CN111028162B - 基于截断Schattenp-范数的图像缺失恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于截断Schatten p‑范数的图像缺失恢复方法，主要涉及矩阵填充和低秩稀疏分解问题。结合截断范数与Schatten p‑范数的特点与优势，通过对p(0＜p≤1)值的调整，增强模型的灵活性和在实际问题应用中的有效性。在求解模型时，利用函数展开先将非凸优化模型转化为凸优化模型。然后，应用基于交替方向乘子法(ADMM)的两步迭代算法求解优化模型。本发明还给出了算法的收敛性证明。通过与现有恢复方法的比较，本发明具有更高的恢复精确度。

Description

基于截断Schattenp-范数的图像缺失恢复方法

技术领域

本发明属于矩阵恢复技术领域，具体涉及基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法。

背景技术

在实际问题中，信号往往是缺失的或受噪声污染，同时，需要恢复的信号通常以矩阵的形式出现，而且是低秩或近似低秩的。基于此，人们提出了低秩矩阵恢复(Lowrankmatrixrecovery)理论，通过矩阵恢复实现信号缺失的恢复。

矩阵填充(Matrix completion)是矩阵恢复的一个特例，其目的是如何依据已有的信息将不完整的矩阵补全。它在图像复原、视频去噪以及推荐系统中均有较好的应用。以典型的NetflixPrize问题为例，根据用户对部分电影的评价，推测出他们对其他电影的喜爱程度，然后为其他用户进行电影推荐。

假定X∈R^m×n是待恢复的低秩矩阵，其填充问题可以表示为如下的优化问题：

其中rank(·)表示矩阵的秩,

是已知数据的位置坐标集合。[P_Ω(X)]_ij是采样算子，且有

矩阵恢复的另一个重要问题是低秩稀疏分解，又称之为鲁棒主成分分析(Robustprinciple component analysis，简写为RPCA)，它在医学图像处理、视频监控、模式识别等实际问题中有着广泛的应用。对于一个低秩或近似低秩的矩阵M∈R^m×n，RPCA的主要目的是将M分解成一个低秩矩阵X与一个稀疏矩阵E之和，即M＝X+E，其中X和E是未知矩阵。换言之，需要解如下优化问题：

其中‖·‖₀表示矩阵的

范数,λ(＞0)是正则化参数。

由于秩函数是非凸且不连续的,因此,优化问题(1)和(2)都是NP难问题，它们均不能直接用常用的优化算法求解。Fazel提出了用核范数(Nuclear norm，简写为NN)‖·‖_*代替优化问题(1)和(2)中的秩函数，并用

范数代替

范数。

迄今，已有一系列研究说明核范数确实可以近似地代替秩函数。同时，一些关于求解核范数凸优化的算法也相继被提出。这是因为在秩函数中，所有非零奇异值的作用是一样的，而核范数将所有非零奇异值相加，并同时将其和最小化，尽可能使不同的奇异值具有不同的贡献。然而，核范数不是秩函数的最佳近似替代。尽管基于核范数的算法有较强的理论保证，但是，在实际应用中，这些算法只能得到次优解。

2012年，一种核范数的非凸最小优化替代被提出，即Schatten p-范数，

0＜p≤1。显然，当p＝1时，其等价于核范数，而当p越接近0时，Schatten p-范数就越近似于秩函数。2013年，Hu等人提出了截断核范数(Truncatednuclear norm，简写为TNN)：

其主要思想是去掉前r个较大的奇异值，将剩余的(min(m,n)-r)个奇异值相加，以减小大奇异值对低秩的影响。最近，Gu等人提出用加权核范数(Weighted nuclear norm，简写为WNN)代替核范数，其表示为

旨在用不同的权重改变奇异值对秩函数的影响。事实表明，加权核范数具有较好的近似效果。一种所谓截断Schatten p-范数(Truncated Schatten p-Norm，简写为TSPN)被Feng提出，该范数只对(min(m,n)-r)个奇异值的p次幂进行求和，即

