CN111079889B - 改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，属于规划螺旋线抛光轨迹的方法。构建在任意一道螺旋线的参考点处球形工具头的材料去除廓形的数学模型，构建优化目标函数，提出一种改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，在所述算法的迭代过程中不断更新帕累托最优解集，在算法达到终止条件时输出帕累托最优解集及其所对应的目标函数值。本发明提出利用多目标粒子群算法来对均匀抛光时的螺旋线抛光轨迹进行优化，有利于抑制利用传统螺旋线轨迹进行抛光时容易产生的中频误差，可以得到帕累托最优解集及其对应的目标函数值，对光学曲面的抛光加工有经济性参考价值。

Description

改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法

技术领域

本发明涉及一种规划螺旋线抛光轨迹的方法，特别涉及一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法。

背景技术

抛光过程占据了光学曲面加工过程中的大部分加工时间而且对产品的最终质量有极大影响。在计算机控制小磨头(CCOS)加工过程中,抛光磨头沿着规划好的抛光轨迹移动,从而进行光学元件表面材料的抛光去除,其规划轨迹的优劣直接影响着光学元件的抛光精度与生产效率，是抛光工艺研究的热门领域。

抛光轨迹中的螺旋线轨迹具有轨迹运动连续、无需换向、变化平稳等特点,对回转非球面具有良好的适应性，被广泛应用于回转非球面的抛光加工。

但是传统的螺旋线轨迹也有其缺点，例如抛光轨迹的规划过于规则，容易导致曲面加工不均匀以及周期性的中频误差，后者在高精密光学曲面的质量评价中越来越被重视，是导致小角度色散的主要原因，另外，在曲面边缘，抛光磨头与工件的接触面积可能由于过小而导致曲面塌边的问题。

传统螺旋线轨迹的规划和优化经常只关注某一方面，例如减小螺旋线轨迹的间距可以降低中频误差提高抛光覆盖率从而提升抛光质量，但是随着轨迹间隙的减小，为了覆盖相同大小的抛光面积，螺旋线的段数会随之增加导致加工时间增长，会降低加工效率，如果能够综合考虑加工质量与加工效率，在不同的加工条件选择合适的螺旋线间隙将对加工过程的经济性选择产生有益影响。

均匀抛光时，螺旋线的轨迹规划问题可以视为多目标(加工质量与加工效率)优化问题，一般情况下，多目标问题的子目标之间是互相矛盾的，一个子目标的优化可能引起另一个子目标的性能降低，使多个子目标一起达到最优的情况几乎不可能存在，只能对多目标进行折中处理使其尽可能达到最优情况，这种情况下能得出的解的数目是巨大的，穷举是耗时耗力的做法，智能搜索方法可以有效降低计算量，减少计算时间并得到近似最优解甚至最优解，但传统方法在解决多目标问题时大都采用的是加权和方法将多目标问题转换为单目标问题，这其中每个子目标的权重参数将对结果起到非常重要的影响，不过对于权重参数的设置并没有公认有效的方法，导致人为因素对智能算法优化结果产生不可避免的影响。

基于分解的多目标粒子群优化方法，是将基于分解的多目标进化算法(MOEA/D)与粒子群算法(PSO)结合在一起，赋予粒子群中的每个粒子不同的对应多目标的权重向量，将全体粒子的多目标优化问题转化为各个粒子在其邻域中的单目标优化问题，这样可以减少人为因素对优化结果的影响，提升优化解的多样性。

沿着螺旋线抛光的加工质量(加工效率)问题是一个在可行域内的多峰问题，各条轨迹间的间隔变化都会对总体的质量(效率)评价产生影响，单纯的基于分解的多目标粒子群算法容易导致每个粒子在寻优时受到算法初步计算得到的部分超级粒子的影响，从而过早陷入局部处的寻优，难以逼近或得到全局最优解，因此在算法早期，粒子选择邻域最优解的时候，引入轮盘赌选择算法，即适应度较高的粒子有更大的概率被选中，这样就使得除了超级粒子以外的其他粒子也有引导粒子搜索方向的机会，能够有效抑制多目标粒子群算法的过度早熟。

