CN111259587A - 一种三维交替迭代无条件稳定fdtd算法 - Google Patents

一种三维交替迭代无条件稳定fdtd算法 Download PDF

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CN111259587A CN202010044900.1A CN202010044900A CN111259587A CN 111259587 A CN111259587 A CN 111259587A CN 202010044900 A CN202010044900 A CN 202010044900A CN 111259587 A CN111259587 A CN 111259587A
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刘亚文
段力群
代晓青
熊自明
卢浩
潘明
司卿
李治中
马超
岳松林
蒋海明
徐畅
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Abstract

本发明公开了FDTD算法技术领域的一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，旨在解决现有技术中FDTD算法由于受CFL稳定性条件的限制而不适合于具有精细网格的计算、由于需占用大量内存资源而影响计算效率的技术问题。所述算法结合了ADI算法和利用Laguerre基展开的思想，将Laguerre域的Maxwell方程组写成矩阵形式，通过主动增加误差项的方法，解耦了电、磁场分量的计算，所构造线性方程组中的未知场量全在一条直线上，几何级数地降低了线性方程组的维度，大大提高了计算效率，减小了内存消耗。最后通过交替方向迭代的方法，使误差项的大小趋于零，得到电磁场分量的精确解。

Description

一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法
技术领域
本发明涉及一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，属于FDTD算法技术领域。
背景技术
时域有限差分算法(Finite-Difference Time-Domain，FDTD)是一种直观的时域电磁场计算方法，目前已经广泛运用到电磁兼容、天线特性、集成电路、吸波材料等领域的数值模拟仿真中。
传统FDTD算法是K.S.Yee在1966年提出的，采用电、磁场分量交替网格计算的方法，巧妙地描述了Maxwell方程组在空间中的传播。但传统FDTD算法必须满足柯朗(Courant-Friedrich-Lewy，CFL)稳定性条件的要求，当空间步长取值很小时，时间步长也必须相应地取值很小，这大大增加了数值仿真的计算时间，尤其不适合于具有精细网格的计算。
1999年，Namiki等提出了基于交替隐式差分方法(Alternating-DirectionImplicit Method，ADI)的FDTD算法。ADI-FDTD算法突破了CFL稳定性条件的限制，适用于精细结构的数值仿真，但是数值色散误差的影响较大。2003年，T.K.Sarkar等提出了基于Laguerre基的FDTD算法，利用Laguerre基将电磁场分量展开到Laguerre域，并采用Galerkin法解耦了时间变量和空间变量的影响。Laguerre基FDTD算法不受CFL稳定性条件的限制，是无条件稳定的，数值色散误差也较小，但是该算法需要求解一个大型的线性方程组，需要占用大量的计算机内存，计算效率也受到影响。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，以解决现有技术中FDTD算法由于受CFL稳定性条件的限制而不适合于具有精细网格的计算、由于需占用大量内存资源而影响计算效率的技术问题。
为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：
一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，包括如下步骤：
将三维Maxwell方程组变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程；
在所述Maxwell方程一侧添加误差项，使所述Maxwell方程一侧的系数矩阵分解成两个方阵乘积；
基于系数矩阵分解成两个方阵乘积的Maxwell方程求解Laguerre域的电场的中间变量，基于所述中间变量求解Laguerre域的具有误差的电场分量，基于所述具有误差的电场分量求解Laguerre域的具有误差的磁场分量；
利用迭代算法求解所述中间变量、所述具有误差的电场分量、所述具有误差的磁场分量，直至获取所述误差小于预设阈值的Laguerre域的电场分量和磁场分量；
基于所述Laguerre域的电场分量和磁场分量获取时域的电场分量和磁场分量。
进一步地，将三维Maxwell方程组变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，包括：
利用Laguerre正交基将三维Maxwell方程组展开到Laguerre域，获取Laguerre域的六个Maxwell方程；
利用构造列向量法将所述Laguerre域的六个Maxwell方程变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程。
进一步地，基于所述Laguerre域的电场分量和磁场分量获取时域的电场分量和磁场分量，包括：利用Laguerre正交基展开的逆过程，将所述Laguerre域的电场分量和磁场分量变换为时域的电场分量和磁场分量。
进一步地，所述时域的电场分量和磁场分量，其计算公式如下：