Feng将截断Schatten p-范数应用在压缩感知问题上，并利用ADMM方法对模型进行求解。

因此，利用截断Schatten p-范数进行图像恢复具有一定的应用前景，但现有技术未将其应用于图像恢复，也未提出截断Schatten p-范数在图像恢复应用中的技术方案。

发明内容

有鉴于此，本发明提出了一种基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，以获得更好的基于矩阵恢复的图像恢复效果。

为了实现本发明目的，本发明提供了以下步骤的基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，包括以下步骤：

(1)图像缺失部分对应待恢复的矩阵X∈R^m×n，其矩阵填充优化模型为

其中rank(·)表示矩阵的秩,

是已知数据的位置坐标集合，[P_Ω(X)]_ij为采样算子，其表达式为

(2)用截断Schatten p-范数代替秩函数进行矩阵低秩约束，其模型为

其中σ(·)为奇异值，A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1；

(3)利用函数展开，将上述非凸优化模型转化为凸优化模型：

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1.；

(4)用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，得到恢复好的矩阵，以实现图像恢复；

(5)验证基于截断Schatten p-范数的矩阵填充算法的收敛性。

可选的，在步骤(3)中，所述的使用函数展开将非凸优化模型转化为凸优化模型，具体步骤如下：

1)令

则其关于σ(X)的导数为

从而，

2)F(σ(X))的一阶泰勒展开式为

再令ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1，则

即为凸优化模型的目标函数。

可选的，在步骤(4)中，利用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解模型，其步骤如下：

第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型；优化模型的拉格朗日函数为：

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数，N为辅助变量。

可选的，用交替方向乘子法求解模型的步骤如下：

(1)输入：观测矩阵M，坐标集合Ω，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝M，N₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-N_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X。

本发明的另一技术解决方案是，提供一种基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)将原始矩阵M分解成一个低秩矩阵X与一个稀疏矩阵E的和，其低秩稀疏分解优化模型为

其中‖·‖₀表示矩阵的

范数,λ(＞0)是正则化参数。

(2)用截断Schatten p-范数代替秩函数，并用

范数代替

范数，模型转化为

其中σ(·)为奇异值，

A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1；

(3)与矩阵填充算法相同，利用函数展开方法，先对非凸优化模型进行转化，

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1。

(4)用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，得到分解的低秩矩阵和稀疏矩阵。

可选的，在步骤(4)中，利用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解模型，其步骤如下：

(a)第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

(b)第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型。优化模型的拉格朗日函数为

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数。

可选的，用交替方向乘子法求解模型的步骤如下：

(1)输入：原始矩阵M，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝0，E₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-E_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X和E。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：本发明引入Schatten p-范数，通过对p值的调整，使模型更具灵活性。同时，结合截断，去掉前r个较大的奇异值，将剩余的(min(m,n)-r)个奇异值的p次幂相加，以减小大奇异值对低秩的影响，提高了模型在实际应用中的可行性和有效性；在求解模型时，利用函数展开技术，对非凸优化模型进行转化，使得求解更为简便，能够实现图像缺失的快速和准确恢复。

附图说明

图1是本发明矩阵填充模型TSPN-MC的流程图；

图2是本发明矩阵低秩稀疏分解模型TSPN-RPCA的流程图；

图3是本发明TSPN-MC用来检验矩阵填充模型性能的四张测试图像；

图4是本发明TSPN-MC与现有WNN、TNN和NN方法对测试图像1在缺失度为40％情况下的图像复原效果图；

图5是本发明TSPN-MC与现有WNN、TNN和NN方法对测试图像4在缺失度为80％情况下的图像复原效果图；

图6是本发明TSPN-MC与现有WNN、TNN和NN方法对测试图像2在有文本覆盖情况下的图像复原效果图；

图7是本发明TSPN-RPCA与现有LRSD-TNN和IALM方法在视频Bootstrap、Hall和Lobby上的前后景分离效果图。

具体实施方式

参照图1，本发明TSPN-MC的具体实施过程如下：

步骤一，对于待恢复的矩阵X∈R^m×n，其矩阵填充优化模型为

其中rank(·)表示矩阵的秩,

是已知数据的位置坐标集合，[P_Ω(X)]_ij为采样算子，其表达式为

步骤二，用截断Schatten p-范数代替秩函数进行矩阵低秩约束，其模型为

其中σ(·)为奇异值，A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1。

步骤三，利用函数展开思想，将上述非凸优化模型转化为凸优化模型：

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1.

