CN110955142A - 一种城市排水管道的有限时间控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种城市排水管道的有限时间控制方法。现有排水系统控制方法难以在给定的有限时间之内实现及时、有效地控制。本发明采用基于冗余通道的数据传输方法，在一条传输通道出现水流数据丢失的情况下，采用多条冗余通道对水流状态数据进行传输，并基于随机有限时间有界性分析结果设计动态输出反馈控制器，使用矩阵不等式方法求解控制器增益。本发明方法首先建立城市排水管道系统状态空间模型，然后构造动态输出反馈控制器，最后进行动态输出反馈控制器求解，得到有限时间动态输出反馈控制器的增益矩阵。本发明方法实现了在给定的有限时间内实现对城市排水系统的准确控制。

Description

一种城市排水管道的有限时间控制方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，特别是现代城市排水行业中的自动化控制，涉及一种城 市排水管道的有限时间控制方法，利用输出反馈控制器对城市排水系统中的水流状态进行 有限时间控制，实现对城市排水管道有效控制。

背景技术

城市排水系统是城市地表水控制的重要基础设施，也是城市水污染防治和城市排渍防 涝的重要工程，所以及时有效地收集、输送、处理和排放整个城市的污水和雨水是城市排 水管道系统的重要任务。由于下水管道的蓄水能力、水泵的排水能力、污水处理厂的污水 处理能力这些因素的限制，在暴雨来临时，城市排水管道很容易发生溢流，甚至发生严重 的城市内涝。因此，实现对城市排水系统的实时控制,可以有效防止城市排水管道溢流和城 市内涝的发生。

现有的城市排水管道系统控制大多采用状态反馈控制方法，然而现实中很多复杂情况 下的水流状态变量无法测量或难以得到，因此也无法设计状态反馈控制器，这时可以采用 输出反馈控制的方法。此外在夏季，雨水量很大导致现有的控制方法不能在给定的有限时 间之内实现及时、有效地控制排水管道水位。因此，急需一种新的方法，对城市排水管道 系统在给定的有限时间内进行及时、有效地控制。

发明内容

本发明的目的是针对现有控制方法的不足，提出一种城市排水管道的控制方法，在给 定的有限时间之内实现对城市排水系统及时、有效地控制。

本发明使用了基于冗余通道的数据传输方法，在一条传输通道出现水流数据丢失的情 况下，采用多条冗余通道对水流状态数据进行传输，提高数据传送的成功率，并基于随机 有限时间有界性分析结果设计动态输出反馈控制器，使用矩阵不等式方法求解控制器增益， 从而在给定的有限时间内实现对城市排水系统的准确控制。

本发明方法的包括：

(1).建立城市排水管道系统状态空间模型；

首先，基于流体力学原理建立排水管道系统模型：

符号Σ表示求和运算，Π表示连乘。

x(k)表示k时刻检测到的水流状态向量，x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k) 分别表示k时刻所测量的水位高度值、水流速度值和水压值，上标T表示矩阵的转置；

u(k)∈R^1×1表示k时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下 游流出管道的水流量之差；

y(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统的测量输出，为传感器测量到的水流状态通过网络 传输到远程控制中心的测量值；

z(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统待估计的输出信号；城市排水控制系统利用三个传 输通道将各传感器节点的水务数据信息传输到集中控制中心，在检测到主传输通道发生数 据丢失的情况下，冗余通道作为备用通道进行数据传输。

A∈R³×³、B∈R³×¹、C_i∈R^1×3、L∈R¹×³为已知矩阵，i＝1,2,3；其中的C₁为水流状态数 据从主传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵，C₂和C₃为水流状态数据从两条冗余 传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵。

γ_j(k)是相互独立的随机序列，满足伯努利分布，j＝1,2,3；其中的γ₁(k)表示主传输通 道传输数据时发生数据丢包的现象，γ₂(k)和γ₃(k)表示两条冗余通道传输数据时发生数据丢 包的现象；

是γ_j(k)的均值，即

式中

E{·}表示 数学期望，Prob{·}表示随机事件的概率。

非线性扰动f(x(k))∈R^3×1，满足初始条件f(0)＝0和假设

m∈R^3×1和n∈R^3×1都是任意向量，

是已知矩阵，||·||表示向量或矩阵的欧几里得范数；

利用实测数据和计算机仿真技术，反复进行模型校验和修正。

(2).利用系统测量输出，构造动态输出反馈控制器：

其中

为控制器的状态向量，表示向量x(k)的估计值；F∈R^3×3、G∈R^3×1、H∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵。

