CN111047661A - 一种基于稀疏流形联合约束的cs-mri图像重构方法 - Google Patents

一种基于稀疏流形联合约束的cs-mri图像重构方法 Download PDF

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CN111047661A CN201911275346.1A CN201911275346A CN111047661A CN 111047661 A CN111047661 A CN 111047661A CN 201911275346 A CN201911275346 A CN 201911275346A CN 111047661 A CN111047661 A CN 111047661A
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Abstract

本发明公开了一种基于稀疏流形联合约束的CS‑MRI图像重构方法，属于数字图像处理技术领域。它是一种同时利用一范数约束图像稀疏性和流形正则项约束图像块间相关性实现MRI图像重构的方法。首先对MRI图像的欠采样数据采用传统方法进行预重构，然后通过K近邻法寻找到目标块的相似块集合以获得结构组，并为每一结构组建立图模型，计算邻接权重系数以构建相应的流形正则项，同时将流形正则项从空域转换到系数域，建立稀疏流形联合约束的重构模型，最后采用交替方向乘子法求解该模型。本发明采用流形正则项约束可以准确的刻画出不同结构组中各图像块间不同程度的相关性，重构出的图像保留了大量细节信息，获得了较高的重构性能，因此可用于医学图像的恢复。

Description

一种基于稀疏流形联合约束的CS-MRI图像重构方法
技术领域
本发明属于数字图像处理技术领域，它特别涉及利用图像稀疏特性与流形结构特性实现MRI图像重构，用于医学图像高质量恢复。
背景技术
近年来，随着压缩感知(CS)理论的发展，由于其可以打破奈奎斯特采样定理的束缚和能够实现低采样频率也能很好的重构信号的优点，该理论被越来越多地应用到信号恢复以及重构当中。在所有的医学成像中，MRI成像技术对软组织的分辨率最高，可以方便地进行解剖结构或病变的立体追踪。但是MRI技术由于其成像时间过长会让病人难以忍受，因此可以利用压缩感知理论缩短MRI成像时间，即CS-MRI技术。
利用图像在变换域中具有的稀疏性是实现CS-MRI重构的必要条件。但分别对图像块进行独立的稀疏表示忽略了图像块之间存在的相关性，限制了重构图像的质量。为了进一步提高图像的重构性能，需捕捉图像的非局部相似性，并采用非局部正则项在重构过程中保持该特性。常见的非局部正则项有核范数和小波系数l1范数用以约束相似图像块构成的结构组，并对所有的结构组设置相同的惩罚参数，但这难以体现不同区域图像相似性各异的特点。为解决这一问题，可以建立起非一致性的流形正则项作为非局部正则项，使得相似程度低的结构组因邻接权重系数较小产生较弱的非局部约束，而相似程度大的结构组因邻接权重系数较大而产生较强的非局部约束，以进一步提高对图像非局部特性的刻画能力，获得高质量的重构结果。
发明内容
本发明的目的在于充分利用图像的非局部相似性，提出一种基于流形结构约束的CS-MRI图像重构方法。该方法首先利用了图像在小波域中具有的稀疏性，对图像块的小波系数采用l1范数约束其稀疏性；同时构造出流形结构正则项，相比已有的非局部正则项可以准确的刻画出不同结构组中不同程度的相关性，使最终的重构性能大大提高。具体包括以下步骤：
(1)输入一幅MRI图像的K空间数据和采样模板，对输入数据y采用传统的方法对MRI图像进行预重构，得到初始重构图像x(0)；
(2)为了充分利用图像块间的相关性，构建流形正则项：
(2a)对初始重构图像采用K-最邻近分类算法寻找相似图像块，以P个最相似图像块构建结构组
Figure BDA0002315412880000021
其中x是待重构图像，
Figure BDA0002315412880000022
是图像块提取矩阵，
Figure BDA0002315412880000023
代表复数空间，n是图像块像素点个数，N是整张图像包含的像素点个数；
(2b)对于结构组Xi建立图模型Gi，计算权重系数
Figure BDA0002315412880000024
并构建权重系数矩阵Wi和度矩阵Di，并计算拉普拉斯矩阵Li；
(2c)基于最小化加权欧氏距离，构建结构组流形正则项：
Figure BDA0002315412880000025
其中，
Figure BDA0002315412880000026
