CN110974414B - 一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于胫骨畸形矫正的空间锥‑柱干涉检验方法，将人体的小腿简化为圆台，将OSF外固定器的驱动杆简化为圆柱，建立锥‑柱干涉检验模型；畸形的胫骨肢体(小腿)被简化为近端圆台和远端圆台分别与驱动杆进行检验，根据圆台母线与圆柱轴线的最小距离判断是否发生干涉。由几何关系求得圆台的锥顶点位置，当圆台母线与圆柱轴线的法向距离存在最小值时，公垂线与圆台轴线的夹角为圆台半锥角的余角，以此求得满足最小法向距离的母线；最小距离公式由圆台母线与圆柱轴线的公垂线的垂足的位置决定，具有6种空间位置关系，若最小距离大于圆柱半径，则无干涉发生。该方法可为医生在术前轨迹规划、术前矫正策略评估、框架配置提供一定的指导。

Description

一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法

技术领域

本发明属于骨科畸形矫正技术领域，具体涉及一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法。

背景技术

外固定器广泛应用于骨科畸形矫正、骨折复位，下肢畸形的管理对临床医生来说依然是一个挑战。许多研究者对影响术前轨迹规划的因素进行了广泛的研究，促进了外固定器技术的发展。然而，在轨迹规划过程中，一个重要的问题被忽略：患者的肢体与外固定器的驱动杆之间，以及相邻的驱动杆之间容易发生干涉和碰撞。虽然六足外固定器横向刚度大，有利于骨的愈合，但其环绕于患者肢体的庞大结构导致环内空间变小，并且体积较大。当进行角度矫正，特别是大角度旋转矫正时，外固定器的环内空间将大大被减小，增加了患者肢体与外固定器驱动杆碰撞的可能性。一旦患者肢体与杆发生碰撞，矫正程序将无法继续进行，导致之前的矫正策略中断，并且需要重新制定新的矫正策略。因此，要获得广泛的矫正，考虑杆与肢体间的干涉问题是必要的。

因此，为了避免OSF(Ortho-SUV frameTM)外固定器的驱动杆对在胫骨畸形矫正时环绕于胫骨周围的软组织(小腿)的干涉，提出了一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，用于检测在矫正过程中畸形的胫骨肢体与OSF的驱动杆之间的空间位置关系。该方法可以为临床医生在术前轨迹规划、术前矫正策略评估、框架配置提供一定的指导。

发明内容

本发明的目的是为了解决OSF(Ortho-SUV frame^TM)外固定器的驱动杆对患者小腿的干涉问题，本发明提供了一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，把圆台母线与圆柱轴线间的最小距离作为判据，确定胫骨肢体与驱动杆之间的空间位置关系，以检测在矫正过程中杆-肢体是否发生干涉。

为了实现以上目的，本发明所采用的技术方案是：一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，包括如下步骤：

(1)确定胫骨的畸形参数和外固定器参数

(2)制定矫正策略

采用笛卡尔空间轨迹控制方法，对骨末端的方向和位置同时进行规划，以生成平滑且均匀间隔的线性轨迹；

(3)空间锥-柱干涉检验模型：将人体的小腿简化为半锥角为α的圆台，畸形的胫骨肢体(小腿)被简化为相连的近端圆台和远端圆台；将OSF外固定器(Ortho-SUV frame^TM)的驱动杆简化为圆柱，进而建立小腿与外固定器的驱动杆之间的锥-柱干涉检验模型；

(4)根据近端圆台的旋转轴向量Op₀的模和远端圆台的旋转轴向量Gp₃的模以及几何关系确定近端圆台的虚拟顶点p₀和远端圆台的虚拟顶点p₃的位置；

(5)根据约束条件求得圆台母线的端点p_i(i＝1,2,4,5)的位置，求得满足圆台母线与圆柱轴线的法向距离最小的近端圆台母线p₁p₂和远端圆台母线p₄p₅；

(6)当圆台母线与圆柱轴线的法向距离最小时，求解公垂线的垂足n_i(i＝1,2,3,4)的位置；

(7)根据垂足n_i(i＝1,2,3,4)的位置，判断圆台母线p₁p₂、p₄p₅与圆柱轴线A_iB_i(i＝1,2,...,6)之间的位置关系，并求解最小距离d_ai和d_bi；

(8)当近端圆台母线与圆柱轴线的最小距离d_ai和远端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_bi同时满足d_ai>R_m,d_bi>R_m时，表示没有发生干涉，若d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，表示发生干涉，则需要中断当前矫正程序，重新制定矫正策略。

所述步骤(1)中，设定胫骨的畸形参数：假设畸形的胫骨具有在矢状面内θ₁，冠状面内θ₂的角度畸形，在横截面内具有θ₃的旋转畸形，具有沿冠状轴e_x，沿矢状轴e_y的平移畸形，沿垂直轴e_z的缩短畸形；胫骨肢体的圆台模型的上基圆半径为R_t，半锥角为α，近端骨段OO₁和远端骨段GG₁的长度均为H_L；OSF外固定器的近端环和远端环直径均为d_R，驱动杆的半径为R_m；

所述步骤(2)中，远端末端G₁的起始位置为G₁(e_x,e_y,e_z)，最终位置为(0,0,H_L+e_z)，初始姿态为(θ₁,θ₂,θ₃)，最终骨末端的姿态为(0,0,0)，采用笛卡尔空间轨迹控制方法，对骨末端的方向和位置同时进行规划，以生成平滑且均匀间隔的线性轨迹，假设矫正轴为n天，保持沿纵轴1mm/天的最佳牵拉速率；