发明内容

本发明提供一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，利用轮盘赌选择算法改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，从而能够更好地进行螺旋线抛光轨迹的规划。

本发明采取的技术方案是，包括下列步骤：

步骤一、构建在任意一道螺旋线的参考点处球形工具头的材料去除廓形的数学模型，用以计算抛光过程中产生的轮廓的波峰波谷；

步骤一中所述的数学模型为：

其中，h_i(ρ)是任意一段螺旋线的参考点处的去除廓形中任意点ρ的材料去除深度，K_p是Preston经验系数，F_n为加工点处受到的法向正压力，ω_p是球形工具头转速，R_i是该参考点处螺旋线的曲率半径，v_i是该参考点处工件的转动线速度，r_i是该参考点处工具头与工件接触区域圆半径，σ是抛光倾角，R_pi是该参考点处球形工具头的球心与工件表面的距离；

步骤二、构建优化目标函数，分为评价中频误差大小的加工质量函数与评价加工效率的时间函数，确定避免产生塌边现象的约束条件；

步骤二中构建的评价中频误差大小的加工质量函数的表达式为：

其中，Ra是轮廓算数平均差，用来评价抛光后表面具有的微小峰谷的不平度，n是波峰和波谷数目的总和，z_i是各个波峰和波谷到轮廓的最小二乘中线的距离；

进一步优选地，抛光表面的波谷值是利用步骤一中所述的材料去除廓形的数学模型计算每段螺旋线轨迹的参考点处的去除廓形最低点得到的，抛光表面的波峰值是利用步骤一中所述的材料去除廓形的数学模型计算相邻两段螺旋线参考点处的去除廓形相交点得到的；

步骤二中构建的评价加工效率的时间函数的表达式为：

其中，T是螺旋线抛光轨迹总的加工时间，t_i是加工第i段螺旋线轨迹所需要的加工时间，x_i是第i段螺旋线轨迹距离工件回转轴的水平距离，v_i是加工第i段螺旋线轨迹时工件在该螺旋线的参考点处的线速度；

步骤二中所述避免产生塌边现象的约束条件可以描述为螺旋线轨迹在工件最外侧加工时需要对工件边缘进行覆盖，但是其接触面积不能由于工具头在工件边缘有太多悬空而过度减少，其表达式为：

其中，

是该螺旋线最外侧轨道距离工件回转中心的在工件表面上的距离，r_n是该螺旋线最外侧轨道的参考点处工具头与工件接触区域圆半径，D是工件回转中心与工件边缘的在工件表面上的距离；

步骤三、提出一种改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，在算法早期的迭代过程中引进了轮盘赌选择算子，设定粒子的取值范围、初始值，设定粒子速度及位置的更新原则、约束条件和终止条件，利用所述的改进的基于分解的多目标粒子群算法获得当前种群中的非支配解，将其加入帕累托最优解集，在所述算法的迭代过程中不断更新帕累托最优解集，在算法达到终止条件时输出帕累托最优解集及其所对应的目标函数值；

所述多目标粒子群的多目标分解方法是为粒子群中每个粒子赋予不同的对于目标函数的权重向量，将全体粒子的多目标问题分解成每个粒子在其邻域内的子问题，每个粒子对于目标函数的权重向量表达式为：

其中，λ_i是第i个粒子对于目标函数的权重向量，i表示第i个粒子，n是粒子群中粒子的总数目；

在算法早期迭代中引进的轮盘赌选择算子作用在每个粒子选择其邻域参考点时，使得任意粒子的每个邻域粒子被选为其邻域参考点的几率反比于该邻域粒子对问题的适应值，该改进算法中的轮盘赌选择算子的表达式为：

其中，Cost_i,k是第i个粒子的第k个邻域粒子对第i个粒子子问题的适应度，turn(i,k)是适应度变换后的值，Cost_imin是第i个粒子的邻域粒子中对子问题的最小适应度，P(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子被选择的概率，Q(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子对应的累积概率，nB是邻域粒子的数量；

