CN109991855B - 一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法 - Google Patents

一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法 Download PDF

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CN109991855B CN201910331263.3A CN201910331263A CN109991855B CN 109991855 B CN109991855 B CN 109991855B CN 201910331263 A CN201910331263 A CN 201910331263A CN 109991855 B CN109991855 B CN 109991855B
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Abstract

本发明公开了一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法。本发明具体实现步骤如下：步骤1、分析城市供水网络的基本结构关系，建立系统的状态空间模型；步骤2、设计加权矩阵的两种不同类型表示方法；步骤3、设计系统状态和控制输入的约束条件；步骤4、设计供水网络水罐水容积的分布式反馈控制器。本发明通过收集数据、建立模型、约束控制、最优控制和分布式状态反馈控制律设计等手段，确立了一种基于正系统模型的分布式预测控制策略，利用该方法可实现复杂供水管网水罐水容量的平稳控制，实现水的安全贮藏，防止水压过低或过高。

Description

一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法
技术领域
本发明属于自动控制领域，是将正系统模型运用到水务管网的供水系统中，达到对水罐水量的平稳控制，实现水的安全贮藏，防止水压过低或饮水溢出，内容涉及分布式模型预测控制、优化控制、约束控制、控制律设计等技术，可用于城市复杂供水管网的水罐容量动态平稳控制等。
背景技术
由于社会、经济和环境的影响，城市水务系统供水网络的可靠性越来越受到消费者的关注。为了响应可持续发展政策，水厂需利用有限的淡水资源，为日益增长的居民和工厂提供足量的、稳压的淡水服务，这一工程充满了巨大挑战和困难。针对供水中存在的难题，工程技术人员提供一些实用的控制方法，如采用复杂网络模型、自适应控制、预测控制技术等。但管理人员发现对水资源的合理分配与管理仍是一项繁重的工作，因此，发掘一种有效的建模及控制方法，仍然是技术人员研究的重点。
在实际的水务网络中，工程人员都希望系统模型尽可能精确，能够真实地反应实际系统的运行特性，但详细的模型有可能造成建模的冗余，如在建模某一地区的人口、容器中水的体积、通信网络中数据包传输的数量等，很明显模型中的状态一直都是非负的，这种只考虑非负状态的系统，我们称为正系统。正系统的一些特性也使得它在建模水务管网的水容量、水压等非负量具有明显优势。
模型预测控制(MPC)是根据工厂模型设置的，所以MPC在实现上非常灵活，几乎可用于所有系统。此外，MPC也具有处理复杂系统的一些特性，如供水网络中，它具有以下特点：针对多变量复杂系统，便于处理物理和操作上的约束，采用滚动优化可实现系统的最优性能指标。而且模型预测控制器非常适用于城市水循环相关的网络和分级控制结构中的全局控制等。
一般来说，供水网络是一个包含多个水罐、泵站或水阀、水源及用户的加压网状系统。然而对于一个城市来说，会有很多供水厂(节点)为城市的数千万用户提供服务，各个节点间相互作用而又看似独立运行，共同构建起整个城市的给水管网，基于分布式MPC优化控制策略，可以充分考虑各个节点的控制及各个节点间的相互作用等，从而可解决多节点供水管网存在的难题，使用优化策略以达到最优性能和经济成本，从而实现水的安全储存和容量控制的平稳性。给出了针对供水网络所使用的架构，通过远程控制平台，可达到理想的控制效果。
发明内容：
本发明的目的是针对城市供水管网中存在的多节点、复杂性，提出一种基于正系统模型的分布式MPC控制策略，实现水罐中水容量的平稳性控制。通过对罐中水容量、水泵或阀门开度的采集，建立基于状态空间的数学模型，使用约束、优化控制等手段，实现了对多节点供水管网水罐水量的平稳及安全有效控制。
本发明方法的步骤包括：
步骤1、为了获取面向控制的供水网络模型，通过考虑状态成分、状态基本关系等，基于状态空间方法，构建下列时变离散方程：
Figure BDA0002037338020000021
其中
Figure BDA0002037338020000022
表示k时刻p节点网络中水罐水的体积，可用升表示，
Figure BDA0002037338020000023
表示n维欧几里得向量空间，n为自然数，表示水罐的数量。
Figure BDA0002037338020000024
分别表示k时刻p或q节点网络中操作水流的执行器阀门或抽水水泵开度，可用升每秒表示，
Figure BDA0002037338020000025
其中N为正整数，表示总节点个数，mp表示p节点供水阀门或水泵的数目，m为整个水务网络所有水阀和水泵总数量。Ap(k),Bp(k)为k时刻p节点网络中加权矩阵，Bq(k)表示k时刻q节点网络中加权矩阵，这些加权矩阵可由安装在水罐中的容量测量传感器、安装在水阀或水泵上的流速表测得，其中
Figure BDA0002037338020000026
Figure BDA0002037338020000027
表示n×m维实数矩阵空间。在说明书附图中，图1给出一个由3个节点(A,B,C)组成的简单分布式供水网络系统，包含节点、消费群体、水阀、水罐、水泵和水源基本结构，它们也与我们生活用水或工业用水息息相关。