(3).动态输出反馈控制器求解；

给出闭环控制系统随机有限时间有界的充分条件，通过求解线性矩阵不等式，得到动 态输出反馈控制器增益。

(3-1).引入增广向量

得到增广系统：

其中，

(3-2).构建二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)；其中，P为维数适当的正定对称矩阵。

计算二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)沿着增广系统的差分，取期望得到：

得到：

其中，

对于任意标量μ＞0，得到

有：

得到

其中标量β≥1；

*表示对称矩阵中对应的对称 项；

有E{V(η(k+1))}≤E{βV(η(k))}成立，通过递归计算得到：

E{V(η(k))}≤E{β^kV(η(0))}≤E{β^kη^T(0)Pη(0)}。

下面考虑前述增广系统的随机有限时间有界性，即对于给定的已知正数b₁、b₂和正定 对称加权矩阵R，若初始条件满足E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，则对于给定的正整数U有 E{η^T(k)Rη(k)}≤b₂；

令

其中

是给定的正定对称加权矩阵R的平方根

的逆矩阵，则由给 定的初始条件确定：E{V(η(k))}≤E{β^k(λ₁η^T(0)Rη(0))≤β^kb₁λ₁；

基于构造的二次型函数得到：

其中，

和

分别表示矩阵

的最大特征值和最小特 征值。

对于任意k≤U，有

k∈{1,2,…,U}；

若不等式λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂成立，则保证对于给定参数b₁，b₂，U和矩阵R以及初始条件 E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，闭环系统是随机有限时间有界的。

由Schur补引理，

等价于Π<0，其中，

式中I表示维数匹配的单位矩阵，

其中

diag{…}表示块对角矩阵；如果同时满足Π<0和λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则可保证闭环系统随机有限时间有界；

由Schur补引理，Π<0等价于

(3-3).令

H_s＝HW^T，G_s＝SG；其中X和Y为待求的正定对称矩阵，非奇异矩阵S和W满足条件SW^T＝I-XY；引入矩阵

和

令P＝Ψ₂Ψ₁ ^-1，Ψ₁，Ψ₂均可逆，且P正定对称；

令

同时用

和它的转置矩阵分别左乘和右 乘矩阵不等式Ω<0，得到矩阵不等式：

其中，

由Schur补引理，Ξ＜0等价于Φ+ωφ^T+φω^T＜0，Φ表示Λ的7阶顺序主子式，即

其中，

Λ₆₁＝[LY L],

由Schur补引理，Φ+ωω^T+φφ^T＜0成立，当且仅当Λ<0成立。

对于给定参数的b₁、b₂、U、R、β≥1，如果存在正定对称矩阵X和Y以及矩阵F_s、 G_s、H_s、正标量μ，使得线性矩阵不等式Λ<0有解，且在给定的初始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁下，满足有限时间有界条件λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则有限时间动态输出反馈控制器的增益矩阵为：

本发明针对现有排水系统控制方法难以在给定的有限时间之内实现及时、有效地控制， 提出一种城市排水管道的有限时间控制方法。由于传感器节点测量数据众多，水流数据在 传输过程中容易出现丢失现象，为了提高传送数据包的成功率，本发明使用了多条冗余通 道的水流数据传输方法。基于随机有限时间有界性分析结果，通过求解矩阵不等式设计动 态输出反馈控制器，从而在给定的有限时间内实现对城市排水系统的准确控制。

具体实施方式

一种城市排水管道的有限时间控制方法，包括：

(1).建立城市排水管道系统状态空间模型；

首先，基于流体力学原理，建立排水管道系统模型：

其中，符号∑表示求和运算，符号Π 表示连乘运算；

x(k)表示k时刻检测到的水流状态向量，x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k) 分别表示k时刻所测量的水位高度值、水流速度值和水压值，上标T表示矩阵的转置；

u(k)∈R^1×1表示k时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下 游流出管道的水流量之差；

y(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统的测量输出，为传感器测量到的水流状态通过网络 传输到远程控制中心的测量值；

z(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统待估计的输出信号；城市排水控制系统利用三个传 输通道将各传感器节点的水务数据信息传输到集中控制中心，在检测到主传输通道发生数 据丢失的情况下，冗余通道作为备用通道进行数据传输；

A∈R^3×3、B∈R^3×1、C_i∈R^1×3、L∈R^1×3为已知矩阵，i＝1,2,3；其中的C₁为水流状态数据从主传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵，C₂和C₃为水流状态数据从两条冗余传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵；

γ_j(k)是相互独立的随机序列，满足伯努利分布，j＝1,2,3；其中的γ₁(k)表示主传输通 道传输数据时发生数据丢包的现象，γ₂(k)和γ₃(k)表示两条冗余通道传输数据时发生数据丢 包的现象；

