CN111144030B - 循环超临界co2开发地热能的同轴换热器的性能分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，其所针对的同轴换热器，设置于地下所钻好的取地热井，并在安装好后固定处理，其结构包括超临界二氧化碳出口、超临界二氧化碳入口、固井水泥、套管、油管，用于携带热量的流体比如本发明所述的CO₂，从超临界二氧化碳入口进入，从同轴换热器的油管和套管之间的环空送至油管，并从油管送到超临界二氧化碳出口流出，包括如下步骤：流场进行建模、温度场计算模型、二氧化碳相态计算模型、换热器性能评价模型，以得到其性能参数。本发明提供了一种新的开发工具，使其能够有效地支持对流体和结构的选型，提高换热效果。

Description

循环超临界CO2开发地热能的同轴换热器的性能分析方法

技术领域

本发明涉及地热开发技术领域，特别是一种基于CO₂开发地热能的技术领域，具体是一种循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法。

背景技术

地热是一种可再生资源，采用井下换热器将地热的开发利用具有极大的经济价值和环境价值。随着对地热资源的开发，在以往的浅层土壤源地热开发利用中，井下换热器的出现解决了地热开发利用效率不高的问题，如回水管的散热损失严重，地层热量运移阻力大，地热资源综合利用效率低以及地层热恢复较慢等，让众多研究机构对换热器进行多种研究，来解决这些井下换热器研究也面临着许多急需解决的问题，公知的用于开发深层地热的方法分为开环和闭环两种方式。开环方式开发地热涉及流体的注入与采出对环境会造成一定程度的影响，而闭环方式则不涉及底层流体采出。且目前换热器多采用水作为载热流体，其换热效率较低，成本高，近年来，二氧化碳作为一种替代流体，出现在研究中，但由于其刚开始进入研究领域，很多基础算法尚未得到有效的设计，如换热性能分析等基础问题，亟待解决，才能为后续找到改进点提供技术支持。

发明内容

针对上述问题，本发明提供了一种循环超临界CO₂的同轴换热器性能的分析方法，作为开发工具，使其能够有效地支持对流体和结构的选型，提高换热效果。

本发明的技术方案如下：

一种循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，该同轴换热器的结构包括设置于地下所钻好的取地热井，并在安装好后固定处理，其结构包括超临界二氧化碳出口、超临界二氧化碳入口、固井水泥、套管、油管，所述油管设置于套管内，并保持同轴度，形成环空，套管连接到超临界二氧化碳入口，油管连接到超临界二氧化碳出口，固井水泥将套管固定；

采用循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，包括如下步骤：

步骤S10、对循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的流场进行建模，根据其流体流动情况，建立流场计算模型；

步骤S20、根据油管内流体的温度，结合油管内的其他参数，建立温度场计算模型；

步骤S30、根据二氧化碳温度压力和能量流动参数，建立二氧化碳相态计算模型；

步骤S40、根据步骤S10-S30得到的结果，建立换热器性能评价模型，以得到其性能参数；

其中，步骤S10、S20和S30之间顺序为顺次顺序，但在过程中会有部分耦合，S10-S30各自的部分计算步骤，在计算期间会用到另外两个步骤所得到的结果，以此实现计算结果的修正；

所述步骤S10，其建立流场计算模型的具体方法，步骤如下：

考虑到流体的可压缩性，采用有限体积法计算换热器中热载体流体的流动；守恒方程和动量方程表示为公式(1)和公式(2)：

式中，r是半径，m；

A为横截面积，m²；

p为二氧化碳的压力，Pa；

f为摩擦系数，无因次；

v为流速，m/s；

t为时间，s；

ρ为流体密度，kg/m³；其中ρ为CO₂的临界值密度，此时不刻意计算其随温度而产生的微量变化；

θ为井斜，度；

其中，f按公式(3)计算：

f＝8[(8/Re)¹²+(A+B)^-3/2]^1/12 (3)

