CN111132259B - 一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法 - Google Patents

一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，其传输过程为：首先，在窃听者服从泊松簇过程这一假设下推导得到了系统安全中断概率和连接中断概率的表达式；接着，在安全中断概率满足给定阈值的情况下，以连接中断概率最小为目标，针对给定路径推导得到了源与各跳中继的最优传输功率；最后，根据求得的最优传输功率进一步推导父亲节点位置未知和已知两种情况下的最优路由。本发明提供一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，将窃听者的位置建模为PCP分布，兼顾了无线自组织网络信息传输的安全性和可靠性，在安全中断概率满足给定阈值的条件下使连接中断概率达到最小。

Description

一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法
技术领域
本发明属于无线通信技术领域，具体涉及一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法。
背景技术
无线通信技术近几十年取得了迅猛发展，各种新型的无线通信网络形态，如无线传感器网络、短距离无线超宽带网络、以及无线自组织网络等不断涌现并趋向成熟。其中，无线自组织网络以无中心、自组织、无需基础设施等特点被广泛应用于军事、交通、救援等各种领域。在无线自组织网络中，受节点发射功率限制，信息传输大多需要通过中继节点的多跳转发才能满足合法通信双方的通信需求。在无线场景下，信道的开放性特征使得信息在传播过程中被窃听或攻击的风险加大，从而造成信息泄露。对无线自组织网络而言，其自组织的部署特性使窃听节点的广泛存在成为可能，而多跳传输的特点则会给窃听者提供更多的窃听机会，造成极大的安全隐患。鉴于此，迫切需要展开无线多跳自组织网络的传输安全性研究。
近年来，物理层安全通信技术成为无线通信系统中信息安全领域新的研究热点，常采用多天线、协作通信、波束赋型以及人工加噪等物理层安全技术手段。针对无线多跳自组织网络，除了采用以上技术手段外，还可以通过功率分配和路由选择来提高系统的安全性能。研究中常以安全中断概率为指标求其路由选择或功率分配问题，并未考虑系统的可靠性指标。并且在研究中常假设已知合法节点和窃听节点的信道状态信息。然而在实际情况中，窃听节点往往工作在被动状态下，其相关信息很难获得。针对该情况，常将窃听者的位置建模为PPP(Poisson Point Process)分布。然而由于地理因素的影响，节点可能是聚类的分布，例如移动用户常聚集在人口密集的城市周围，这时窃听者位置一般假设为分簇的分布模型。另外即使当窃听节点服从PPP分布，参与窃听活动的节点子集也很可能不是均匀分布的，此时PPP分布就不能提供准确的模型。为此，提出使用泊松簇过程(PCP，PoissonCluster Process)对窃听者的位置进行建模。泊松簇过程由父亲点的点过程及依附在其周围的子女点的点过程共同构成，一般用来给具有随机聚集特性的空间分布进行建模。
综上，现有技术中无线自组织网络信息传输存在不能兼顾安全性和可靠性，即在安全中断概率满足给定阈值的条件下，连接中断概率不够小。
发明内容
本发明的目的是提供一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，将窃听者的位置建模为PCP分布，综合考虑无线自组织网络信息传输的安全性和可靠性，解决了现有技术中无线自组织网络信息传输安全性和可靠性不能兼顾，即在安全中断概率满足给定阈值的条件下，连接中断概率不够小的问题。
本发明所采用的技术方案是，
一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，具体操作包括如下过程：
步骤1：在窃听者服从PCP分布的情况下，无线多跳自组织网络包含一个源节点S、一个目的节点D、多个备选中继节点和多个窃听节点，该网络的整个传输过程分K跳完成；
步骤2：在任意一跳中一个或多个窃听者的信噪比高于给定阈值γe时，窃听者可以解码该消息而发生中断的概率，即安全中断概率Pso；
在接收者的信噪比低于给定阈值γc时，接收者不能正确解码该消息而发生中断的概率，即连接中断概率Pco；
步骤3：将源节点到目的节点的所有可行路径的集合定义为SΠ，并将ζ定义为安全中断概率的阈值，按照以下步骤优化整个过程：
