CN111144008A - 一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法 - Google Patents

Abstract

一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法，以离散网格内拟合压力的高阶多项式为基础，依据达西定律推导得出网格内速度场的高阶多项式形式，利用离散网格压力和网格界面平均速度有限差分的数值解求解网格内的速度场分布、流线轨迹及飞行时间，定位流线的下游网格，将流线在本网格内的出口作为下游网格的入口，重复求解流线轨迹、飞行时间和下游网格入口，直至生产井网格，追踪得到完整的高阶流线；本发明给出了流线轨迹的解析解，计算效率更高，精确度和收敛性更强。

Description

一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法

技术领域

本发明涉及油气开发数值模拟技术领域，特别涉及一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法。

背景技术

流线是某一确定瞬时流场中的一组空间曲线，每条曲线上的每一点都与速度矢量相切。作为油藏数值模拟的一种核心算法，流线模拟能够根据储层地质结构、油气藏和流体物性、井网布置、完井方式、开发方式，说明流体的来向、流向与去向，直观反映瞬时流场和储层动用情况，动态展现注采井组的受效关系。相比其它油藏数值模拟方法，流线模拟具有计算速度快和流场可视化表征两大优势，尤其是流体流动轨迹等数据很难通过其它油藏数值模拟方法得到，流线模拟对科学高效开发油气藏具有重要意义。

流线追踪是指在给定油藏地质模型、井网类型、完井方式、开发方案、油藏和流体物性的情况下，追踪流线的轨迹并计算飞行时间。流线追踪是流线模拟的第一步，流线追踪中出现的错误会在之后的传质方程求解、实际工程应用中被进一步放大，导致结果谬误。因此，提高流线追踪的精度和速度，对于提高流线模拟结果的精确度和可靠度，指导油气田开发方案设计及优化具有重要意义。

流线追踪是在已知离散网格压力的条件下进行的。流线追踪的一般步骤为：依据网格压力或网格界面流量求解各网格内的速度场，并依此得出流线在本地网格中的出入口位置和飞行时间；定位此流线的上、下游网格。依次重复以上步骤直至注采井，得到完整的流线。常用的油藏数值模拟商业软件中的流线模块是基于传统的Pollock追踪方法，在应用于复杂的地质模型时，常会出现流线追踪结果不稳定、甚至出错的现象。这主要是因为Pollock流线追踪方法对速度场逼近的简化处理：它假设同一网格边界上的法向速度都相同，速度矢量沿着自身方向呈线性变化。但实际上，网格界面上各点的速度不同，尤其是当地质模型复杂或流动介质改变时，传统的Pollock流线追踪方法将无法满足运算精度上的要求。为保证流线模拟能够成功应用于各类油气藏，国内外学者从多个方面着手改进流线追踪方法。

2006年Journal of Computational Physics第219期，Matringe等推导出了不规则三角形和四边形网格内的速度场逼近多项式及相应流函数的半解析解。2009年SPEJournal第14期，Peng等提出了Darcy-stokes模型中的流线追踪方法。2010年SPEJournal第15期，Jimenez等提出了在断层处的流线追踪方法。2012年Water ResourcesResearch第48期，Zhang等提出了多边形网格中的流线追踪方法。2015年Transport inPorous Media第109期，Nunes等人提出了孔隙尺度下的流线追踪方法。2016年特种油气藏第23期，刘洪和赵隆顺利用形函数插值对压力场进行加密,然后进行流线追踪。2018年在SPE Annual Technical Conference and Exhibition，Chen等基于双孔双渗概念提出了天然裂缝储层中的流线追踪方法。2018年SPE Journal第23期，Wang等提出了近井周围流线追踪的解析方法。2018年Computational Geosciences第22期，Tang等提出了近井周围的流线追踪的数值方法。2004年Water Resources Research第40期，Donato和Blunt提出了双孔单渗模型中流线追踪方法。专利CN201810133612.6公开了一种基于质点追踪算法实现流线模拟的加速方法。存在的主要问题是：(1)现有的流线追踪方法在选择速度场逼近方程时参考的都是某一类数值方法，并未考虑其方程的物理意义，缺乏一定的科学性。(2)现有的流线追踪方法选用的速度场逼近方程以低阶多项式为主，其精确度和收敛性较差。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺陷，本发明的目的是提出一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法，以离散网格内拟合压力的高阶多项式为基础，依据达西定律推导得出网格内速度场的高阶多项式形式，利用离散网格压力和网格界面平均速度有限差分的数值解求解网格内的速度场分布、流线轨迹及飞行时间。

本发明的目的是通过下述技术方案来实现的。

一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法，包括下述步骤：

步骤一、利用正四边形网格将油藏数值模拟区域离散化，确定离散网格中的岩石流体物性参数、初始条件及边界条件，利用有限差分法计算网格压力及网格界面的平均速度(在x和y方向分别为

