CN110909511A - 一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法 - Google Patents

一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于三维流体力学数值求解技术领域，涉及一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法。本发明通过非结构曲面网格来精确拟合曲面物面，然后在曲面网格的基础上离散控制方程，最后利用空间几何关系和分部积分原则把曲面体积分的贡献分解成直网格体积分和曲面面积分，在此基础上开发相应的高效率数值模拟方法。

Description

一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法
技术领域
本发明属于三维流体力学数值求解技术领域，涉及一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法。
背景技术
计算流体力学(简称CFD)一直以来在汽车制造、土木工程、环境工程、船舶工业以及航空工业等领域有着广泛的应用，其有助于解释、理解理论和实验的结果，是流体力学分析不可缺少的方法。前期由于计算机水平的限制，CFD仅限于一些简单的问题求解。随着计算机水平的发展，今天的CFD已经可以大量求解复杂的三维流场，虽然仍需要大量的人力和计算机资源，但是这种求解方法在工业设备中已得到广泛使用。
随着CFD的发展，相应的数值算法在CFD中的应用也随之发展起来，如有限差分、有限体积和有限元法等。随着工业技术的进步，流体动力学对数值算法的精度提出了更高的要求，因此需要高精度的数值模拟方法。间断Galerkin有限元法由于其易于实现高阶精度、灵活处理间断问题、适用于非结构网格、有利于实现并行算法，因此有很好的应用前景和工程实用价值。间断Galerkin有限元方法的高阶精度实现依赖于边界精度，一般情况下需要考虑边界的真实物面信息。当采用直网格离散求解域时，在物面处会存在很大的误差，无法准确反应物面信息。而曲面网格技术能够很好地反应物面信息，因此，基于曲面网格的间断Galerkin有限元方法应运而生。然而在曲面网格条件下，基于曲面网格的间断Galerkin有限元方法会带来一些额外的计算量，例如曲面网格的体积分，曲面面积分，雅克比矩阵计算等等。这会降低算法的计算效率，从而制约了高精度算法的工程应用。
发明内容
针对上述存在问题或不足，为解决曲面体积分计算效率低的问题；本发明提供了一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，该方法把曲面体积分的贡献分解成直网格体积分和曲面面积分，在此基础上开发相应的高精度数值模拟方法。
一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，包括以下步骤：
A.将目标结构进行建模，然后建立流体计算域；
B.对步骤A所建流体计算域采用曲面四面体网格进行剖分，转化为离散空间模型；
C.利用间断Galerkin有限元法，将三维无粘低速绕流的控制方程在步骤B所得每一个曲面四面体网格上进行空间离散，获得空间半离散方程；
D.利用空间几何关系和分部积分原则，修改步骤C获得的空间半离散方程，获得无曲面体积分的空间半离散方程；
如附图4所示
Figure BDA00022846390600000229
表示曲面四面体网格,K表示直四面体网格，C表示曲四面体网格和直四面体网格之间的差异部分，它们有如下空间几何关系
Figure BDA0002284639060000021
将(1)式代入步骤C获得的空间半离散方程，可获得如下方程
Figure BDA0002284639060000022
其中
Figure BDA0002284639060000023
为曲面四面体网格
Figure BDA0002284639060000024
的边界，
Figure BDA0002284639060000025
为边界
Figure BDA0002284639060000026
的单位外法向量。由于解uh是曲面四面体网格
Figure BDA0002284639060000027
上的解，代入控制方程可以得到如下关系式
Figure BDA0002284639060000028
将(3)式代入(2)式的右端项并进行分布积分，(2)式的右端项变为
Figure BDA0002284639060000029
其中
Figure BDA00022846390600000210
为C的边界，
Figure BDA00022846390600000211
为边界
Figure BDA00022846390600000212
的单位外法向量。
将(4)式代入(2)式，可以获得如下关系式
Figure BDA00022846390600000213
如附图4、附图5、附图6和附图7所示，曲面四面体空间几何量有如下关系
Figure BDA00022846390600000214
Figure BDA00022846390600000215
Figure BDA00022846390600000216
Figure BDA00022846390600000217
Figure BDA00022846390600000218
Figure BDA00022846390600000219
Figure BDA00022846390600000220
Figure BDA00022846390600000221
Figure BDA00022846390600000222
其中
Figure BDA00022846390600000223
分别为曲面四面体
Figure BDA00022846390600000224
的四个面，
Figure BDA00022846390600000225
为对应面的单位外法向量；
Figure BDA00022846390600000226
为C的边界，
Figure BDA00022846390600000227
为对应面的单位外法向量；
Figure BDA00022846390600000228
分别为直四面体K的四个面，
Figure BDA0002284639060000031
为对应面的单位外法向量。将(6)式代入(5)式可以得到无曲面体积分格式的方程
Figure BDA0002284639060000032
对解uh进行有限元插值，(7)式可写成矩阵形式，最后得到一个关于时间微分的空间半离散方程：
Figure BDA0002284639060000033
其中
Figure BDA0002284639060000034
为插值系数，
Figure BDA0002284639060000035
为右端项,Mh为质量矩阵，N表示插值基函数的个数。
E.对步骤D所得关于时间微分的空间半离散方程进行时间离散，获得迭代方程；
F.对步骤E获得的迭代方程，根据实际问题给定每一个由曲边四面体网格剖分后得到的四面体单元初值，按照步骤E获得的迭代方程计算所有四面体单元当前时刻的值，然后再把计算得到的当前时刻的值当成初值，继续计算下一时刻的值，以此进行循环迭代，直至满足迭代终止条件，获得整个计算域的场分布。
