CN111062073B - 海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，包括：对荷载进行分段处理，构造各片段的结构Laplace域动力响应方程；对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项；求解荷载作用稳态响应项；分离时间尺度节点的传递瞬态响应项，计算各片段的结构动力响应；将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应。本发明通过分段在Laplace域求解结构的动力响应，较传统时域方法有较高的精确度，避免了传统时域方法对于时间间隔选择的敏感性，同时，也极大的提高了传统Laplace域方法进行结构动力响应时的计算效率和计算精度。

Description

海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法

技术领域

本发明属于Laplace域动力响应分析技术领域，尤其涉及一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法。

背景技术

固定式海上结构，例如导管架平台，海上风力发电机等，通常被用于海洋石油、天然气和可再生能源的开采。为了确保结构在整个使用寿命中的安全性，对结构在使用寿命中进行动态分析起着至关重要的作用。在对海上结构进行动态分析时，通常需要研究其在正常、严重和极端海况中的长期荷载作用下的动力响应，从而对其进行疲劳寿命预测。因此，如何考虑分析过程中的准确性和计算效率之间的关系，成为了结构设计中的关键问题。

Laplace域动力响应分析方法基于极值和留数的计算，是平行于时域和频域的一类动力响应分析方法。通过利用极值-留数将结构的响应在Laplace域进行表征，并通过Laplace逆变换将响应转换为时域，从而实现了对结构时域响应的求解。然而，传统Laplace域方法由于Laplace逆变换的局限，仅限于处理输入荷载为简单函数时结构的动力响应，在工程中未得到广泛的应用。在2016年，Hu等人将传统的拉普拉斯域方法扩展到可以处理任意输入荷载，并成功的将其运用到了地震荷载作用下的结构动力响应计算。该方法通过引入低阶状态空间模型对结构所受荷载进行拟合，从而将任意荷载在Laplace域表征，并通过Laplace逆变换将其转换为时域的动力响应。但是该方法在针对长期荷载时，会出现计算时间迅速增加，并且计算结果不准确甚至发散的问题。参考附图1、图2所示，图1中图1(a)为某涡激振动实验的振动响应数据，首先提取其中10s到15s的加速度响应，并利用Hu等提出的方法对其进行极值、留数表征，图1(b)比较了测量信号及该信号的重构结果，可以看到结果具有较好的一致性。但是随着处理片段信号时间的增加，该方法的计算时间会迅速增长，如图2(a)的显示呈上升趋势的曲线；同时图2(a)中下降趋势的曲线显示了随片段的增长，重构结果与测量结果的相关系数，可以看到随着时间段的增加，重构结果与测量结果之间的相关性越来越差。同时，图2(b)显示出了当处理时间段为10s到75s时的重构结果，可以看到该结果与原始信号差距较大，已经无法正确表征原始信号。

在海洋工程结构设计中，例如长期结构安全预报，结构疲劳寿命预测通常需要计算长期荷载作用下结构的动力响应，Hu等提出的Laplace域的动力响应分析方法将不再适用。因此，针对海洋工程中的固定式结构的特点，研究长期荷载作用下的固定式结构动力响应分析方法，对于海洋工程结构的安全监测和检测具有重要意义。

发明内容

本发明针对海工结构的长期荷载作用下的动力响应分析，提供了一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，基于时间尺度节点的瞬态响应分离技术，实现了长期荷载作用下的动力响应分步分析计算，计算精度高。