表示向量的二范数的平方，tr(·)表示矩阵的迹函数，
Figure BDA0002315412880000027
表示矩阵Xi的共轭转置。
(3)建立基于稀疏流形联合约束的MRI图像重构模型：
Figure BDA0002315412880000028
Figure BDA0002315412880000029
其中，
Figure BDA00023154128800000210
是傅里叶编码矩阵，
Figure BDA00023154128800000211
是欠采样矩阵，
Figure BDA00023154128800000212
是傅里叶变换矩阵，M是编码后的频点数，
Figure BDA00023154128800000213
是正交小波变换，Ai＝ΦXi是结构组小波系数矩阵，||·||1表示一范数，γ是正则化参数；根据正交小波变换具有ΦHΦ＝I的特性，其中ΦH是Φ的共轭转置，I是单位阵，可将结构组流形正则项从空域转换到小波系数域，即
Figure BDA00023154128800000214
其中
Figure BDA00023154128800000215
是Ai的共轭转置；采用交替方向乘子法求解上述重构模型，首先建立其对应的增广拉格朗日函数：
Figure BDA00023154128800000216
其中，
Figure BDA00023154128800000217
是拉格朗日乘子，
Figure BDA00023154128800000218
是Bi的共轭转置，
Figure BDA00023154128800000219
表示矩阵中各项元素的绝对值平方的总和，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数，可转化为以下求解步骤：
(3a)为求解t+1次迭代中结构组小波系数
Figure BDA00023154128800000220
可将第t次迭代中所获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA00023154128800000221
代入增广拉格朗日函数，即：
Figure BDA0002315412880000031
(3b)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得结构组小波系数
Figure BDA0002315412880000032
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure BDA0002315412880000033
代入增广拉格朗日函数，即：
Figure BDA0002315412880000034
(3c)更新拉格朗日乘子
Figure BDA0002315412880000035
如下：
Figure BDA0002315412880000036
(3d)更新惩罚参数μ(t+1)如下：
μ(t+1)＝cμ(t)
其中，c＞1是μ的增大因子。
(3e)重复步骤(3a)～(3d)，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
本发明的创新点是为了充分利用图像的非局部相似性，建立了一个基于结构组流形结构正则项的CS-MRI重构模型。通过对各结构组构建图模型，并计算相应邻接权重矩阵，使得流形正则项具有非一致性的非局部约束力。相比传统非局部正则化，提出的流形正则项能够更精确的刻画并保持图像的非局部相似性，给重构图像的性能带了极大的改善。针对重构模型，采用交替方向乘子法交替求解小波系数和重构图像，其中应用快速迭代阈值收缩法求解含有流形正则项的小波系数优化问题，和通过计算近似最小二乘解获得重构图像，从而快速有效的优化重构模型。
本发明的有益效果：结合图像在小波域中具有的稀疏性和图像块之间存在的非局部相似性，合理运用于CS-MRI技术中以提高图像重构质量；构建的流形结构正则化能构根据不同结构组的邻接权重矩阵对其进行不同程度的非局部特性约束，更准确地刻画和保持结构组的不同的非局部特征。因此最终获得的重构图像不仅具有较好的整体视觉效果，也提高了细节纹理结构的对比度，更接近真实图像。
本发明主要采用仿真实验的方法进行验证，所有步骤、结论都在MATLAB8.0上验证正确。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是本发明仿真中使用的人体大脑MRI原图；
图3是采用不同方法对采样率为25％的人体大脑MRI图像的重构结果；
图4是对应于不同方法对采样率为25％的人体大脑MRI图像的重构结果的误差。
