CN110880751B

CN110880751B - 互联电网联络线功率可行域的扩大方法

Info

Publication number: CN110880751B
Application number: CN201910273302.9A
Authority: CN
Inventors: 杨知方; 余娟; 林伟; 朱正春
Original assignee: Chongqing University
Current assignee: Chongqing University
Priority date: 2019-04-04
Filing date: 2019-04-04
Publication date: 2021-06-22
Anticipated expiration: 2039-04-04
Also published as: CN110880751A

Abstract

本发明公开了互联电网联络线功率可行域的扩大方法，主要步骤为：1)建立具有耦合变量的经济调度模型；2)基于改进多参数规划理论，确定联络线功率可行域；3)扩大联络线功率可行域。本发明可以快速确定联络线功率可行域，并通过辨识联络线功率可行域的关键因素，对可行域进行有效扩展。

Description

互联电网联络线功率可行域的扩大方法

技术领域

本发明涉及电力系统经济优化计算领域，具体是互联电网联络线功率可行域的扩大方法。

背景技术

随着电力需求的增加和可再生能源的融合，单一的区域电网很难保证电力供需的平衡。为了在更大范围内实现资源的最优利用，区域电网互联已成为一种普遍的选择。联络线功率可行域对电力系统的安全和经济运行至关重要。

一方面，可行域的精确保证了电力系统在需要区域输电时的安全性和经济性；另一方面，更大的可行域表明区域电网之间的联络线电力传输可以允许在更宽的传输范围内进行，这促进了电力资源的进一步最佳使用。然而，现有的研究主要致力于求精确的联络线功率可行域。目前很少有研究侧重于对可行域关键影响因素识别和扩大策略的分析。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的问题。

为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，互联电网联络线功率可行域的扩大方法，主要包括以下步骤：

1）建立具有耦合变量的经济调度模型。

建立具有耦合变量的经济调度模型的主要步骤如下：

1.1）建立目标函数

。其中，P _G为发电机组输出功率。H ₁和H ₂为发电机组费用相关矩阵。上标T表示转置。

1.2）确定目标函数的约束条件。

电力供应和电力需求平衡约束如下所示：

。（1）

式中，e _G和表示单位向量。

发电机容量约束如下所示：

。（2）

式中，

和

分别表示下限和上限。

联络线下区域网络和边界节点相连支路的传输功率约束如下所示：

。（3）

联络线下区域网络和边界节点相连支路的传输功率P _Line如下所示：

。（4）

式中，S为功率转移分布因子矩阵。

区域网络的联络线功率约束如下所示：

。（5）

式中，P _B为联络线功率。

边界电压角和边界功率注入关系如下所示：

。（6）

式中，M _G 、M _B和M _D分别为与P _G、P _B和P _D相关的节点-支路关联矩阵。P _D为用电负荷。为边界节点电压相角。B为独立正态随机向量。上标-1表示矩阵的逆。