第一阶段：在窃听者服从泊松簇过程这一假设下推导得到了系统安全中断概率和连接中断概率的表达式；
第二阶段：在安全中断概率满足给定阈值的情况下，以连接中断概率最小为目标，针对给定路径推导得到了源与各跳中继的最优传输功率；
第三阶段：根据最优传输功率推导父亲节点位置未知和已知两种情况下的最优路由。
本发明的特点还在于，
步骤1中，窃听者服从PCP分布包括将该分布中第n个窃听者簇表示为Cn(n＝1，…，N)，将其半径表示为将簇Cn中的窃听者表示为/>分别针对父亲节点位置已知和未知两种情况展开研究，将窃听节点的概率密度函数表示为如公式(1)：
其中，是父亲节点的坐标，||·||代表欧氏范数。
步骤1中，整个传输过程包括在每一跳的传输过程中，合法接收节点在接收信息的同时窃听节点也在窃听信息，在第k跳，节点Rk和En，i接收到来自Tk的消息xT，其接收信号可分别表示为如公式(2)和公式(3)：
其中，表示第k跳节点Tk的发送功率，/>和/>分别表示Tk-Rk和Tk-En,i链路的信道衰落系数，/>和/>分别表示Tk-Rk和Tk-En,i之间的距离，α表示路径损耗指数，和/>分别表示节点Rk和En,i处的加性高斯白噪声，假设其方差均为σ2；
节点Rk和En,i的接收信噪比分别为如公式(4)和公式(5)：
步骤2中，第lk跳的安全中断概率为：
整条路径的安全中断概率为：
第lk跳的连接中断概率为：
整条路径的连接中断概率为：
优化过程表示为：
s.t.Pso(Π)≤ζ (11)。
步骤3中，第一阶段的具体过程为：
对于父亲节点位置未知的情况，将公式(5)代入公式(6)中，得到第lk跳的安全中断概率的上界为如公式(12)：
其中，表示概率生成函数(PGFL，Probability Generating Functional)如公式(13)：
将公式(12)代入公式(7)中，得到在父亲节点位置未知的情况下，整个路径的安全中断概率为如公式(14)：
其中，
将公式(8)代入公式(9)中，并令得到此时整个路径的连接中断概率为：
对于父亲节点位置已知的情况，将公式(5)代入公式(6)中，并利用概率生成函数公式(13)，可得第lk跳的安全中断概率为：
当已知窃听者的平均数量和窃听者簇的位置时，利用中心逼近法假设所有窃听节点都位于其簇的中心位置，则安全中断概率可近似为：
将公式(17)代入公式(7)中，可得在父亲节点位置已知的情况下，整个路径的安全中断概率为：
与父亲节点位置未知的情况类似，给定路径下父亲节点位置已知时整个路径的连接中断概率如公式(15)所示。
步骤3中，第二阶段的具体过程为：
在给定路径下，针对父亲节点位置未知的情况，原优化问题可转化为：
将公式(14)代入公式(20)的不等式约束并进行简化，该约束可表示为
由公式(15)可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式(21)是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，此时优化问题可以转化为：
其中，
利用拉格朗日乘数法对其进行求解，可得第lk跳的最优传输功率为：
在给定路径下，针对父亲节点位置已知的情况，原优化问题可转化为：
将公式(18)代入公式(25)的不等式约束并进行简化，该约束可表示为：
其中，
由公式(15)可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式(26)是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，则此时的优化问题可以转化为：
其中，
利用拉格朗日乘数法进行求解，可得第lk跳的最优传输功率为：
步骤3中，第三阶段的具体过程如下：
针对父亲节点位置未知的情况，将公式(23)求得的最优传输功率代入到公式(15)中，可得安全路由问题为：
该问题等价于
在父亲节点位置未知的情况下：将网络拓扑中邻居节点间的距离用进行赋值，则该问题可转化为最优路由问题，通过Dijkstra算法求解；
针对父亲节点位置已知的情况，将公式(28)求得的最优传输功率代入到公式(15)中，可得安全路由问题为：
该问题等价于
本发明的有益效果是，本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法及其制备方法，将窃听者的位置建模为PCP分布，综合考虑无线自组织网络信息传输的安全性和可靠性，提出了一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择算法，在安全中断概率满足给定阈值的条件下使连接中断概率达到最小。