所述步骤(3)中，近端胫骨肢体被简化为一个半锥角为α的圆台，上基圆以O为圆心，R_a为半径，下基圆以O₁为圆心，R_b为半径，其中R_a和R_b是根据患者小腿的实际参数给定的一个常数，将近端圆台与外固定器的近端环垂直且刚性的固定，圆台的轴线与环的中心重合，上基圆面与近端环处骨穿针的位置在同一平面，下基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的近端骨段的截骨面；

相应地，p₂为圆台的上基圆上的任意一点，p₁为过点p₂的近端圆台母线与下基圆面的交点，圆台的虚拟锥顶点为p₀；

进一步，在近端圆台上基圆的圆心O处建立固定坐标系O-xyz，z轴垂直于近端环，x轴沿OA₁方向，y轴方向按右手准则确定，同时x轴、y轴和z轴分别与冠状轴、矢状轴和垂直轴重合；

相应地，在近端圆台下基圆的圆心O₁处建立固定坐标系O₁-x₁y₁z₁，与固定坐标系O-xyz平行；

进一步，OSF外固定器的驱动杆被简化为以A_i(i＝1,2,…,6)、B_i(i＝1,2,…,6)为端点，半径为R_m的圆柱，其中A_i(i＝1,2,…,6)和B_i(i＝1,2,…,6)是OSF外固定器中连接近端环与远端环的球副的中心，可根据运动学位置逆解求得其位置，圆柱半径R_m是根据外固定器驱动杆的实际最大外径给定的常数；

所述步骤(4)中，近端胫骨作为参考骨，它的位姿固定不变，故近端圆台的虚拟锥顶点p₀的位置也固定不动，在上基圆的圆心O处建立固定坐标系O-xyz，取p₀(0,0,z₀)；

进一步，在近端圆台的上基圆上取任意已知的点p₂’(x_p2,y_p2,0)，近端圆台的轴向量Op₀与向量OO₁共线，近端圆台的虚拟顶点p₀(0,0,z₀)的位置可根据式(1)求得：

所述步骤(5)中，由于圆台有无数条母线，在判断空间圆台和圆柱的位置关系时，需确定满足近端圆台母线与圆柱轴线的法向距离最短的圆台母线；

进一步，假设点p₂(x_p2,y_p2,0)是满足条件的圆台母线在上基圆上的点，点p₁(x_p1,y_p1,z_p1)是通过点p₂的圆台母线与下基圆面的交点；

相应地，近端圆台的母线向量为p₁p₂，并且与向量p₀p₂共线，则向量p₀p₂与圆台轴线向量Op₀的公垂线的方向向量为n₁₂，垂足为n₁和n₂，其中垂足n₁在p₁p₂内部或延长线上，垂足n₂在A_iB_i内部或其延长线上，方向向量n₁₂与近端圆台轴线向量Op₀的夹角为近端圆台半锥角的余角β，可用式(2)表示：

n₁₂·Op₀＝|n₁₂|·|Op₀|cosβ (2)

其中

β＝90°-α，根据几何参数，点p₂也满足式(3)：

|Op₂|＝R_a (3)

其中，R_a是近端圆台的上基圆半径，化简式(2)和(3)，并求解可得点p₂的位置p₂(xp₂,yp₂,0)；

进一步，因为向量p₀p₁和p₀p₂共线，因此点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)满足式(4)：

其中，R_b是近端圆台的下基圆半径，p₀是近端圆台的虚拟锥顶点，化简(4)并求解可得到点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)，则向量p₁p₂＝(xp₂-xp₁,yp₂-yp₁,-zp₁)；

所述步骤(6)中，由于胫骨肢体骨穿针所在的平面和外固定器的结构参数的限制，近端圆台的母线与圆柱轴线的最小距离不一定等于法向距离，这取决于垂足n₁和n₂的位置。基于所建立的空间锥-柱干涉检验模型和向量关系，向量p₂n₁可表示为式(5)：

进一步，由于向量p₂n₁和向量p₂p₁共线，令法向量m₁＝n₁₂×A_iB_i，因此p₂n₁还可以表示为式(6)：

进一步，因为向量A_in₁和向量m₁垂直，其中p₂n₁＝On₁-Op₂＝n₁-p₂，故：

进一步，令m₂＝n₁₂×p₂p₀，垂足n₂的位置矢量可通过式(8)表示：

所述步骤(7)中，胫骨近端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_ai，根据垂足n₁与n₂的位置关系，近端圆台母线p₁p₂与圆柱轴线A_iB_i的空间位置关系共有6种：

进一步，①n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离等于圆台母线p₁p₂与圆柱轴线A_iB_i的法向距离：

d_ai＝|A_ip₂·n₁₂| (9)

进一步，②n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(10)：

进一步，③n₁在p₁p₂外部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离可被表示为式(11)：

进一步，当n₁在p₁p₂外部，n₂在A_iB_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₁和N₂的位置来确定，其中N₁是通过端点A_i向p₁p₂作垂线的垂足，N₂是通过端点p₂向A_iB_i作垂线的垂足；

相应地，④N₁在p₁p₂内部，N₂在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(12)：

进一步，⑤N₁在p₁p₂外部，N₂在A_iB_i内部，此时最小距离可被表示为式(13)：

进一步，⑥当N₁在p₁p₂外部，N₂也在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(14)：

d_ai＝|p₂A_i| (14)

