CN111027185B - 一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统。方法包括：A.接收对于四次方程各项系数的配置，在接收到第一触发信号后，继续运行；B.在判断四次幂项系数不为零时，继续运行；C.判断四次方程是否有复数根，若是，则执行D，否则执行E；D.删除复数根，执行E；E.将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；F.根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。系统包括系数接收单元、触发单元、运算单元、提示单元和展示单元。本发明增加了针对不同势函数具体突变形态的处理，能自动判别有无复根，把方程化为标准形式，并选取合适的区域绘制燕尾突变及其在参数平面上的投影。

Description

一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统
技术领域
本发明涉及计算机绘图领域，尤其是一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统。
背景技术
燕尾突变是Zeeman[1]在1976年提出的,关于势函数
Figure GDA0002394472620000011
中三个参数(a、b和c)的变化而产生的分岔形态。它对应的标准突变方程(势函数一阶导数为零)为x4-a-bx-cx2＝0，其中a、b和c作为控制变量构成三维控制空间,x作为反应变量构成一维行为空间。标准突变方程所描述的曲面是四维“超曲面”，不能直观画出图像，它的奇点集(势函数一阶、二阶导数为0)用如下方程组表示
Figure GDA0002394472620000012
燕尾突变作为突变理论中的一个重要突变形式，在科研领域有广泛的应用。然而前人的图形大都是定性手绘的，对不同势函数的具体突变形态缺乏准确的绘制[3]-[7]。
目前显示燕尾突变非线性分岔的常用软件是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的GeoGebra动态数学软件[2]。它需要输入燕尾突变参数方程，单击回车键执行程序并作图。运行需要以下步骤(只包含主要步骤)：
输入燕尾突变参数方程：a＝Curve(2c*t-4t^3,-c*t^2+3t^4,t,-5,5)；
执行命令，得到燕尾突变分歧点集的截线。
用GeoGebra软件绘制的二维图形如图1所示。现有的GeoGebra软件没有直接针对势函数的平衡曲面方程来计算燕尾突变形态，也没有相关的三维曲面变化的显示，仅限于在设定的控制空间截面上计算经典形式的突变形态。这样的理想概念模型不能满足对于具体突变问题进行诠释的需要，极大地限制了软件的应用范围，因此前人论文中引用的图形还存在许多定性手绘的情况。
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发明内容
本发明的发明目的在于：针对上述存在的问题，提供一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法和系统。以在设置四次方程系数后，能将其自动化简为标准突变方程形式并画出燕尾突变结构和燕尾突变在参数平面上的投影。通过计算机定量绘制的分岔结构更加精确、客观和可靠，能将我们对燕尾突变的感性认识提升到理性认识，从而有效地应用于相关领域的研究和应用。
本发明采用的技术方案如下：
一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法，包括以下步骤:
A.接收对于四次方程各项系数的配置，等待接收第一触发信号；在接收到第一触发信号后，执行以下步骤；
B.判断四次幂项系数是否为零，在判断四次幂项系数不为零时，执行以下步骤；
C.判断四次方程是否有复数根，若是，则执行D，否则执行E；
D.删除复数根，执行E；
E.将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；
F.根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
本发明方法在给定势函数一阶导数的各项系数之后，能自动化简为标准形式并在有清晰明显的燕尾突变区域显示突变的立体图像。在现有技术GeoGebra的基础上，增加了针对不同势函数具体突变形态的处理，能自动判别有无复根，把方程化为标准形式，并选取合适的区域绘制燕尾突变及其在参数平面上的投影。
进一步的，所述步骤F中，还包括：展示步骤E中所计算出的标准形式方程。
进一步的，所述步骤D包括：
D1：显示第二提示信息，提示用户方程存在复数根，并等待接收是否继续绘图的第二触发信息；在接收到第二触发信息后，执行D2；
D2：删除方程的复数根，执行E。
进一步的，所述步骤E具体为：
以
Figure GDA0002394472620000041
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程；根据突变理论，控制变量
