CN110888321A - 一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法及其形状同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法及其形状同步方法，本发明的四维四翼忆阻超混沌系统生成方法首先通过周期分段函数代替Chen系统的常数参数，提出了一个简单的四翼混沌吸引子，然后，在所提出的四翼Chen系统中加入一个具有线性磁通量的磁通控制忆阻器，生成了一个新的四维四翼忆阻超混沌系统，该系统具有丰富的混沌动力学特征，生成的四维四翼忆阻超混沌系统能应用于密码学、随机数发生器和安全通信等实际工程应用中，能够提高密码以及通信的安全性。本发明的四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步方法，基于经典微分几何中平面曲线的基本理论，设计了一种连续形状控制器，实现了该四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步。

Description

一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法及其形状同步方法

技术领域

本发明涉及混沌系统领域，特别是涉及一种四维四翼忆阻超混沌系统生成 方法及其形状同步方法。

背景技术

非线性科学理论的发展使人们对自然界的许多复杂现象有了新的认识，几乎 涵盖了自然科学和社会科学的各个方面，包括神经网络、电子学、气象学、经济 学、流体力学等。

混沌行为存在于对初始条件敏感的非线性确定性系统中，它是一种复杂的、 不可预测的长期行为。自1963年洛伦兹发现混沌吸引子以来，各种复杂混沌系 统被相继提出。1999年，休斯顿大学陈冠荣教授发现了一个新的混沌系统---Chen 系统。它与洛伦兹系统相似，但不具有拓扑等价性，并且更复杂性，由于Chen 系统比洛仑兹系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为，在信息加密和安全通信 领域具有更广阔的应用前景。

超混沌运动具有混沌运动的所有性质和特征，且具有更复杂的非线性动力学 行为，与混沌运动相比，超混沌运动在自然科学、电子通信等工程应用中具有更 大的优势，具有更大的研究价值和应用前景。

忆阻器是继电阻、电感和电容之后的第四个基本电路元件，是一种无源非线 性电路元件，其电阻值会随着自身电流的变化而变化，当电流中断时，其电阻值 将保持在断电的瞬时状态。在非线性系统中，将忆阻器引入混沌系统是设计和研 究复杂动态系统的有效途径。

在过去的几十年中，混沌同步一直是众多学者研究的热点，对于混沌系统的 同步，人们提出了许多不同的同步类型，如完全同步、投影同步、相位同步、广 义同步、延迟同步和形状同步等。其中，除了形状同步外，上述其他同步类型都 是基于驱动响应系统状态变量的距离，而形状同步则是基于驱动系统混沌吸引子 的形状，形状同步的同步信号是驱动系统混沌吸引子的形状特征。因此，基于形 状同步的安全通信系统可以提高系统的安全性和实时性。

目前，许多非线性方法被用来同步超混沌系统，但是经典的传统非线性方法 一般都很难设计，并且依赖于非线性系统，而且大多数同步都忽略了混沌吸引子 的形状特征，混沌吸引子的形状不仅具有几何直观性，而且具有混沌系统的固有 特性。因此，从混沌吸引子的几何角度研究混沌系统的同步问题具有重要意义。

发明内容

本发明的目的在于至少解决现有技术中存在的技术问题之一，提供了一种四 维四翼忆阻超混沌系统生成方法及其形状同步方法。通过本方法生成了一个具有 周期分段函数和磁通控制的四维四翼忆阻超混沌系统，而且提出了一种形状控制 器来实现了上述四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步。

本发明解决其问题所采用的技术方案是：

本发明的第一方面，提供了一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法，包括以 下步骤：

第一步，设定两翼Chen系统F1为：

在所述两翼Chen系统F1中，a，b，c，d为系统参数，x，y，z为状态变量；

将所述两翼Chen系统F1的第二方程中的状态变量xz的参数用周期分段函 数p(t)代替，生成四翼Chen系统F2为：

在所述四翼Chen系统F2中，p(t)＝[k+sign(sinωt)]，

ω为开关频率，x，y，z为状态变量，参数值a＝35，b＝3，c＝28， k＝2，ω＝π/25；

第二步，设忆阻器为：

q(Ф)＝αФ²；

其中，q(Ф)为磁控忆阻，Ф为磁通量，则忆导为：

其中，W(Ф)为忆导，α、β为大于零的忆阻参数；

将忆阻器因子W(u)作为所述四翼Chen系统F2中的第二方程的反馈项，并 且加入第四方程作为忆阻器因子W(u)的内部状态方程，生成四维四翼忆阻超混 沌系统F3为：