附图说明
图1是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法中非均匀窃听者簇的无线自组织网络的模型图；
图2是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法中发送节点、接收节点和窃听节点之间的位置关系示意图；
图3是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法中在父亲节点位置未知下不同合法节点个数下连接中断概率随安全中断概率给定阈值变化的仿真和数值计算对比图；
图4是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法中在父亲节点位置未知下不同的窃听者密度和窃听者数量下连接中断概率随安全中断概率给定阈值变化的仿真和数值计算对比图；
图5是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置已知下不同合法节点个数下连接中断概率随安全中断概率给定阈值变化的仿真和数值计算对比图；
图6是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置已知下不同的窃听者数量下连接中断概率随安全中断概率给定阈值变化的仿真和数值计算对比图；
图7是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置未知下三种不同路由选择算法的路由选择结果示意图；
图8是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置未知下三种不同路由选择算法的系统性能比较结果示意图；
图9是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置已知下三种不同路由选择算法的路由选择结果示意图；
图10是本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法在父亲节点位置已知下三种不同路由选择算法的系统性能比较结果示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法进行详细说明。
本发明是一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，具体操作包括如下过程：
如图1所示，考虑一个由多个合法节点和窃听节点组成的无线多跳自组织网络。该网络包含一个源节点S、一个目的节点D、多个备选中继节点和多个窃听节点。假设所有节点均配备单根天线，在半双工模式下工作。在该多跳网络中，源节点和目的节点通过K-1个中继节点的信息转发完成信息传输。将第k跳表示为lk(k＝1,…,K)，则整个传输路径可表示为Π＝{l1,…,lK}。将第lk跳的合法发送和接收节点分别表示为Tk和Rk，则源节点S可表示为T1，目的节点D可表示为RK。将第lk跳中Tk-Rk和Tk-En,i链路的信道衰落系数分别表示为和/>假设/>和/>服从均值为零、方差为1的复高斯分布，则/>和/>均服从均值为1的指数分布。
本文假设窃听者服从PCP分布，将该分布中第n个窃听者簇表示为Cn(n＝1,…,N)，将其半径表示为将簇Cn中的窃听者表示为En,i，本文将分别针对父亲节点位置已知和未知两种情况展开研究。当父亲节点位置未知时，假设窃听者簇的父亲节点分布是一个密度为/>的齐次泊松点过程，用/>表示，子女节点则是以父亲节点为圆心，在半径为/>的圆内均匀分布，在每个圆内平均产生/>个点，因此窃听者的密度是/>窃听者是在上各向同性的泊松簇过程/>当父亲节点位置已知时，假设窃听者簇Cn是半径为/>平均数量为/>的各向同性的泊松过程/>窃听者簇的中心是已知的，本簇的窃听者在半径为/>的圆内遵循均匀分布。将窃听节点的概率密度函数表示为：
其中，是父亲节点的坐标，||·||代表欧氏范数。
由前文可知，保密信息的整个传输过程分K跳完成，在每一跳的传输过程中，合法接收节点在接收信息的同时窃听节点也在窃听信息。在第k跳，节点Rk和En,i接收到来自Tk的消息xT，其接收信号可分别表示为：
其中，表示第k跳节点Tk的发送功率，/>和/>分别表示Tk-Rk和Tk-En,i链路的信道衰落系数，/>和/>分别表示Tk-Rk和Tk-En,i之间的距离，α表示路径损耗指数，和/>分别表示节点Rk和En,i处的加性高斯白噪声，假设其方差均为σ2；