其中

B＝(37530/Re)¹⁶ (5)

式中，Re是雷诺数，无因次；

Δ是管子的绝对粗糙度，μm；

通过守恒方程和动量方程，对得到的结果进行耦合，耦合过程的求解采用快速逐次超松弛迭代法，当满足下列方程时，流场计算模型可被视为收敛并停止迭代；

然后进入温度场的计算；

所述步骤S20中温度场计算模型，包括如下内容：

S201、所述油管内的流体的温度场通过公式(6)得到：

H_1,f+H_1,out+H_1,z+H_1,α＝H_1,t (7)

其中：

式中，

T₁和T₂分别为油管和油管内流体的温度，℃；

v₁为油管内的流速，m/s；

α_J为焦耳-汤姆逊系数，无因次；

c₁为油管内流体的热容，J/K；

λ₁为油管内流体的热导率，W/m-K；

ρ₁为油管内流体的密度，kg/m³；

t为时间，s；

Q1为流体摩擦损失产生的热能，W；

强迫对流换热系数和流体摩擦损失产生的热能，可以表示为公式(12)和(13)：

Q₁＝qΔp_f1 (14)

式中，

h1为强迫对流换热系数，W/(m·K)；

Re为雷诺数，无因次；

Pr为普朗特数，无因次，Pr＝μCp/λ，Cp为定压下的热容，J/K；

Δp_f为摩擦引起的压降，Pa；

p为二氧化碳的压力，Pa；

ρ为二氧化碳的密度，m³/KG；

v为流速，m/s；

θ为井斜，度；

t为时间，s；

q为流量；

油管的温度场为：

H_2,in+H_2,out+H_2,z＝H_2,t (15)

其中

H_2,z＝Δ(λ₂T₂) (18)

式中：

ρ₂为管的密度，kg/m³；

c₂为管的热容，J/K；

r₂为管的外半径，m；

T₃为环空流体温度，℃；

h2为管外强迫对流换热系数，无因次；

S202、环空中的流体的温度场为：

H_3,f+H_3,out+H_3,in+H_3,z+H_3,α＝H_3,t (20)

其中

式中：

ρ₃为环空流体密度，kg/m³；

c₃为环空流体热容，J/K；

h₃为强制对流换热系数，W/(m·K)；

T₄为套管温度，℃；

Q₂为流体摩擦损失产生的能量，J；

S203、套管的温度场为：

H_4,f+H_4,out+H_4,in+H_4,z＝H_4,t (27)

其中

H_4,z＝Δ(λ₄T₄) (31)

式中：

λ₄和λ₅分别为套管和水泥环的导热系数，W/(m·K)；

T₄和T₅分别为套管和水泥环的温度，℃；

ρ₄为套管的密度，kg/m³；

c₄为套管的热容，J/K；

S204、固井水泥及地层温度场为：

H_i,out+H_i,in+H_i,z＝H_i,t (i≥3) (33)

其中

H_i,z＝Δ(λ_iT_i) (36)

式中：

r_i为第i个元素在径向到井筒中心的距离，m；

λ_i是导热系数，W/(m·K)；

T_i是温度，℃；

ρ_i是密度，kg/m³；

c_i是热容，J/K；

下标i表示径向的第i个元素；

由于二氧化碳在流动过程中，由于温度压力的变化，其相态随时变化，而对其相态是需要进行计算，确保符合实际情况，所述步骤S30中二氧化碳相态计算模型为：

μ(ρ,T)＝μ⁰(T)+Δμ(ρ,T)+Δ_cμ(ρ,T) (42)