Figure BDA0002369018220000021
Figure BDA0002369018220000022
Figure BDA0002369018220000023
Figure BDA0002369018220000031
Figure BDA0002369018220000032
Figure BDA0002369018220000033
其中，
Figure BDA0002369018220000034
式中，Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)为时域的电场分量，Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)为时域的磁场分量，
Figure BDA0002369018220000035
为Laguerre域的电场分量，
Figure BDA0002369018220000036
Figure BDA0002369018220000037
为Laguerre域的磁场分量；
Figure BDA0002369018220000038
为p阶Laguerre基函数，Lp(st)为p阶Laguerre多项式，s为时间因子，t为时间变量，r为空间变量，e为自然常数。
进一步地，所述迭代算法为高斯迭代算法。
进一步地，所述Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，其表达式如下：
(I-M-N)Xq＝Yq-1+Sq，其中，
Figure BDA0002369018220000039
Figure BDA00023690182200000310
Figure BDA00023690182200000311
Figure BDA00023690182200000312
Figure BDA00023690182200000313
式中，(I-M-N)为Maxwell方程一侧的系数矩阵，Xq为由q阶未知电、磁场分量构成的向量，Yq-1为由(q-1)阶以下已知电、磁场分量构成的向量，Sq为由q阶场源分量构成的向量，
Figure BDA00023690182200000314
为由(q-1)阶以下已知电场分量构成的向量，
Figure BDA00023690182200000315
为由(q-1)阶以下已知磁场分量构成的向量，
Figure BDA00023690182200000316
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000317
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000318
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的的k阶Laguerre系数，
Figure BDA0002369018220000041
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的k阶Laguerre系数，
Figure BDA0002369018220000042
Figure BDA0002369018220000043
为电流源分量Jx、Jy、Jz的q阶Laguerre系数。
进一步地，所述误差项，其表达式如下：
MN(Xq+Xq-1)；
式中，Xq-1为由(q-1)阶已知电、磁场分量构成的向量。
进一步地，在一侧添加误差项后的Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，其表达式如下：
(I-M)(I-N)Xq＝-MNXq-1+Yq-1+Sq；
式中，(I-M)(I-N)为所述两个方阵乘积。
进一步地，所述迭代算法，其计算公式如下：
Figure BDA0002369018220000044
式中，m为迭代次数，
Figure BDA0002369018220000045
为第(m+1)次迭代中待求的由q阶未知电、磁场分量构成的向量，
Figure BDA0002369018220000046
为由第m次迭代中已求的q阶电、磁场分量构成的向量。
与现有技术相比，本发明所达到的有益效果：
(1)不受CFL稳定性条件的限制，即无条件稳定。传统的FDTD算法需要满足CFL稳定性条件，时间步长的选取受到空间步长的限制，时间步长选取不当会导致数值计算结果出现重大偏差，甚至无法收敛。特别是对于一些精细结构而言，空间步长须取得很小才能够准确地描述散射体的物理结构，从而导致时间步长也必须取得很小，计算时间大大增加。本发明算法基于Laguerre基函数，通过变换将时间变量消除，因而计算时间不受时间步长选取的影响，大大提高了计算效率；
(2)计算效率很高。本发明算法将电、磁场的求解过程解耦，相比于传统的Laguerre基FDTD算法，大大降低了矩阵维度。不仅如此，实际求解过程可以发现，每次单独的线性方程组所涉及的未知量全在一条直线上，这样就把三维问题化成一维处理，因而大大减少了计算时间，提高了计算效率；
(3)计算占用内存资源很少。传统的Laguerre基FDTD算法由于需要求解大型线性方程组，占用的计算机内存量非常大。本发明算法达到了解耦、降维的效果，因而大大降低了对计算机内存的需求；
(4)具有很高的精度。本发明算法的精度可以通过调整迭代次数进行调节，还可以通过局部迭代，在一定范围内得到更高精度。一般而言，8次整体迭代后就能满足精度要求。
附图说明
图1是本发明实施例中所述窄缝微带线结构示意图；
图2是本发明实施例中采用不同算法得到观测点的电场分量Ex的波形；
图3是本发明实施例中不同迭代次数时观测点的电场分量Ex的相对误差。
具体实施方式
本发明具体实施方式提供了一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，包括如下步骤：