为提高系统安全性，本文采用随机转发策略，即源和各跳中继节点均使用不同的码本来发送保密信息，这样单个窃听者就不能组合来自多跳的信号，同时假设多个窃听者之间也不能合作。此时节点Rk和En,i的接收信噪比分别为：
本文采用安全中断概率和连接中断概率作为衡量传输安全性和可靠性的指标。
安全中断概率是指任意一跳中一个或多个窃听者的信噪比高于给定阈值γe时，窃听者可以解码该消息而发生中断的概率，表示为Pso。因此第lk跳的安全中断概率为：
整条路径的安全中断概率为：
连接中断概率指接收者的信噪比低于给定阈值γc时，接收者不能正确解码该消息而发生中断的概率，表示为Pco。则第lk跳的连接中断概率为：
整条路径的连接中断概率为：
本文考虑如何在安全中断概率满足给定阈值的情况下使连接中断概率达到最小。将源节点到目的节点的所有可行路径的集合定义为SΠ，并将ζ定义为安全中断概率的阈值，则该优化问题可以表示为：
s.t.Pso(Π)≤ζ (11)。
整个优化过程包括：
第一阶段：在窃听者服从泊松簇过程这一假设下推导得到了系统安全中断概率和连接中断概率的表达式；
具体过程如下：
对于父亲节点位置未知的情况，将公式(5)代入公式(6)中，可得第lk跳的安全中断概率的上界为：
其中，表示概率生成函数如公式(13)：
将公式(12)代入公式(7)中，可得在父亲节点位置未知的情况下，整个路径的安全中断概率为：
其中，
将公式(8)代入公式(9)中，并令可得此时整个路径的连接中断概率为：
对于父亲节点位置已知的情况，将公式(5)代入公式(6)中，并利用概率生成函数公式(13)，可得第lk跳的安全中断概率为：
发送节点Tk和接收节点Rk以及窃听节点En,i的位置关系如图2所示，当已知窃听者的平均数量和窃听者簇的位置时，利用中心逼近法假设所有窃听节点都位于其簇的中心位置，则安全中断概率可近似为：
将公式(17)代入公式(7)中，可得在父亲节点位置已知的情况下，整个路径的安全中断概率为：
与父亲节点位置未知的情况类似，给定路径下父亲节点位置已知时整个路径的连接中断概率如公式(15)所示。
第二阶段：在安全中断概率满足给定阈值的情况下，以连接中断概率最小为目标，针对给定路径推导得到了源与各跳中继的最优传输功率；
具体过程如下：
在给定路径下，针对父亲节点位置未知的情况，原优化问题可转化为：
将公式(14)代入公式(20)的不等式约束并进行简化，该约束可表示为
由公式(15)可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式(21)是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，此时优化问题可以转化为
/>
其中，
利用拉格朗日乘数法对其进行求解，可得第lk跳的最优传输功率为
在给定路径下，针对父亲节点位置已知的情况，原优化问题可转化为：
将公式(18)代入公式(25)的不等式约束并进行简化，该约束可表示为：
其中，
由公式(15)可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式(26)是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，则此时的优化问题可以转化为
其中，
利用拉格朗日乘数法进行求解，可得第lk跳的最优传输功率为
第三阶段：根据求得的最优传输功率进一步推导父亲节点位置未知和已知两种情况下的最优路由；
具体过程如下：
针对父亲节点位置未知的情况，将公式(23)求得的最优传输功率代入到公式(15)中，可得安全路由问题为：
该问题等价于
/>
由公式(30)可知，最优路由由权重决定。该值仅与信噪比阈值γc、各节点间的距离/>以及噪声σ2有关，而与窃听者的相关信息和安全中断概率的阈值ζ无关。这说明在父亲节点位置未知的情况下，窃听者的密度和安全中断概率的最大阈值不会影响最优路由的选取。
将网络拓扑中邻居节点间的距离用进行赋值，则该问题可转化为最优路由问题，通过Dijkstra算法求解。该优化问题的求解过程如表1所示。
表1父亲节点位置未知情况下的功率优化和路由选择算法
算法1的计算复杂度主要由Dijkstra算法决定，其计算复杂度为
针对父亲节点位置已知的情况，将公式(28)求得的最优传输功率代入到公式(15)中，可得安全路由问题为：
该问题等价于