为了实现上述目的，本发明提供了一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，包括：

对荷载进行分段处理，构造各片段的结构Laplace域动力响应方程；

对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项；

求解荷载作用稳态响应项；

分离时间尺度节点的传递瞬态响应项，计算各片段的结构动力响应；

将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应。

优选的，对荷载进行分段处理，构造各片段的结构Laplace域动力响应方程的方法为：

将荷载f(t)划分为Ns个片段，则第n片段的荷载记为f_n(t)，其中n＝1，2，3，…，Ns，即：

其中，N_f表示荷载的位置，p＝1，…，N_f，T表示转置；

第n片段荷载f_n(t)的动力响应方程为：

式中，M为系统的质量和附加质量，C和K分别为阻尼矩阵和刚度矩阵；y_n(t)是结构在荷载f_n(t)作用下的位移，y_n(t)的一阶导数

和二阶导数

分别表示结构的速度和加速度。

优选的，对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项的方法为：

将第n片段荷载f_n(t)的动力响应方程进行Laplace变换，转换为：

式中，第n-1片段末端点的响应位移、速度、加速度分别通过y_n-1(t_end)、

表示，

为f_n(t)的Laplace变换，

为在

作用下的Laplace域动力响应；

将第n片段的结构动力响应

分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项，即：

式中，

表示传递瞬态响应项，

表示荷载作用稳态响应项；其中

H(s)为传递函数。

优选的，求解荷载作用稳态响应项的方法为：

将第n片段荷载f_n(t)进行基于低阶状态模型的复指数分解，即：

式中，N_f表示荷载中成分的数量，

为分解后的荷载的极点和留数；

求解荷载f_n(t)的Laplace变换函数

即：

式中，

和

为一对Laplace变换对；

根据：

计算传递函数H(s)，N_a为结构自由度数的两倍，

表示极点

对应的留数；

则第n片段内，荷载作用稳态响应项

表示为：

式中，γ_m，p表示极点v_m，p对应的留数。

优选的，分离时间尺度节点的传递瞬态响应项，计算各片段的结构动力响应的方法为：

将第q个位置所在第n片段的结构动力响应

表示为：

式中，

表示第n片段的第q个位置的结构动力响应；

将第n片段的传递瞬态响应项

分解为

项与

项，即：

式中，Φ_h＝My_n-1(t_end)，

根据克莱姆法则，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项，即：

式中，D(s)为H(s)的行列式，D_q(s)表示Φ_c替换D(s)的第q列后得到的矩阵，D_q，p(s)为去掉D(s)的第p行和第q列后得到的矩阵，

表示极点

对应的留数；

同理，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项，即：

式中，

表示极点

对应的留数；

则第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

表示为：

根据：

确定第q个位置所在第n片段的结构动力响应

优选的，将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应的方法为：

第q个位置所在第n片段的结构动力响应

进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应y_n，q(t)，即：

式中，极点

与现有技术相比，本发明的优点和积极效果在于：

(1)本发明提供了一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，在Laplace域求解结构动力响应，克服了传统频域方法只能求解稳态响应的问题，也避免了时域方法对采样间隔敏感的问题及计算效率的问题。通过对荷载进行分段处理，解决了在Laplace域求解动力响应时，随着荷载时间的增大，计算时间迅速增加的缺点。

(2)在对结构动力响应方程进行Laplace变换时，将结构的响应分为荷载作用稳态响应项和传递瞬态响应项，通过分离时间尺度节点的传递瞬态响应，使得对结构的动力响应进行分段计算并连接成为可能。使用复指数函数的形式来表示荷载，实现了任意荷载形式在Laplace域的表征，也克服了传统Laplace动力响应分析方法只能处理输入荷载为简单函数的弊端，并且在求解时，通过引入低阶状态空间模型进行求解，避免了传统方法中多项式求根的病态问题，极大的提升了计算精度。用这种形式来表征海洋工程结构所受荷载时，更符合实际海洋工程结构所处的环境特征，也提高了对海洋工程结构动力响应计算的求解精度。

(3)在Laplace域内考虑结构的瞬态响应，分解并对各项进行求解，从而可以在Laplace域内计算传递瞬态响应下的结构动力响应，也解决了在Laplace域中计算前一片段响应的瞬态响应的困难。同时，在求解时，使用克莱姆法则进行求解，而非传统的符号解法，极大的提高了计算效率。本发明的Laplace域动力响应瞬态分离方法，对于海工结构的长期结构安全预报，结构疲劳寿命预测等，具有潜在的应用价值。