步骤1，利用Laguerre正交基将三维Maxwell方程组展开到Laguerre域，利用构造变量的方法将Laguerre域的六个Maxwell方程写成一个矩阵方程的形式。
在无耗、均匀、各向同性介质中，三维时域Maxwell方程组为：
Figure BDA0002369018220000051
Figure BDA0002369018220000052
Figure BDA0002369018220000053
Figure BDA0002369018220000054
Figure BDA0002369018220000055
Figure BDA0002369018220000056
式中，ε为介电常数，μ为磁导率，Ex、Ey、Ez为电场沿x、y、z三个方向的分量，Hx、Hy、Hz为磁场沿x、y、z三个方向的分量，Jx、Jy、Jz为电流源沿x、y、z三个方向的分量。
式(1)～(6)中的电场分量和磁场分量可以用Laguerre基函数展开为：
Figure BDA0002369018220000061
Figure BDA0002369018220000062
Figure BDA0002369018220000063
Figure BDA0002369018220000064
Figure BDA0002369018220000065
Figure BDA0002369018220000066
其中，
Figure BDA0002369018220000067
式中，
Figure BDA0002369018220000068
为p阶Laguerre基函数，Lp(st)为p阶Laguerre多项式，s为时间因子，t为时间变量，r为空间变量，e为自然常数，
Figure BDA0002369018220000069
Figure BDA00023690182200000610
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的p阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000611
Figure BDA00023690182200000612
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的p阶Laguerre系数。
Figure BDA00023690182200000613
Figure BDA00023690182200000614
仅与空间位置有关，与时间无关。其它Laguerre系数的定义类似。
Laguerre基函数具有如下性质：
Figure BDA00023690182200000615
Figure BDA00023690182200000616
式中，U(r,t)代表任一电场或磁场分量，δpq为狄拉克函数，Up(r)为U(r,t)的p阶Laguerre系数，Uk(r)为U(r,t)的k阶Laguerre系数。因此将式(7)～(12)代入式(1)～(6)，在方程两边同时乘以基函数
Figure BDA00023690182200000617
然后在st＝[0,∞)上积分并整理得：
Figure BDA0002369018220000071
Figure BDA0002369018220000072
Figure BDA0002369018220000073
Figure BDA0002369018220000074
Figure BDA0002369018220000075
Figure BDA0002369018220000076
其中，
Figure BDA0002369018220000077
Figure BDA0002369018220000078
Figure BDA0002369018220000079
Figure BDA00023690182200000710
式中，
Figure BDA00023690182200000711
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000712
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000713
为为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的k阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000714
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的k阶Laguerre系数，
Figure BDA00023690182200000715
为时域电流源分量Jx(r,t)、Jy(r,t)、Jz(r,t)的q阶Laguerre系数，a、b为自定义参数。可以看出，在式(15)～(20)中，方程左边的时间变量t已被消除，只剩下需求解的q阶Laguerre系数；且方程左边全是未知量、右边全是已知量。
构造如下变量：
Figure BDA00023690182200000716
Figure BDA0002369018220000081
Figure BDA0002369018220000082
Figure BDA0002369018220000083
Figure BDA0002369018220000084
Figure BDA0002369018220000085
Figure BDA0002369018220000086
则式(15)～(20)可以写成一个矩阵方程：
(I-M-N)Xq＝Yq-1+Sq (32)
式中，Xq为由q阶未知电、磁场分量构成的向量，Yq-1为由(q-1)阶以下已知电、磁场分量构成的向量，Sq为由q阶场源分量构成的向量，
