性
图4到图7给出了数值结果，验证了CMS-POD降阶方法的有效性。前四阶模态FOM和一阶ROM之间的关系如图4所示，其中模态形状彼此很好地吻合，第一级ROM的保留模态数为28，前6个固有频率的最大误差小于0.51％。图5给出了低压转速520rad/s，转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型及直接二次降阶模型的低压涡轮频谱图及轴心轨迹。由图可知，系统的振动响应频率成分复杂，频谱中以高压、低压转子偏心激励频率fL,fH及2fL,2fH为主，并包含3倍、4倍等高倍频成分以及各倍频成分的和差组合频率，如：|fL±fH|,|2fL±fH|,3fL-fH,5fL-2fH等，轴承VC信号微弱；模态扩展二次降阶的频率成分及幅值与一次降阶模型吻合很好；而直接二次降阶的频率成分与一次降阶模型基本吻合，但幅值存在较大差异。由轴心轨迹可知，该转速下，系统表现为多环内“8”字型；模态扩展二次降阶的轴心轨迹图与一次降阶模型吻合很好；而直接二次降阶的轴心轨迹与一次降阶模型存在一定差异。
下面对另一转速下二次降阶模型的响应进行对比分析，图6为低压转速1050rad/s，转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型及直接二次降阶模型的低压涡轮频谱图及轴心轨迹。由图6a、6c及6e可知，一次降阶模型振动响应的频率成分以高压、低压转子偏心激励频率fL,fH及2fL,2fH为主，并包含各倍频成分的和差组合频率，如：|fL±fH|,2fL-fH等；模态扩展二次降阶模型的频率成分及幅值与一次降阶模型吻合很好；而直接二次降阶模型的频率成分与一次降阶模型基本吻合，但幅值存在较大差异。由图6(b)、6(d)及6(f)的轴心轨迹可知，该转速下，一次降阶模型的轴心轨迹表现为多环“香蕉”型；模态扩展二次降阶模型的轴心轨迹图与一次降阶模型吻合很好；而直接二次降阶的轴心轨迹与一次降阶模型存在较大差异。由此可知模态扩展后的二次降阶模型能更高精度的逼近原系统的振动响应。
不失一般性，在系统额定工作转速范围内，进行参数域降阶，验证二次降阶的有效性。图7为转速比1.3，一次降阶模型、模态扩展二次降阶模型以及直接二次降阶模型的低压涡轮水平和竖直方向的幅频响应曲线。由图7a和7b可知，一次降阶模型在额定工作转速范围内，存在两个主要的共振峰，表明在该转速范围内系统存在一阶支承临界转速，两共振峰分别由高压转子和低压转子不平衡激励激起；同时该转速范围内也存在由高压及低压转子2倍谐波引起的系统一阶及二阶主共振的超谐共振，以及fL+fH，2fL-fH等引起的组合共振；并由于实际发动机支承轴承滚动体数目较多，VC振动信号极其微弱，因此真实航空发动机转子-轴承系统中VC接触共振不明显，其复杂的非线性动力学行为主要由轴承间隙非线性因素以及多频激励源引起。由图7c和7d可知，经模态扩展后的二次降阶模型低压涡轮在水平和竖直方向的幅频响应曲线与一次降阶模型吻合很好。由图由图7e和7f可知，直接二次降阶模型低压涡轮两个方向的幅频响应曲线的总体结构虽然与一次降阶模型基本吻合，但仍存在较大的差异，特别是水平和竖直方向的第二个主要峰值存在很大差异。
终上所述，模态扩展后的POD二次降阶方法，由于考虑了原系统高阶模态信息，二次降阶后的模型经过两次坐标变换后，也能很高精度的反映原系统动力学特性；而直接POD二次降阶，由于二次降阶模型与原系统经两次坐标变换后，存在非一一对应关系，导致二次降阶模型的动力学特性与原系统存在较大的误差。因此本发明的CMS-POD二次降阶方法能有效的对大型复杂系统进行高精度模型降阶。
Claims (1)
1.一种基于POD的转子-轴承系统模型二次降阶方法，其特征在于包括下述步骤：
一、建立复杂双转子-轴承系统的动力学模型
复杂双转子-轴承系统的结构阻尼为比例阻尼，在考虑赫兹接触变形、变柔度振动和间隙的情况下，得到复杂双转子-轴承系统的运动微分方程的表达形式如下：