步骤2、由于供水系统长时间运行，很容易造成传感器及流速表老化等问题，每一时刻测量得出的加权矩阵很可能存在不确定性，为了克服这一困难，我们设计一种具有区间和多胞体不确定结构类型：
2.1、区间不确定类型：
Figure BDA0002037338020000028
其中，A p,B p和
Figure BDA0002037338020000029
为已知矩阵，是传感器或流速表测量每时刻加权矩阵Ap(k),Bp(k)的上下界矩阵，并设计
Figure BDA0002037338020000031
符号
Figure BDA0002037338020000032
表示矩阵每个元素分量对应的大小关系，如，
Figure BDA0002037338020000033
表示矩阵A对应元素分量不大于矩阵A的元素分量，则
Figure BDA0002037338020000034
意味着矩阵A p每个元素都为非负实数。
2.2、多胞体不确定类型：
Figure BDA0002037338020000035
对于任意的p＝1,2,...,N和l＝1,2,...,J,设计
Figure BDA0002037338020000036
成立，λl为已知给定的一组非负实数，需满足
Figure BDA0002037338020000037
即可，其中N,J为正整数，J表示顶点矩阵个数。
步骤3、由于物理上的限制，致使水罐内水的容积和执行器阀门或水泵开度不可能无限制大，即存在一定约束，所以考虑约束控制具有合理性，故采用如下设计方式：
||xp(k)||1≤δ,||up(k)||1≤η,
其中δ＞0,η＞0是已知给定常量，可根据水罐实际贮藏能力、阀门或水泵流速规格给定，||·||1表示标准的向量1-范数。
步骤4、设计一组基于分布式模型预测控制方法的状态反馈控制律，以实现供水网络水箱水容量的平衡控制，设计如下：
up(k+s|k)＝Fp(k)xp(k+s|k),s＝1,2,...,∞,p＝1,2,...,N.
为了优化网络性能，以实现最优控制策略，考虑如下优化性能设计：
Figure BDA0002037338020000038
其中
Figure BDA0002037338020000039
为预测控制输入的增益矩阵；s表示预测步数，可根据需求进行设定；
Figure BDA00020373380200000310
表示从先前迭代中获取的控制输入；加权向量
Figure BDA00020373380200000311
ρp＜0,
Figure BDA00020373380200000312
为要实际预期性能指标，由操作人员给定的向量；T表示转置。
步骤5、构造一个线性余正Lyapunov函数：
Figure BDA00020373380200000313
其中
Figure BDA00020373380200000314
是需要设计的向量，接着计算其差分方程为
Figure BDA0002037338020000041
其中
Figure BDA0002037338020000042
为了达到所要实现的供水网络水罐水容积平衡控制，设计
Figure BDA0002037338020000043
对两侧从s＝1到s＝∞求和得
Figure BDA0002037338020000044
进一步可得
Figure BDA0002037338020000045
其中
Figure BDA0002037338020000046
步骤6、针对步骤2.1区间不确定，设计常量
Figure BDA0002037338020000047
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure BDA0002037338020000048
使得下列优化条件：
Figure BDA0002037338020000049
Figure BDA00020373380200000410
Figure BDA00020373380200000411
Figure BDA00020373380200000412
Figure BDA00020373380200000413
Figure BDA00020373380200000414
Figure BDA00020373380200000415
γp(k)≤δε,
Figure BDA00020373380200000416
Figure BDA00020373380200000417
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，其中，
Figure BDA00020373380200000418
Figure BDA00020373380200000419
T为矩阵或向量转置，其未注明参数与步骤1至步骤5含义相同。
步骤7、针对步骤2.2多胞体不确定，设计常量
Figure BDA0002037338020000051
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure BDA0002037338020000052
使得下列优化条件：
Figure BDA0002037338020000053
Figure BDA0002037338020000054
Figure BDA0002037338020000055
Figure BDA0002037338020000056
Figure BDA0002037338020000057
Figure BDA0002037338020000058
Figure BDA0002037338020000059
γp(k)≤δε,
Figure BDA00020373380200000510