观察发现，对于父亲节点位置已知的情况，最优路由的选取由和wn共同决定。由公式(15)和(26)可以看出，/>与信噪比阈值γc、备选中继节点间的距离/>以及噪声功率σ2有关，而wn与信噪比阈值γe、备选中继节点和窃听者簇的距离/>以及噪声功率σ2有关。因此为了寻找最佳路由，将备选中继节点集合表示为/>其节点个数/>首先建立矩阵/>并用各合法节点之间的权重/>和各合法节点到所有窃听者簇的权重wn之和的比值为矩阵赋值。初始时路由节点集合/>中只包含源节点S；接下来以k＝argmin(M(S,Rk)+M(Rk,D))为目标，寻找S-Rk-D距离最小的中继Rk，并将其加入集合/>再以为依据，判断路径中是否存在其他备选中继节点使得S-Rk的距离缩短，若存在则将Rn加入集合/>否则不变；重复上述操作，直到整条路由的距离不会因为纳入新的中继节点而减少时，遍历结束并得到最优路由。该优化问题的求解过程如表2所示。
表2父亲节点位置已知情况下的功率优化和路由选择算法
该算法的计算复杂度等同于经典的Dijkstra算法，计算复杂度同样为
因此父亲节点位置未知和已知两种情况下算法的计算复杂度都远低于穷举搜索
对系统性能进行了数值计算和蒙特卡罗仿真。假设备选中继节点的个数为M＝10，这些中继节点均匀地分布在20×20m2的正方形区域，给定阈值分别为γc＝0.8dB和γe＝0dB，噪声方差路径损耗系数α＝4。
对于父亲节点位置未知的情况，假设所有簇具有相同的半径r和平均窃听者数量NE。由图3可以看出，理论结果与仿真曲线相吻合，由此证明了文中推导结果的正确性。由图3还可以看出，随着安全中断概率给定阈值的增大，连接中断概率减小，这说明通信服务质量的提高需要牺牲其传输安全性，反之亦然。同时还可以看出随着备选中继节点数量M的增加连接中断概率减小，这是由于备选中继节点数量的增加意味着可以选取性能更好的节点作为中继加入路由，从而有效降低连接中断概率。
图4研究了窃听者密度λC和平均窃听者数量NE的变化对系统性能的影响。从图4同样可以看出随着安全中断概率给定阈值的增大连接中断概率减小。另外还可以发现，随着窃听者密度或平均窃听者数量的增加，连接中断概率增加。这是由于窃听者的数量增加意味着单个窃听者具有良好信道条件的概率增加，那么保密信息被窃听的可能性就会增大。
对于父亲节点位置已知的情况，假设有三个窃听者簇，其中心分别为(-10,-30)，(10,-30)和(0,20)，每个簇具有相同的半径。图5中的理论结果与仿真曲线相吻合，由此证明了文中推导的正确性。由图5同样可以看出随着安全中断概率给定阈值的增大连接中断概率减小，以及随着备选中继节点数量M的增加连接中断概率减小。由图6可以看出随着平均窃听者数量的增加，连接中断概率增加。
接着对具体节点分布下不同路由选择算法的路由选择结果及其性能进行仿真。对于父亲节点位置未知的情况，假设备选中继节点的个数为M＝20，这些中继节点均匀地分布在50×50m2的正方形区域，源节点和目的节点分别位于(0,0)和(50,0)，窃听者随机分布在2000×2000m2的正方形区域。除了本文所提算法，我们提出的安全路由算法，以及穷举搜索算法进行了仿真。其中路由选择的过程中以安全连接概率最大化为目标，未考虑传输的可靠性及发送功率对系统性能的影响。穷举搜索算法可获得最佳的路由选择结果并作为系统性能比较的依据。
图7给出了父亲节点位置未知情况下不同路由选择算法的路由选择结果。图8对不同路由选择算法的系统性能进行了仿真比较，可以看出，本发明综合考虑无线自组织网络传输的安全性和可靠性的情况下进行的联合功率优化和路由选择算法，相比安全路由算法只考虑安全性下进行的等功率分配的路由选择算法的安全性能更优，并且本发明以显著低于穷举法的计算复杂度获得了与穷举搜索近似的安全性能。
对于父亲节点位置已知的情况，假设中继节点的个数为M＝20，这些中继节点均匀地分布在100×100m2的正方形区域，源节点和目的节点分别位于(-50,0)和(50,0)。此外，四个窃听者簇的中心位置分别在(-30,-30)，(-20,30)，(10,-15)和(30,-5)，其半径分别为各簇窃听者数量均为1。图9给出了父亲节点位置已知情况下不同路由选择算法的路由选择结果。图10对其系统性能进行了仿真比较，可以看出本文提出的路由选择算法的安全性能优于安全路由算法，并获得了与穷举搜索近似的安全性能。/>

Claims (2)

1.一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，其特征在于，具体操作包括如下过程：
步骤1：在窃听者服从泊松簇过程分布的情况下，无线多跳自组织网络包含一个源节点、一个目的节点/>、多个备选中继节点和多个窃听节点，该网络的整个传输过程分/>跳完成；
步骤2：在任意一跳中一个或多个窃听者的信噪比高于给定阈值时，窃听者解码消息而发生中断的概率，即安全中断概率/>；
在接收者的信噪比低于给定阈值时，接收者不能正确解码该消息而发生中断的概率，即连接中断概率/>；