式中，

δ为还原密度，δ＝ρ/ρ_c；

τ为反向还原温度，℃，τ＝T_c/T；

c_p为恒压下的热容，J/K；

R_c为理想气体常数，无因次；

公式(37-41)中的φ^o(δ,τ)与φ^r(δ,τ)是Helmholtz提出的理想自由能和剩余自由能，其中，理想自由能φ^o(δ,τ)表示为：

其中参数

与

根据i值进行取值；

由于计算二氧化碳物性参数时需用φ^o(δ,τ)的各阶偏导，对公式(43)求导为公式(44)：

公式(43)中：

而Helmholtz提出的剩余自由能φ^r(δ,τ)，可以表示为：

其中：

公式(49-52)中，参数n_i、d_i、t_i、c_i、a_i、b_i、α_i、β_i、γ_i、ε_i、A_i、B_i、C_i及D_i的取值从对应的取值表中选择；

由于计算二氧化碳物性参数时需用的φ^r(δ,τ)的各阶偏导，因此可以对公式(45-49)偏导求得：

其中距离函数

的各阶偏导为：

其中指数函数Ψ的各阶偏导为：

所述步骤S40中换热器性能评价模型，其建立步骤如下：在地热能开发过程中，地质参数、换热器参数、热载体流体注入参数以及开发过程中的性能对开发效率有着重要影响；评价换热器的最直接的参数是热能输出量，通过公式(71)进行计算：

W_out＝c_outq_outT_out-c_inq_inT_in (71)

式中，c_out、c_in、q_out、q_in和T_out、T_in分别为热容、质量流量和温度，分别从步骤S10-30中得到上述参数；下标in和out分别对应于入口和出口；

对应输出功率，计算输入功率，输入功率用于克服载热流体循环过程中的摩擦阻力，表示为:

使用性能系数(COP)来评估换热器的性能，采用公式(73)来计算：

其中，W_in和W_out是换热器的输入输出功率；

式中，ρ_in和ρ_out，p_in和p_out分别为热载体流体的密度和压力，同理，ρ_in和ρ_out，需要根据其在进出的时候对应的温度和流速，判断其密度，需借助S10-30的计算结果，p_in和p_out借助入口和出口所设置的压力表读取。

本发明的有益之处在于：

1、二氧化碳作为载热流体开发地热效果显著，且以二氧化碳作为载热流体还可以CCUS(碳捕获、利用与封存)缓解二氧化碳对气候变暖的影响，本发明所提供的模拟及热泵分析方法，作为开发工具，能有效的计算出精确的换热器性能参数，并通过相关参数为选型和流体选择，结构参数改进提供指引，提高通过二氧化碳采集地热的技术革新。

2、本发明提出综合且全面的同轴换热器性能评价模型，其耦合流固热及二氧化碳的相态变化过程。进而提供了一种基于深层地热开发的高效、安全的开发工具，其采用二氧化碳作为传热流体，相比较水作为载热流体的换热器，该方法性能系数换热系数高出10倍多，最大热能采出量高出近4倍。

3、随着化石能源的开发利用，空气污染和气候变化问题己成为了全球面临的一个难题，地热作为一种新型清洁可再生能源的提出有望解决这一难题，本发明提出的同轴换热器在开发地热时候不会影响地下流体。符合国家对于地热开发利用提出的“取热不取水"原则，具有较大的发展前景，该换热器可以通过对油气开发中的废气的油气井进行实现，可以再利用废弃油井，实现资源二次利用并有效降低地热开发成本。

附图说明

图1为本发明所述的同轴换热器的结构及流向示意图；

图2为本发明的计算步骤示意图；

图3为本发明不同流体的最大输出功率；

图4为本发明的不同流体下的能效系数比。

图中，1-超临界二氧化碳处口；2-超临界二氧化碳入口；3-固井水泥；4-套管；5-油管。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

一种循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，其所针对的同轴换热器，如图1所示，设置于地下所钻好的取地热井，并在安装好后固定处理，其结构包括超临界二氧化碳出口、超临界二氧化碳入口、固井水泥、套管、油管，用于携带热量的流体比如本发明所述的CO₂，从超临界二氧化碳入口进入，从同轴换热器的油管和套管之间的环空送至油管，并从油管送到超临界二氧化碳出口流出，如图2所示，包括如下步骤：