Figure GDA0002394472620000042
燕尾突变在控制空间上的奇点集则为参数方程：
Figure GDA0002394472620000043
其中t为计算参数；选取u0的变化区间u0∈[-40|P|,25|P|]。
进一步的，所述步骤F中的绘图为在坐标系O-uvw中进行绘制，其中，选取v的区域关于原点对称。这样可以使得绘图效果更加美观。
本发明提供了一种燕尾突变模型分歧点集可视化系统，该系统包括系数接收单元、触发单元、运算单元、提示单元和展示单元；
所述系数接收单元被配置为：接收对于四次方程各项系数的配置；
所述触发单元被配置为：等待接收第一触发信号，在接收到第一触发信号后，触发运算单元、提示单元和展示单元工作；
所述运算单元被配置为：判断方程四次幂项系数是否为零，若是，则向提示单元发出第一提示信号；否则，判断四次方程是否有复数根，若含有复数根，则向提示单元发出第二提示信号，若不含复数根，则执行绘图流程：将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；还根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影；
所述提示单元被配置为：接收第一提示信号，显示提示用户重新输入四次方程各项系数的信息；接收第二提示信号，显示方程含有复数根的提示信息；
所述展示单元被配置为：展示运算单元所绘制的燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
系统在给定势函数一阶导数的各项(各次幂项)系数之后，能自动化简为标准形式并在有清晰明显的燕尾突变区域显示突变的立体图像。在现有技术GeoGebra的基础上，增加了针对不同势函数具体突变形态的处理，能自动判别有无复根并对其进行过滤，把方程化为标准形式，并选取合适的区域绘制燕尾突变及其在参数平面上的投影。
进一步的，所述展示单元还展示所述运算单元计算出的标准形式方程。
进一步的，所述提示单元在显示方程含有复数根的提示信息时，还用于接收用户的确认信息，该确认信息包括继续绘图和停止绘图两种选项，在接收到用户确认继续绘图时，向运算单元发送第一确认信号；在接收到用户确认停止绘图时，向运算单元发送第二确认信号；
运算单元在发出第二提示信号后，等待接收确认信号，若接收到的确认信号为第一确认信号，则删除复数根，执行绘图流程；若接收到的确认信号为第二确认信号，则停止工作。
进一步的，所述运算单元执行的绘图流程具体包括：
以
Figure GDA0002394472620000051
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程；根据突变理论，控制变量
Figure GDA0002394472620000052
燕尾突变在控制空间上的奇点集则为参数方程：
Figure GDA0002394472620000053
其中t为计算参数；选取u0的变化区间u0∈[-40|P|,25|P|]。
进一步的，运算单元绘图为在坐标系O-uvw中进行绘制，其中，选取v的区域关于原点对称。这样可以使得绘图效果更加美观。
综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：
1、本发明在给定势函数一阶导数的各项系数之后，能自动化简为标准形式并在有清晰明显的燕尾突变区域显示突变的立体图像。
2、本发明在现有技术GeoGebra的基础上，增加了针对不同势函数具体突变形态的处理，能自动判别有无复根，把方程化为标准形式，并选取合适的区域绘制燕尾突变及其在参数平面上的投影。
附图说明
本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中：
图1是GeoGebra软件绘制的燕尾突变图形。
图2是本发明燕尾突变模型分歧点集可视化方法的流程图。
图3、4分别为本发明系统运行的两个实施例。
具体实施方式
本说明书中公开的所有特征，或公开的所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以以任何方式组合。
本说明书(包括任何附加权利要求、摘要)中公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换。即，除非特别叙述，每个特征只是一系列等效或类似特征中的一个例子而已。
实施例一
如图2所示，本实施例公开了一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法，该方法可在设置四次方程系数后，绘制出燕尾突变结构和燕尾突变在参数平面上的投影。该系统的运行方法包括：
A.接收对于四次方程各项(常数项、一次幂项-四次幂项)系数的配置，等待接收第一触发信号；在接收到第一触发信号后，执行以下步骤。
通常的，四次方程的各项系数为人为配置，从而得到目标函数。人为设定各项系数后，即可开始绘图。
B.判断四次幂项系数是否为零，在判断四次幂项系数不为零时，执行以下步骤。