附图说明

图1为采用现有技术的Laplace域动力响应分析方法处理的某涡激振动实验的振动响应测试信号及重构信号比较；

其中：图1(a)为采集的某涡激振动实验的振动响应测试信号(90s)；图1(b)为测试信号及重构信号比较(10s到15s)；

图2为重构信号与测试信号随处理时间段的比较；

其中：图2(a)表示重构信号与测试信号的计算时间及相关系数随处理时间段的比较；图2(b)表示测试信号及重构信号比较(10s到75s)；

图3为本发明的海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法的流程图；

图4为采用本发明的方法的采样信号与分段分解后的重构信号的比较；

其中：图4中图4(a)表示采样信号与分段分解后的重构信号的比较(0s到65s)，图4(b)表示前1s的信号的分解结果；

图5表示本发明方法与Newmark-β法计算的位移对比结果；

其中：图5中图5(a)为第29个自由度处的响应，图5(b)为使用了lsim函数对动力响应进行求解对比结果。

具体实施方式

以下，结合附图对本发明的具体实施方式进行进一步的描述。

为了获得海洋结构在波浪力、海流、风等长时间荷载作用下的动力响应，本发明提出了一种时间尺度节点的瞬态响应分离方法，从而实现了长期荷载作用下的固定式结构动力响应分步分析计算。本发明的主要思路是通过将荷载分段，然后在每一片段内对结构进行动力响应分析，并在每一片段内，在Laplace域内考虑前一片段结构响应的传递瞬态响应，从而实现各片段之间响应的拼接。具有方法为：

参考图3所示，一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，包括：

(1)对荷载进行分段处理，构造各片段的结构Laplace域动力响应方程。具体为：

①将荷载f(t)划分为Ns个平等或不平等的长度片段，则第n片段的荷载记为f_n(t)，其中n＝1，2，3，…，Ns，即：

其中，N_f表示荷载的位置，p＝1，…，N_f，T表示转置；

②第n片段内荷载f_n(t)的动力响应方程为：

式中，M为系统的质量和附加质量，C和K分别为阻尼矩阵和刚度矩阵；y_n(t)是结构在荷载f_n(t)作用下的位移，y_n(t)的一阶导数

和二阶导数

分别表示结构的速度和加速度。

(2)对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项。具体为：

①采用极值-留数的方法将式(2)的动力响应方程转换到Laplace域进行求解。对于第n片段的结构动力响应计算，需要计算出第n-1片段最后一个点的结构动力响应，并将其影响作用到第n片段结构动力响应的起始位置。考虑初始条件不为零，将第n片段内荷载f_n(t)的动力响应方程进行Laplace变换，转换为：

式中，第n-1片段末端点的响应位移、速度、加速度分别通过y_n-1(t_end)、

表示，

为f_n(t)的Laplace变换，

为在

作用下的Laplace域动力响应。

②将第n片段的结构动力响应

分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项，即：

式中，

表示传递瞬态响应项，

表示荷载作用稳态响应项。

结合式(3)-(4)，将荷载作用稳态响应项

表示为：

将传递瞬态响应项

表示为：

其中，H(s)为传递函数。

本实施例中在Laplace域求解结构动力响应，克服了传统频域方法只能求解稳态响应的问题，也避免了时域方法对采样间隔敏感的问题及计算效率的问题。另外，通过对荷载进行分段处理，解决了在Laplace域求解动力响应时，随着荷载时间的增大，计算时间将成倍增长的缺点。同时，在对结构动力响应方程进行Laplace变换时，将结构的动力响应拆分为荷载作用稳态响应项和传递瞬态响应项，使得对结构的动力响应进行分段计算并连接成为可能。

(3)求解荷载作用稳态响应项，具体为：

①对第n片段荷载f_n(t)进行基于低阶状态模型的复指数分解，即：

式中，N_f表示荷载中成分的数量，

为分解后的荷载的极点和留数。

②求解荷载f_n(t)的Laplace变换函数

即：

式中，

和

为一对Laplace变换对。

③根据：

计算传递函数H(s)，N_a为结构自由度数的两倍，

表示极点

对应的留数。

④则第n片段内，荷载作用稳态响应项

表示为：

式中，γ_m，p表示极点v_m，p对应的留数。

本实施例中使用复指数函数的形式来拟合荷载，从而实现了任意荷载形式在Laplace域的表征，也克服了传统Laplace动力响应分析方法只能处理输入荷载为简单函数的弊端，并且在求解时，通过引入低阶状态空间模型进行求解，避免了传统方法中多项式求根的病态问题，极大的提升了计算精度。