具体实施方式
参照图1，本发明是一种基于稀疏流形联合约束的CS-MRI图像重构方法，具体步骤如下：
步骤1，建立稀疏流形联合约束的MRI图像重构模型。
(1a)输入一幅MRI图像的K空间数据和采样模板，对输入数据y采用传统的方法对MRI图像进行预重构，得到初始重构图像x(0)。
(1b)对初始重构图像采用K-最邻近分类算法寻找相似图像块，以P个最相似图像块构建结构组
Figure BDA0002315412880000041
其中x是待重构图像，
Figure BDA0002315412880000042
是图像块提取矩阵，
Figure BDA0002315412880000043
代表复数空间，n是图像块像素点个数，N是整张图像包含的像素点个数；
(1c)对于结构组Xi建立图模型Gi，并根据式(1)计算邻接权重系数
Figure BDA0002315412880000044
并构建邻接权重系数矩阵
Figure BDA0002315412880000045
和度矩阵
Figure BDA0002315412880000046
然后计算拉普拉斯矩阵Li＝Di-Wi；
Figure BDA0002315412880000047
其中，β＞0表示权重控制常数，
Figure BDA0002315412880000048
表示向量的二范数的平方，exp(·)表示以自然常数e为底的指数函数。
(1d)基于最小化加权欧氏距离，构建结构组流形正则项：
Figure BDA0002315412880000049
其中，tr(·)表示矩阵的迹函数，
Figure BDA0002315412880000051
表示矩阵Xi的共轭转置。
(1e)建立结构组小波系数一范数与流形正则项联合约束的MRI图像重构模型：
Figure BDA0002315412880000052
其中，
Figure BDA0002315412880000053
是傅里叶编码矩阵，
Figure BDA0002315412880000054
是欠采样矩阵，
Figure BDA0002315412880000055
是傅里叶变换矩阵，M是编码后的频点数，
Figure BDA0002315412880000056
是正交小波变换，Ai＝ΦXi是结构组小波系数矩阵，||·||1表示一范数，γ是正则化参数；根据小波变换的正交特性，即ΦHΦ＝I，其中ΦH是Φ的共轭转置，I是单位阵，可将结构组流形正则项从空域转换到小波系数域，即
Figure BDA0002315412880000057
其中
Figure BDA0002315412880000058
是Ai的共轭转置。
步骤2，采用交替方向乘子法求解式(3)中MRI图像重构模型。
(2a)建立重构模型的增广拉格朗日函数：
Figure BDA0002315412880000059
式(4)中，
Figure BDA00023154128800000510
是拉格朗日乘子，
Figure BDA00023154128800000511
是Bi的共轭转置，
Figure BDA00023154128800000512
表示矩阵中各项元素的绝对值平方的总和，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数。
(2b)为求解t+1次迭代中结构组小波系数
Figure BDA00023154128800000513
可将第t次迭代中所获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure BDA00023154128800000514
代入式(4)中，即：
Figure BDA00023154128800000515
可以采用快速迭代阈值收缩法求解式(5)，为简化表达，在以下求解步骤中将式(5)中迭代上标省略：
(2b1)采用f(Ai)和g(Ai)分别表示式(5)中目标函数的光滑和非光滑部分：
Figure BDA00023154128800000516
(2b2)采用迭代阈值收缩法求解式(5)的迭代式为
Figure BDA00023154128800000517
其中▽f(Ai)为光滑函数f(Ai)的梯度，可表示为：
Figure BDA0002315412880000061
proxρg(·)为非平滑函数g(Ai)的近端映射，根据其定义求得：
Figure BDA0002315412880000062
式(8)中，E为定义近端映射所需的优化变量，ρ＞0是步长参数，Tρ(Ai)为软阈值函数，定义为：
Figure BDA0002315412880000063