Figure BDA00020373380200000511
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，
Figure BDA00020373380200000512
其未注明参数与步骤6表示含义相同。
步骤8、根据步骤5，可得
Figure BDA00020373380200000513
则可推出
Figure BDA00020373380200000514
结合步骤6和步骤2.1，求得
Figure BDA00020373380200000515
和
Figure BDA00020373380200000516
8.1、为了实现供水中水容积和流量的非负性，即体现正系统建模的优势，进一步结合步骤6和步骤2.1，可知
Figure BDA0002037338020000061
由于
Figure BDA0002037338020000062
可知Fp(k)＜0,所以
Figure BDA0002037338020000063
Figure BDA0002037338020000064
根据
Figure BDA0002037338020000065
则
Figure BDA0002037338020000066
8.2、为了实现步骤3设计的约束方式，即状态约束与控制输入约束，进一步结合步骤6设计条件，可得出：
Figure BDA0002037338020000067
则
Figure BDA0002037338020000068
成立，将其两边同除xT(k+s|k)，得
Figure BDA0002037338020000069
进一步可推出
Figure BDA00020373380200000610
所以，
Figure BDA00020373380200000611
Figure BDA00020373380200000612
成立。
8.3、结合步骤6至步骤8.2，可得针对设计条件2.1供水网络模型预测状态反馈控制器为：
Figure BDA00020373380200000613
步骤9、针对步骤2.2设计的多胞体不确定性类型，依据步骤7，可得
Figure BDA00020373380200000614
进一步可推出
Figure BDA0002037338020000071
进一步根据步骤7设计条件，得出
Figure BDA0002037338020000072
和
Figure BDA0002037338020000073
则
Figure BDA0002037338020000074
Figure BDA0002037338020000075
根据以上推导，可知
Figure BDA0002037338020000076
和
Figure BDA0002037338020000077
9.1、结合步骤7和步骤9，可得针对设计条件2.2供水网络状态反馈控制器为：
Figure BDA0002037338020000081
本发明提出了一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法。该方法针对复杂供水网络容易出现的水罐水容积不稳定、水压时高时低的问题，建立了系统的状态空间数学模型，通过运用余正类型Lyapunov函数、分布式模型预测控制、优化等方法，实现了系统的稳定，保证了供水管网中水罐水容积的平稳。
附图说明
图1是分布式供水网络系统结构图。
图2是本方法的流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明。
如图1和2所示，以供水网络水罐中水的容积为实际研究对象，以供水水阀或抽水水泵的开度为控制输入，来建立多节点、分布式的状态空间模型。
步骤1、为了获取面向控制的供水网络模型，通过考虑状态成分、状态基本关系等，基于状态空间方法，构建下列时变离散方程：
Figure BDA0002037338020000082
其中
Figure BDA0002037338020000083
表示k时刻p节点网络中水罐水的体积，可用升表示，
Figure BDA0002037338020000084
表示n维欧几里得向量空间，n为自然数，表示水罐的数量。
Figure BDA0002037338020000085
分别表示k时刻p或q节点网络中操作水流的执行器阀门或抽水水泵开度，可用升每秒表示，
Figure BDA0002037338020000086
其中N为正整数，表示总节点个数，mp表示p节点供水阀门或水泵的数目，m为整个水务网络所有水阀和水泵总数量。Ap(k),Bp(k)为k时刻p节点网络中加权矩阵，Bq(k)表示k时刻q节点网络中加权矩阵，这些加权矩阵可由安装在水罐中的容量测量传感器、安装在水阀或水泵上的流速表测得，其中
Figure BDA0002037338020000087
Figure BDA0002037338020000088
表示n×m维实数矩阵空间。在说明书附图中，图1给出一个由3个节点(A,B,C)组成的简单分布式供水网络系统，包含节点、消费群体、水阀、水罐、水泵和水源基本结构，它们也与我们生活用水或工业用水息息相关。
步骤2、由于供水系统长时间运行，很容易造成传感器及流速表老化等问题，每一时刻测量得出的加权矩阵很可能存在不确定性，为了克服这一困难，我们设计一种具有区间和多胞体不确定结构类型：
2.1、区间不确定类型：
Figure BDA0002037338020000091
其中，A p,B p和
Figure BDA0002037338020000092
为已知矩阵，是传感器或流速表测量每时刻加权矩阵Ap(k),Bp(k)的上下界矩阵，并设计
Figure BDA0002037338020000093
符号
Figure BDA0002037338020000094