在四次幂项系数为零时，不可绘制出燕尾分岔，若输入的四次幂项为零，则可以显示第一提示信息，提示用户重新输入四次方程系数(至少包括四次幂项的系数)。只有在四次幂项不为零时才执行后续步骤。
C.判断四次方程是否有复数根，若是，则执行D，否则执行E。
对于方程是否含有复数根的判断，通过计算其判别式的值即可得知，判别式为：
Δ＝256a3e3-192a2bde2-128a2c2e2+144a2cd2e-27a2d4+144ab2ce2-6ab2d2e
-80abc2de+18b3cde-4b3d3-4b2c3e+b2c2d2+16ac4e-4ac3d2-27b4e2
在判别式的值小于零时，即表明方程含有复数解。
D.删除复数根，执行E。
方程的复数解在实体空间中是不可绘制的，因此，需要对方程的解进行判断。对于绘图的要求，仅保留实数根。
具体而言，步骤D包括：
D1：显示第二提示信息，提示用户方程存在复数根，并等待接收是否继续绘图的第二触发信息；在接收到第二触发信息后，执行D2；
D2：删除方程的复数根，执行E。
E.将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集。
以
Figure GDA0002394472620000081
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程。根据突变理论，控制变量
Figure GDA0002394472620000082
燕尾突变在控制空间上的奇点集可写为参数方程：
Figure GDA0002394472620000083
其中t为计算参数，在u0＜0,u0＝0,u0＞0三种不同情况下有不同的截口曲线形状。为了在绘图区域有清晰明显的分岔结构出现，本发明会选取u0的变化区间u0∈[-40|P|,25|P|]。
F.根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
对于绘图步骤，是在坐标系O-uvw中进行绘制。本实施例中，为了图形美观，绘图时选取v的区域关于原点对称。
为了便于用户了解所展示的图形所对应的方程，在绘图区，还展示步骤E中所计算出的标准形式方程。
实施例二
本实施例公开了一种燕尾突变模型分歧点集可视化系统，该系统包括系数接收单元、触发单元、运算单元、提示单元和展示单元。
系数接收单元被配置为：接收对于四次方程各项(常数项、一次幂项-四次幂项)系数的配置。
触发单元被配置为：等待接收第一触发信号，在接收到第一触发信号后，触发运算单元、提示单元和展示单元工作。
运算单元被配置为：判断方程四次幂项系数是否为零，若是，则向提示单元发出第一提示信号；否则，判断四次方程是否有复数根，若含有复数根，则向提示单元发出第二提示信号，若不含复数根，则执行绘图流程：将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；还根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
对于方程是否含有复数根的判断，通过计算其判别式的值即可得知，判别式为：
Δ＝256a3e3-192a2bde2-128a2c2e2+144a2cd2e-27a2d4+144ab2ce2-6ab2d2e
-80abc2de+18b3cde-4b3d3-4b2c3e+b2c2d2+16ac4e-4ac3d2-27b4e2
在判别式的值小于零时，即表明方程含有复数解。
绘图流程中，以
Figure GDA0002394472620000091
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程。根据突变理论，控制变量
Figure GDA0002394472620000092
燕尾突变在控制空间上的奇点集可写为参数方程：
Figure GDA0002394472620000093
其中t为计算参数，在u0＜0,u0＝0,u0＞0三种不同情况下有不同的截口曲线形状。为了在绘图区域有清晰明显的分岔结构出现，本发明会选取u0的变化区间u0∈[-40|P|,25|P|]。绘图为在O-uvw坐标系中完成的绘制，本实施例中，为了图形美观，绘图时选取v的区域关于原点对称。
提示单元被配置为：接收第一提示信号，显示提示用户重新输入四次方程各项系数的信息。接收第二提示信号，显示方程含有复数根的提示信息。
展示单元被配置为：展示运算单元所绘制的燕尾突变以及其在控制空间上的投影。还展示运算单元计算出的标准形式方程。对于燕尾突变的展示，优选以jet等色标进行展示。
提示单元在显示方程含有复数根的提示信息时，还用于接收用户的确认信息，该确认信息包括继续绘图和停止绘图两种选项，在接收到用户确认继续绘图时，向运算单元发送第一确认信号；在接收到用户确认停止绘图时，向运算单元发送第二确认信号。运算单元在发出第二提示信号后，等待接收确认信号，若接收到的确认信号为第一确认信号，则删除复数根，执行绘图流程；若接收到的确认信号为第二确认信号，则停止工作。
实施例三
本实施例基于实施例一或实施例二，以具体四次方程系数为例进行说明。