式中：M,K,C,G分别为系统的总质量矩阵、总刚度矩阵、总阻尼矩阵、总陀螺矩阵，C＝α0M+α1K，α0,α1为常数，ω为转速，q代表位移，
为速度，
加速度，Fg为重力向量，F(t)为偏心激励，Fb(q,t)为各支承轴承径向面内的Hertz接触力，表达式如下：
式中：θij,δij分别为第i个轴承第j个滚动体的瞬时转角以及其与套圈的接触变形，n为Hertz接触非线性指数，H(δij)为Heaviside函数，
为第i个轴承接触刚度，
为第i个轴承滚动体数目，Ωi为第i个轴承保持架转速，δi0为第i个轴承初始径向游隙；
二、基于CMS方法的一级模型降阶
采用模态综合法对复杂转子系统的线性部分进行一次降阶，详细步骤为：
首先将有限元建立的圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统，根据套装双转子结构划分为低压转子(L)和高压转子(H)两个子结构系统，然后将两个子结构系统的物理坐标qi＝[qiI,qiB]，分别按内部坐标qiI和边界坐标qiB进行分块，i＝L,H，各子结构系统的动力学方程写为：
式中
分别为子结构根据内部坐标和边界坐标划分的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵及作用力向量，其中
为子结构速度，
为子结构加速度；
计算支承边界固定约束下的主模态
和约束释放模态
其中niI,niB,nik分别为相应子结构的内部节点坐标数、边界坐标数、保留约束主模态个数，约束释放模态ψiC通过式(4)求得：
从而通过Craig-Bampton变换，将各子结构的物理坐标投影到截断模态张成的子空间上：
将式(5)带入方程(3)得子结构的动力学降阶模型为：
式中
综合高低压转子结构的降阶模型可得圆柱壳-圆锥壳组合双转子-轴承系统的总体缩减模型为：
式中
u＝{uL,uH}分别为降阶模型的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，作用力向量及降阶坐标向量；
三、基于POD方法的二级模型降阶
应用POD方法对一次降阶模型直接进行二次降阶时，先通过数值方法求解方程(7)的响应信号
作为采样快照矩阵，u0，
ω，ts分别为采样信号的初始位置、初始速度、转速、采样时间长度，m为一次降阶模型的自由度数，通过式(8)计算自相关矩阵的特征向量：
在式(8)中，NS为时间长度ts的采样数据个数；
按特征值的降阶顺序排列；
设
表示一个线性子空间，由第一个l阶本征正交模型(POM)表示，其中l是二阶ROM的维数，由式(9)确定：
并且，l的选择满足σ≥99％的要求；
将特征向量按特征值降序排列，则得到POD降阶模态
将一次降阶模型投影到前l阶降阶模态张成的子空间上：
式中
将式(10)带入式(7)得到二次降阶模型的运动微分方程为：
式中
初始条件由v0＝ψTu0，
确定；
先通过数值方法求得一次降阶模型的响应，然后通过模态扩展，加入截断的高阶模态，通过Craig-Bampton变换，得到一次降阶系统包含高阶模态的响应，再利用POD方法进行二次降阶，具体过程如下：
先通过数值方法求解方程(7)一次降阶的模态坐标下的振动响应，然后通过Craig-Bampton变换得到原系统物理坐标下的振动响应为：
然后分别扩展高低压子结构截断的约束主模态个数，nH，nL为相应的扩展模态数，n＝nH+nL为系统扩展的总模态数，由方程(13)得模态扩展后的坐标变换关系：
对式(13)进行变换可得：
将方程(13)带入式(14)，得到模态扩展后的振动响应为：
再由式(15)截取一次降阶模型对应的模态坐标的快照响应信号
作为采样快照矩阵；最后由式(8)、(10)、(11)得到二次降阶模型的运动微分方程；通过求解二次降阶模型的振动响应
再由式(8)和(10)得到原系统物理坐标下的振动响应为：
而直接二次降阶模型对应的原系统物理坐标下的振动响应为：
式(16)包含了原系统高阶模态的信息，能更好的逼近原系统的振动响应。
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