其中max(·,·)是最大值函数；
(2b3)为了加快迭代阈值收缩法的收敛速度，引入求解第l+1次迭代时结构组系数
Figure BDA0002315412880000064
的中间变量
Figure BDA0002315412880000065
和加快收敛因子rl，得到快速迭代阈值收缩法求解Ai的迭代式：
Figure BDA0002315412880000066
为保证式(10)收敛，步长参数应取ρ＝1/λmax(μI+2γLi)，其中λmax(μI+2γLi)为矩阵μI+2γLi最大的特征值。
(2c)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得结构组小波系数
Figure BDA0002315412880000067
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure BDA0002315412880000068
代入式(4)中，即：
Figure BDA0002315412880000069
式(11)是一个最小二乘问题，其最优解可通过求解对应的正规方程获得，但涉及高复杂度的大规模非对角矩阵取逆。为有效求解，可采用交替方向乘子法求解式(11)，为简化表达，在以下求解步骤中将式(11)中迭代上标省略：
(2c1)式(11)中目标函数的第二项可表示为：
Figure BDA00023154128800000610
式(12)中，αi，j和bi，j分别表示结构组系数Ai和拉格朗日乘子Bi中的第j列。
(2c2)引入中间变量u和约束条件u＝x，则式(11)优化问题可转化为
Figure BDA0002315412880000071
式(13)为含有等式约束条件的优化问题，其增广拉格朗日函数为
Figure BDA0002315412880000072
其中b为拉格朗日乘子，bH是b的共轭转置，δ＞0是惩罚参数。为了提高计算速度，采用单次迭代的交替方向乘子法计算x近似解。初始x＝x(t)，b＝0，先固定x，求解关于u的子问题：
Figure BDA0002315412880000073
式(15)的闭合解为：
Figure BDA0002315412880000074
其中
Figure BDA0002315412880000075
是Ri，j的共轭转置，式(16)中
Figure BDA0002315412880000076
为对角矩阵，可直接取逆且不会导致高复杂度。获得u的解后，固定u，求解关于x的子问题：
Figure BDA0002315412880000077
式(17)的闭合解为：
Figure BDA0002315412880000078
其中FH是F的共轭转置，UH是U的共轭转置，式(18)中
Figure BDA0002315412880000079
也是一个对角矩阵，可直接取逆。至此，得到了x近似解。
(2d)为更新拉格朗日乘子
Figure BDA00023154128800000710
可采用式(19)获得：
Figure BDA00023154128800000711
(2e)为更新惩罚参数μ(t+1)，可采用式(20)获得：
μ(t+1)＝cμ(t) 式(20)
式(20)中，c＞1是μ的增大因子。
步骤3，重复(2b)～(2e)的过程，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：
一、实验条件和内容
实验条件：实验使用伪径向采样矩阵；实验图像采用真实的人体大脑MRI图像如图2所示；实验结果评价指标采用峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)来客观评价重构结果，PSNR和SSIM定义为：：
Figure BDA0002315412880000081
其中x和
Figure BDA0002315412880000082
分别是全采样图像和重建图像，μx和
Figure BDA0002315412880000083
是x和
Figure BDA0002315412880000084
的均值，σx和
Figure BDA0002315412880000085
是x和
Figure BDA0002315412880000086
的标准差，
Figure BDA0002315412880000087
是x和
Figure BDA0002315412880000088
的协方差，C1和C2是两个避免不稳定性的常量。PSNR和SSIM值越高表明重构图像质量越高。