Figure BDA0002369018220000087
为由(q-1)阶以下已知电场分量构成的向量，
Figure BDA0002369018220000088
为由(q-1)阶以下已知磁场分量构成的向量，M、N为由偏微分符号构成的自定义矩阵，I为6阶单位矩阵。
步骤2，为解耦电场分量和磁场分量的求解过程，在上述矩阵形式的Maxwell方程左边主动添加一个引起误差的误差项，使得式(32)左边的系数矩阵可以分解成两个方阵乘积的形式；然后采用分步求解法，将变换后的Maxwell方程分解成三步求解，第一步求解电场的中间变量，第二步求解电场，第三部求解磁场。
在式(32)左边加上一个误差项MN(Xq+Xq-1)，并整理得：
(I-M)(I-N)Xq＝-MNXq-1+Yq-1+Sq (33)
式(33)可以分解为两个等式进行计算：
(I-M)X*q＝-NXq-1+Yq-1+Sq (34)
(I-N)Xq＝X*q+NXq-1 (35)
式中，
Figure BDA0002369018220000091
为非物理中间变量，其中，
Figure BDA0002369018220000092
Figure BDA0002369018220000093
为Laguerre域电场分量
Figure BDA0002369018220000094
的中间变量，
Figure BDA0002369018220000095
为Laguerre域磁场分量
Figure BDA0002369018220000096
的中间变量。
利用式(25)～(31)展开式(34)～(35)，可以得到一组求解三维空间电磁场分量的基本表达式：
Figure BDA0002369018220000097
Figure BDA0002369018220000098
Figure BDA0002369018220000099
Figure BDA00023690182200000910
Figure BDA00023690182200000911
Figure BDA00023690182200000912
Figure BDA0002369018220000101
Figure BDA0002369018220000102
Figure BDA0002369018220000103
利用中心差分法可以很方便地求解式(36)～(44)，具体的求解顺序是：首先，求中间变量
Figure BDA0002369018220000104
由于式(36)～(38)右边全是已知量，故每个中间变量均可以单独求解。然后，将已经求出的中间变量
Figure BDA0002369018220000105
值代入式(39)～(41)，可以求出所有的电场分量
Figure BDA0002369018220000106
而且每个电场分量的求解是独立的，不区分先后。最后，将已经求出的中间变量
Figure BDA0002369018220000107
和电场分量
Figure BDA0002369018220000108
的值代入式(42)～(44)，可以求解出所有的磁场分量
Figure BDA0002369018220000109
磁场分量的求解过程也是独立的，不区分先后。
需要注意的是，式(36)～(44)中每个式子用中心差分法展开以后都构成一个线性方程组，但方便的是方程左边的未知量只在一个方向上进行差分，所涉及的未知量全在一条直线上，这样就把三维空间的未知量分解成一条直线、一条直线地进行求解，几何级数地减小了系数矩阵维度，提高了计算效率，降低了对计算机内存的需求。
步骤3，步骤2计算出的Laguerre域的电场分量
Figure BDA00023690182200001010
和磁场分量
Figure BDA00023690182200001011
Figure BDA00023690182200001012
是有误差的。为消除误差，可利用交替方向迭代的方法，将已经求得的电、磁场分量继续代入求解电场中间变量
Figure BDA00023690182200001013
的方程中进行求解。如此交替迭代，直到误差趋近于零，得到Laguerre域的各阶电、磁场分量。最后，利用Laguerre正交基展开的逆过程，将Laguerre域的电、磁场信号转化为时域的电、磁场信号。
具体做法是：将步骤2的解作为初值
Figure BDA00023690182200001014
构造新的误差项
Figure BDA00023690182200001015
并再次加到式(32)左边，得：
Figure BDA00023690182200001016
重复以上步骤，可以得到三维FDTD算法的迭代算法：
Figure BDA0002369018220000111
式中，m为迭代次数。上式可以分解为如下两个等式进行计算：
Figure BDA0002369018220000112
Figure BDA0002369018220000113
利用式(25)～(31)，展开式(47)～(48)，得：
Figure BDA0002369018220000114
Figure BDA0002369018220000115
Figure BDA0002369018220000116
Figure BDA0002369018220000117
Figure BDA0002369018220000118
Figure BDA0002369018220000119
Figure BDA00023690182200001110
Figure BDA00023690182200001111
Figure BDA00023690182200001112