所述的粒子的形式为：

P＝(d₁,d₂,…,d_i,…,d_n)

其中，d₁是第1段轨迹的参考点与回转中心点在工件表面上的距离，d₂是第2段轨迹的参考点与第1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_i是第i段轨迹的参考点与第i-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_n是第n段轨迹的参考点与第n-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，n为设置的螺旋线的轨道段的数目；

所述更新原则是通过将当前的粒子位置作为自变量带入步骤二所述的加工质量函数和加工效率函数中，以此计算每个粒子在其对应的权重向量下的适应度，利用该适应度对每个粒子的速度和位置更新；

进一步优选地，每个粒子的速度和位置更新公式为：

V_q＝w_qV_q-1+c₁r₁(P_best-P_q-1)+c₁r₂(G_best-P_q-1)

P_q＝P_q-1+V_q

其中，V_q、V_q-1是该粒子第q次和第q-1次迭代得到的粒子速度，w_q是第q次迭代时粒子的惯性因子，c₁、c₂是加速常数，r₁、r₂是0到1之间的随机数，P_best是该粒子对应其子问题曾经得到的个体最优解，P_q-1是该粒子第q-1次迭代得到的位置，G_best是上一次迭代中得到的该粒子对应其子问题的邻域最优解，P_q是该粒子更新后得到的新位置；

进一步优选地，w_q的更新是线性递减的，其更新公式为：

其中，w_q是当前迭代步数q所对应的惯性因子，Q是最大迭代步数，w_max是惯性因子最大值，w_min是惯性因子最小值。

本发明的有益效果是：

(1)本发明提出利用多目标粒子群算法来对均匀抛光时的螺旋线抛光轨迹进行优化，有利于抑制利用传统螺旋线轨迹进行抛光时容易产生的中频误差。

(2)本发明提出利用多目标粒子群算法来对均匀抛光时的螺旋线抛光轨迹进行优化，可以得到帕累托最优解集及其对应的目标函数值，对光学曲面的抛光加工有经济性参考价值。

(3)本发明通过对粒子位置的限制，防止了利用规划好的加工轨迹进行抛光加工时会发生工件边缘的塌边。

(4)本发明提出的一种改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，引进了轮盘赌选择算子，可以抑制早期部分超级粒子对粒子更新位置的影响，防止粒子群早熟，具有扩展性，可以应用在其他复杂多峰多目标问题上。

附图说明

图1为本发明一实施例所构建的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法流程图；

图2为本发明中螺旋线轨迹规划转化为粒子自变量的示意图；

图3为本发明一实施例的加工工件示意图；

图4为本发明一实施例中规划的螺旋线段数n＝12时所得的帕累托最优解对应的目标函数值示意图；

图5为本发明一实施例中规划的螺旋线段数n＝11时所得的帕累托最优解对应的目标函数值示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

为了更好地说明本发明的技术方案，首先对本技术方案中如何将螺旋线的轨迹规划转化为粒子自变量做一个简要说明。

请参阅图2，图中所示为一螺旋线，其轨道共有10段，从螺旋线回转中心沿着箭头方向向外做一条直线，除中心点外，螺旋线共有10个点与该线相交，从中心点向外的第1个点是第1段螺旋线的参考点，从中心点到第1个点的那段螺旋线是第1段螺旋线，从中心点向外的第2个点是第2段螺旋线的参考点，从第1个点到第2个点的那段螺旋线是第2段螺旋线，以此类推，因此图一中共有10个参考点以及10段螺旋线，而参考点所连成的线所在的垂直于螺旋线的面便是参考面。

本发明中所用的粒子自变量的形式(1)为：

P＝(d₁,d₂,…,d_i,…,d_n) (1)

其中，d₁是第1段轨迹的参考点与回转中心点在工件表面上的距离，d₂是第2段轨迹的参考点与第1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_i是第i段轨迹的参考点与第i-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_n是第n段轨迹的参考点与第n-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，n为设置的螺旋线的轨道段的数目。