(4)分离时间尺度节点的传递瞬态响应项，计算各片段的结构动力响应。具体为：

①将第q位置所在的第n片段的结构动力响应

表示为：

式中，

表示第n片段的第q个位置的结构动力响应。

②将第n片段的传递瞬态响应项

分解为

项与

项，即：

式中，Φ_h＝My_n-1(t_end)，

③根据克莱姆法则，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项，即：

式中，D(s)为H(s)的行列式，D_q(s)表示Φ_c替换D(s)的第q列后得到的矩阵，D_q，p(s)为去掉D(s)的第p行和第q列后得到的矩阵，

表示极点

对应的留数，D(s)和D_q，p(s)可以通过计算结构的极点和零点来表示。

④同理，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项，即：

式中，

表示极点

对应的留数。

⑤因此，第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

表示为：

⑥第q个位置所在第n片段的结构动力响应

表示为：

由于对结构进行分段式动力响应分析的最大难题是如何对前一片段结构的瞬态响应进行分离，并考虑其对下一片段结构响应的影响，从而将各片段内的响应进行连接。本实施例中通过分离时间尺度节点的瞬态响应，在每个片段内，在Laplace域内计算传递瞬态响应影响下的结构动力响应，在求解时将其分为了对带φ_h的项和φ_c的项，并分别进行求解，从而可以在Laplace域内成功计算具有传递瞬态响应的结构响应，也解决了在Laplace域中计算前一片段响应的传递响应的困难，使每一片段内，在Laplace域内考虑前一片段结构响应的传递瞬态响应，从而实现各片段之间响应的拼接，使得分段求解结构的动力响应成为可能。同时，在求解时使用克莱姆法则进行求解，而非传统的符号解法，极大的提高了计算效率。

(5)将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应。具体为：

当分别得到结构的荷载作用响应及传递响应的极值-留数表达形后，将第q个位置所在第n片段的结构动力响应

进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应y_n，q(t)，即：

由于

均为结构的极点，则

综上，本发明针对固定式海上结构的长期荷载作用下的动力响应分析计算，提出了一种时间尺度节点的瞬态响应分离技术，将荷载进行分段，然后在每一片段内对结构进行动力响应分析，每个片段内，在Laplace域内计算传递瞬态响应影响下的结构动力响应，从而使得分段求解结构的动力响应成为可能。使外部荷载不局限于时不变分量的组合形式，它也意味着可以在不依赖于时域技术的情况下，更好地考虑长周期荷载对结构的影响。较传统时域方法也有较高的精确度，避免了传统时域方法对于时间间隔选择的敏感性，同时，也极大的提高了传统Laplace域方法进行结构动力响应时的计算效率和计算精度。在工程上，为海上固定式结构在长时间荷载下的动力响应分析提供了一种新方法，提高了计算精度，缩短了计算时间，具有一定的工程应用前景。

下面以某固定式海上风力发电结构为例，将本发明的Laplace域动力响应瞬态分离方法与传统Newmark-β法进行效果对比分析：

作为固定式海上风力发电结构的简化，本例中采用钢质悬臂梁，横截面为4.4787×10^-4m²，高度3米。其由10个单元组成的有限元模型，每个节点共有三个自由度，其中2个为平移自由度，1个为旋转自由度。利用有限元法可以计算出该模型的刚度矩阵和质量矩阵，其大小为30×30，惯性矩为7.9020×10^-7m⁴，弹性模量为2.1×10¹¹Pa。通过对该模型进行特征分析，计算出了该模型前两阶频率分别为13.5083Hz和84.6579Hz。为了考虑悬臂梁的阻尼，假设该悬臂梁每个单元的阻尼矩阵与刚度矩阵具有相同的分布，但是具有不同的数值。为了扩展本发明处理多输入-多输出问题，在本例中，将分别在第5节点和第11节点施加作用力。