在所述四维四翼忆阻超混沌系统F3中，W(u)＝βu，x，y，z，u为状态变 量，状态变量的初始值均为0.1，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，ω＝π/25，β＝0.24。

本发明第一方面提供的一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法，至少具有以 下有益效果：

通过在两翼Chen系统中加入周期分段函数生成四翼Chen系统，然后在四 翼Chen系统中加入一个具有线性磁通量的磁通控制忆阻器，生成了具有周期分 段函数和磁通控制的四维四翼忆阻超混沌系统，生成的四维四翼忆阻超混沌系统 具有丰富的混沌动力学特征，而且该系统能应用于密码学、随机数发生器和安全 通信等实际工程应用中，能够提高密码以及通信的安全性。

本发明的第二方面，提供了一种四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步方法， 其特征在于，包括以下步骤：

第一步，设四维四翼忆阻超混沌系统为：

其中，x，y，z，u为状态变量；

令状态变量x＝x₁，y＝x₂，z＝x₃，u＝x₄，将所述四维四翼忆阻超混沌 系统作为驱动系统F4为：

在所述驱动系统F4中，

ω为开关频率， x₁，x₂，x₃，x₄为状态变量，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，

β＝0.24，

为忆阻器因子；

设定四维坐标系，状态变量x₁，x₂，x₃，x₄为所述四维坐标系的坐标轴，o为 原点；

计算所述驱动系统F4在所述四维坐标系中x₁oo₃投影平面上的弧长S₁和符 号曲率ρ₁：

计算所述驱动系统F4在所述四维坐标系中x₁ox₄投影平面上的弧长S₂和符 号曲率ρ₂：

第二步，设受控响应系统F5为：

在所述受控响应系统F5中，

为第i个响应子系统的状态 向量，i∈[1,2]，

为形状同步器；

计算所述受控响应系统F5的第1个响应子系统的弧长

和符号曲率

计算所述受控响应系统F5的第2个响应子系统的弧长

和符号曲率

第三步，当形状同步控制器设置为如下时，使得

以及

实现所述驱动系统F4与所述受控响应系统F5的形状同步；

本发明第二方面提供的一种四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步方法，至少 具有以下有益效果：

基于微分几何中平面曲线的基本理论，通过设计一种连续形状控制器，实现 了本发明第一方面所述的四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明进一步地说明；

图1为本发明实施例的系统F2的混沌吸引子的示意图；

图2为本发明实施例的系统F3的混沌吸引子的示意图；

图3为本发明实施例的系统F3的系统参数β的李雅普诺夫指数谱示意图；

图4为本发明实施例的系统F3的系统参数β的分岔图；

图5为本发明实施例的提供的典型圆环体的相轨迹示意图；

图6为本发明实施例的系统F3的系统参数β∈[0,1]的李雅普诺夫指数谱示 意图；

图7为本发明实施例的系统F3的混沌吸引子的另一个示意图；

图8为本发明实施例的驱动系统F4以及响应系统F5在x₁ox₃和x₁ox₄投影 平面上的形状同步示意图；

图9为本发明实施例驱动系统F4的L₁和L₂以及响应系统F5的

和

通过 旋转以及平移后的形状示意图。

具体实施方式

本部分将详细描述本发明的具体实施例，本发明之较佳实施例在附图中示 出，附图的作用在于用图形补充说明书文字部分的描述，使人能够直观地、形象 地理解本发明的每个技术特征和整体技术方案，但其不能理解为对本发明保护范 围的限制。