是γ_j(k)的均值，即

式中

E{·}表示 数学期望，Prob{·}表示随机事件的概率，通过实验和统计方法可以得到

的值。

非线性扰动f(x(k))∈R^3×1，满足初始条件f(0)＝0和假设

m∈R^3×1和n∈R^3×1都是任意向量，

是已知矩阵，||·||表示向量或矩阵的欧几里得范数。

最后，利用实测数据和计算机仿真技术，反复进行模型校验和修正。

(2).动态输出反馈控制器结构；

利用系统测量输出，构造动态输出反馈控制器：

其中

为控制器的状态向量，表示向量x(k)的估计值；F∈R^3×3、G∈R^3×1、H∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵。

通过随机有限时间有界性分析和线性矩阵不等式方法对动态输出反馈控制器求解。

(3).动态输出反馈控制器求解：给出闭环控制系统随机有限时间有界的充分条件，通 过求解线性矩阵不等式得出动态输出反馈控制器增益。

(3-1).引入增广向量

得到增广系统：

其中，

(3-2).构建二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)；其中，P为维数适当的正定对称矩阵。

计算上述二次型函数沿着增广系统的差分，并取期望得到：

由于γ_j(k)是相互独立的伯努利变量，得到：

其中，

根据非线性函数的假设条件，对于任意标量μ＞0，得到

从而有：

进而得到，

其中标量β≥1；

式中*表示对称矩阵中对应的对称项。

因此，有E{V(η(k+1))}≤E{βV(η(k))}成立，通过递归计算得到：

E{V(η(k))}≤E{β^kV(η(0))}≤E{β^kη^T(0)Pη(0)}。

下面考虑前述增广系统的随机有限时间有界性，即对于给定的已知正数b₁、b₂和正定 对称加权矩阵R，若初始条件满足E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，则对于给定的正整数U有 E{η^T(k)Rη(k)}≤b₂。

令

其中

是给定的正定对称加权矩阵R的平方根

的逆矩阵，则由给 定的初始条件可知：E{V(η(k))}≤E{β^k(λ₁η^T(0)Rη(0))≤β^kb₁λ₁；

基于构造的二次型函数得到：

其中，

式中

和

分别表示矩阵

的最大特征值和最小特征值。

从而，对于任意k≤U，有：

其中，k∈{1,2,…,U}。

因此，若不等式λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂成立，则保证对于给定参数b₁，b₂，U和矩阵R以及初 始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，在设计的输出反馈控制器作用下，闭环系统是随机有限时间有 界的。

根据Schur补引理可知，

等价于Π<0，其中，

式中I表示维数匹配的单位矩阵，

其中

diag{…}表示块对角矩阵。因而，如果同时满足∏<0和 λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则可保证闭环系统随机有限时间有界。

根据Schur补引理，∏<0等价于

(3-3).令

H_s＝HW^T，G_s＝SG；其中X和Y为待求的正定对称矩阵，非奇异矩阵S和W满足条件SW^T＝I-XY。引入矩阵

和

令P＝Ψ₂Ψ₁ ^-1，Ψ₁，Ψ₂均可逆，且P正定对称,右上标-1 表示矩阵的求逆运算。

令

同时用

和它的转置矩阵分别左乘和右 乘矩阵不等式Ω<0，得到矩阵不等式：

其中，

由Schur补引理，Ξ＜0等价于Φ+ωφ^T+φω^T＜0，Φ表示Λ的7阶顺序主子式，即：

其中，

Λ₆₁＝[LY L],

根据基本不等式ab^T+ba^T≤aa^T+bb^T，要使Φ+ωφ^T+φω^T＜0成立只需 Φ+ωω^T+φφ^T＜0成立。根据Schur补引理可知，Φ+ωω^T+φφ^T＜0成立当且仅当Λ<0成立。

对于给定参数的b₁、b₂、U、R、β≥1，如果存在正定对称矩阵X和Y以及维数适当 的矩阵F_s、G_s、H_s，以及正标量μ，使得线性矩阵不等式Λ<0有解，且在给定的初始条 件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁下，所求结果满足有限时间有界条件λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则本发明所设计 的有限时间动态输出反馈控制器的增益矩阵为：

Claims (1)

1.一种城市排水管道的有限时间控制方法，其特征在于，该方法包括：

(1).建立城市排水管道系统状态空间模型；

基于流体力学原理建立排水管道系统模型：

x(k+1)＝Ax(k)+f(x(k))+Bu(k)

z(k)＝Lx(k)