首先，令

则其关于σ(X)的导数为

从而，

然后，F(σ(X))的一阶泰勒展开式为

再令ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1，则

即为凸优化模型的目标函数。

步骤四，用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，其步骤如下：

第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型。优化模型的拉格朗日函数为

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数，N为辅助变量。用ADMM求解模型的步骤如下：

(1)输入：观测矩阵M，坐标集合Ω，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝M，N₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-N_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X。

步骤五，证明基于截断Schatten p-范数的矩阵填充算法的收敛性。

参照图2，本发明TSPN-RPCA的具体实施过程如下：

步骤一，将原始矩阵M分解成一个低秩矩阵X与一个稀疏矩阵E的和，其低秩稀疏分解优化模型为

其中‖·‖₀表示矩阵的

范数,λ(＞0)是正则化参数。

步骤二，用截断Schatten p-范数代替秩函数，并用

范数代替

范数，模型转化为

其中σ(·)为奇异值，

A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1。

步骤三，与矩阵填充算法相同，利用函数展开方法，先对非凸优化模型进行转化，

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1。

步骤四，用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，得到分解的低秩矩阵和稀疏矩阵，其具体步骤如下：

第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型。优化模型的拉格朗日函数为

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数。用交替方向乘子法求解模型的步骤如下：

(1)输入：原始矩阵M，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝0，E₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-E_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X和E。

本发明的优势由以下实验结果与视觉效果图进一步说明。

1.实验说明

(1)矩阵填充TSPN-MC

1)设定人工数据的缺失度分别为ps＝0.1,0.2,0.3，矩阵大小为m＝n＝400，且服从高斯分布N(0,1)；

2)针对每个缺失度，以间隔0.05选取pr∈[0.05,0.3]的值，计算对应人工数据的秩r＝pr×m；

3)本发明TSPN-MC与现有的WNN、TNN和NN三种方法在不同人工数据上恢复性能进行对比，以人工矩阵恢复误差作为评价指标，实验中的p值由具体实验决定；

4)选取四张大小为300×300的图像，分别比较本发明与WNN、TNN和NN三种方法在图像缺失度为20％、40％、60％、80％以及文本遮盖情况下的图像复原性能；

5)以峰值信噪比作为图像复原性能的评价指标，实验中的p值由具体实验决定。

(2)矩阵低秩稀疏分解TSPN-RPCA

1)生成秩为r的低秩矩阵X₀，稀疏度为spr的稀疏矩阵E₀，M₀＝X₀+E₀；

2)设置人工数据实验p＝0.2，当r＝0.1n,spr＝0.05时，矩阵大小分别设置为100×100、500×500和900×900；当固定矩阵大小为m＝n＝500时，分别设置r＝0.1n,spr＝0.1和r＝0.05n,spr＝0.05两种情况；

3)比较本发明TSPN-RPCA与LRSD-TNN、IALM、ALM以及APG方法在不同人工数据上的分解效果；

4)本发明TSPN-RPCA与现有LRSD-TNN和IALM方法在视频Bootstrap、Hall和Lobby上的前后景分离效果图，设置p＝0.2，截断秩为R＝3。

2.仿真内容与结果

1)本发明TSPN-MC与现有的WNN、TNN和NN三种方法在不同人工数据上恢复性能进行对比

本实验的目的是：展示本发明TSPN-MC与现有的WNN、TNN和NN三种方法对由不同缺失度和不同秩生成的人工数据的恢复性能。

从表1，表2，以及表3的误差结果可以看出，TSPN-MC和WNN比其他两种方法的恢复效果好，但是，TSPN-MC的恢复误差最小，相比其他三种方法具有更好的性能。

表1人工数据恢复误差结果(ps＝0.1,p＝0.4)