步骤S10、对循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的流场进行建模，根据其流体流动情况，建立流场计算模型；

步骤S20、根据油管内流体的温度，结合油管内的其他参数，建立温度场计算模型；

步骤S30、根据二氧化碳温度压力和能量流动参数，建立二氧化碳相态计算模型；

步骤S40、根据步骤S10-S30得到的结果，建立换热器性能评价模型，以得到其性能参数。

进一步的，其中，步骤S10、S20和S30之间顺序为顺次顺序，但在过程中会有部分耦合，S10-S30各自的部分计算步骤，在计算期间会用到另外两个步骤所得到的结果，以此实现计算结果的修正。

进一步的，所述步骤S10，其建立流场计算模型的具体方法，步骤如下：

考虑到流体的可压缩性，采用有限体积法计算换热器中热载体流体的流动；守恒方程(即物质平衡方程)和动量方程(即压力场)可以表示为公式(1)和公式(2)：

式中，r是半径，m；

A为横截面积，m²；

p为二氧化碳的压力，Pa；

f为摩擦系数，无因次；

v为流速，m/s；

t为时间，s；

ρ为流体密度，kg/m³；其中ρ为CO₂的临界值密度，此时不刻意计算其随温度而产生的微量变化；

θ为井斜，度；

其中，f按公式(3)计算：

f＝8[(8/Re)¹²+(A+B)^-3/2]^1/12 (3)

其中

B＝(37530/Re)¹⁶ (5)

式中，Re是雷诺数，无因次；

Δ是管子的绝对粗糙度，μm；

通过守恒方程和动量方程，对得到的结果进行耦合，耦合过程的求解采用快速逐次超松弛迭代法，当满足下列方程时，该模型可被视为收敛并停止迭代；

当判断结果为是，则进入温度场的计算，否则重新执行S10。

进一步的，所述步骤S20中温度场计算模型，包括如下内容：

S201、所述油管内的流体的温度场通过公式(6)得到：

H_1,f+H_1,out+H_1,z+H_1,α＝H_1,t (7)

其中：

式中，

T₁和T₂分别为油管和油管内流体的温度，℃；

v₁为油管内的流速，m/s；

α_J为焦耳-汤姆逊系数，无因次；

c₁为油管内流体的热容，J/K；

λ₁为油管内流体的热导率，W/m-K；

ρ₁为油管内流体的密度；

t为时间；

Q₁为流体摩擦损失产生的热能，W；

强迫对流换热系数和流体摩擦损失产生的热能，可以表示为公式(12)和(13)：

Q₁＝qΔp_f1 (14)

式中，

h1为强迫对流换热系数，W/(m·K)；

Re为雷诺数，无因次；

Pr为普朗特数，无因次，Pr＝μC_p/λ，C_p为定压下的热容，J/K；

Δp_f为摩擦引起的压降，Pa；

p为二氧化碳的压力，Pa；

ρ为二氧化碳的密度，m³/KG；

v为流速，m/s；

θ为井斜，度；

t为时间，s；

q为流量；

油管的温度场为：

H_2,in+H_2,out+H_2,z＝H_2,t (15)

其中

H_2,z＝Δ(λ₂T₂) (18)

式中：

ρ₂为管的密度，kg/m³；

c₂为管的热容，J/K；

r₂为管的外半径，m；

T₃为环空流体温度，℃；

h₂为管外强迫对流换热系数，无因次；

S202、环空中的流体的温度场为：

H_3,f+H_3,out+H_3,in+H_3,z+H_3,α＝H_3,t (20)

其中

式中：

ρ₃为环空流体密度，kg/m³；

c₃为环空流体热容，J/K；

h₃为强制对流换热系数，W/(m·K)；

T₄为套管温度，℃；

Q₂为流体摩擦损失产生的能量，J；

S203、套管的温度场为：

H_4,f+H_4,out+H_4,in+H_4,z＝H_4,t (27)