其中，符号∑表示求和运算，符号Π表示连乘运算；

x(k)表示k时刻检测到的水流状态向量，x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示k时刻所测量的水位高度值、水流速度值和水压值，上标T表示矩阵的转置；

u(k)∈R^1×1表示k时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下游流出管道的水流量之差；

y(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统的测量输出，为传感器测量到的水流状态通过网络传输到远程控制中心的测量值；

z(k)∈R^1×1表示k时刻排水控制系统待估计的输出信号；城市排水控制系统利用三个传输通道将各传感器节点的水务数据信息传输到集中控制中心，在检测到主传输通道发生数据丢失的情况下，冗余通道作为备用通道进行数据传输；

A∈R^3×3、B∈R^3×1、C_i∈R^1×3、L∈R^1×3为已知矩阵，i＝1,2,3；其中的C₁为水流状态数据从主传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵，C₂和C₃为水流状态数据从两条冗余传输通道传输到远程排水控制中心的映射矩阵；

γ_j(k)是相互独立的随机序列，满足伯努利分布，j＝1,2,3；其中的γ₁(k)表示主传输通道传输数据时发生数据丢包的现象，γ₂(k)和γ₃(k)表示两条冗余通道传输数据时发生数据丢包的现象；

是γ_j(k)的均值，即

式中

E{·}表示数学期望，Prob{·}表示随机事件的概率；

非线性扰动f(x(k))∈R^3×1，满足初始条件f(0)＝0和假设

m∈R^3×1和n∈R^3×1都是任意向量，

是已知矩阵，||·||表示向量或矩阵的欧几里得范数；

利用实测数据和计算机仿真技术，反复进行模型校验和修正；

(2).利用系统测量输出，构造动态输出反馈控制器：

其中

为控制器的状态向量，表示向量x(k)的估计值；F∈R^3×3、G∈R^3×1、H∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵；

(3).动态输出反馈控制器求解；

给出闭环控制系统随机有限时间有界的充分条件，通过求解线性矩阵不等式，得到动态输出反馈控制器增益；

(3-1).引入增广向量

得到增广系统：

其中，

(3-2).构建二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)；其中，P为维数适当的正定对称矩阵；

计算二次型函数V(η(k))＝η^T(k)Pη(k)沿着增广系统的差分，取期望得到：

得到：

其中，

对于任意标量μ＞0，得到

有：

得到

其中标量β≥1；

*表示对称矩阵中对应的对称项；

有E{V(η(k+1))}≤E{βV(η(k))}成立，通过递归计算得到：

E{V(η(k))}≤E{β^kV(η(0))}≤E{β^kη^T(0)Pη(0)}；

对于给定的已知正数b₁、b₂和正定对称加权矩阵R，若初始条件满足E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，则对于给定的正整数U有E{η^T(k)Rη(k)}≤b₂；

令

其中

是给定的正定对称加权矩阵R的平方根

的逆矩阵，则由给定的初始条件确定：E{V(η(k))}≤E{β^k(λ₁η^T(0)Rη(0))≤β^kb₁λ₁；

基于构造的二次型函数得到：

其中，

和

分别表示矩阵

的最大特征值和最小特征值；

对于任意k≤U，有

若不等式λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂成立，则保证对于给定参数b₁，b₂，U和矩阵R以及初始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁，闭环系统是随机有限时间有界的；

由Schur补引理，

等价于Π<0，其中，

式中I表示维数匹配的单位矩阵，

其中

diag{…}表示块对角矩阵；如果同时满足Π<0和λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则可保证闭环系统随机有限时间有界；

由Schur补引理，Π<0等价于

(3-3).令

H_s＝HW^T，G_s＝SG；其中X和Y为待求的正定对称矩阵，非奇异矩阵S和W满足条件SW^T＝I-XY；引入矩阵

和

令P＝Ψ₂Ψ₁ ^-1，Ψ₁，Ψ₂均可逆，且P正定对称；

令

同时用

和它的转置矩阵分别左乘和右乘矩阵不等式Ω<0，得到矩阵不等式：

其中，

由Schur补引理，Ξ＜0等价于Φ+ωφ^T+φω^T＜0，其中Φ表示Λ的7阶顺序主子式，即：

其中，

Λ₆₁＝[LY L],

由Schur补引理，Φ+ωω^T+φφ^T＜0成立，当且仅当Λ<0成立；

对于给定参数的b₁、b₂、U、R、β≥1，如果存在正定对称矩阵X和Y以及矩阵F_s、G_s、H_s、正标量μ，使得线性矩阵不等式Λ<0有解，且在给定的初始条件E{η^T(0)Rη(0)}≤b₁下，满足有限时间有界条件λ₁b₁＜λ₂β^-Ub₂，则有限时间动态输出反馈控制器的增益矩阵为：