表2人工数据恢复误差结果(ps＝0.2,p＝0.4)

表3人工数据恢复误差结果(ps＝0.3,p＝0.3)

2)本发明TSPN-MC与WNN、TNN和NN三种方法在图像缺失度为20％、40％、60％、80％以及文本遮盖情况下的图像复原性能

本实验的目的是：分别展示在不同图像缺失度情况下，本发明TSPN-MC与WNN、TNN和NN三种方法的图像复原效果，以及PSNR值的变化趋势。

在缺失度为20％、40％、60％、80％以及文本遮盖情况下，本发明与现有的WNN、TNN和NN三种对四幅大小为300×300的标准测试自然图像进行复原的评价指标PSNR值如表4-表7所示。从表中的PSNR值可以看出，本发明的图像复原效果要超过其他三种方法。测试图像1在缺失度为40％情况下的复原视觉效果如图4所示，其中图4(a)为原图，图4(b)是缺失图，图4(c)、图4(d)、图4(e)和图4(f)分别是TSPN-MC、WNN、TNN和NN方法的复原图像。测试图像4在缺失度为80％情况下的复原视觉效果如图5所示，其中图5(a)为原图，图5(b)是缺失图，图5(c)、图5(d)、图5(e)和图5(f)分别是TSPN-MC、WNN、TNN和NN方法的复原图像。测试图像2在文本遮盖情况下的复原视觉效果如图6所示，其中图6(a)为原图，图6(b)是缺失图，图6(c)、图6(d)、图6(e)和图6(f)分别是TSPN-MC、WNN、TNN和NN方法的复原图像。从图像复原效果图可知，本发明复原的图像更加接近原始图像，清晰度更高。

表4测试图1复原的PSNR(dB)(p＝0.7,R＝8)

表5测试图2复原的PSNR(dB)(p＝0.8,R＝3)

表6测试图3复原的PSNR(dB)(p＝0.9,R＝2)

表7测试图4复原的PSNR(dB)(p＝0.7,R＝4)

3)本发明TSPN-RPCA与LRSD-TNN、IALM、ALM以及APG方法在不同人工数据上的分解效果。

本实验的目的是：验证本发明TSPN-RPCA在人工随机生成数据上的矩阵分解恢复性能。

表8、表9和表10分别是在r＝0.1n,spr＝0.05情况下，m＝n＝100,500,900的矩阵恢复误差结果。表11和表12是在固定m＝n＝500时，分别设置r＝0.1n,spr＝0.1和r＝0.05n,spr＝0.05两种情况下，本发明与其他方法的恢复结果。从表中的结果可分析出，本发明TSPN-RPCA的恢复精度比其他方法高，但是在时间上的消耗会比较大。

表8人工数据恢复误差结果(m＝n＝100,r＝0.1n,spr＝0.05)

表9人工数据恢复误差结果(m＝n＝500,r＝0.1n,spr＝0.05)

表10人工数据恢复误差结果(m＝n＝900,r＝0.1n,spr＝0.05)

表11人工数据恢复误差结果(m＝n＝500,r＝0.1n,spr＝0.1)

表12人工数据恢复误差结果(m＝n＝500,r＝0.05n,spr＝0.05)

4)本发明TSPN-RPCA与现有LRSD-TNN和IALM方法在视频Bootstrap、Hall和Lobby上的前后景分离效果图。

本实验的目的是：通过在实际视频上的前后景分离实验，验证本发明的优势。

图7是本发明TSPN-RPCA与现有LRSD-TNN和IALM方法在视频Bootstrap、Hall和Lobby上的前后景分离效果图。图7第一行是TSPN-RPCA与LRSD-TNN和IALM方法对视频Bootstrap进行前后景分离的结果；图7第二行是对视频Hall的分离结果；图7第三行是对视频Lobby的分离结果。从视觉图中可以看出，本发明方法能清晰分离出视频中的运动目标。其他两种方法的分离效果相对较差，出现了背景中的灯光以及运动目标形成的“鬼影”。