本发明通过非结构曲面网格来精确拟合曲面物面，然后在曲面网格的基础上离散控制方程，最后利用空间几何关系和分部积分原则把曲面体积分的贡献分解成直网格体积分和曲面面积分，在此基础上开发相应的高效率数值模拟方法。
附图说明
图1是本发明流程图；
图2是实施例的流体计算域模型剖面图；
图3是实施例计算域网格示意图；
图4是实施例曲面四面体网格示意图；
图5是实施例直四面体网格各个面示意图；
图6是实施例曲面四面体网格各个面示意图；
图7是实施例曲面四面体网格和直四面体网格之间的差异部分各个面示意图；
图8是实施例马赫数分布剖视图；
图9是现有非结构直网格三维无粘低速绕流数值模拟方法马赫数分布剖视图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例来详细说明本发明的技术方案。
飞行器的气动力分析中，一般需要分析计算气体流过飞行器时的气动参数，以三维球绕流为例，参照附图1，一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，包括以下步骤：
A.建立球型结构的几何模型，然后建立流体计算域，其结构剖视图如附图2所示。
B.对步骤A所建流体计算域采用曲面四面体网格进行剖分，转化为离散空间模型。
采用曲面四面体网格剖分步骤A所建流体计算域，剖分后的计算域被人为分割为多个三维曲面四面体网格，从而将连续的几何空间转化为离散的网格空间，计算域网格如图3所示。
C.利用间断Galerkin有限元法，将三维无粘低速绕流的控制方程在步骤B所得每一个曲面四面体网格上进行空间离散，获得空间半离散方程。
对于无粘绕流问题，在曲面四面体网格
Figure BDA0002284639060000041
中求解如下三维守恒形式的欧拉方程：
Figure BDA0002284639060000042
式中u为守恒变量，F(u)＝[f(u),g(u),h(u)]为无粘通量张量，其具体形式如下：
Figure BDA0002284639060000043
其中u,v,w分别为直角坐标系下的速度分量；ρ,p分别为密度和压力；e为总能；h＝e+p/ρ为总焓。(1)式两端乘以测试函数υ并在
Figure BDA0002284639060000044
上积分，然后进行分部积分，最后可以得到如下Galerkin方法弱形式：
Figure BDA0002284639060000045
其中
Figure BDA0002284639060000046
为曲面四面体网格
Figure BDA0002284639060000047
的边界，
Figure BDA0002284639060000048
为边界
Figure BDA0002284639060000049
的单位外法向量。定义在曲面四面体网格
Figure BDA00022846390600000410
上的解uh和测试函数υh满足如下空间半离散方程
Figure BDA00022846390600000411
其中
Figure BDA00022846390600000412
为数值通量。
D.利用空间几何关系和分部积分原则，修改步骤C获得的空间半离散方程，获得无曲面体积分的空间半离散方程。
如附图4所示K表示直四面体网格，C表示曲四面体网格和直四面体网格之间的差异部分，它们有如下空间几何关系
Figure BDA00022846390600000413
将(5)式代入(4)式可获得如下方程
Figure BDA0002284639060000051
由于解uh是曲面四面体网格
Figure BDA0002284639060000052
上的解，代入方程(1)可以得到如下关系式
Figure BDA0002284639060000053
将(7)式代入(6)式的右端项并进行分布积分，(6)式的右端项变为
Figure BDA0002284639060000054
其中
Figure BDA0002284639060000055
为C的边界，
Figure BDA0002284639060000056
为边界
Figure BDA0002284639060000057
的单位外法向量。
将(8)式代入(6)式可以获得如下关系式
Figure BDA0002284639060000058
如附图4、附图5、附图6和附图7所示，曲面四面体空间几何量有如下关系
Figure BDA0002284639060000059
Figure BDA00022846390600000510
Figure BDA00022846390600000511
Figure BDA00022846390600000512
Figure BDA00022846390600000513
Figure BDA00022846390600000514
Figure BDA00022846390600000515
Figure BDA00022846390600000516
Figure BDA00022846390600000517
其中
Figure BDA00022846390600000518
分别为曲面四面体
Figure BDA00022846390600000519
的四个面，
Figure BDA00022846390600000520
为对应面的单位外法向量；
Figure BDA00022846390600000521
为C的边界，
Figure BDA00022846390600000522
为对应面的单位外法向量；
Figure BDA00022846390600000523
分别为直四面体K的四个面，
Figure BDA00022846390600000524
为对应面的单位外法向量。将(10)式代入(9)式可以得到无曲面体积分格式的方程
Figure BDA00022846390600000525
对解uh进行有限元插值，(11)式可写成矩阵形式，最后得到一个关于时间微分的空间半离散方程：
Figure BDA0002284639060000061
其中
Figure BDA0002284639060000062
为插值系数，
Figure BDA0002284639060000063
为右端项,Mh为质量矩阵，N表示插值基函数的个数。
E.对步骤D所得关于时间微分的空间半离散方程进行时间离散，获得迭代方程。
时间离散上采用二阶龙格库塔方法，显示二阶龙格库塔方法如下：
Figure BDA0002284639060000064
其中k表示时间步。上述方程是一个随时间步迭代的方程，可以通过前一个时刻k的值计算下一个时刻k+1的值。
F.对步骤E获得的迭代方程，给定每一个由曲边四面体网格剖分后得到的四面体单元初值，进行循环迭代，直至满足迭代终止条件，获得整个计算域的场分布。
根据实际问题给定所有四面体单元的初值，按照(13)式计算所有四面体单元当前时刻的值，然后再把当前时刻的值当成初值，继续计算下一时刻的值，以此反复循环迭代，直至计算结果收敛。
图2示出了实施例的流体计算域模型剖视图；图8示出了实施例马赫数分布剖视图；图9示出了现有非结构直网格三维无粘低速绕流数值模拟方法马赫数分布剖视图。对比图8、图9的场分布可以看出实施例的马赫数分布更加具有对称性，这更加接近真实情况。