其中

H_4,z＝Δ(λ₄T₄) (31)

式中：

λ₄和λ₅分别为套管和水泥环的导热系数，W/(m·K)；

T₄和T₅分别为套管和水泥环的温度，℃；

ρ₄为套管的密度，kg/m³；

c₄为套管的热容，J/K；

S204、固井水泥及地层温度场为：

H_i,out+H_i,in+H_i,z＝H_i,t (i≥3) (33)

其中

H_i,z＝Δ(λ_iT_i) (36)

式中：

r_i为第i个元素在径向到井筒中心的距离，m；

λ_i是导热系数，W/(m·K)；

T_i是温度，℃；

ρ_i是密度，kg/m³；

c_i是热容，J/K；

下标i表示径向的第i个元素。

进一步的，由于二氧化碳在流动过程中，由于温度压力的变化，其相态随时变化，而对其相态是需要进行计算，确保符合实际情况，所述步骤S30中二氧化碳相态计算模型为：

μ(ρ,T)＝μ⁰(T)+Δμ(ρ,T)+Δ_cμ(ρ,T) (42)

式中，

δ为还原密度，δ＝ρ/ρ_c；

τ为反向还原温度，℃，τ＝T_c/T；

c_p为恒压下的热容，J/K；

R_c为理想气体常数，无因次；

公式(37-41)中的φ^o(δ,τ)与φ^r(δ,τ)是Helmholtz提出的理想自由能和剩余自由能，其中，理想自由能φ^o(δ,τ)表示为：

其中参数

与

的取值如表1所示：

表1参数

与

取值

由于计算二氧化碳物性参数时需用φ^o(δ,τ)的各阶偏导，对公式(43)求导为公式(44)：

公式(43)中

而Helmholtz提出的剩余自由能φ^r(δ,τ)，可以表示为：

其中：

公式(49-52)中，参数n_i、d_i、t_i、c_i、a_i、b_i、α_i、β_i、γ_i、ε_i、A_i、B_i、C_i及D_i取值如表2所示：

表2剩余自由能参数取值

由于计算二氧化碳物性参数时需用的φ^r(δ,τ)的各阶偏导，因此可以对公式(45-49)偏导求得：

其中距离函数

的各阶偏导为：

其中指数函数Ψ的各阶偏导为：

在此步骤后，再次进行如公式(6)的收敛分析，当判断收敛后进入下一步，否则重新执行S10-S30。

进一步的，所述步骤S40中换热器性能评价模型，其建立步骤如下：在地热能开发过程中，地质参数、换热器参数、热载体流体注入参数以及开发过程中的性能对开发效率有着重要影响；评价换热器的最直接的参数是热能输出量，它可以通过：

W_out＝c_outq_outT_out-c_inq_inT_in (71)

式中，c_out、c_in、q_out、q_in和T_out、T_in分别为热容、质量流量和温度，分别从步骤S10-30中得到上述参数；下标in和out分别对应于入口和出口。然而，由于能量输入不可忽略，仅以热能输出来评价换热器的性能并不严格。忽略能量的输入，仅以热能的输出来评价换热器的性能是不严谨的；因此，使用性能系数(COP)来评估换热器的性能，采用公式(72)来计算：

其中，W_in和W_out是换热器的输入输出功率。输入功率主要用于克服载热流体循环过程中的摩擦阻力，因此输入功率可以表示为:

式中，ρ_in和ρ_out，p_in和p_out分别为热载体流体的密度和压力，同理，ρ_in和ρ_out，需要根据其在进出的时候对应的温度和流速，判断其密度，需借助S10-30的计算结果，p_in和p_out借助入口和出口所设置的压力表读取。