其中角度δ_a1是向量p₂p₁和A_ip₁之间的夹角，δ_a2是向量p₂B_i和A_iB_i之间的夹角；

所述步骤(3)中，远端胫骨肢体被简化为一个半锥角为α的圆台，上基圆以G₂为圆心，R_c为半径，其中G₂与远端骨的末端中心G₁重合，下基圆以G为圆心，R_d为半径，其中R_c和R_d是根据患者小腿的实际参数给定的一个常数，将远端圆台与外固定器的远端环垂直且刚性的固定，远端圆台的轴线与远端环的中心重合，下基圆面与远端环处骨穿针的位置在同一平面，上基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的远端骨段的截骨面；

相应地，p₄为远端圆台下基圆上的任意一点，p₅为过点p₄的远端圆台母线与上基圆面的交点，远端圆台的虚拟锥顶点为p₃；

进一步，在远端圆台下基圆的圆心G处建立动坐标系G-uvw，在外固定器达到中立位置时与固定坐标系O-xyz平行；

相应地，在远端圆台上基圆的圆心G₁处建立固定坐标系G₁-uvw，始终与动坐标系G-uvw平行。

所述步骤(4)，远端胫骨的位姿从初始畸形位置到最终的目标位置在不断的变化，因此远端圆台的虚拟锥顶点p₃的位姿也在不断的变化；

进一步，在远端圆台的下基圆面的圆心G处建立动坐标系G-uvw，虚拟锥顶点p₃在动坐标系G-uvw中的位置为p₃'(0,0,z₃')，在下基圆上任意取已知的点p₄'，远端圆台的虚拟锥顶点在动坐标系G-uvw中的位置可根据式(15)求得：

进一步，远端圆台在定坐标系O-xyz中的位置p₃(x₃,y₃,z₃)可通过坐标转换得到，如式(16):

其中

是动坐标系相对于固定坐标系的齐次坐标变换矩阵，

动坐标系G-uvw相对于固定坐标系O-xyz的位置矢量。

所述步骤(5)，由于圆台有无数条母线，判断空间中圆台与圆柱的位置关系时，需确定满足远端圆台母线与圆柱轴线的法向距离最小的圆台母线；

进一步，假设点p₄(xp₄,yp₄,zp₄)是满足条件的圆台母线在下基圆上的点，点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)是通过点p₄的圆台母线与上基圆面的交点；

相应地，远端圆台的母线向量为p₄p₅，且与向量p₃p₄共线，则向量p₃p₄与远端圆台轴线向量GG₂的公垂线的方向向量为n₃₄，垂足为n₃和n₄，垂足为n₃和n₄，其中垂足n₃在p₄p₅内部或延长线上，方向向量n₃₄与远端圆台轴线向量GG₂的夹角为远端圆台半锥角的余角β，可用式(17)表示：

n₃₄·GG₂＝|n₃₄|·|GG₂|cosβ (17)

其中

β＝90°-α，根据几何参数，点p₄也满足式(18)：

|Gp₄|＝R_d＝|p₃p₄|sinα,|p₃G|＝|p₃p₄|cosα (18)

其中，R_d是远端圆台的下基圆半径，化简式(17)和(18)并求解可得点p₄的位置p₄(xp₄,yp₄,zp₄)，其中

G₂＝[0,0,Z_G2]；

进一步，因为向量p₃p₄和p₃p₅共线，因此点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)的位置满足式(19)：

其中，R_c是远端圆台的上基圆半径，p₃是远端圆台的虚拟锥顶点，化简(19)并求解可得到点p₅的位置p₅(xp₅,yp₅,zp₅)，则向量p₄p₅＝(xp₅-xp₄,yp₅-yp₄,zp₅-zp₄)；

所述步骤(6)，由于胫骨肢体的骨穿针所在的平面和外固定器的结构参数的限制，远端圆台的母线与圆柱轴线的最小距离不一定等于法向距离，这取决于垂足n₃和n₄的位置，基于所建立的空间锥-柱干涉检验模型和向量关系，向量p₄n₃可表示为式(20)：

进一步，由于向量p₄n₃和向量p₄p₅共线，令法向量m₃＝n₃₄×B_iA_i，因此p₄n₃还可以表示为式(21)：

进一步，因为向量B_in₃和向量m₃垂直，其中p₄n₃＝On₃-Op₄＝n₃-p₄，故：

进一步，令m₄＝n₃₄×p₅p₄，垂足n₄的位置矢量可通过式(23)表示：

所述步骤(7)，胫骨远端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_bi，根据垂足n₃与n₄的位置关系，远端圆台母线与圆柱轴线的空间位置关系共有6种：

进一步，①n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离等于圆台母线与圆柱轴线的法向距离：

d_bi＝|B_ip₄·n₃₄| (24)

进一步，②n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(25)：

进一步，③n₃在p₄p₅外部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离可被表示为式(26)：

进一步，当n₃在p₄p₅外部，n₄也在B_iA_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₃和N₄的位置来确定，其中N₃是通过端点B_i向p₄p₅作垂线的垂足，N₄是通过端点p₄向B_iA_i作垂线的垂足；

④N₃在p₄p₅内部，N₄在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(27)：

进一步，⑤N₃在p₄p₅外部，N₄在B_iA_i内部，此时最小距离可被表示为式(28)：

进一步，⑥当N₃在p₄p₅外部，N₄也在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(29)：

d_bi＝|p₄B_i| (29)

其中角度δ_b1是向量p₄p₅和B_ip₅之间的夹角，δ_b2是向量p₄A_i和B_iA_i之间的夹角。

所述步骤(8)，OSF外固定器有6个驱动杆，相邻的杆通过转动副串联在一起，因此相邻的杆之间没有相互干涉；

进一步，在同一畸形位置下，当近端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_ai和远端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_bi同时满足满足条件d_ai>R_m,d_bi>R_m时，其中圆柱半径R_m是根据外固定器驱动杆的实际最大外径给定的常数，表示空间中的近端圆台和远端圆台都没有与圆柱发生干涉，即外固定器的驱动杆与畸形的胫骨肢体(远端胫骨肢体和近端胫骨肢体)没有发生干涉；