)；

其中，压力的差分方程为：

已知网格压力求解网格界面的平均速度为：

式中，μ为流体粘度；Ф为孔隙度；k_x为x-方向渗透率；k_y为y-方向渗透率；P为压力；Δx为网格在x-方向上的长度；T_x为x-方向传导系数；u_y为y-方向速度，

为网格界面y-方向平均速度，q为网格净流量；

步骤二、已知网格界面的平均速度

利用分段抛物线拟合方法(Piecewise Parabolic Method，PPM)求解网格顶点速度，再求得速度沿着界面变化的导数

以

为例，

其中，网格顶点速度的参考值为：

当网格位于封闭边界时，

步骤三、利用本网格界面速度及相邻网格界面速度的数值解求解速度场逼近高阶多项式系数，逼近每个网格内的速度场；

正四边形网格内速度场拟合的高阶多项式为：

u_x＝a₁+bx+c₁y+d₂y²-2d₂xy-d₁x²；

u_y＝a₂-by+c₂x+2d₁xy-d₁x²+d₂y².

式中，x，y为笛卡尔坐标；u_x，u_y为速度场在x，y方向上的分量；a₁，a₂，b，……，d₂为此步骤要求解的速度场逼近高阶多项式系数。每个网格的速度场不同，因此，具有不同的多项式系数；

推导网格界面平均速度及速度沿着界面的变化率的表达式：以u_y为例，

式中，

为网格中心的x坐标，y为y轴坐标。

在每个网格中，步骤一和二得出7个独立的参数，带入上式可求得7个多项式参数的值；

步骤四、在生产井网格界面处给定流线的起点，利用流函数求解本网格内的流线轨迹：由速度场逼近高阶多项式推导出正四边形网格内的流函数的解析解为：

式中，Ψ为流函数，也可看作流线的轨迹方程；x，y为笛卡尔坐标；a₁，a₂，b，……，d₂为步骤二中已求的速度场逼近高阶多项式系数；

步骤五、利用飞行时间的数学定义和梯形数值积分方法求解本网格内的飞行时间：

式中，τ为飞行时间；

步骤六、定位流线的下游网格，将流线在本网格内的出口作为下游网格的入口，重复步骤三至步骤五求解流线轨迹、飞行时间和下游网格入口，直至生产井网格，追踪得到完整的高阶流线。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)计算效率更高，精确度和收敛性更强。

(2)给出了流线轨迹的解析解。

附图说明

图1为差分网格离散示意图。

图2为分段抛物线拟合方法示意图。

图3为网格速度场多项式求解示意图。

图4为实施例1有限差分压力数值解。

图5为实施例1有限差分x方向平均速度数值解。

图6为实施例1有限差分y方向平均速度数值解。

图7为实施例1x方向速度沿y轴变化率。

图8为实施例1y方向速度沿x轴变化率。

图9为实施例1x方向速度场拟合结果。

图10为实施例1y方向速度场拟合结果。

图11为实施例1流线追踪结果。

图12为实施例1飞行时间结果。

图13为流线模拟求解系数总数与CPU的线性关系。

图14为流线模拟求解系数总数与速度场拟合误差的关系。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做详细叙述。

一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法，包括下述步骤：

步骤一、有一100m*100m*1m的均质油藏，渗透率为1D，孔隙度为0.1，封闭边界。油藏中饱和单相流体，粘度为1mPa.s。注入井和生产井分别位于油藏的对角边界上，恒定的注入速度和生产速度为1×10^-5m³/s。利用10*10个正四边形进行离散，每个正四边形长10m，宽10m。油藏和流体均不可压缩。通过有限差分方法计算网格压力和网格界面的平均速度。压力与速度的解如图4、图5、图6所示。

步骤二、利用PPM方法求解网格顶点速度，并沿网格界面求解其变化率。其速度变化率的结果如图7、图8所示。

步骤三、将网格界面平均速度及速度变化率的值带入式和，求解多项式系数。利用多项式系数拟合得出的速度场结果如图9、图10所示。

步骤四、在注入井网格给定11个流线追踪起始点(0.5,10)(2,10)(4,10)(6,10)(8,10)(10,10)(8,10)(6,10)(4,10)(2,10)(10,0.5)，利用流函数求解流线，得出的结果如图11所示。

步骤五、利用梯形数值积分法求解飞行时间，求解每条流线在每个网格的飞行时间。

步骤六、定位每一条流线的每一个网格的下游网格，将流线在本网格内的出口作为下游网格的入口，重复步骤三至步骤五求解流线轨迹、飞行时间和下游网格入口，直至生产井网格，从而得到完整的高阶流线，完整流线追踪结果如图11所示。每一条流线的飞行时间为该流线每一个网格的飞行时间之和，结果如图12所示。将本方法与Pollock经典流线追踪方法对比，两种方法的求解系数总数与CPU的线性关系如图13所示，流线模拟求解系数总数与速度场拟合误差的关系如图14所示。