实施例：

利用上述方法，对某区域的井下的同轴换热器进行实验，分别采用水和二氧化碳作为流体，其结果如表3所示，并通过图3和4，对比观察：

表3流体与性能结果

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的改进。

Claims (1)

1.一种循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，其特征在于，该同轴换热器的结构包括设置于地下所钻好的取地热井，并在安装好后固定处理，其结构包括超临界二氧化碳出口、超临界二氧化碳入口、固井水泥、套管、油管，所述油管设置于套管内，并保持同轴度，形成环空，套管连接到超临界二氧化碳入口，油管连接到超临界二氧化碳出口，固井水泥将套管固定；

采用循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的性能分析方法，包括如下步骤：

步骤S10、对循环超临界CO₂开发地热能的同轴换热器的流场进行建模，根据其流体流动情况，建立流场计算模型；

步骤S20、根据油管内流体的温度，结合油管内的其他参数，建立温度场计算模型；

步骤S30、根据二氧化碳温度压力和能量流动参数，建立二氧化碳相态计算模型；

步骤S40、根据步骤S10-S30得到的结果，建立换热器性能评价模型，以得到其性能参数；

其中，步骤S10、S20和S30之间顺序为顺次顺序，但在过程中会有部分耦合，S10-S30各自的部分计算步骤，在计算期间会用到另外两个步骤所得到的结果，以此实现计算结果的修正；

所述步骤S10，其建立流场计算模型的具体方法，步骤如下：

考虑到流体的可压缩性，采用有限体积法计算换热器中热载体流体的流动；守恒方程和动量方程表示为公式(1)和公式(2)：

式中，r是半径，m；

A为横截面积，m²；

p为二氧化碳的压力，Pa；

f为摩擦系数，无因次；

v为流速，m/s；

t为时间，s；

ρ为流体密度，kg/m³；其中ρ为CO₂的临界值密度，此时不刻意计算其随温度而产生的微量变化；

θ为井斜，度；

其中，f按公式(3)计算：

f＝8[(8/Re)¹²+(A+B)^-3/2]^1/12 (3)

其中

B＝(37530/Re)¹⁶ (5)

式中，Re是雷诺数，无因次；

Δ是管子的绝对粗糙度，μm；

通过守恒方程和动量方程，对得到的结果进行耦合，耦合过程的求解采用快速逐次超松弛迭代法，当满足下列方程时，流场计算模型可被视为收敛并停止迭代；

然后进入温度场的计算；

所述步骤S20中温度场计算模型，包括如下内容：

S201、所述油管内的流体的温度场通过公式(6)得到：

H_1,f+H_1,out+H_1,z+H_1,α＝H_1,t (7)

其中：

式中，

T₁和T₂分别为油管和油管内流体的温度，℃；

v₁为油管内的流速，m/s；

α_J为焦耳-汤姆逊系数，无因次；

c₁为油管内流体的热容，J/K；

λ₁为油管内流体的热导率，W/m-K；

ρ₁为油管内流体的密度，kg/m³；

t为时间，s；

Q1为流体摩擦损失产生的热能，W；

强迫对流换热系数和流体摩擦损失产生的热能，可以表示为公式(12)和(13)：

Q₁＝qΔp_f1 (14)

式中，

h1为强迫对流换热系数，W/(m·K)；

Re为雷诺数，无因次；

Pr为普朗特数，无因次，Pr＝μCp/λ，Cp为定压下的热容，J/K；

Δp_f为摩擦引起的压降，Pa；

p为二氧化碳的压力，Pa；

ρ为二氧化碳的密度，m³/KG；

v为流速，m/s；

θ为井斜，度；

t为时间，s；

q为流量；

油管的温度场为：

H_2,in+H_2,out+H_2,z＝H_2,t (15)

其中

H_2,z＝Δ(λ₂T₂) (18)