进一步，若d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，表示发生干涉，则需要中断当前矫正程序，重新制定矫正策略。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

本发明的用于胫骨畸形矫正的锥-柱干涉检验方法，将胫骨肢体简化为半锥角为α的圆台，可以更加形象的表达患者胫骨肢体的形状和特征，将畸形的胫骨肢体分为近端圆台和远端圆台两段分别与外固定器的驱动杆进行干涉检验；可以判断在矫正过程中危险的杆，和容易发生干涉的危险位置，可以指导医生在危险位置对危险的杆进行实时的监测和观察，以防止发生与肢体的干涉，保证矫正程序正常进行；可以作为临床医生对患者进行矫正轨迹规划和矫正策略评估的一个重要评价准则，为临床医生选择最优的外固定器配置提供一定的指导。

附图说明

图1是本发明的一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法的流程图；

图2是初始畸形位置和最终位置的胫骨肢体圆台模型图；

图3是近端锥-柱干涉检验模型图；

图4是远端锥-柱干涉检验模型图；

图5是近端锥-柱空间位置关系图；

图6是远端锥-柱空间位置关系图；

图7是近端最小距离变化图；

图8是远端最小距离变化图。

具体实施方式

下面结合附图及具体的实施例对本发明进一步介绍，所述是对本发明的解释而不是限定。

参图1所示为本发明的一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法流程图，由图可知，该检验方法包括以下步骤：

(1)确定畸形参数和外固定器

参图2所示，畸形参数：假设畸形的胫骨具有在矢状面内10°，冠状面内15°的角度畸形，在横截面内具有16°的旋转畸形，具有沿冠状轴10mm，沿矢状轴4mm的平移畸形，沿垂直轴20mm的缩短畸形；胫骨肢体的圆台模型的上基圆半径为55mm，半锥角为3°，近端骨段OO₁和远端骨段GG₁的长度均为70mm；OSF外固定器的近端环和远端环直径均为170mm，驱动杆的半R_m径为7.5mm。

(2)制定矫正策略

远端末端G₁的起始位置为G₁(10,4,70)，最终位置为(0,0,90)，初始姿态为(10,15,16)，最终骨末端的姿态为(0,0,0)，采用笛卡尔空间轨迹控制方法，对骨末端的方向和位置同时进行规划，以生成平滑且均匀间隔的线性轨迹，假设矫正轴为20天，以保持沿纵轴1mm/天的最佳牵拉速率。

(3)锥-柱干涉检验模型

参图2左图所示，畸形的胫骨肢体在角度旋转中心(CORA)处分为近端软组织和远端软组织两部分，参图2左图所示，将人体的小腿简化为半锥角为3°的圆台，在角度旋转中心处，被简化为近端圆台和远端圆台两段，参图2右图所示，为矫正完成后，近端骨轴线与远端骨轴线对齐，骨间隙产生新生骨组织；

参图3所示，近端圆台的上基圆以O为圆心，R_a为半径，取R_a＝55mm，其中R_a根据患者小腿的实际参数给定，下基圆以O₁为圆心，R_b为半径；

进一步，参图5所示，将近端圆台与外固定器的近端环垂直且刚性的固定，圆台的轴线与环的中心重合，上基圆面与近端环处骨穿针的位置在同一平面，下基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的近端骨段的截骨面；；

进一步，参图2、图3、图5所示，在近端圆台上基圆的圆心O处建立固定坐标系O-xyz，z轴垂直于近环，x轴沿OA₁方向，y轴方向按右手准则确定，同时x轴、y轴和z轴分别与冠状轴、矢状轴和垂直轴重合；

相应地，参图3所示，在近端圆台下基圆的圆心O₁处建立固定坐标系O₁-x₁y₁z₁，与固定坐标系O-xyz平行；

相应地，p₂(x_p2,y_p2,z_p2)为圆台上基圆上的任意一点，p₁(x_p1,y_p1,z_p1)为过点p₂的近端圆台母线与下基圆面的交点，圆台的虚拟锥顶点为p₀(x₀,y₀,z₀)；

进一步，OSF外固定器有6个驱动杆，相邻的驱动杆通过转动副串联起来，驱动杆被简化为以A_i(i＝1,2,…,6)、B_i(i＝1,2,…,6)为端点，半径为R_m的圆柱，其中A_i(i＝1,2,…,6)和B_i(i＝1,2,…,6)是OSF外固定器中连接近端环与远端环的球副的中心，可根据运动学位置逆解求得其位置，圆柱半径R_m是根据外固定器驱动杆的实际最大外径给定的常数；

(4)求解近端圆台的虚拟锥顶点p₀

参图3和图5所示，近端胫骨作为参考骨，它的位姿固定不变，故近端圆台的虚拟锥顶点p₀的位置也固定不动，在上基圆的圆心点O处建立固定坐标系O-xyz，取p₀(0,0,z₀)；在近端圆台的上基圆上取任意已知的点p₂’(55,0,0)，近端圆台的轴向量Op₀与向量OO₁共线，近端圆台的虚拟顶点p₀(0,0,z₀)的位置可根据式(1)求得：