表示矩阵每个元素分量对应的大小关系，如，
Figure BDA0002037338020000095
表示矩阵A对应元素分量不大于矩阵A的元素分量，则
Figure BDA0002037338020000096
意味着矩阵A p每个元素都为非负实数。
2.2、多胞体不确定类型：
Figure BDA0002037338020000097
对于任意的p＝1,2,...,N和l＝1,2,...,J,设计
Figure BDA0002037338020000098
成立，λl为已知给定的一组非负实数，需满足
Figure BDA0002037338020000099
即可，其中N,J为正整数，J表示顶点矩阵个数。
步骤3、由于物理上的限制，致使水罐内水的容积和执行器阀门或水泵开度不可能无限制大，即存在一定约束，所以考虑约束控制具有合理性，故采用如下设计方式：
||xp(k)||1≤δ,||up(k)||1≤η,
其中δ＞0,η＞0是已知给定常量，可根据水罐实际贮藏能力、阀门或水泵流速规格给定，||·||1表示标准的向量1-范数。
步骤4、设计一组基于分布式模型预测控制方法的状态反馈控制律，以实现供水网络水箱水容量的平衡控制，设计如下：
up(k+s|k)＝Fp(k)xp(k+s|k),s＝1,2,...,∞,p＝1,2,...,N.
为了优化网络性能，以实现最优控制策略，考虑如下优化性能设计：
Figure BDA00020373380200000910
其中
Figure BDA00020373380200000911
为预测控制输入的增益矩阵；s表示预测步数，可根据需求进行设定；
Figure BDA00020373380200000912
表示从先前迭代中获取的控制输入；加权向量
Figure BDA00020373380200000913
ρp＜0,
Figure BDA0002037338020000101
为要实际预期性能指标，由操作人员给定的向量；T表示转置。
步骤5、构造一个线性余正Lyapunov函数：
Figure BDA0002037338020000102
其中
Figure BDA0002037338020000103
是需要设计的向量，接着计算其差分方程为
Figure BDA0002037338020000104
其中
Figure BDA0002037338020000105
为了达到所要实现的供水网络水罐水容积平衡控制，设计
Figure BDA0002037338020000106
对两侧从s＝1到s＝∞求和得
Figure BDA0002037338020000107
进一步可得
Figure BDA0002037338020000108
其中
Figure BDA0002037338020000109
步骤6、针对步骤2.1区间不确定，设计常量
Figure BDA00020373380200001010
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure BDA00020373380200001011
使得下列优化条件：
Figure BDA0002037338020000111
Figure BDA0002037338020000112
Figure BDA0002037338020000113
Figure BDA0002037338020000114
Figure BDA0002037338020000115
Figure BDA0002037338020000116
Figure BDA0002037338020000117
γp(k)≤δε,
Figure BDA0002037338020000118
Figure BDA0002037338020000119
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，其中，
Figure BDA00020373380200001110
Figure BDA00020373380200001111
T为矩阵或向量转置，其未注明参数与步骤1至步骤5含义相同。
步骤7、针对步骤2.2多胞体不确定，设计常量
Figure BDA00020373380200001112
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure BDA00020373380200001113
Figure BDA00020373380200001114
使得下列优化条件：
Figure BDA00020373380200001115
Figure BDA00020373380200001116
Figure BDA00020373380200001117
Figure BDA00020373380200001118
Figure BDA00020373380200001119
Figure BDA00020373380200001120
Figure BDA00020373380200001121
γp(k)≤δε,
Figure BDA00020373380200001122
Figure BDA00020373380200001123
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，
Figure BDA00020373380200001124
其未注明参数与步骤6表示含义相同。
步骤8、根据步骤5，可得
Figure BDA0002037338020000121
则可推出
Figure BDA0002037338020000122
结合步骤6和步骤2.1，求得
Figure BDA0002037338020000123
和
Figure BDA0002037338020000124