参照图1至图7，本发明的一个实施例，提供了一种四维四翼忆阻超混沌系 统生成方法，包括以下步骤：

为了从两翼Chen系统中产生四翼的混沌吸引子，必须得到四个非原点平衡 点，因此本实施例用脉冲激励源代替二次项xz前面的参数，从而使得两翼混沌吸 引子在不同的时间间隔内移动到不同的位置，形成四翼混沌吸引子。

第一步，设定两翼Chen系统F1为：

在系统F1中，a，b，c，d为系统参数，x，y，z为状态变量；

将系统F1的第二方程中状态变量xz的参数d用周期分段函数p(t)代替， 生成四翼Chen系统F2为：

这里的周期分段函数p(t)的数学表达式如下：

p(t)＝[k+sign(sinωt)](2)

其中sign(sinωt)可以描述为：

在系统F2中，ω为开关频率，x，y，z为状态变量，参数值a＝35，b＝3，c＝28， k＝2，ω＝π/25。

这里，当初始条件给定为x(0)＝10，y(0)＝0.5，z(0)＝12时，系统F2处 于混沌状态，相应的四翼吸引子和时域波形如图1所示，其中图1(a)为x-z平 面；(b)为y-z平面；(c)为x-y平面；(d)为变量x的时域波形。

为了找到系统F2的平衡点，将状态变量的导数等于零，可得到五个实际平 衡点为：S₀(0，0，0)，S₁(2.28，2.28，2.28)，S₂(-2.28，-2.28，- 2.28)，S₃(3.71，3.71，3.71)以及S₄(-3.71，-3.71，-3.71)。从平衡 点的坐标值可以看出，平衡点S₁和S₂与平衡点S₃和S₄在同一水平线上。系统F2 的李雅普诺夫指数分别为：LE1＝2.001，LE2＝0.007，和LE3＝-12.078。

为了方便理解，这里对李雅普诺夫指数进行解释：李雅普诺夫指数是衡量 系统是混沌还是超混沌的有效工具，特别是，系统具有正的混沌李亚普洛夫指数。 有两个或两个以上的正的李雅普诺夫指数称为超混沌。

第二步，选用具有通量Ф的二次非线性忆阻器，如式(4)：

q(Ф)＝αФ²(4)

其中，q(Ф)为磁控忆阻，Ф为磁通量，则忆导为：

式(5)中，W(Ф)为忆导，α、β为大于零的忆阻参数，由于W(Ф)只包含一 个线性项，而不包含常数项，因此数据模型更加简单，也更容易进行仿真。

将忆阻器因子引入式(1)的第二方程中，作为反馈项，并加入一个方程作 为忆阻器因子的内部状态方程，生成四维四翼忆阻超混沌系统F3为：

式(6)中的x，y，z，u为状态变量，a，b，c为系统参数。当参数值a＝35、 b＝3，c＝28，k＝2，ω＝π/25，β＝0.24，且初始条件为x(0)＝0.1，y(0)＝0.1， z(0)＝0.1，u(0)＝0.1时，系统F3将产生四翼超混沌吸引子，如图2所示，图 2(a)为x-z平面，图2(b)为y-z平面，图2(c)为x-y平面，图2(d) 为x-u平面，图2(e)为变量x的时域波形，图2(f)为变量y的时域波形。

四维四翼忆阻超混沌系统F3的矢量场散度ΔV由下式给出：

当参数值a＝35，b＝3，c＝28时，-(a+b)+c＝-10<0，则系统F3为耗 散系统，这里采用四阶龙格-库塔方法求解该系统，采样时间设定为0.002s，得 到系统状态变量x和y的时域波形，如图2(e)，图2(f)所示，可见，生成的 时间序列具有非周期性，具有丰富的动力学特性，因此本系统可应用在密码学、 随机数发生器和安全通信等实际工程应用中，能够提高密码以及通信的安全性。

为了体现本四维四翼忆阻超混沌系统F3的动力学特性，以下为系统F3的 进一步分析：

第一，进行平稳点稳定分析，过程如下：

设定系统F3的状态变量等于零，通过解下列方程可得到平衡点：

显然，当平衡态E＝{{x，y，z，u)|x＝y＝z＝0，u＝C}}时，可以找到 系统F3的平衡点，轴上的所有点都对应于平衡点，其中C是一个常数实数，这 意味着本四维四翼忆阻超混沌系统F3具有一个不寻常的线平衡特征。