以图2为例，形成的粒子形式应该是：

P＝(d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆,d₇,d₈,d₉,d₁₀)

通过这种形式，粒子迭代过程中的每个自变量都代表了每两段螺旋线之间的间距，粒子的每个位置都代表了一种螺旋线的规划方式，通过计算粒子对应的目标函数值就可以判断该位置对应的螺旋线的优劣。

本发明提供的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，如图1所示，具体包括步骤：

步骤一：构建在任意一道螺旋线的参考点处球形工具头的材料去除廓形的数学模型，用以计算抛光过程中产生的轮廓的波峰波谷。

步骤S101：建立沿着螺旋线轨迹加工的球形工具头材料去除轮廓模型。

建立沿着螺旋线轨迹加工的球形工具头材料去除轮廓模型的数学模型，其数学模型如下所示：

其中，h_i(ρ)是第i段螺旋线的参考点处去除廓形中的任意点ρ处的材料去除深度，K_p是preston经验系数，F_n为加工点处受到的法向正压力，ω_p是球形工具头转速，R_i是该参考点处螺旋线对于加工表面的曲率半径，v_i是该参考点处工件的转动线速度，r_i是该参考点处工具头与工件接触区域圆半径，σ是抛光倾角，R_pi是该参考点处球形工具头的球心与工件表面的距离。

通过该去除轮廓的数学模型，可以计算出任意一段螺旋线的参考点处的材料去除轮廓。

步骤二：构建优化目标函数，分为评价中频误差大小的加工质量函数与评价加工效率的时间函数，确定避免产生塌边现象的约束条件。

步骤S102：确定粒子群算法的目标函数及约束条件：

确定目标函数，本发明提出的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法所需要的目标函数是评价中频误差大小的加工质量函数与评价加工效率的时间函数，其评价加工质量的函数表达式(3)为：

其中，Ra是轮廓算数平均差，用来评价抛光后表面具有的微小峰谷的不平度，n是波峰和波谷数目的总和，z_i是各个波峰和波谷到轮廓的最小二乘中线的距离加工质量函数值越小代表粒子位置越优。

抛光表面的波谷值是利用材料去除廓形的数学模型(1)计算每段螺旋线轨迹参考点处的去除廓形最低点得到的，抛光表面的波峰值是利用材料去除廓形的数学模型(1)计算相邻两段螺旋线参考点处的去除廓形的相交点而得到的。

通过上述方法，就可以得到在参考面里的一系列波谷与波峰点，再利用最小二乘法拟合得到该轮廓的最小二乘中线，便可以计算各个波峰波谷点与该最小二乘中线的距离，进而得到对应粒子位置的加工质量函数值Ra。

本发明提出的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法所需要的评价加工效率的时间函数表达式(4)为：

其中，T是螺旋线抛光轨迹总的加工时间，t_i是加工第i段螺旋线轨迹所需要的加工时间，x_i是第i段螺旋线轨迹距离工件回转轴的水平距离，v_i是加工第i段螺旋线轨迹时工件在该螺旋线的参考点处的线速度加工时间函数值越小代表粒子位置越优。

确定避免产生塌边现象约束条件，本发明提出的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法需要对初始化的粒子位置以及迭代过程中新生成的粒子位置有一定的约束以避免塌边现象的产生，其约束的表达式(5)为：

其中，

是该螺旋线最外侧轨道距离工件回转中心的在工件表面上的距离，r_n是该螺旋线最外侧轨道的参考点处工具头与工件接触区域圆半径，D是工件回转中心与工件边缘的在工件表面上的距离。

如果生成的粒子位置不满足约束条件，则不对其进行操作。

步骤三：提出一种改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，在算法早期的迭代过程中引进了轮盘赌选择算子，设定粒子的取值范围、初始值，设定粒子速度及位置的更新原则、约束条件和终止条件，利用所述的改进的基于分解的多目标粒子群算法获得当前种群中的非支配解，将其加入帕累托最优解集，在所述算法的迭代过程中不断更新帕累托最优解集，在算法达到终止条件时输出帕累托最优解集及其所对应的目标函数值。