1.3）基于约束公式1至公式6，对目标函数的约束条件进行简化，得到简化约束条件，即：

。（7）

式中，

、

为对偶乘子。p为规划参数，也即互联电网耦合变量。A、c和b由公式1至公式6中的矩阵化简得到。

（8）

1.4）基于目标函数和简化约束条件，建立具有耦合变量的经济调度模型。具有耦合变量的经济调度模型的K KT条件如下所示：

。（9）

1.5）设定松弛变量σ，并构建等式9，即：

。（10）

1.6）对K KT条件进行简化，得到：

。（11）

式中，

、

、

、QUOTE

和

为参数矩阵。

矩阵w和矩阵z满足下式：

。（12）

对公式11进行化简，得到简化K KT条件，即：

。（13）

式中，

和

为参数矩阵。I是所有元素都为1的对角矩阵。

2）基于改进多参数规划理论，确定联络线功率可行域。

确定联络线功率可行域的主要步骤如下：

2.1）确定互联电网边界初始顶点p ₀，即确定满足公式14的顶点p ₀。

。（14）

式中，A _p是一个与p相关的行矩阵。A _p中至少有一个元素不为零。min表示最小值。max表示最大值。

2.2）确定包含初始顶点p ₀的联络线功率可行子区域R _K，主要步骤如下：

2.2.1）当p = p ₀时，具有耦合变量的经济调度模型的简化K KT条件如下所示：

。（15）

2.2.2）将变量

分解为若干组互补基。每组互补基包括基本变量

和非基本变量

。其中， QUOTE

。K ^c={1 ,…, 2n}\ K。 QUOTE

。

一组互补基满足下式：

。（16）

利用Lem ke算法求解互补基K，则互补基K如下所示：

（17）

式中，

表示矩阵T中由元素K中所对应标记的列矩阵所构成的矩阵。

表示互补基K的基本变量。

（18）

式中，

表示互补基K的非基本变量。

2.2.3）基于互补基K，确定联络线功率可行子区域R _K，即：

（19）

其中， QUOTE

和 QUOTE

为计算系数。

计算系数 QUOTE

和 QUOTE

分别如下所示：

。（20）

。（21）

2.3）提取包含初始顶点p ₀的所有平面，并判断当前检测的平面是否为子区域R _K的边界面。主要步骤如下：

2.3.1）计算任意包含初始顶点p ₀的平面的互补基

，若互补基

满足公式22，则互补基

对应的面是边界面。边界面为不连通其他子区域和子区域R _K的面。

。（22）

式中，LEV = {1,2，…，s}。ADD = {s+1, s+2 ,…, 2s}。s为在规划参数p移动过程中，x _K由非零变为零的个数。

2.3.2）若步骤2.3.1判断失败，即步骤2.3.1判断结果为不存在与子区域RK连通的子区域时，则利用旋转算法判断联络线功率可行子区域R _K的边界面。

2.4）确定未检查边界面的搜索点p _new和搜索子区域R _new，主要分为以下三种情况：

I）若当前检测的平面不是子区域R _K的边界面，则搜索点p _new= p ₀，搜索子区域R _new= R _K’。

II）若当前检测的平面被第一次判断为边界面，则点p _new= V _b，搜索子区域R _new =R _K。V _b为当前检测的平面的其他顶点。

III）若当前检测的平面被第t次判断为边界面，t = 2 , 3 , 4…，则确定搜索点p _new和搜索子区域R _new的主要步骤如下：

a）沿着边界面上的顶点p _i正向搜索顶点

。顶点

约束条件如下所示：

。（23）

式中，i = 1, 2 , … , k。

b）沿着边界面上的顶点p _i负向搜索顶点

。顶点

约束条件如公式23所示。

c）记边界面

通过的点为p _{f 1}和点p _{f 2}。两个顶点的差值diff= p _{f 2}- p _{f 1}。基于差值diff，将规划参数p分解为p _p、p _n、和p _z。

若p _p为正向的差值点，则搜索点p _new = p _{f 1}。根据搜索点p _{f 1}，确定搜索子区域R _new。

若p _n为正向的差值点，则搜索点p _new = p _{f 2}。根据搜索点p _{f 2}，确定搜索子区域R _new。

若p _z为零差值的点，则搜索点p _new = p _{f 1}或p _{f 2}。根据搜索点p _{f 1}或p _{f 2}，确定搜索子区域R _new。

2.5）基于所有搜索点p _new，联络线功率可行域如下所示：

。（24）

式中，

和

表示刻画联络线功率可行域的平面系数。

3）扩大联络线功率可行域。

扩大联络线功率可行域的主要步骤如下：

3.1）记第i个边界面

为联络线功率可行子区域R _K的第j个边界面

。

和

表示刻画联络线功率可行域R _K的平面系数。

3.2）基于发电机容量约束y和支路传输极限t，则第i个边界面

如下所示：

。（25）

式中，

和

为计算系数。

计算系数

和

分别如下所示：

。（26）

式中，矩阵

QUOTE。

。（27）

式中，q为由发电机容量约束y和支路传输极限t构成的矩阵。

3.3）即联络线功率可行子区域R _K内部的点为p _{i n}。点p _{i n}和边界面的距离dis如下所示：

（28）

3.4）通过调整发电机容量约束y和支路传输极限t，增加dis的值，从而扩展边界面，使联络线功率可行域沿第i个边界面扩展。

调整发电机容量约束y和支路传输极限t的主要步骤如下：

3.4.1）提取矩阵

中与发电机容量约束y和支路传输极限t相关的元素，并建立数据集F。数据集F中的元素降序排列。元素数值大小与发电机容量约束y、支路传输极限t相关程度成正比。判断相关性的方法为：判断矩阵