综上所述，本发明的两个模型都具有较好的矩阵恢复性能，在实际应用中，也表现出较高的精确性与稳定性。

虽然以上将实施例分开说明和阐述，但涉及部分共通之技术，在本领域普通技术人员看来，可以在实施例之间进行替换和整合，涉及其中一个实施例未明确记载的内容，则可参考有记载的另一个实施例。

以上所述的实施方式，并不构成对该技术方案保护范围的限定。任何在上述实施方式的精神和原则之内所作的修改、等同替换和改进等，均应包含在该技术方案的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)图像缺失部分对应待恢复的矩阵X∈R^m×n，其矩阵填充优化模型为

其中rank(·)表示矩阵的秩,

是已知数据的位置坐标集合，[P_Ω(X)]_ij为采样算子，其表达式为

(2)用截断Schatten p-范数代替秩函数进行矩阵低秩约束，其模型为

其中σ(·)为奇异值，A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1；

(3)利用函数展开，将上述非凸优化模型转化为凸优化模型：

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1.；

(4)用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，得到恢复好的矩阵，以实现图像恢复；

(5)验证基于截断Schatten p-范数的矩阵填充算法的收敛性。

2.根据权利要求1所述的基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：在步骤(3)中，所述的使用函数展开将非凸优化模型转化为凸优化模型，具体步骤如下：

1)令

则其关于σ(X)的导数为

从而，

2)F(σ(X))的一阶泰勒展开式为

再令ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1，则

即为凸优化模型的目标函数。

3.根据权利要求1或2所述的基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：在步骤(4)中，利用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解模型，其步骤如下：

第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型；优化模型的拉格朗日函数为：

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数，N为辅助变量。

4.根据权利要求3所述的基于截断Schattenp-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：用交替方向乘子法求解模型的步骤如下：

(1)输入：观测矩阵M，坐标集合Ω，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝M，N₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-N_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X。

5.一种基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)将原始矩阵M分解成一个低秩矩阵X与一个稀疏矩阵E的和，其低秩稀疏分解优化模型为

其中‖·‖₀表示矩阵的l₀范数,λ(＞0)是正则化参数。

(2)用截断Schatten p-范数代替秩函数，并用l₁范数代替l₀范数，模型转化为

其中σ(·)为奇异值，

A∈R^r×m，B∈R^r×n，AA＝I_r×r，BB＝I_r×r，0＜p≤1；

(3)与矩阵填充算法相同，利用函数展开方法，先对非凸优化模型进行转化，

其中ω_i＝p(1-σ_i(B A))(σ_i(X_k))^p-1。

(4)用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解上述凸优化模型，得到分解的低秩矩阵和稀疏矩阵。

6.根据权利要求5所述的基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：在步骤(4)中，利用基于交替方向乘子法的两步迭代算法求解模型，其步骤如下：

(a)第一步：先初始化X₁＝M，并在第s+1次迭代中计算X_s＝U_sΔ_sV_s。然后，根据U_s和V_s，计算得到A_s和B_s；

(b)第二步：先固定A_s和B_s，并计算第k次迭代的权重

然后，用ADMM算法求解凸优化模型。优化模型的拉格朗日函数为

其中Y是拉格朗日乘子，μ＞0是惩罚参数。

7.根据权利要求6所述的基于截断Schatten p-范数的图像缺失恢复方法，其特征在于：用交替方向乘子法求解模型的步骤如下：

(1)输入：原始矩阵M，A_s，B_s，参数p，μ₀，μ_max，ρ，ε；

(2)初始化：X₀＝0，E₀＝0，Y₀＝0，迭代次数k＝0；

(3)在第k+1次迭代中：

(4)第1步：计算权重W；

(5)第2步：固定其他变量，更新

(6)第3步：固定其他变量，更新

(7)第4步：更新Y_k+1＝Y_k+μ_k(M-X_k+1-E_k+1)和μ_k+1＝min(ρμ_k,μ_max)；

(8)重复步骤(4)-(7)，直到满足收敛条件时停止；

(9)输出：恢复矩阵X和E。

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