由于在数值上很难模拟真实海洋环境中的荷载情况，使用某VIV实验的振动响应信号模拟荷载，如图4所示。在分析中，选用图1(a)中10s到75s的部分信号作为施加在悬臂梁上的输入荷载。由于在VIV实验中，使用的采样频率为1200Hz，即时间间隔为Δt＝8.3333×10^-4s，在信号中共有78001个采样点，所以在本例中，将整个信号分为Ns＝39段。在对每段信号进行分解时，设置模态阶次为160，图4(a)展示了采样的信号与分段分解后的重构信号的比较，图4(b)展示了前1s的信号的分解结果。可以看到两个结果吻合较好，这也证明了任意的荷载都可以被表示成极值-留数的形式。图5表示本发明方法与Newmark-β法计算的位移对比结果；其中，图5(a)展示了在荷载作用下悬臂梁第29个自由度处的响应，采用本发明方法与传统Newmark-β法。可以看到曲线之间仍然存在差异，为了寻找产生差异的原因，使用Matlab中的lsim函数对悬臂梁的动力响应进行求解，计算结果如图5(b)所示，可以看到由lsim函数计算的结果与本发明方法计算的结果匹配较好，但Newmark-β法计算结果仍有偏差，也就是说，即使在时间间隔很小时(Δt＝8.3333×10^-4)，Newmark-β法仍然不能提供一个准确的结果，但是本发明方法对时间间隔不敏感，这也意味着其在工程应用中具有潜在的应用价值。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作其它形式的限制，任何熟悉本专业的技术人员可能利用上述揭示的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例应用于其它领域，但是凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。

Claims (3)

1.一种海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，其特征在于，包括：

对荷载进行分段处理，构造各片段的结构Laplace域动力响应方程：

将荷载f(t)划分为Ns个片段，则第n片段的荷载记为f_n(t),其中n＝1,2,3,···,Ns，即：

其中，N_f表示荷载的位置，p＝1，…，N_f,T表示转置；

第n片段荷载f_n(t)的动力响应方程为：

式中，M为系统的质量和附加质量，C和K分别为阻尼矩阵和刚度矩阵；y_n(t)是结构在荷载f_n(t)作用下的位移，y_n(t)的一阶导数

和二阶导数

分别表示结构的速度和加速度；

对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项；

求解荷载作用稳态响应项:

将第n片段荷载f_n(t)进行基于低阶状态模型的复指数分解，得到：

式中，N_f表示荷载中成分的数量，

表示极点

对应的留数；

求解荷载f_n(t)的Laplace变换函数

即：

式中,

和

为一对Laplace变换对；

根据：

计算传递函数H(s)，N_a为结构自由度数的两倍，

表示极点

对应的留数；

则第n片段内，荷载作用稳态响应项

表示为：

式中，γ_m，p表示极点ν_m，p对应的留数；

分离时间尺度节点的传递瞬态响应项，计算各片段的结构动力响应：

将第q个位置所在第n片段的结构动力响应

表示为：

式中，

表示第n片段的第q个位置的结构动力响应；

将第n片段的传递瞬态响应项

分解为

项与

项，即：

式中,Φ_h＝My_n-1(t_end),

根据克莱姆法则，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项,即：

式中，D(s)为H(s)的行列式，D_q(s)表示Φ_c替换D(s)的第q列后得到的矩阵，

为去掉D(s)的第l_c行和第q列后得到的矩阵，

表示极点

对应的留数；

同理，求解第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

项,即：

式中，

表示极点

对应的留数；

则第n片段的第q个位置的传递瞬态响应项

表示为：

根据：

确定第q个位置所在第n片段的结构动力响应

将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应。

2.根据权利要求1所述的海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，其特征在于，对动力响应方程进行Laplace变换，将各片段的结构动力响应分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项的方法为：

将第n片段荷载f_n(t)的动力响应方程进行Laplace变换，转换为：

式中，第n-1片段末端点的响应位移、速度、加速度分别通过y_n-1(t_end)、

表示，

为f_n(t)的Laplace变换，

为在

作用下的Laplace域动力响应；

将第n片段的结构动力响应

分解为荷载作用稳态响应项与传递瞬态响应项，即：

式中，

表示传递瞬态响应项，

表示荷载作用稳态响应项；其中

H(s)为传递函数。

3.根据权利要求1或2所述的海工结构Laplace域动力响应瞬态分离方法，其特征在于，将各片段的结构动力响应进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应的方法为：

第q个位置所在第n片段的结构动力响应

进行Laplace反变换，得到各片段的时域响应y_n，q(t)，即：

式中，极点

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