实验内容：在上述条件下，采用在MRI重构领域目前处于领先水平的DLMRI方法、PANO方法、M-GSOD方法与本发明方法进行对比。
实验1：用本发明方法和DLMRI方法、PANO方法和M-GSOD方法分别对图2所示的MRI图像在相同条件下进行重构。其中DLMRI方法作为一个典型的综合字典学习方法，使用K-SVD方法对图像块学习一个冗余的综合字典，其重构结果如图3(a)，重构误差如图4(a)；PANO方法则是通过结构组3D小波系数的l1范数作为正则项，利用了结构组在3D小波变换下的稀疏性，其重构结果为图3(b)，重构误差为图4(b)；M-GSOD方法则是通过Schatten-p范数增强结构组的低秩结构，其重构结果为图3(c)，重构误差为图4(c)；实验中对所有方法设置图像块大小n＝8×8，正则化因子为λ＝106，对DLMRI方法设置字典原子数量为K＝128，对PANO方法、M-GSOD方法和本发明方法设置的结构组中相似图像块数量为P＝32，本方法的其他参数设置为L＝20，β＝0.05，γ＝200，μ(0)＝128，δ＝0.01，c＝1.2，本方法最终重构结果如图3(d)，重构误差如图4(d)。
图3中小方块中图像为选择的被放大区域，大方块中为其放大图像。从图3的重构结果可以看出，DLMRI方法使得整体图像出现过度平滑现象，在放大区域丢失了大量的纹理信息；PANO方法在放大的边界区域产生了锯齿状的阶梯伪影，且细节纹理较模糊；M-GSOD方法在放大区域的细节对比度较低；本方法无论在边缘信息的完整性还是重构整体效果都优于其他方法。从图4的重构误差结果同样可以看出，本方法的重构结果误差要明显小于DLMRI方法、PANO方法和M-GSOD方法。
表1不同重构方法的PSNR指标
图像 DLMRI方法 PANO方法 M-GSOD方法 本发明方法
人脑图 30.90 33.22 34.03 34.42
表1给出了各方法重构结果的PSNR指标情况，其中PSNR值越高表示重构越好；由表可见本发明方法比其他方法均有较大提高，此结果与重构效果图相吻合。
表2不同重构方法的SSIM指标
图像 DLMRI方法 PANO方法 M-GSOD方法 本发明方法
人脑图 0.8121 0.9164 0.9425 0.9472
表2给出了各方法重构结果的SSIM情况，其中SSIM值越高表示重构结果与真实图像更接近；可见本发明方法对应的SSIM值最高，重构结果与原图更相近，此结果与重构效果图相吻合。
上述实验表明，本发明所获得的重构图像不仅细节丰富，而且视觉效果及客观评价指标都较好，由此可见本发明对医学图像重构是有效的。

Claims (3)

1.一种基于稀疏流形联合约束的CS-MRI图像重构方法，包括以下步骤：
(1)输入一幅MRI图像的K空间数据和采样模板，对输入数据y采用传统的方法对MRI图像进行预重构，得到初始重构图像x(0)；
(2)为了充分利用图像块间的相关性，构建流形正则项：
(2a)对初始重构图像采用K-最邻近分类算法寻找相似图像块，以P个最相似图像块构建结构组
Figure FDA0002315412870000011
其中x是待重构图像，
Figure FDA0002315412870000012
是图像块提取矩阵，
Figure FDA0002315412870000013
代表复数空间，n是图像块像素点个数，N是整张图像包含的像素点个数；
(2b)对于结构组Xi建立图模型Gi，计算权重系数
Figure FDA0002315412870000014
并构建权重系数矩阵Wi和度矩阵Di，并计算拉普拉斯矩阵Li；
(2c)基于最小化加权欧氏距离，构建结构组流形正则项：
Figure FDA0002315412870000015
其中，
Figure FDA0002315412870000016
表示向量的二范数的平方，tr(·)表示矩阵的迹函数，
Figure FDA0002315412870000017
表示矩阵Xi的共轭转置。
(3)建立基于稀疏流形联合约束的MRI图像重构模型：
Figure FDA0002315412870000018
Figure FDA0002315412870000019
其中，
Figure FDA00023154128700000110
是傅里叶编码矩阵，
Figure FDA00023154128700000111
是欠采样矩阵，
Figure FDA00023154128700000112
是傅里叶变换矩阵，M是编码后的频点数，
Figure FDA00023154128700000113