本实施例中，四次方程各次幂项的系数依次为3、2、1、2、1，得到的四次方程为：F(x)＝3x4+2x3+1x2+2x+1；点击“运行”(对应于实施例一中的第一触发信号，对应于实施例二中的触发单元接收第一触发信号)，在确定运行后，方法或系统会自动运行，绘制出燕尾突变的结果如图3所示。对应于绘制结果，可以进行“垂直旋转”和“水平旋转”调整视图。
对应于目标方程F(x)＝3x4+2x3+1x2+2x+1，其标准形式方程为Q＝-3×((x+1/6)4+1/6×(x+1/6)2+16/27×(x+1/6)+11/48)。
在另一个实施例中，四次方程各次幂项的系数依次为-3、2、1、2、1，得到的四次方程为：F(x)＝-3x4+2x3+1x2+2x+1，其对应的绘图结果如图4所示。对应于该目标方程，其标准形式方程为Q＝3×((x-1/6)4+(-1/2)×(x-1/6)2+(-22/27)×(x-1/6)-197/432)。
本发明并不局限于前述的具体实施方式。本发明扩展到任何在本说明书中披露的新特征或任何新的组合，以及披露的任一新的方法或过程的步骤或任何新的组合。

Claims (6)

1.一种燕尾突变模型分歧点集可视化方法，其特征在于，包括以下步骤:
A.接收对于四次方程各项系数的配置，等待接收第一触发信号；在接收到第一触发信号后，执行以下步骤；
B.判断四次幂项系数是否为零，在判断四次幂项系数不为零时，执行以下步骤；
C.判断四次方程是否有复数根，若是，则执行D，否则执行E；
D.删除复数根，执行E；包括：D1：显示第二提示信息，提示用户方程存在复数根，并等待接收是否继续绘图的第二触发信息；在接收到第二触发信息后，执行D2；D2：删除方程的复数根，执行E；
E.将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；具体为：
以
Figure FDA0004056282600000011
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程；根据突变理论，控制变量
Figure FDA0004056282600000012
燕尾突变在控制空间上的奇点集则为参数方程：
Figure FDA0004056282600000013
其中t为计算参数；选取u0的变化区间u0∈[-40P,25P]；
F.根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
2.如权利要求1所述的燕尾突变模型分歧点集可视化方法，其特征在于，所述步骤F中，还包括：展示步骤E中所计算出的标准形式方程。
3.如权利要求1所述的燕尾突变模型分歧点集可视化方法，其特征在于，所述步骤F中的绘图为在坐标系O-uvw中进行绘制，其中，选取v的区域关于原点对称。
4.一种燕尾突变模型分歧点集可视化系统，其特征在于，该系统包括系数接收单元、触发单元、运算单元、提示单元和展示单元；
所述系数接收单元被配置为：接收对于四次方程各项系数的配置；
所述触发单元被配置为：等待接收第一触发信号，在接收到第一触发信号后，触发运算单元、提示单元和展示单元工作；
所述运算单元被配置为：判断方程四次幂项系数是否为零，若是，则向提示单元发出第一提示信号；否则，判断四次方程是否有复数根，若含有复数根，则向提示单元发出第二提示信号，若不含复数根，则执行绘图流程：将四次方程化为标准形式方程，并计算出燕尾突变在控制空间上的奇点集；还根据所计算出的奇点集，绘制出燕尾突变以及其在控制空间上的投影；
所述提示单元被配置为：接收第一提示信号，显示提示用户重新输入四次方程各项系数的信息；接收第二提示信号，显示方程含有复数根的提示信息；所述提示单元在显示方程含有复数根的提示信息时，还用于接收用户的确认信息，该确认信息包括继续绘图和停止绘图两种选项，在接收到用户确认继续绘图时，向运算单元发送第一确认信号；在接收到用户确认停止绘图时，向运算单元发送第二确认信号；
运算单元在发出第二提示信号后，等待接收确认信号，若接收到的确认信号为第一确认信号，则删除复数根，执行绘图流程；若接收到的确认信号为第二确认信号，则停止工作；
所述运算单元执行的绘图流程具体包括：
以
Figure FDA0004056282600000021
代换目标函数中的x，可得到形如a(t4+Pt2+qt+r)+Q＝0的标准形式方程；根据突变理论，控制变量
Figure FDA0004056282600000022
燕尾突变在控制空间上的奇点集则为参数方程：
Figure FDA0004056282600000023
其中t为计算参数；选取u0的变化区间u0∈[-40P,25P]；
所述展示单元被配置为：展示运算单元所绘制的燕尾突变以及其在控制空间上的投影。
5.如权利要求4所述的燕尾突变模型分歧点集可视化系统，其特征在于，所述展示单元还展示所述运算单元计算出的标准形式方程。
6.如权利要求4所述的燕尾突变模型分歧点集可视化系统，其特征在于，运算单元绘图为在坐标系O-uvw中进行绘制，其中，选取v的区域关于原点对称。
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