(5)求解近端圆台母线p₁p₂

参图3和图5所示，由于圆台有无数条母线，在判断空间圆台和圆柱的位置关系时，需确定满足近端圆台母线与圆柱轴线的法向距离最短的圆台母线；

进一步，假设点p₂(xp₂,yp₂,0)是满足条件的圆台母线在上基圆上的点，点p₁(xp₁,yp₁,zp₁)是通过点p₂的圆台母线与下基圆面的交点；

相应地，近端圆台的母线向量为p₁p₂，并且与向量p₀p₂共线，则向量p₀p₂与圆台轴线向量Op₀的公垂线的方向向量为n₁₂，垂足为n₁和n₂，其中垂足n₁在p₁p₂内部或延长线上，垂足n₂在A_iB_i内部或其延长线上，方向向量n₁₂与近端圆台轴线向量Op₀的夹角为近端圆台半锥角的余角β，可用式(2)表示：

n₁₂·Op₀＝|n₁₂|·|Op₀|cosβ (2)

其中

β＝90°-3°，根据几何参数，点p₂也满足式(3)：

|Op₂|＝R_a (3)

其中，R_a是近端圆台的上基圆半径，化简式(2)和(3)，并求解可得点p₂的位置p₂(xp₂,yp₂,0)；

进一步，因为向量p₀p₁和p₀p₂共线，因此点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)满足式(4)：

其中，R_b是近端圆台的下基圆半径，p₀是近端圆台的虚拟锥顶点，化简(4)并求解可得到点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)，则向量p₁p₂＝(xp₂-xp₁,yp₂-yp₁,-zp₁)；

(6)求解垂足n₁、n₂的位置

参图3和图5，由于胫骨肢体骨穿针所在的平面和外固定器的结构参数的限制，近端圆台的母线与圆柱轴线的最小距离不一定等于法向距离，这取决于垂足n₁和n₂的位置。基于所建立的空间锥-柱干涉检验模型和向量关系，向量p₂n₁可表示为式(5)：

进一步，由于向量p₂n₁和向量p₂p₁共线，令法向量m₁＝n₁₂×A_iB_i，因此p₂n₁还可以表示为式(6)：

进一步，因为向量A_in₁和向量m₁垂直，其中p₂n₁＝On₁-Op₂＝n₁-p₂，故：

进一步，令m₂＝n₁₂×p₂p₀，垂足n₂的位置矢量可通过式(8)表示：

(7)判断近端圆台和圆柱母线的位置关系

参图5所示，胫骨近端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_ai，根据垂足n₁与n₂的位置关系，近端圆台母线与圆柱轴线的空间位置关系共有6种：

进一步，①n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离等于圆台母线与圆柱轴线的法向距离：

d_ai＝|A_ip₂·n₁₂| (9)

进一步，②n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(10)：

进一步，③n₁在p₁p₂外部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离可被表示为式(11)：

进一步，当n₁在p₁p₂外部，n₂在A_iB_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₁和N₂的位置来确定，其中N₁是通过端点A_i向p₁p₂作垂线的垂足，N₂是通过端点p₂向A_iB_i作垂线的垂足；

④N₁在p₁p₂内部，N₂在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(12)：

进一步，⑤N₁在p₁p₂外部，N₂在A_iB_i内部，此时最小距离可被表示为式(13)：

进一步，⑥当N₁在p₁p₂外部，N₂也在A_iB_i外部，此时最小距离可被表示为式(14)：

d_ai＝|p₂A_i| (14)

其中角度δ_a1是向量p₂p₁和A_ip₁之间的夹角，δ_a2是向量p₂B_i和A_iB_i之间的夹角。

(8)求解最小距离d_ai

参图7所示，根据步骤2所计划的矫正策略，在该预设的矫正轨迹的执行过程中，通过Matlab仿真执行干涉检验算法，进而计算近端圆台母线与圆柱轴线之间的最小距离d_ai，进而得到OSF外固定器的6个驱动杆在畸形矫正期间，近端胫骨肢体与驱动杆之间的最小距离。

(9)求解远端圆台的虚拟锥顶点p₃

参图4所示，远端圆台的下基圆以G为圆心，R_d为半径，取R_d＝47.66mm，其中R_d是根据患者远端环在小腿的穿针位置出的实际参数给定的，上基圆以G₂为圆心，R_c为半径，同时上基圆圆心G₂与远端骨末端G₁重合，且在初始畸形位置时，G₂与O₁重合；

进一步，参图6所示，将远端圆台与外固定器的远端环垂直且刚性的固定，远端圆台的轴线与远端环的中心重合，下基圆面与远端环处骨穿针的位置在同一平面，上基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的远端骨段的截骨面；

进一步，参图4、图6所示，在远端圆台下基圆的圆心G处建立动坐标系G-uvw，在外固定器达到中立位置时，与固定坐标系O-xyz平行；

相应地，在远端圆台上基圆的圆心G₂处建立固定坐标系G₁-uvw，始终与动坐标系G-uvw平行。

相应地，p₄(x_p4,y_p4,z_p4)为远端圆台下基圆上的任意一点，p₅(x_p5,y_p5,z_p5)为过点p₄的远端圆台母线与上基圆面的交点，远端圆台的虚拟锥顶点为p₃(x_p3,y_p3,z_p3)；

参图4和图6所示，远端胫骨的位姿从初始畸形位置到最终的目标位置在不断的变化，因此远端圆台的虚拟锥顶点p₃的位姿也在不断的变化；

进一步，令虚拟锥顶点p₃在动坐标系G-uvw中的位置为p₃'(0,0,z₃')，在远端圆台的下基圆上任意取已知的点p₄'在动坐标系G-uvw中的位置为p₄’(0,47.66,0)，远端圆台的虚拟锥顶点在动坐标系G-uvw中的位置可根据式(15)求得：

进一步，远端圆台在定坐标系O-xyz中的位置p₃(x₃,y₃,z₃)可通过坐标转换得到，如式(16):