Claims (3)

1.一种无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，包括以下步骤：
A.将目标结构进行建模，然后建立流体计算域；
B.对步骤A所建流体计算域采用曲面四面体网格进行剖分，转化为离散空间模型；
C.利用间断Galerkin有限元法，将三维无粘低速绕流的控制方程在步骤B所得每一个曲面四面体网格上进行空间离散，获得空间半离散方程；
D.利用空间几何关系和分部积分原则，修改步骤C获得的空间半离散方程，获得无曲面体积分的空间半离散方程；
Figure FDA0002284639050000011
表示曲面四面体网格,K表示直四面体网格，C表示曲四面体网格和直四面体网格之间的差异部分，它们有如下空间几何关系：
Figure FDA0002284639050000012
将(1)式代入步骤C获得的空间半离散方程，可获得如下方程
Figure FDA0002284639050000013
其中
Figure FDA0002284639050000014
为曲面四面体网格
Figure FDA0002284639050000015
的边界，
Figure FDA0002284639050000016
为边界
Figure FDA0002284639050000017
的单位外法向量；由于解uh是曲面四面体网格
Figure FDA0002284639050000018
上的解，代入控制方程可以得到如下关系式：
Figure FDA0002284639050000019
将(3)式代入(2)式的右端项并进行分布积分，(2)式的右端项变为：
Figure FDA00022846390500000110
其中
Figure FDA00022846390500000111
为C的边界，
Figure FDA00022846390500000112
为边界
Figure FDA00022846390500000113
的单位外法向量；
将(4)式代入(2)式，可以获得如下关系式：
Figure FDA00022846390500000114
曲面四面体空间几何量有如下关系：
Figure FDA0002284639050000021
Figure FDA0002284639050000022
Figure FDA0002284639050000023
Figure FDA0002284639050000024
Figure FDA0002284639050000025
Figure FDA0002284639050000026
Figure FDA0002284639050000027
其中
Figure FDA0002284639050000028
分别为曲面四面体
Figure FDA0002284639050000029
的四个面，
Figure FDA00022846390500000210
为对应面的单位外法向量；
Figure FDA00022846390500000211
为C的边界，
Figure FDA00022846390500000212
为对应面的单位外法向量；
Figure FDA00022846390500000213
分别为直四面体K的四个面，
Figure FDA00022846390500000214
为对应面的单位外法向量；
将(6)式代入(5)式可以得到无曲面体积分格式的方程：
Figure FDA00022846390500000215
对解uh进行有限元插值，(7)式可写成矩阵形式，最后得到一个关于时间微分的空间半离散方程：
Figure FDA00022846390500000216
其中
Figure FDA00022846390500000217
为插值系数，
Figure FDA00022846390500000218
为右端项,Mh为质量矩阵，N表示插值基函数的个数。
E.对步骤D所得关于时间微分的空间半离散方程进行时间离散，获得迭代方程。
F.对步骤E获得的迭代方程，根据实际问题给定每一个由曲边四面体网格剖分后得到的四面体单元初值，按照步骤E获得的迭代方程计算所有四面体单元当前时刻的值，然后再把计算得到的当前时刻的值当成初值，继续计算下一时刻的值，以此进行循环迭代，直至满足迭代终止条件，获得整个计算域的场分布。
2.如权利要求1所述无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，其特征在于：所述步骤E中时间离散采用二阶龙格库塔方法。
3.如权利要求1所述无曲面体积分的无粘低速绕流数值模拟方法，应用于飞行器的气动力分析中，分析计算气体流过飞行器时的气动参数。
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