是正交小波变换，Ai＝ΦXi是结构组小波系数矩阵，||·||1表示一范数，γ是正则化参数；根据正交小波变换具有ΦHΦ＝I的特性，其中ΦH是Φ的共轭转置，I是单位阵，可将结构组流形正则项从空域转换到小波系数域，即
Figure FDA00023154128700000114
其中
Figure FDA00023154128700000115
是Ai的共轭转置；采用交替方向乘子法求解上述重构模型，首先建立其对应的增广拉格朗日函数：
Figure FDA00023154128700000116
其中，
Figure FDA00023154128700000117
是拉格朗日乘子，
Figure FDA00023154128700000118
是Bi的共轭转置，
Figure FDA00023154128700000119
表示矩阵中各项元素的绝对值平方的总和，μ＞0是惩罚参数，交替求解各优化变量并更新拉格朗日乘子和惩罚参数，可转化为以下求解步骤：
(3a)为求解t+1次迭代中结构组小波系数
Figure FDA0002315412870000021
可将第t次迭代中所获得的图像x(t)和拉格朗日乘子
Figure FDA0002315412870000022
代入增广拉格朗日函数，即：
Figure FDA0002315412870000023
(3b)为求解t+1次迭代中图像x(t+1)，可将第t+1次迭代中所获得结构组小波系数
Figure FDA0002315412870000024
和第t次迭代中获得的拉格朗日乘子
Figure FDA0002315412870000025
代入增广拉格朗日函数，即：
Figure FDA0002315412870000026
(3c)更新拉格朗日乘子
Figure FDA0002315412870000027
如下：
Figure FDA0002315412870000028
(3d)更新惩罚参数μ(t+1)如下：
μ(t+1)＝cμ(t)
其中，c＞1是μ的增大因子。
(3e)重复步骤(3a)～(3d)，直到得到的估计图像满足条件或迭代次数达到预设上限。
2.根据权利要求1所述的一种基于稀疏流形联合约束的CS-MRI图像重构方法，其主要特征在于，可采用快速迭代阈值收缩法对(3a)中关于结构组系数Ai的子问题求解，为简化表达，在以下求解步骤中将(3a)中迭代上标省略：
(3a1)采用f(Ai)和g(Ai)分别表示(3a)中目标函数的光滑和非光滑部分：
Figure FDA0002315412870000029
g(Ai)＝||Ai||1
(3a2)求出g(Ai)的近端映射，表示为：
Figure FDA00023154128700000210
其中ρ＞0是步长参数，Tρ(Ai)为软阈值函数，定义为：
Figure FDA00023154128700000211
其中max(·,·)是最大值函数。
(3a3)获得求解Ai的迭代式为：
Figure FDA0002315412870000031
Figure FDA0002315412870000032
Figure FDA0002315412870000033
其中，
Figure FDA0002315412870000034
表示求解第l+1次迭代时结构组系数
Figure FDA0002315412870000035
的中间变量，
Figure FDA0002315412870000036
表示f(Ai)在
Figure FDA0002315412870000037
处的梯度，可表示为
Figure FDA0002315412870000038
rl是加速收敛因子。
3.根据权利要求1所述的一种基于稀疏流形联合约束的CS-MRI图像重构方法，其主要特征在于(3b)中关于图像x的子问题是一个最小二乘问题，可采用单次迭代的交替方向乘子法获得x的近似解，为简化表达，在以下求解步骤中将(3b)中迭代上标省略，其求解可按以下步骤得到：
(3b1)对(3b)中目标函数的第二项可表示为
Figure FDA0002315412870000039
其中αi，j和bi，j分别表示结构组系数Ai和拉格朗日乘子Bi中的第j列；
(3b2)为获得x的近似解，先计算辅助变量u
Figure FDA00023154128700000310
其中δ＞0是一个小常量，x(t)为第t次迭代中的图像，
Figure FDA00023154128700000311
是Ri，j的共轭转置；因此x的近似解为
Figure FDA00023154128700000312
其中FH是F的共轭转置，UH是U的共轭转置。
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