8.1、为了实现供水中水容积和流量的非负性，即体现正系统建模的优势，进一步结合步骤6和步骤2.1，可知
Figure BDA0002037338020000125
由于
Figure BDA0002037338020000126
可知Fp(k)＜0,所以
Figure BDA0002037338020000127
Figure BDA0002037338020000128
根据
Figure BDA0002037338020000129
则
Figure BDA00020373380200001210
8.2、为了实现步骤3设计的约束方式，即状态约束与控制输入约束，进一步结合步骤6设计条件，可得出：
Figure BDA0002037338020000131
则
Figure BDA0002037338020000132
成立，将其两边同除xT(k+s|k)，得
Figure BDA0002037338020000133
进一步可推出
Figure BDA0002037338020000134
所以，
Figure BDA0002037338020000135
Figure BDA0002037338020000136
成立。
8.3、结合步骤6至步骤8.2，可得针对设计条件2.1供水网络模型预测状态反馈控制器为：
Figure BDA0002037338020000137
步骤9、针对步骤2.2设计的多胞体不确定性类型，依据步骤7，可得
Figure BDA0002037338020000138
进一步可推出
Figure BDA0002037338020000139
进一步根据步骤7设计条件，得出
Figure BDA00020373380200001310
和
Figure BDA00020373380200001311
则
Figure BDA0002037338020000141
Figure BDA0002037338020000142
根据以上推导，可知
Figure BDA0002037338020000143
和
Figure BDA0002037338020000144
9.1、结合步骤7和步骤9，可得针对设计条件2.2供水网络状态反馈控制器为：
Figure BDA0002037338020000145

Claims (1)

1.一种基于分布式优化策略的供水管网容量平稳控制方法，包括如下步骤：
步骤1、分析城市供水网络的基本结构关系，建立系统的状态空间模型；
步骤2、设计加权矩阵的两种不同类型表示方法；
步骤3、设计系统状态和控制输入的约束条件；
步骤4、设计供水网络水罐水容积的分布式反馈控制器；
步骤1具体如下：
基于状态空间方法，构建下列时变离散方程：
Figure FDA0003299614270000011
其中
Figure FDA0003299614270000012
表示k时刻p节点网络中水罐水的体积，可用升表示，
Figure FDA0003299614270000013
表示n维欧几里得向量空间，n为自然数，表示水罐的数量；
Figure FDA0003299614270000014
分别表示k时刻p或q节点网络中操作水流的执行器阀门或抽水水泵开度，可用升每秒表示，
Figure FDA0003299614270000015
其中N为正整数，表示总节点个数，mp表示p节点供水阀门或水泵的数目，m为整个水务网络所有水阀和水泵总数量；Ap(k),Bp(k)为k时刻p节点网络中加权矩阵，Bq(k)表示k时刻q节点网络中加权矩阵，这些加权矩阵可由安装在水罐中的容量测量传感器、安装在水阀或水泵上的流速表测得，其中
Figure FDA0003299614270000016
Figure FDA0003299614270000017
表示n×m维实数矩阵空间；
步骤2具体如下：
2.1区间不确定类型：
Figure FDA0003299614270000018
其中，A p,B p和
Figure FDA0003299614270000019
为已知矩阵，是传感器或流速表测量每时刻加权矩阵Ap(k),Bp(k)的上下界矩阵，并设计
Figure FDA00032996142700000110
符号
Figure FDA00032996142700000111
表示矩阵每个元素分量对应的大小关系；
2.2多胞体不确定类型：
Figure FDA00032996142700000112
对于任意的p＝1,2,...,N和l＝1,2,...,J,设计
Figure FDA00032996142700000113
成立，λl为已知给定的一组非负实数，需满足
Figure FDA00032996142700000114
即可，其中N,J为正整数，J表示顶点矩阵个数；
步骤3具体如下：
||xp(k)||1≤δ,||up(k)||1≤η,
其中δ＞0,η＞0是已知给定常量，根据水罐实际贮藏能力、阀门或水泵流速规格给定，||·||1表示标准的向量1-范数；
步骤4具体如下：
up(k+s|k)＝Fp(k)xp(k+s|k),s＝1,2,...,∞,p＝1,2,...,N
考虑如下优化性能设计：
Figure FDA0003299614270000021
其中
Figure FDA0003299614270000022
为预测控制输入的增益矩阵；s表示预测步数，可根据需求进行设定；
Figure FDA0003299614270000023
表示从先前迭代中获取的控制输入；加权向量
Figure FDA0003299614270000024
ρp＜0,
Figure FDA0003299614270000025
为实际预期性能指标，由操作人员给定的向量；T表示转置；
步骤5、构造线性余正Lyapunov函数：
Figure FDA0003299614270000026