式(49)～(57)的求解过程，如同式(36)～(44)。其求解过程实际上是电场中间变量→电场分量→磁场分量→电场中间变量的交替方向迭代方法。为了提高迭代算法的收敛速度，在迭代算法中引入高斯迭代思想，将迭代过程中得到的一些变量提前代入迭代过程，即将式(50)中的
Figure BDA0002369018220000121
用式(49)求出的
Figure BDA0002369018220000122
代替，将式(51)中的
Figure BDA0002369018220000123
用式(50)求出的
Figure BDA0002369018220000124
代替，得：
Figure BDA0002369018220000125
Figure BDA0002369018220000126
其它方程不变，可以提高迭代效率。当迭代误差达到预设的精度要求时，停止迭代，就可以算出所有电磁场分量的q阶Laguerre基函数的系数。最后利用(7)～(12)将信号还原到时域，即可获得计算域内任意场点任意时刻的电磁场波形。
本发明算法的优点在于：
(1)不受CFL稳定性条件的限制，即无条件稳定。传统的FDTD算法需要满足CFL稳定性条件，时间步长的选取受到空间步长的限制，时间步长选取不当会导致数值计算结果出现重大偏差，甚至无法收敛。特别是对于一些精细结构而言，空间步长须取得很小才能够准确地描述散射体的物理结构，从而导致时间步长也必须取得很小，计算时间大大增加。本发明算法基于Laguerre基函数，通过变换将时间变量消除，如式(15)～(20)所示，因而计算时间不受时间步长选取的影响，大大提高了计算效率；
(2)计算效率很高。本发明算法将电、磁场的求解过程解耦，相比于传统的Laguerre基FDTD算法，大大降低了矩阵维度。不仅如此，实际求解过程可以发现，每次单独的线性方程组所涉及的未知量全在一条直线上，这样就把三维问题化成一维处理，如式(36)～(44)所示，因而大大减少了计算时间，提高了计算效率；
(3)计算占用内存资源很少。传统的Laguerre基FDTD算法由于需要求解大型线性方程组，占用的计算机内存量非常大。本发明算法达到了解耦、降维的效果，如式(36)～(44)所示，因而大大降低了对计算机内存的需求；
(4)具有很高的精度。本发明算法的精度可以通过调整迭代次数进行调节，还可以通过局部迭代，在一定范围内得到更高精度。一般而言，8次整体迭代后就能满足精度要求。
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
以不连续微带线的数值仿真为例，其结构和尺寸如图1所示，窄缝处采用扩展网格。激励源为高斯脉冲，计算时长为Tf＝0.8ns。分别采用传统FDTD算法、ADI-FDTD算法、传统Laguerre基FDTD算法和本发明算法进行数值仿真。
表1给出了不同计算方案重要参数设置和计算结果。其中Ns、Nt分别表示整体、局部迭代次数，局部迭代的区域为导带断点前后的4×10×46个网格。从表1中可以看到，本发明算法在Ns＝3、Nt＝9时，计算时间仅为6.97s，是传统FDTD算法的8.9％，是Laguerre基FDTD算法的23.8％。从内存需求上看，本发明算法为2.82MB，且不随迭代次数而改变，比传统FDTD算法略大，是Laguerre基FDTD算法的8.6％。
表1：不同算法消耗的计算资源
Figure BDA0002369018220000131
Figure BDA0002369018220000141
图2为采用不同方法计算的观测点的电场分量Ex的波形，可以看出，本发明算法在Ns＝3、Nt＝5时，波形就与其它三种算法吻合的很好。
本专利算法的误差可以通过相对误差来判定：
Figure BDA0002369018220000142
式中，RdB为以分贝为单位定义的相对误差，
Figure BDA0002369018220000143
为采用本专利算法计算出的电场分量，
Figure BDA0002369018220000144
为参考波形，是使用传统FDTD算法计算得到的。图3为不同迭代次数时观测点的电场分量Ex的相对误差，可以看出，在Ns＝3、Nt＝9时相对误差均小于40dB。
本发明算法结合了ADI算法和利用Laguerre基展开的思想，将Laguerre域的Maxwell方程组写成矩阵形式，通过主动增加误差项的方法，解耦了电、磁场分量的计算。更加有利的是，这种方法得到线性方程组中的未知场量全在一条直线上，即将需要求解的三维空间场问题化简到一条直线、一条直线上进行求解，几何级数地降低了线性方程组的维度，大大提高了计算效率，减小了内存消耗。最后通过交替方向迭代的方法，使误差项的大小趋于零，得到电磁场分量的精确解。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，包括如下步骤：
将三维Maxwell方程组变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程；
在所述Maxwell方程一侧添加误差项，使所述Maxwell方程一侧的系数矩阵分解成两个方阵乘积；
基于系数矩阵分解成两个方阵乘积的Maxwell方程求解Laguerre域的电场的中间变量，基于所述中间变量求解Laguerre域的具有误差的电场分量，基于所述具有误差的电场分量求解Laguerre域的具有误差的磁场分量；
利用迭代算法求解所述中间变量、所述具有误差的电场分量、所述具有误差的磁场分量，直至获取所述误差小于预设阈值的Laguerre域的电场分量和磁场分量；
基于所述Laguerre域的电场分量和磁场分量获取时域的电场分量和磁场分量。
2.根据权利要求1所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，将三维Maxwell方程组变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，包括：