步骤S103：设置并初始化粒子群参数，令q＝1。

在粒子群开始迭代前，需要设置一些已经确定的参数，同时对部分参数进行初始化，并设定迭代步数为q＝1。

本发明实例中，需要提前设置的已确定的参数主要有回转曲面截形方程z，球形工具头转速ω_P，球形工具头半径R_t，Preston经验系数K_P，抛光倾角σ，加工过程的法向正压力F_n，球形工具头和工件的弹性模量E₁、E₂，球形工具头和工件的泊松比v₁、v₂，待加工工件的水平半径R_x，预计去除的材料深度H，规划的螺旋线段数n，粒子群规模即粒子数目nPop，每个粒子的邻域包含的粒子数目nB，粒子中每个自变量d_i的范围[d_min,d_max]，粒子中每个自变量的速度v_i的范围[v_min,v_max]，惯性因子w的取值范围[w_min,w_max]，个体学习因子c₁，群体学习因子c₂，最大迭代步数Q。

进行初始化得到的参数主要有分配给每个粒子的权重向量λ_i，其作用是将全体粒子的多目标问题分解为每个粒子的单目标问题；储存每个粒子的邻居粒子，原则是先计算每个权重向量之间的欧几里得距离，每个粒子储存距离其权重向量最近的其他权重向量所赋予的粒子直到粒子数目达到设定好的邻域粒子数目nB。

其中，权重向量的分配方式表达式(6)是：

其中，λ_i是第i个粒子对于目标函数的权重向量，i表示第i个粒子，n是粒子群中粒子的总数目。

步骤S104：初始化每个粒子的位置坐标及速度，计算每个粒子位置对应的目标函数值。

需要初始化每个粒子的位置坐标、速度，初始化粒子位置的公式(7)为：

P_i＝rand(1,n)·(d_max-d_min)+d_min (7)

其中，P_i代表第i个粒子的位置向量，rand(1,n)表示生成1行n列的随机数向量，d_max是粒子自变量的最大值，d_min是粒子自变量的最小值。

初始化的粒子位置形式(8)为：

P_i＝(d₁,d₂,…,d_k,…,d_n) (8)

其中，P_i代表第i个粒子的位置向量，d₁是第1段轨迹的参考点与回转中心点在工件表面上的距离，d₂是第2段轨迹的参考点与第1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_k是第k段轨迹的参考点与第i-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_n是第n段轨迹的参考点与第n-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，n为设置的螺旋线的轨道段的数目。

通过这种形式，粒子位置的迭代过程中的每个自变量都代表了每两段螺旋线之间的间距，粒子的每个位置都代表了一种螺旋线的规划方式，通过计算粒子位置对应的目标函数值就可以判断该位置对应的螺旋线的优劣。

初始化粒子速度的公式(9)为：

V_i＝rand(1,n)·(v_max-v_min)+v_min (9)

其中，V_i代表第i个粒子的速度向量，rand(1,n)表示生成1行n列的随机数向量，v_max是粒子自变量的速度最大值，v_min是粒子自变量的速度最小值。

计算每个粒子位置对应的目标函数值，利用步骤S102所确定的目标函数(3)和(4)计算每个粒子的评价加工质量的函数值Ra_i与评价加工效率的函数值T_i，对不满足约束条件(5)的粒子不进行操作，比较目标函数值，将粒子群中最优的加工质量函数值记为Ra_min，最差的加工质量函数值记为Ra_max，将粒子群中最优的加工效率函数值记为T_min，最差的加工效率函数值记为T_max。

步骤S105：计算每个粒子位置对应其子问题的适应度，其计算公式(10)为：

其中，Cost_i表示第i个粒子对其子问题的适应度，max[a,b]表示在a，b中选择较大值，λ_i是第i个粒子对于两个目标函数的权重向量，λ_i(1)和λ_i(2)分别是该权重向量的两个元素，Ra_i是第i个粒子的评价加工质量的目标函数值，T_i是第i个粒子的评价加工效率的目标函数值。