其中

是动坐标系相对于定坐标系的坐标齐次变换矩阵，

动坐标系G-uvw相对于定坐标系O-xyz的位置矢量。

(10)求解近端圆台母线p₄p₅

参图4和图6所示，由于圆台有无数条母线，在判断空间圆台和圆柱的位置关系时，需确定满足远端圆台母线与圆柱轴线的法向距离最短的圆台母线；

进一步，假设点p₄(xp₄,yp₄,zp₄)是满足条件的圆台母线在下基圆上的点，点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)是通过点p₄的圆台母线与上基圆面的交点；

相应地，远端圆台的母线向量为p₄p₅，且与向量p₃p₄共线，则向量p₃p₄与远端圆台轴线向量GG₂的公垂线的方向向量为n₃₄，垂足为n₃和n₄，方向向量n₃₄与远端圆台轴线向量GG₂的夹角为远端圆台半锥角的余角β，可用式(17)表示：

n₃₄·GG₂＝|n₃₄|·|GG₂|cosβ (17)

其中

β＝90°-3°，根据几何参数，点p₄也满足式(18)：

|Gp₄|＝R_d＝|p₃p₄|sinα,|p₃G|＝|p₃p₄|cosα (18)

其中，R_d是远端圆台的下基圆半径，化简式(17)和(18)并求解可得点p₄的位置p₄(xp₄,yp₄,zp₄)，其中

G₂＝[0,0,Z_G2]，在初始位置时G₂＝[0,0,70]；

进一步，因为向量p₃p₄和p₃p₅共线，因此点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)的位置满足式(19)：

其中，R_c是远端圆台的上基圆半径，p₃是远端圆台的虚拟锥顶点，化简(19)并求解可得到点p₅的位置p₅(xp₅,yp₅,zp₅)，则向量p₄p₅＝(xp₅-xp₄,yp₅-yp₄,zp₅-zp₄)；

(11)求解垂足n₃、n₄的位置

参图4和图6，由于胫骨肢体的骨穿针所在的平面和外固定器的结构参数的限制，远端圆台的母线与圆柱轴线的最小距离不一定等于法向距离，这取决于垂足n₃和n₄的位置，向量p₄n₃可表示为式(20)：

进一步，由于向量p₄n₃和向量p₄p₅共线，令法向量m₃＝n₃₄×B_iA_i，因此p₄n₃还可以表示为式(21)：

进一步，因为向量B_in₃和向量m₃垂直，故：

其中p₄n₃＝On₃-Op₄＝n₃-p₄。

进一步，令m₄＝n₃₄×p₅p₄，垂足n₄的位置矢量可通过式(23)表示：

(12)判断远端圆台和圆柱母线的位置关系

参图6所示，胫骨远端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_bi，根据垂足n₃与n₄的位置关系，远端圆台母线与圆柱轴线的空间位置关系共有6种：

进一步，①n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离等于圆台母线与圆柱轴线的法向距离：

d_bi＝|B_ip₄·n₃₄| (24)

进一步，②n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(25)：

进一步，③n₃在p₄p₅外部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离可被表示为式(26)：

进一步，当n₃在p₄p₅外部，n₄也在B_iA_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₃和N₄的位置来确定，其中N₃是通过端点B_i向p₄p₅作垂线的垂足，N₄是通过端点p₄向B_iA_i作垂线的垂足；

④N₃在p₄p₅内部，N₄在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(27)：

进一步，⑤N₃在p₄p₅外部，N₄在B_iA_i内部，此时最小距离可被表示为式(28)：

进一步，⑥当N₃在p₄p₅外部，N₄也在B_iA_i外部，此时最小距离可被表示为式(29)：

d_bi＝|p₄B_i| (29)

其中角度δ_b1是向量p₄p₅和B_ip₅之间的夹角，δ_b2是向量p₄A_i和B_iA_i之间的夹角。

(13)求解最小距离d_bi

参图8所示，根据步骤2所计划的矫正策略，在该预设的矫正轨迹的执行过程中，通过Matlab仿真执行干涉检验算法，进而计算远端圆台母线与圆柱轴线之间的最小距离d_bi，进而得到OSF外固定器的6个驱动杆在畸形矫正期间远端胫骨肢体与驱动杆之间的最小距离。

(14)判断是否发生干涉

参图7和图8所示，在同一畸形位置下，当近端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_ai和远端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_bi同时满足条件d_ai>R_m,d_bi>R_m时，表示空间中的近端圆台和远端圆台都没有与圆柱发生干涉，即外固定器的驱动杆与畸形的胫骨肢体(远端胫骨肢体和近端胫骨肢体)没有发生干涉；

进一步，若d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，表示发生干涉；

参图7和图8所示，在整个矫正过程中，最小距离始终大于驱动杆的半径，d_ai和d_bi同时满足d_ai>R_m,d_bi>R_m，表示整个矫正过程始终没有发生干涉；若不满足d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，则发生干涉，则矫正程序需要停止，然后重新制定矫正策略，以完成最终的畸形矫正。

上述实施例仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。

Claims (3)

1.一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)空间锥-柱干涉检验模型：将人体的小腿简化为半锥角为α的圆台，畸形的胫骨肢体即小腿被简化为相连的近端圆台和远端圆台；将OSF外固定器的驱动杆简化为半径为R_m的圆柱，进而建立小腿与外固定器的驱动杆之间的锥-柱干涉检验模型；