式中：

ρ₂为管的密度，kg/m³；

c₂为管的热容，J/K；

r₂为管的外半径，m；

T₃为环空流体温度，℃；

h2为管外强迫对流换热系数，无因次；

S202、环空中的流体的温度场为：

H_3,f+H_3,out+H_3,in+H_3,z+H_3,α＝H_3,t (20)

其中

式中：

ρ₃为环空流体密度，kg/m³；

c₃为环空流体热容，J/K；

h₃为强制对流换热系数，W/(m·K)；

T₄为套管温度，℃；

Q₂为流体摩擦损失产生的能量，J；

S203、套管的温度场为：

H_4,f+H_4,out+H_4,in+H_4,z＝H_4,t (27)

其中

H_4,z＝Δ(λ₄T₄) (31)

式中：

λ₄和λ₅分别为套管和水泥环的导热系数，W/(m·K)；

T₄和T₅分别为套管和水泥环的温度，℃；

ρ₄为套管的密度，kg/m³；

c₄为套管的热容，J/K；

S204、固井水泥及地层温度场为：

H_i,out+H_i,in+H_i,z＝H_i,t (i≥3) (33)

其中

H_i,z＝Δ(λ_iT_i) (36)

式中：

r_i为第i个元素在径向到井筒中心的距离，m；

λ_i是导热系数，W/(m·K)；

T_i是温度，℃；

ρ_i是密度，kg/m³；

c_i是热容，J/K；

下标i表示径向的第i个元素；

由于二氧化碳在流动过程中，由于温度压力的变化，其相态随时变化，而对其相态是需要进行计算，确保符合实际情况，所述步骤S30中二氧化碳相态计算模型为：

μ(ρ,T)＝μ⁰(T)+Δμ(ρ,T)+Δ_cμ(ρ,T) (42)

式中，

δ为还原密度，δ＝ρ/ρ_c；

τ为反向还原温度，℃，τ＝T_c/T；

c_p为恒压下的热容，J/K；

R_c为理想气体常数，无因次；

公式(37-41)中的φ^o(δ,τ)与φ^r(δ,τ)是Helmholtz提出的理想自由能和剩余自由能，其中，理想自由能φ^o(δ,τ)表示为：

其中参数

与

根据i值进行取值；

由于计算二氧化碳物性参数时需用φ^o(δ,τ)的各阶偏导，对公式(43)求导为公式(44)：

公式(43)中：

而Helmholtz提出的剩余自由能φ^r(δ,τ)，可以表示为：

其中：

公式(49-52)中，参数n_i、d_i、t_i、c_i、a_i、b_i、α_i、β_i、γ_i、ε_i、A_i、B_i、C_i及D_i的取值从对应的取值表中选择；

由于计算二氧化碳物性参数时需用的φ^r(δ,τ)的各阶偏导，因此可以对公式(45-49)偏导求得：

其中距离函数

的各阶偏导为：

其中指数函数Ψ的各阶偏导为：

所述步骤S40中换热器性能评价模型，其建立步骤如下：在地热能开发过程中，地质参数、换热器参数、热载体流体注入参数以及开发过程中的性能对开发效率有着重要影响；评价换热器的最直接的参数是热能输出量，通过公式(71)进行计算：

W_out＝c_outq_outT_out-c_inq_inT_in (71)

式中，c_out、c_in、q_out、q_in和T_out、T_in分别为热容、质量流量和温度，分别从步骤S10-30中得到上述参数；下标in和out分别对应于入口和出口；

对应输出功率，计算输入功率，输入功率用于克服载热流体循环过程中的摩擦阻力，表示为:

使用性能系数(COP)来评估换热器的性能，采用公式(73)来计算：

其中，W_in和W_out是换热器的输入输出功率；

式中，ρ_in和ρ_out，p_in和p_out分别为热载体流体的密度和压力，同理，ρ_in和ρ_out，需要根据其在进出的时候对应的温度和流速，判断其密度，需借助S10-30的计算结果，p_in和p_out借助入口和出口所设置的压力表读取。

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