步骤S106：将粒子初始化得到的位置P_i作为粒子的个体最优解P_best与邻域最优解G_best。同时寻找初始化以后的非支配解，加入帕累托最优解集，保存对应粒子位置。

步骤S107：根据速度更新公式(11)更新速度。

V_q＝w_qV_q-1+c₁r₁(P_best-P_q-1)+c₁r₂(G_best-P_q-1) (11)

其中，V_q、V_q-1是该粒子第q次和第q-1次迭代得到的粒子速度，w_q是第q次迭代时粒子的惯性因子，c₁、c₂是加速常数，r₁、r₂是0到1之间的随机数，P_best是该粒子对应其子问题曾经得到的个体最优解，P_q-1是该粒子第q-1次迭代得到的位置，G_best是上一次迭代中得到的该粒子对应其子问题的邻域最优解。

步骤S108：根据位置更新公式(12)更新位置。

P_q＝P_q-1+V_q (12)

其中，P_q是该粒子第q次迭代得到的新位置，P_q-1是该粒子第q-1次迭代得到的位置，V_q是该粒子第q次迭代得到的粒子速度。

步骤S109：计算每个粒子对原始多目标优化问题的目标函数值。

利用步骤S102所确定的目标函数(3)和(4)计算每个粒子的评价加工质量的函数值Ra_i与评价加工效率的函数值T_i，对不满足约束条件(5)的粒子不进行操作，比较目标函数值，将粒子群中最优的加工质量函数值记为Ra_min，最差的加工质量函数值记为Ra_max，将粒子群中最优的加工效率函数值记为T_min，最差的加工效率函数值记为T_max，进而利用公式(10)计算各个粒子对其子问题的适应度。

步骤S110：计算各粒子对对应子问题的适应度。

步骤S111：更新每个粒子对应子问题的个体最优解。

判断步骤S110得到的每个粒子新位置对其子问题的适应度是否优于该粒子的个体最优解，如果新位置的适应度优于个体最优解，则将新位置作为该粒子新的个体最优解，如果新位置的适应度不优于个体最优解，则不做操作。

步骤S112：计算每个粒子的邻域粒子对其子问题的适应度。

计算每个粒子的邻域粒子对其子问题的适应度，其计算公式(13)如下：

其中，Cost_i,k为第i个粒子的第k个邻域粒子对第i个粒子的子问题的适应度，max[a,b]表示在a，b中选择较大值，λ_i是第i个粒子对于两个目标函数的权重向量，λ_i(1)和λ_i(2)分别是该权重向量的两个元素，Ra_i,k是第i个粒子的第k个邻域粒子的加工质量目标函数值，T_i,k是第i个粒子的第k个邻域粒子的加工效率目标函数值，将第i个粒子的邻域中的最优适应度记为Cost_imin。

步骤S113：判断是否使用轮盘赌选择算子。

轮盘赌选择算子被引进利用于抑制多目标粒子群算法的过度早熟，本发明的实例中轮盘赌选择算子仅在其迭代步数不大于

时使用，其中Q为最大迭代步数。

步骤S114：利用轮盘赌选择算子更新邻域最优解。

当迭代步数不大于最大迭代步数的

时，利用轮盘赌选择算子更新邻域最优解，其轮盘赌选择算子的表达式(14)为：

其中，Cost_i,k是第i个粒子的第k个邻域粒子对第i个粒子子问题的适应度，turn(i,k)是适应度变换后的值，Cost_imin是第i个粒子的邻域粒子中对子问题的最小适应度，P(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子被选择的概率，Q(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子对应的累积概率，nB是邻域粒子的数量。

利用轮盘赌选择算子可以选择该粒子要更新的邻域最优解，其中对于该粒子的子问题适应度更优的邻域粒子被选择的概率更大，但其他粒子也有作为邻域最优解引导该粒子的机会，将更新得到的邻域最优解记为G_best。

步骤S115：更新邻域最优解。

当迭代步数大于最大迭代步数的

时，利用传统方法更新每个粒子的邻域最优解，利用步骤S109中得到的第i个粒子的邻域最优适应度Cost_imin所对应的邻域粒子位置作为第i个粒子的邻域最优解G_best。