步骤3：将源节点到目的节点的所有可行路径的集合定义为，并将/>定义为安全中断概率的阈值，按照以下步骤优化整个过程：
第一阶段：在窃听者服从泊松簇过程这一假设下推导得到了系统安全中断概率和连接中断概率的表达式；
第二阶段：在安全中断概率满足给定阈值的情况下，以连接中断概率最小为目标，针对给定路径推导得到了源与各跳中继的最优传输功率；
第三阶段：根据最优传输功率推导父亲节点位置未知和已知两种情况下的最优路由；
步骤1中，所述窃听者服从泊松簇过程分布包括将该分布中第个窃听者簇表示为，将其半径表示为/>，将簇/>中的窃听者表示为/>，所述整个传输过程包括在每一跳的传输过程中，合法接收节点在接收信息的同时窃听节点也在窃听信息，在第跳，节点/>和/>接收到来自/>的消息/>，其接收信号可分别表示为如公式（2）和公式（3）：
（2），
（3），
其中，表示第/>跳节点/>的发送功率，/>和/>分别表示/>和/>链路的信道衰落系数，/>和/>分别表示/>和/>之间的距离，/>表示路径损耗指数，/>和/>分别表示节点/>和/>处的加性高斯白噪声，假设其方差均为/>；
节点和/>的接收信噪比分别为如公式（4）和公式（5）：
（4），
（5）；
步骤2中，第跳的安全中断概率为：
（6），
整条路径的安全中断概率为：
（7），
第跳的连接中断概率为：
（8），
整条路径的连接中断概率为：
（9），
优化过程表示为：
（10），
（11）；
步骤3中，所述第一阶段的具体过程为：
对于父亲节点位置未知的情况，将公式（5）代入公式（6）中，得到第跳的安全中断概率的上界为如公式（12）：
（12），
其中，表示概率生成函数如公式（13）：
（13），
将公式（12）代入公式（7）中，得到在父亲节点位置未知的情况下，整个路径的安全中断概率为如公式（14）：
（14），
其中，；
将公式（8）代入公式（9）中，并令，得到此时整个路径的连接中断概率为：
（15），
对于父亲节点位置已知的情况，将公式（5）代入公式（6）中，并利用概率生成函数公式（13），可得第跳的安全中断概率为：
（16），
当已知窃听者的平均数量和窃听者簇的位置时，利用中心逼近法假设所有窃听节点都位于其簇的中心位置，则安全中断概率可近似为：
（17），
将公式（17）代入公式（7）中，可得在父亲节点位置已知的情况下，整个路径的安全中断概率为：
（18），
与父亲节点位置未知的情况类似，给定路径下父亲节点位置已知时整个路径的连接中断概率如公式（15）所示；
步骤3中，所述第二阶段的具体过程为：
在给定路径下，针对父亲节点位置未知的情况，原优化问题可转化为：
（19），
（20），
将公式（14）代入公式（20）的不等式约束并进行简化，该约束可表示为
（21），
由公式（15）可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式（21）是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，此时优化问题转化为
（22），
其中，；
利用拉格朗日乘数法对其进行求解，可得第跳的最优传输功率为
（23），
在给定路径下，针对父亲节点位置已知的情况，原优化问题可转化为：
（24），
（25），
将公式（18）代入公式（25）的不等式约束并进行简化，该约束可表示为：
（26），
其中，；
由公式（15）可知连接中断概率是关于功率的递减函数，而公式（26）是关于功率的递增函数，因此不等式取等号时连接中断概率达到最小，则此时的优化问题转化为
（27），
其中，；
利用拉格朗日乘数法进行求解，可得第跳的最优传输功率为
（28）；
步骤3中，所述第三阶段的具体过程为：
针对父亲节点位置未知的情况，将公式（23）求得的最优传输功率代入到公式（15）中，可得安全路由问题为：
（29），
该问题等价于
（30），
在父亲节点位置未知的情况下：将网络拓扑中邻居节点间的距离用进行赋值，则该问题可转化为最优路由问题，通过Dijkstra算法求解；
针对父亲节点位置已知的情况，将公式（28）求得的最优传输功率代入到公式（15）中，可得安全路由问题为：
（31），
该问题等价于
（32）。
2.根据权利要求1所述的一种面向物理层安全的联合功率优化和路由选择方法，其特征在于，步骤1中，分别针对父亲节点位置已知和未知两种情况展开研究，将窃听节点的概率密度函数表示为如公式（1）：
（1），
其中，是父亲节点的坐标，/>代表欧氏范数。
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