(2)根据近端圆台的旋转轴向量Op₀的模和远端圆台的旋转轴向量Gp₃的模以及几何关系确定近端圆台的虚拟顶点p₀和远端圆台的虚拟顶点p₃的位置；

(3)根据约束条件求得圆台母线的端点p_i(i＝1,2,4,5)的位置，求得满足圆台母线与圆柱轴线的法向距离最小的近端圆台母线p₁p₂和远端圆台母线p₄p₅；

(4)当圆台母线与圆柱轴线的法向距离最小时，求解公垂线的垂足n_i(i＝1,2,3,4)的位置；

(5)根据垂足n_i(i＝1,2,3,4)的位置，判断圆台母线p₁p₂、p₄p₅与圆柱轴线A_iB_i(i＝1,2,...,6)之间的位置关系，并求解最小距离d_ai和d_bi；

(6)当近端圆台母线与圆柱轴线的最小距离d_ai和远端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_bi同时满足d_ai>R_m,d_bi>R_m时，表示没有发生干涉，若d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，表示发生干涉，则需要中断当前矫正程序，重新制定矫正策略。

2.根据权利要求1所述的一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，其特征在于，步骤(1)中，近端胫骨肢体被简化为一个半锥角为α的近端圆台，近端圆台上基圆以O为圆心，R_a为半径，近端圆台下基圆以O₁为圆心，R_b为半径，其中R_a和R_b是常数，将近端圆台与外固定器的近端环垂直且刚性的固定，近端圆台的轴线与近端环的中心重合，近端圆台上基圆面与近端环处骨穿针的位置在同一平面，近端圆台下基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的近端骨段的截骨面；p₂为近端圆台的近端圆台上基圆上的任意一点，p₁为过点p₂的近端圆台母线与近端圆台下基圆面的交点，近端圆台的虚拟锥顶点为p₀；远端胫骨肢体被简化为一个半锥角为α的远端圆台，远端圆台上基圆以G₂为圆心，R_c为半径，远端圆台下基圆以G为圆心，R_d为半径，其中R_c和R_d是常数，将远端圆台与外固定器的远端环垂直且刚性的固定，远端圆台的轴线与远端环的中心重合，远端圆台下基圆面与远端环处骨穿针的位置在同一平面，远端圆台上基圆面表示通过角度旋转中心(CORA)的远端骨段的截骨面；p₄为远端圆台下基圆上的任意一点，p₅为过点p₄的远端圆台母线与远端圆台上基圆面的交点，远端圆台的虚拟锥顶点为p₃；OSF外固定器的驱动杆被简化为以A_i(i＝1,2,…,6)、B_i(i＝1,2,…,6)为端点，半径为R_m的圆柱，其中A_i(i＝1,2,…,6)和B_i(i＝1,2,…,6)是OSF外固定器中连接近端环与远端环的球副的中心，根据运动学位置逆解求得其位置。

3.根据权利要求2所述的一种用于胫骨畸形矫正的空间锥-柱干涉检验方法，其特征在于，步骤(2)中，近端胫骨作为参考骨，它的位姿固定不变，故近端圆台的虚拟锥顶点p₀的位置也固定不动，在近端圆台上基圆的圆心O处建立固定坐标系O-xyz，取p₀(0,0,z₀)；在近端圆台上基圆上取任意已知的点p₂’(x_p2,y_p2,0)，近端圆台的轴向量Op₀与向量OO₁共线，近端圆台的虚拟顶点p₀(0,0,z₀)的位置根据式(1)求得：

在步骤(3)中，假设点p₂(x_p2,y_p2,0)是满足条件的近端圆台母线在近端圆台上基圆上的点，点p₁(x_p1,y_p1,z_p1)是通过点p₂的近端圆台母线与近端圆台下基圆面的交点，近端圆台的母线向量为p₁p₂，并且与向量p₀p₂共线，则向量p₀p₂与近端圆台轴线向量Op₀的公垂线的方向向量为n₁₂，垂足为n₁和n₂，其中垂足n₁在p₁p₂内部或延长线上，垂足n₂在A_iB_i内部或其延长线上，方向向量n₁₂与近端圆台轴线向量Op₀的夹角为近端圆台半锥角的余角β，用式(2)表示：

n₁₂·Op₀＝|n₁₂|·|Op₀|cosβ (2)

其中

β＝90°-α，根据几何参数，点p₂也满足式(3)：

|Op₂|＝R_a (3)

其中，R_a是近端圆台上基圆半径，化简式(2)和(3)并求解得点p₂的位置p₂(xp₂,yp₂,0)；

因为向量p₀p₁和p₀p₂共线，因此点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)满足式(4)：

其中，R_b是近端圆台下基圆半径，p₀是近端圆台的虚拟锥顶点，化简(4)并求解得到点p₁的位置p₁(xp₁,yp₁,zp₁)，则向量p₁p₂＝(xp₂-xp₁,yp₂-yp₁,-zp₁)；

在步骤(4)中，基于所建立的空间锥-柱干涉检验模型和向量关系，向量p₂n₁表示为式(5)：

由于向量p₂n₁和向量p₂p₁共线，令法向量m₁＝n₁₂×A_iB_i，因此p₂n₁还

表示为式(6)：

因为向量A_in₁和向量m₁垂直，故：

其中p₂n₁＝On₁-Op₂＝n₁-p₂，相似地，令m₂＝n₁₂×p₂p₀，垂足n₂的位置矢量通过式(8)表示：

在步骤(5)中，胫骨近端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_ai，根据垂足n₁与n₂的位置关系，近端圆台母线p₁p₂与圆柱轴线A_iB_i的空间位置关系共有6种：

①n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离等于近端圆台母线p₁p₂与圆柱轴线A_iB_i的法向距离：

d_ai＝|A_ip₂·n₁₂| (9)