步骤S116：更新帕累托解集。

寻找找出当前种群中的所有非支配解，加入帕累托最优集，去除更新后不再是非支配解的粒子位置。

步骤S117：判断是否达到终止条件。

本发明实例中选择的终止条件为迭代步数达到最大迭代步数Q，当达到中止条件时，螺旋线轨迹规划结束，否则进入步骤S115。

步骤S118：令q＝q+1，返回步骤S107。

步骤S119：输出计算结果。

算法结束后输出的计算结果为帕累托解集及其对应的目标函数值，可以根据生产需要寻找目标函数值(代表加工质量与加工效率的函数值)，其对应的帕累托解则为规划的螺旋线抛光轨迹。

请参阅图3，以加工如图所示的工件为例，其曲面方程(15)为：

假设提前设置的参数如下：

球形工具头转速ω_P＝600rpm，球形工具头半径R_t＝8mm，Preston经验系数K_P＝7.52×10^-6，抛光倾角σ＝30°，加工过程的法向正压力F_n＝8N，球形工具头和工件的弹性模量E₁＝20MPa、E₂＝72000MPa，球形工具头和工件的泊松比v₁＝0.3、v₂＝0.47，待加工工件的水平半径R_x＝20mm，预计去除的材料深度H＝1mm，粒子群规模即粒子数目nPop＝20，每个粒子的邻域包含的粒子数目nB＝20，粒子中每个自变量d_i的范围[d_min,d_max]，粒子中每个自变量的速度v_i的范围[v_min,v_max]为[-0.5,0.5]，惯性因子w的取值范围[w_min,w_max]为[0.4,0.9]，个体学习因子c₁＝2，群体学习因子c₂＝2，最大迭代步数Q＝10。

请参阅图4，规划的螺旋线段数n＝12时，图中分别显示了本发明所述的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法初始化后得到的帕累托最优解的目标函数值以及迭代10次后所得到的帕累托最优解的目标函数值。

请参阅图5，规划的螺旋线段数n＝11时，图中分别显示了本发明所述的一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法初始化后得到的帕累托最优解的目标函数值以及迭代10次后所得到的帕累托最优解的目标函数值。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (9)

1.一种改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤一、构建任意一道螺旋线的参考点处球形工具头材料去除廓形的数学模型，用以计算抛光过程中产生的轮廓的波峰波谷；

步骤二、构建优化目标函数，分为评价中频误差大小的加工质量函数与评价加工效率的时间函数，确定避免产生塌边现象的约束条件；

步骤三、提出一种改进的基于分解的多目标粒子群优化算法，在算法早期的迭代过程中引进了轮盘赌选择算子，设定粒子的取值范围、初始值，设定粒子速度及位置的更新原则、约束条件和终止条件，利用所述的改进的基于分解的多目标粒子群算法获得当前种群中的非支配解，将其加入帕累托最优解集，在所述算法的迭代过程中不断更新帕累托最优解集，在算法达到终止条件时输出帕累托最优解集及其所对应的目标函数值。

2.根据权利要求1所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，所述步骤一中的材料去除廓形的数学模型为：

其中，h_i(ρ)是任意一段螺旋线的参考点处的去除廓形中任意点ρ的材料去除深度，K_p是Preston经验系数，F_n为加工点处受到的法向正压力，ω_p是球形工具头转速，R_i是该参考点处螺旋线的曲率半径，v_i是该参考点处工件的转动线速度，r_i是该参考点处工具头与工件接触区域圆半径，σ是抛光倾角，R_pi是该参考点处球形工具头的球心与工件表面的距离。

3.根据权利要求1所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，步骤二评价中频误差大小的加工质量函数的表达式为：

其中，Ra是轮廓算数平均差，用来评价抛光后表面具有的微小峰谷的不平度，n是波峰和波谷数目的总和，z_i是各个波峰和波谷到轮廓的最小二乘中线的距离；

抛光表面的波谷值是利用步骤一中所述的材料去除廓形的数学模型计算每段螺旋线轨迹的参考点处的去除廓形最低点得到的，抛光表面的波峰值是利用步骤一中所述的材料去除廓形的数学模型计算相邻两段螺旋线参考点处的去除廓形相交点得到的。