其中
Figure FDA0003299614270000027
是需要设计的向量，接着计算其差分方程为
Figure FDA0003299614270000028
其中
Figure FDA0003299614270000029
为了达到所要实现的供水网络水罐水容积平衡控制，设计
Figure FDA00032996142700000210
对两侧从s＝1到s＝∞求和得
Figure 1
进一步可得
Figure FDA00032996142700000212
其中
Figure FDA00032996142700000213
步骤6、针对步骤2.1区间不确定类型，设计常量
Figure FDA0003299614270000031
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure FDA0003299614270000032
使得下列优化条件：
Figure FDA0003299614270000033
Figure FDA0003299614270000034
Figure FDA0003299614270000035
Figure FDA0003299614270000036
Figure FDA0003299614270000037
Figure FDA0003299614270000038
Figure FDA0003299614270000039
γp(k)≤δε,
Figure FDA00032996142700000310
Figure FDA00032996142700000311
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，其中，
Figure FDA00032996142700000312
Figure FDA00032996142700000313
T为矩阵或向量转置；
步骤7、针对步骤2.2多胞体不确定类型，设计常量
Figure FDA00032996142700000314
γp(k)＞0,ε＞0和向量
Figure FDA00032996142700000315
Figure FDA00032996142700000316
使得下列优化条件：
Figure FDA00032996142700000317
Figure FDA00032996142700000318
Figure FDA00032996142700000319
Figure FDA00032996142700000320
Figure FDA00032996142700000321
Figure FDA00032996142700000322
Figure FDA00032996142700000323
γp(k)≤δε,
Figure FDA00032996142700000324
Figure FDA00032996142700000325
对于任意的(p,q)∈{1,...,N}×{1,...,N},p≠q有解，
Figure FDA0003299614270000041
步骤8、根据步骤5，可得
Figure FDA0003299614270000042
则推出
Figure FDA0003299614270000043
结合步骤6和步骤2.1，求得
Figure FDA0003299614270000044
和
Figure FDA0003299614270000045
步骤8.1为了实现供水中供水管网容积和流量的非负性，即体现正系统建模的优势，进一步结合步骤6和步骤2.1，可知
Figure FDA0003299614270000046
由于
Figure FDA0003299614270000047
可知Fp(k)＜0,所以
Figure FDA0003299614270000048
Figure FDA0003299614270000049
根据
Figure FDA00032996142700000410
则
Figure FDA00032996142700000411
步骤8.2为了实现步骤3设计的约束方式，即状态约束与控制输入约束，进一步结合步骤6设计条件，可得出：
Figure FDA0003299614270000051
则
Figure FDA0003299614270000052
成立，将其两边同除xT(k+s|k)，得
Figure 2
进一步可推出
Figure FDA0003299614270000054
所以，
Figure FDA0003299614270000055
Figure FDA0003299614270000056
成立；
5.7结合步骤6至步骤8.2，可得针对设计条件2.1的供水网络模型预测状态反馈控制器为：
Figure FDA0003299614270000057
步骤9、针对步骤2.2设计的多胞体不确定性类型，依据步骤7，可得
Figure FDA0003299614270000058
进一步可推出
Figure FDA0003299614270000059
进一步根据步骤7设计条件，得出
Figure FDA00032996142700000510
和
Figure FDA0003299614270000061
则
Figure FDA0003299614270000062
Figure 3
根据以上推导，可知
Figure FDA0003299614270000064
和
Figure FDA0003299614270000065
步骤9.1、结合步骤7和步骤9，可得针对设计条件2.2的供水网络模型预测状态反馈控制器为：
Figure FDA0003299614270000066
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