中的元素是否与矩阵q的发电机容量约束y和支路传输极限t发生矩阵运算，如果是，则元素与发电机容量约束y和支路传输极限t相关。

3.4.2）基于数据集F的首位元素，调整发电机容量约束y和支路传输极限t，调整步骤主要如下：

4.2.1）选取任意边界平面为可行域扩展方向。

4.2.2）选取数据集F的首位元素所对应的发电机容量y或支路传输极限t。

4.2.3）调整发电机容量y或支路传输极限t的数值，从而使距离dis增加。

本发明的技术效果是毋庸置疑的。本发明可以快速确定联络线功率可行域，并通过辨识联络线功率可行域的关键因素，对可行域进行有效扩展。

附图说明

图1为确定可行域的算法流程图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

实施例1：

互联电网联络线功率可行域的扩大方法，主要包括以下步骤：

1）建立具有耦合变量的经济调度模型。

建立具有耦合变量的经济调度模型的主要步骤如下：

1.1）建立目标函数

。其中，P _G为发电机组输出功率。H ₁和H ₂为系数矩阵。上标T表示转置。

在大多数电力市场中，目标函数被表示为P _G的二次函数。

1.2）确定目标函数的约束条件。

电力供应和电力需求平衡约束如下所示：

。（1）

式中，e _G和表示单位向量。

发电机容量约束如下所示：

。（2）

式中，

和

分别表示下限和上限。

。（3）

。（4）

式中，S为功率转移分布因子矩阵。

区域网络的联络线功率约束如下所示：

。（5）

式中，P _B为联络线功率。

边界电压角和边界功率注入关系如下所示：

。（6）

。（7）

式中，

、

为对偶乘子。p为规划参数，也即互联电网耦合变量。A、c和b由公式1至公式6中的矩阵化简得到，即联立公式1至6，并令

，从而计算得到A、c和b。

（8）

1.4）基于目标函数和简化约束条件，建立具有耦合变量的经济调度模型。具有耦合变量的经济调度模型的K KT(Kuhn-Tucker conditions，库恩塔克条件)条件如下所示：

。（9）

K KT条件是解决最优化问题的时用到的一种方法。最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值。

1.5）设定松弛变量σ，并构建等式9，即：

。（10）

1.6）对K KT条件进行简化，将K KT条件重新表述为以下线性互补问题(linear complementarity problem，LCP)，得到：

。（11）

式中，

、

、

、QUOTE

和

为参数矩阵。

矩阵w和矩阵z满足下式：

。（12）

对公式11进行化简，得到简化K KT条件，即：

。（13）

式中，

和

为参数矩阵。I是所有元素都为1的对角矩阵。

一方面，如果发现一对( w , z )满足(11)，则得到原问题(1)-(6)的解。另一方面，如果将

作为不同的变量，则一个LCP就变成了一个参数LCP( parameter LCP, PLCP)。通过对所有可行的数对( w , z )的研究，找到了联络线功率可行域的所有子区域，在得到了所有子区域凸并集后，就能得到精确联络线功率可行域。

2）基于改进多参数规划理论，确定联络线功率可行域。

确定联络线功率可行域的主要步骤如下：

2.1）采用线性规划模型确定互联电网边界初始顶点p ₀，即确定满足公式14的顶点p ₀。

。（14）

式中，A _p是一个与p相关的行矩阵。A _p中至少有一个元素不为零。

表示最小z矩阵；

表示最大z矩阵。

2.2.1）当p=p ₀时，具有耦合变量的经济调度模型的简化K KT条件如下所示：

。（15）

2.2.2）将变量

分解为若干组互补基。每组互补基包括基本变量

和非基本变量

。其中， QUOTE

。K ^c= {1 ,…, 2n}\ K。 QUOTE

。

一组互补基满足下式：

。（16）

利用Lem ke算法求解互补基K，则互补基K如下所示：

（17）

式中，

表示矩阵T中由元素K中所对应标记的列矩阵所构成的矩阵。

表示互补基K的基本变量。

（18）

式中，

表示互补基K的非基本变量。

2.2.3）基于互补基K，确定联络线功率可行子区域R _K，即：

（19）

其中， QUOTE

和 QUOTE

为计算系数。

计算系数 QUOTE

和 QUOTE

分别如下所示：

。（20）

。（21）

2.3.1）计算任意包含初始顶点p ₀的平面的互补基

，若互补基满足公式22，则互补基

。（22）

式中，LEV = {1, 2，…，s}。ADD = {s+1, s+2,…, 2s}。s为在规划参数p移动过程中，x _K由非零变为零的个数。

当p从p _ref( p ₀的不共面顶点)到p _near (非常接近p ₀)变化时，(17)式里的x _K从x _K (p _ref)到x _K ( p _near)变化。在这种情况下，一些x _K可以从非零变为零，这被称为换出变量，为了简单起见，写作LEV = {1 , 2，…，s}。这种变化趋势将会在R _{K ’}中继续。因此K’= K \LEV。考虑到(12)中的互补条件，在 QUOTE