4.根据权利要求1所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，步骤二中评价加工效率的时间函数的表达式为：

其中，T是螺旋线抛光轨迹总的加工时间，t_i是加工第i段螺旋线轨迹所需要的加工时间，x_i是第i段螺旋线轨迹距离工件回转轴的水平距离，v_i是加工第i段螺旋线轨迹时工件在该螺旋线的参考点处的线速度。

5.根据权利要求1所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，步骤二中确定避免产生塌边现象的约束条件可以描述为螺旋线轨迹在工件最外侧加工时需要对工件边缘进行覆盖，但是其接触面积不能由于工具头在工件边缘有太多悬空而过度减少，其表达式为：

其中，

是该螺旋线最外侧轨道距离工件回转中心的在工件表面上的距离，r_n是该螺旋线最外侧轨道的参考点处工具头与工件接触区域圆半径，D是工件回转中心与工件边缘的在工件表面上的距离。

6.根据权利要求1所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，步骤三中多目标粒子群的多目标分解方法是为粒子群中每个粒子赋予不同的对于目标函数的权重向量，将全体粒子的多目标问题分解成每个粒子在其邻域内的子问题，每个粒子对于目标函数的权重向量表达式为：

其中，λ_i是第i个粒子对于目标函数的权重向量，i表示第i个粒子，n是粒子群中粒子的总数目。

7.根据权利要求6所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，在算法早期迭代中引进的轮盘赌选择算子作用在每个粒子选择其邻域参考点时，使得任意粒子的每个邻域粒子被选为其邻域参考点的几率反比于该邻域粒子对问题的适应值，该改进算法中的轮盘赌选择算子的表达式为：

其中，Cost_i,k是第i个粒子的第k个邻域粒子对第i个粒子子问题的适应度，turn(i,k)是适应度变换后的值，Cost_imin是第i个粒子的邻域粒子中对子问题的最小适应度，P(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子被选择的概率，Q(i,k)是第i个粒子的第k个邻域粒子对应的累积概率，nB是邻域粒子的数量。

8.根据权利要求6所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，所述的粒子的形式为：

P＝(d₁,d₂,…,d_i,…,d_n)

其中，d₁是第1段轨迹的参考点与回转中心点在工件表面上的距离，d₂是第2段轨迹的参考点与第1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_i是第i段轨迹的参考点与第i-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，d_n是第n段轨迹的参考点与第n-1段轨迹的参考点在工件表面上的距离，n为设置的螺旋线的轨道段的数目。

9.根据权利要求6所述的改进的基于分解的多目标粒子群规划螺旋线抛光轨迹方法，其特征在于，所述更新原则是通过将当前的粒子位置作为自变量带入步骤二所述的加工质量函数和加工效率函数中，以此计算每个粒子在其对应的权重向量下的适应度，利用该适应度对每个粒子的速度和位置更新；

进一步优选地，每个粒子的速度和位置更新公式为：

V_q＝w_qV_q-1+c₁r₁(P_best-P_q-1)+c₁r₂(G_best-P_q-1)

P_q＝P_q-1+V_q

其中，V_q、V_q-1是该粒子第q次和第q-1次迭代得到的粒子速度，w_q是第q次迭代时粒子的惯性因子，c₁、c₂是加速常数，r₁、r₂是0到1之间的随机数，P_best是该粒子对应其子问题曾经得到的个体最优解，P_q-1是该粒子第q-1次迭代得到的位置，G_best是上一次迭代中得到的该粒子对应其子问题的邻域最优解，P_q是该粒子更新后得到的新位置；

进一步优选地，w_q的更新是线性递减的，其更新公式为：

其中，w_q是当前迭代步数q所对应的惯性因子，Q是最大迭代步数，w_max是惯性因子最大值，w_min是惯性因子最小值。

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