②n₁在p₁p₂内部，n₂在A_iB_i外部，此时最小距离被表示为式(10)：

③n₁在p₁p₂外部，n₂在A_iB_i内部，此时最小距离被表示为式(11)：

当n₁在p₁p₂外部，n₂也在A_iB_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₁和N₂的位置来确定，其中N₁是通过端点A_i向p₁p₂作垂线的垂足，N₂是通过端点p₂向A_iB_i作垂线的垂足；

④N₁在p₁p₂内部，N₂在A_iB_i外部，此时最小距离被表示为式(12)：

⑤N₁在p₁p₂外部，N₂在A_iB_i内部，此时最小距离被表示为式(13)：

⑥当N₁在p₁p₂外部，N₂也在A_iB_i外部，此时最小距离被表示为式(14)：

d_ai＝|p₂A_i| (14)

其中角度δ_a1是向量p₂p₁和A_ip₁之间的夹角，δ_a2是向量p₂B_i和A_iB_i之间的夹角；

在步骤(2)中，在远端圆台下基圆面的圆心G处建立动坐标系G-uvw，虚拟锥顶点p₃在动坐标系G-uvw中的位置为p₃'(0,0,z₃')，在远端圆台下基圆上任意取已知的点p₄'，远端圆台的虚拟锥顶点在动坐标系G-uvw中的位置根据式(15)求得：

远端圆台在定坐标系O-xyz中的位置p₃(x₃,y₃,z₃)通过坐标转换得到，如式(16):

其中

是动坐标系相对于固定坐标系的齐次坐标变换矩阵，

动坐标系G-uvw相对于固定坐标系O-xyz的位置矢量；

在步骤(3)中，假设点p₄(xp₄,yp₄,zp₄)是满足条件的远端圆台母线在远端圆台下基圆上的点，点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)是通过点p₄的远端圆台母线与远端圆台上基圆面的交点；远端圆台的母线向量为p₄p₅，并且与向量p₃p₄共线，则向量p₃p₄与远端圆台轴线向量GG₂的公垂线的方向向量为n₃₄，垂足为n₃和n₄，其中垂足n₃在p₄p₅内部或延长线上，垂足n₄在B_iA_i内部或延长线上，方向向量n₃₄与远端圆台轴线向量GG₂的夹角为远端圆台半锥角的余角β，用式(17)表示：

n₃₄·GG₂＝|n₃₄|·|GG₂|cosβ (17)

其中

β＝90°-α，根据几何参数，点p₄也满足式(18)：

|Gp₄|＝R_d＝|p₃p₄|sinα,|p₃G|＝|p₃p₄|cosα (18)

其中，R_d是远端圆台下基圆半径，化简式(17)和(18)并求解得点p₄的位置p₄(xp₄,yp₄,zp₄)，其中

G₂＝[0,0,Z_G2]；

因为向量p₃p₄和p₃p₅共线，因此点p₅(xp₅,yp₅,zp₅)的位置满足式(19)：

其中，R_c是远端圆台上基圆半径，p₃是远端圆台的虚拟锥顶点，化简(19)并求解得到点p₅的位置p₅(xp₅,yp₅,zp₅)，则向量p₄p₅＝(xp₅-xp₄,yp₅-yp₄,zp₅-zp₄)；

在步骤(4)中，基于所建立的空间锥-柱干涉检验模型和向量关系，向量p₄n₃表示为式(20)：

由于向量p₄n₃和向量p₄p₅共线，令法向量m₃＝n₃₄×B_iA_i，因此p₄n₃还以表示为式(21)：

因为向量B_in₃和向量m₃垂直，故：

其中p₄n₃＝On₃-Op₄＝n₃-p₄，相似地，令m₄＝n₃₄×p₅p₄，垂足n₄的位置矢量通过式(23)表示：

在步骤(5)中，胫骨远端肢体与外固定的驱动杆之间的最小距离定义为d_bi，根据垂足n₃与n₄的位置关系，远端圆台母线与圆柱轴线的空间位置关系共有6种：

①n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离等于远端圆台母线与圆柱轴线的法向距离：

d_bi＝|B_ip₄·n₃₄| (24)

②n₃在p₄p₅内部，n₄在B_iA_i外部，此时最小距离被表示为式(25)：

③n₃在p₄p₅外部，n₄在B_iA_i内部，此时最小距离被表示为式(26)：

当n₃在p₄p₅外部，n₄也在B_iA_i外部，此时最小距离需要根据垂足N₃和N₄的位置来确定，其中N₃是通过端点B_i向p₄p₅作垂线的垂足，N₄是通过端点p₄向B_iA_i作垂线的垂足；

④N₃在p₄p₅内部，N₄在B_iA_i外部，此时最小距离被表示为式(27)：

⑤N₃在p₄p₅外部，N₄在B_iA_i内部，此时最小距离被表示为式(28)：

⑥当N₃在p₄p₅外部，N₄也在B_iA_i外部，此时最小距离被表示为式(29)：

d_bi＝|p₄B_i| (29)

其中角度δ_b1是向量p₄p₅和B_ip₅之间的夹角，δ_b2是向量p₄A_i和B_iA_i之间的夹角；

在步骤(6)中，同一畸形位置下，当近端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_ai和远端圆台母线与圆柱轴线的空间最小距离d_bi同时满足条件d_ai>R_m,d_bi>R_m时，其中R_m是圆柱半径，表示空间中的近端圆台和远端圆台都没有与圆柱发生干涉，即外固定器的驱动杆与畸形的胫骨肢体没有发生干涉；若d_ai≤R_m,d_bi≤R_m，表示发生干涉，则需要中断当前矫正程序，重新制定矫正策略。

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