为了研究平衡点的稳定性，将系统F3在平衡点处进行线性化处理，可得到 如下雅可比矩阵J：

矩阵J的特征方程为：

λ(λ+b)(λ²+(a-c)λ-2ac+a²+aβC)＝0(10)

根据方程根的准则，若要求解方程，必须满足不等式(11)：

Δ＝(a-c)²-4×(-2ac+a²+aβC)>0(11)

根据式(9)，在参数值a＝35，b＝3，c＝28，β＝0.24的条件下，当C≤88.9时， 特征方程(10)有解。同时，如果系统F3具有不稳定的鞍焦型平衡点，则需要 正特征值。式(9)的表达式为：

式(12)表明，为了获得正特征值，必须满足a>0。当给定参数C≤87.5时， 系统具有正特征值。

所以，当C＝0时，可得到四个特征根分别为：λ₁＝0，λ₂＝-3，λ₃＝-30.85， λ₄＝23.85。

综上所述，平衡态E是不稳定的，可能会产生混沌。

第二，进行李雅普诺夫指数谱以及分岔图分析，分析过程如下:

这里，主要通过数值计算系统F3的李雅普诺夫指数谱和分岔图来分析系统 S3的动力学特性，李雅普诺夫指数是衡量系统是混沌还是超混沌的有效工具。 特别是，系统具有正的混沌李亚普洛夫指数。有两个或两个以上的正的李雅普诺 夫指数称为超混沌，通过观察系统的李雅普诺夫指数谱，可以清楚地分辨出系统 在不同参数控制区间的运动状态。

设置参数值a＝35、b＝3、c＝28、ω＝π/25、β＝0.24和初始条件为 [0.1,0.1,0.1,0.1]，用Wolf方法来计算系统S3的李雅普诺夫指数。

参照图3和图4，在图3(a)显示了参数β在区间[0，20]中变化的李雅普诺夫 指数谱，需要注意的是，图3(a)以及图3(b)的纵轴坐标均为李雅普诺夫指 数。这里由于有一个李雅普诺夫指数是一个很大的负数，此处忽略该负数；图3 (b)表示的是图3(a)中的β∈[18,20]的范围，从图3可以清楚地看到系统F3 丰富的动力学行为，如超混沌、混沌、极限环等。图4给出了变量x随参数β变 化的分岔图，可以看出该分岔图符合李雅普诺夫指数谱的分布情况。

当β∈[18，19.5]时，系统S3处于混沌或超混沌状态；而当β∈[19.5，20] 时，系统S3是一个典型的圆环，如图5为典型的环面示意图。当β＝20时，李 雅普诺夫指数分别等于：-0.0608，-2.9267，-3.3517，-3.6607。

图6显示出了步长为0.01的系统参数β从0到1的李雅普诺夫指数谱，需要 注意的是，在图6中，纵轴坐标为李雅普诺夫指数。当β＝0.73时，系统的李雅 普诺夫指数为LE1＝1.3393，LE2＝0.0065，LE3＝-0.873和LE2＝11.2585， 系统只有一个正的李雅普诺夫指数，这意味着系统F3是混沌的，其混沌吸引子 如图7所示。

当β∈[0，0.24]时，从图6可以看出系统是超混沌的，当β＝0.24时，李雅 普诺夫指数为LE1＝1.976，LE2＝0.1252，LE3＝0和LE4＝-11.950。

第三，进行分形维数分析，分析过程如下：

系统F3的李雅普诺夫维数可以通过以下公式计算：

所以系统F3是分形维数，另一方面表明，在这些参数的作用下，系统F3 处于超混沌状态。

参照图8和图9，本发明的另一个实施例，提供了一种四维四翼忆阻超混沌 系统的形状同步方法。

第一步：上述实施例中的四维四翼忆阻超混沌系统F3为：

在系统F3中，x，y，z，u为状态变量；

令状态变量x＝x₁，y＝x₂，z＝x₃，u＝x₄，以四维四翼忆阻超混沌系统 F3作为驱动系统F4并重设为：

在系统F4中，

ω为开关频率，状态变量 x＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，ω＝π/25，β＝0.24； 忆阻器因子