利用Laguerre正交基将三维Maxwell方程组展开到Laguerre域，获取Laguerre域的六个Maxwell方程；
利用构造列向量法将所述Laguerre域的六个Maxwell方程变换为一个Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程。
3.根据权利要求2所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，基于所述Laguerre域的电场分量和磁场分量获取时域的电场分量和磁场分量，包括：利用Laguerre正交基展开的逆过程，将所述Laguerre域的电场分量和磁场分量变换为时域的电场分量和磁场分量。
4.根据权利要求3所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，所述时域的电场分量和磁场分量，其计算公式如下：
Figure FDA0002369018210000011
Figure FDA0002369018210000021
Figure FDA0002369018210000022
Figure FDA0002369018210000023
Figure FDA0002369018210000024
Figure FDA0002369018210000025
其中，
Figure FDA0002369018210000026
式中，Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)为时域的电场分量，Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)为时域的磁场分量，
Figure FDA0002369018210000027
为Laguerre域的电场分量，
Figure FDA0002369018210000028
Figure FDA0002369018210000029
为Laguerre域的磁场分量；
Figure FDA00023690182100000210
为p阶Laguerre基函数，Lp(st)为p阶Laguerre多项式，s为时间因子，t为时间变量，r为空间变量，e为自然常数。
5.根据权利要求1所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，所述迭代算法为高斯迭代算法。
6.根据权利要求1所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，所述Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，其表达式如下：
(I-M-N)Xq＝Yq-1+Sq，其中，
Figure FDA00023690182100000211
Figure FDA00023690182100000212
Figure FDA00023690182100000213
Figure FDA00023690182100000214
Figure FDA00023690182100000215
式中，(I-M-N)为Maxwell方程一侧的系数矩阵，Xq为由q阶未知电、磁场分量构成的向量，Yq-1为由(q-1)阶以下已知电、磁场分量构成的向量，Sq为由q阶场源分量构成的向量，
Figure FDA0002369018210000031
为由(q-1)阶以下已知电场分量构成的向量，
Figure FDA0002369018210000032
为由(q-1)阶以下已知磁场分量构成的向量，
Figure FDA0002369018210000033
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure FDA0002369018210000034
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的q阶Laguerre系数，
Figure FDA0002369018210000035
为时域电场分量Ex(r,t)、Ey(r,t)、Ez(r,t)的的k阶Laguerre系数，
Figure FDA0002369018210000036
为时域磁场分量Hx(r,t)、Hy(r,t)、Hz(r,t)的k阶Laguerre系数，
Figure FDA0002369018210000037
Figure FDA0002369018210000038
为电流源分量Jx、Jy、Jz的q阶Laguerre系数。
7.根据权利要求6所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，所述误差项，其表达式如下：
MN(Xq+Xq-1)；
式中，Xq-1为由(q-1)阶已知电、磁场分量构成的向量。
8.根据权利要求7所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，在一侧添加误差项后的Laguerre域的矩阵形式的Maxwell方程，其表达式如下：
(I-M)(I-N)Xq＝-MNXq-1+Yq-1+Sq；
式中，(I-M)(I-N)为所述两个方阵乘积。
9.根据权利要求8所述的三维交替迭代无条件稳定FDTD算法，其特征是，所述迭代算法，其计算公式如下：
Figure FDA0002369018210000039
式中，m为迭代次数，
Figure FDA00023690182100000310
为第(m+1)次迭代中待求的由q阶未知电、磁场分量构成的向量，
Figure FDA00023690182100000311
为由第m次迭代中已求的q阶电、磁场分量构成的向量。
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