计算方法的原理说明：

流线是某一确定瞬时流场中的一组空间曲线，每条曲线上的每一点都与速度矢量相切。因此，流线追踪的精度取决于速度场拟合的精度。然而，现有的流线追踪方法在选择速度场逼近方程时参考的都是某一类数值方法，并未考虑其方程的物理意义，缺乏一定的科学性；且流线追踪方法选用的速度场逼近方程以低阶多项式为主，其精确度和收敛性较差。

为解决以上问题，考虑到压力梯度是多孔介质对流主导流动的主要驱动力，且压力与速度呈正比关系，本计算方法依据压力的高阶拟合多项式推导速递场高阶拟合多项式，一方面拓展了为速度场拟合多项式的来源，并为其提供了物理意义；另一方面因为使用了高阶多项式从而提高了速度场拟合的精度和收敛速度。

在本计算方法中，压力的高阶拟合多项式为，

其中，A1，……D是压力拟合多项式系数，r是各向渗透率的比值Kx/Ky。

为能利用高阶多项式拟合速递场，必须在每个正四边形网格中求解7个速递场拟合多项式系数。而有限差分方法只能得出4个网格界面速度的平均值，达不到求解高阶多项式系数所需的7个线性方程的要求。因此，本方法利用本网格和相邻网格界面的平均速度及分段抛物线拟合方法(Piecewise Parabolic Method，PPM)求解网格顶点速度，再求得速度沿着界面变化的导数

以满足求解高阶多项式系数的要求。PPM方法在速度变化迅速或连续的区域同样适用，是一种的具有高阶精确度的、基于物理原理的速度解释方法。使用此方法保障了速递场高阶拟合的实施和结果的精确度。

为说明本方法在精确度、收敛度方面的优势，将其与现有的Pollock方法在均质油藏和非均质油藏均进行了比较。结果表明，高阶流线追踪方法较低阶的Pollock方法具有明显优势。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。

Claims (1)

1.一种基于高阶速度场拟合的流线追踪方法，其特征在于，包括下述步骤：

步骤一、利用正四边形网格将油藏数值模拟区域离散化，确定离散网格中的岩石流体物性参数、初始条件及边界条件，利用有限差分法计算网格压力及网格界面的平均速度，在x和y方向分别为

其中，压力的差分方程为：

已知网格压力求解网格界面的平均速度为，

式中，μ为流体粘度；Φ为孔隙度；k_x为x-方向渗透率；k_y为y-方向渗透率；P为压力；Δx为网格在x-方向上的长度；T_x为x-方向传导系数；u_y为y-方向速度，

为网格界面y-方向平均速度，q为网格净流量；

步骤二、已知网格界面的平均速度

利用分段抛物线拟合方法(PiecewiseParabolic Method，PPM)求解网格顶点速度，再求得速度沿着界面变化的导数

以

为例，

其中，网格顶点速度的参考值为：

当网格位于封闭边界时，

步骤三、利用本网格界面速度及相邻网格界面速度的数值解求解速度场逼近高阶多项式系数，逼近每个网格内的速度场，

正四边形网格内速度场拟合的高阶多项式为：

u_x＝a₁+bx+c₁y+d₂y²-2d₂xy-d₁x²；

u_y＝a₂-by+c₂x+2d₁xy-d₁x²+d₂y².

式中，x，y为笛卡尔坐标；u_x，u_y为速度场在x，y方向上的分量；a₁，a₂，b，……，d₂为此步骤要求解的速度场逼近高阶多项式系数，每个网格的速度场不同，因此，具有不同的多项式系数，

推导网格界面平均速度及速度沿着界面的变化率的表达式，以u_y为例，

式中，

为网格中心的x坐标，y为y轴坐标，

在每个网格中，步骤一和二得出7个独立的参数，带入上式可求得7个多项式参数的值；

步骤四、在生产井网格界面处给定流线的起点，利用流函数求解本网格内的流线轨迹，由速度场逼近高阶多项式推导出正四边形网格内的流函数的解析解为，

式中，Ψ为流函数，也可看作流线的轨迹方程；x，y为笛卡尔坐标；a₁，a₂，b，……，d₂为步骤二中已求的速度场逼近高阶多项式系数；

步骤五、利用飞行时间的数学定义和梯形数值积分方法求解本网格内的飞行时间，

式中，τ为飞行时间；

步骤六、定位流线的下游网格，将流线在本网格内的出口作为下游网格的入口，重复步骤三至步骤五求解流线轨迹、飞行时间和下游网格入口，直至生产井网格，追踪得到完整的高阶流线。

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