作为式(15)第二方程中的反馈项，方程

作为式(15) 的忆阻器因子的内部状态方程。

通过在预先设定的初始条件下，驱动系统的吸引子是四维空间中的一条曲 线。在这里，由于四维空间在几何上是不可见的，所以很难描述现实中的混沌吸 引子。然而，这个问题可以通过将混沌吸引子投影到坐标平面上来解决，在每个 坐标平面上，混沌吸引子的投影是一条规则的平面曲线，根据平面曲线理论，符 号曲率可以用来描述平面的形状。

设定存在四维坐标系，状态变量x₁，x₂，x₃，x₄为所述四维坐标系的坐标 轴，o为原点，投影平面x₁ox₃的投影可以表示为L₁＝(x₁(t)，x₃(t))；投影平 面x₁ox₄上的投影可以表示为：L₂＝(x₁(t)，x₄(t))，需要注意的是，符号函数 的导数在原点处是不连续的，本实施例提出的系统F4的第二个状态方程包含符 号函数，为了避免这种情况，本实施例只解决x₁ox₃和x₁ox₄两个投影面的形状同 步问题。

这里，通过计算符号曲率和弧长来获得投影混沌系统的形状信息；

计算系统F4在x₁ox₃投影平面上的弧长S₁和符号曲率ρ₁：

计算系统F4在x₁ox₄投影平面上的弧长S₂和符号曲率ρ₂：

第二步，设定受控响应系统F5为：

在系统F5中，

为第i个响应子系统的状态向量，i＝Ι，ΙΙ，

为形状同步器；这里响应系统由两个子系统组成，由子系统的 前二维确定的平面曲线，可表示为

和

相应地，响应系统的两个子系统

和

的形状信息也 可分别用弧长和符号曲率表示：

计算系统F5的第1个响应子系统的弧长

和符号曲率

计算系统F5的第2个响应子系统的弧长

和符号曲率

这里，根据平面曲线理论，如果曲线

和

的形状分别与上述的投影曲线L₁和L₂的形状相同，则驱动系统和响应系统为形状同步。

第三步，考虑到建立了驱动系统和响应系统的形状同步，即L₁、L₂和

具 有相同的形状信息，可推导出如下形状控制器：

根据式(21-1)的形状控制器，L₁和

的弧长和符号曲率相等，证明过程如 下：

将式(18)和式(21-1)代入式(19)中，得到下式：

由式(22-1)和式(22-2)可以看出，通过式(21-1)的形状控制器，得到

将式(18)和(21-2)代入式(20)中，得到下式：

由式(23-1)和式(23-2)可以看出，通过式(21-2)的形状控制器，得到

综合上述结果表明，在形状控制器的作用下，驱动系统和响应系统的形状 投影曲线的弧长和各平面的符号曲率相等，即

和

根据平面曲线理论，如果两条平面曲线具有相同的弧长参数和符号曲率， 并且可以通过旋转和平移进行变换，则两条平面曲线具有相同的形状并能实现形 状同步。

当驱动系统F4在x₁ox₃平面上的初始值为：

(x₁(0)，x₂(0)，x₃(0)，x₄(0))^T＝(-1，2,3,9)^T以及在x₁ox₄平面初始值为：

(x₁(0)，x₂(0)，x₃(0)，x₄(0))^T＝(-1，2,-3,9)^T，响应系统 F5的初始值为

时，两个系统在x₁ox₃和 x₁ox₄投影平面上的形状同步的模拟结果如图8所示。在图8(a)中，下半部分 图形是指响应系统

上半部分图形是指驱动系统L₁，图8(a)中表示出了初 始状态为(1,-2,10)^T的响应系统

和驱动系统L₁的形状同步，其中，驱动系统 L₁在x₁ox₃平面的投影系统的初始状态为(-1，2,3,9)^T；在图8(b)中，下半 部分图形是指响应系统

上半部分图形是指驱动系统L₂，图8(b)表示出了 初始状态为(1,-2,10)^T的响应系统

和驱动系统L₂的形状同步，其中，驱动系 统L₂在x₁ox₄平面的投影系统的初始状态为(-1，2,-3,9)^T。

由图8可知，不同初始值的驱动系统和响应系统在形状控制器uⁱ的作用下， 实现了同一形状、不同位置的完全形状同步。

综上所述，本实施例基于经典微分几何中平面曲线的基本理论，设计了一 种连续形状控制器，实现了该四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步。

为了证明经旋转和平移后的驱动系统和响应系统能够实现同步，以下进行 进一步分析：

根据上述平面曲线理论，可以得到平面x₁ox₃中的投影系统L₁和平面x₁ox₄中 的投影系统L₂，初始点处的单位切线矢量和单位法向矢量分别为：

在进行安全通信时，两个 图形需要完全重叠。因此，在安全通信的应用中，需要对图像进行平移和旋转。 在本实施例中，为了使两条平面曲线重合，这里适当地调整平移和旋转角度。

在投影平面x₁ox₃上：

且

在投影平面x₁ox₄上：

且

通过上述分析，L₁和L₂通过旋转和平移可以与

和

完全重合，并分别达到 完全相等，如图9(a)、(b)所示，转换态合并为

驱动系统 和响应系统的两个投影面的曲线之间的误差如图9(c)、(d)所示，其中误差

上面结合附图对本发明实施例作了详细说明，但是本发明不限于上述实施 例，在技术领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨 的前提下作出各种变化。

Claims (2)

1.一种四维四翼忆阻超混沌系统生成方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，设定两翼Chen系统F1为：

在所述两翼Chen系统F1中，a，b，c，d为系统参数，x，y，z为状态变量；

将所述两翼Chen系统F1的第二方程中的状态变量xz的参数用周期分段函数p(t)代替，生成四翼Chen系统F2为：

在所述四翼Chen系统F2中，p(t)＝[k+sign(sinωt)]，

ω为开关频率，x，y，z为状态变量，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，ω＝π/25；

第二步，设忆阻器为：

q(Ф)＝αФ²；

其中，q(Ф)为磁控忆阻，Ф为磁通量，则忆导为：

其中，W(Ф)为忆导，α、β为大于零的忆阻参数；

将忆阻器因子W(u)作为所述四翼Chen系统F2中的第二方程的反馈项，并且加入第四方程作为忆阻器因子W(u)的内部状态方程，生成四维四翼忆阻超混沌系统F3为：

在所述四维四翼忆阻超混沌系统F3中，W(u)＝βu，x，y，z，u为状态变量，状态变量的初始值均为0.1，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，ω＝π/25，β＝0.24。

2.一种四维四翼忆阻超混沌系统的形状同步方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，设四维四翼忆阻超混沌系统为：

其中，x，y，z，u为状态变量；

令状态变量x＝x₁，y＝x₂，z＝x₃，u＝x₄，将所述四维四翼忆阻超混沌系统作为驱动系统F4为：

在所述驱动系统F4中，

ω为开关频率，x₁，x₂，x₃，x₄为状态变量，参数值a＝35，b＝3，c＝28，k＝2，

β＝0.24，

为忆阻器因子；

设定四维坐标系，状态变量x₁，x₂，x₃，x₄为所述四维坐标系的坐标轴，o为原点；

计算所述驱动系统F4在所述四维坐标系中x₁ox₃投影平面上的弧长S₁和符号曲率ρ₁：

计算所述驱动系统F4在所述四维坐标系中x₁ox₄投影平面上的弧长S₂和符号曲率ρ₂：

第二步，设受控响应系统F5为：

在所述受控响应系统F5中，

为第i个响应子系统的状态向量，i∈[1,2]，

为形状同步器；

计算所述受控响应系统F5的第1个响应子系统的弧长

和符号曲率

计算所述受控响应系统F5的第2个响应子系统的弧长

和符号曲率

第三步，当形状同步控制器设置为如下时，使得

以及

实现所述驱动系统F4与所述受控响应系统F5的形状同步；

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