中的s变量可以写作ADD ={s+1 , s+2,…, 2s}，s变量应该添加到K’，这被称为添加变量。

最后， K’=K QUOTE

ADD \ LEV。如果有一个与R _K相邻的包含p ₀的关联子区域R _{K ’}，则检查的面不是边界。

2.3.2）若步骤2.3.1判断失败，即步骤2.3.1判断结果为不存在与子区域R K连通的子区域时，则利用旋转算法判断联络线功率可行子区域R _K的边界面。利用旋转算法判断选中的面是否有相邻的子区域。通过检查的面构造了与R _K相邻的子区域相关的所有互补基。如果没有找到基，则检查的面为边界面。

III）若当前检测的平面被第t次判断为边界面，t = 2 , 3 ,4…，则确定搜索点p _new和搜索子区域R _new的主要步骤如下：

a）沿着边界面上的顶点p _i正向搜索顶点

。顶点

约束条件如下所示：

。（23）

式中，i = 1 , 2 , … , k。

b）沿着边界面上的顶点p _i负向搜索顶点

。顶点

约束条件如公式23所示。

c）记边界面

每个搜索点只在一个子区域中搜索一次。一旦没有新的搜索点，算法就终止。

2.5）基于所有搜索点p _new，联络线功率可行域如下所示：

。（24）

式中，

和

表示刻画联络线功率可行域的平面系数。

3）扩大联络线功率可行域。

扩大联络线功率可行域的主要步骤如下：

3.1）记第i个边界面

为联络线功率可行子区域R _K的第j个边界面

。

和

表示刻画联络线功率可行域R _K的平面系数。

表明了在T, Q元素影响 QUOTE

。此外, 与机组费用相关矩阵H ₁和线性约束的系数矩阵A构成T。当拓扑保持不变时,对矩阵A的影响是支路电纳，对矩阵Q的影响与联络线连接到电网的位置相关。

表明了元素的T,q影响 QUOTE

。值得注意的是q只和

相关。与机组费用相关矩阵H ₂、发电机容量约束、支路传输极限构成了q。

在此，发电机容量约束和支路传输极限是讨论可行域的主要制约因素。

3.2）基于发电机容量约束y和支路传输极限t，则第i个边界面

如下所示：

。（25）

式中，

和

为计算系数。

计算系数

和

分别如下所示：

。（26）

式中，矩阵

。

。（27）

式中，q为由发电机容量约束y和支路传输极限t构成的矩阵。

（28）

当调整发电机容量约束和支路传输极限时，dis会随着

的变化而变化。

调整发电机容量约束y和支路传输极限t的主要步骤如下：

3.4.1）提取矩阵

4.2.1）选取任意边界平面为可行域扩展方向。

通过排序

中与发电机容量约束y和支路传输极限t有联系的元素，可以对一个特定的边界面进行关键的可行域识别。

通过调整发电机容量和支路传输极限来沿着特定的边界面扩展可行域时，其他非特定的边界面也可能会受到影响，为了减小对其它非特定边界面的影响，只调整发电机容量或支路极限传输功率与特定边界面相关的

中影响权重最大的元素。

实施例2：

一种验证互联电网联络线功率可行域的扩大方法的实验，主要包括以下步骤：

1）利用IEEE 118节点测试系统搭建实验环境，分别如下：

Case 1：以5和60节点为边界节点，连接交流联络线。

Case 2：以5和60节点为边界节点，连接交流联络线；以20节点为边界节点，连接直流联络线。

2）确定对比方法，即：

M0：实施例1的互联电网联络线功率可行域的扩大方法。

M1：文献“W. Lin, Z. Yang, J. Yu, G. Yang and L. Wen, “Determination ofTransfer Capacity Region of Tie Lines in Electricity Markets: Theory andAnalysis”, vol. 239, pp. 1441-1458, 2019.”所提的确定方法。

M2：文献“D. Bertsimas and J. N. Tsitsiklis, Introduction to LinearOptimization. Belmont, MA, USA: Athena Scientific, 1997.”所提的方法。

3）对比结果：

3.1）计算时间的对比

M0-M2三种方法均可获取准确的联络线功率可行域，其计算时间如下表所示：

表1不同方法的计算时间对比

场景	M0	M1	M2
					总时间	总时间	总时间
Case 0	10.55s	351.22s	>3600s
				Case 1	47.69s	1433.75s	>3600s

由表1可见，相比于现有方法，所提方法可提升联络线功率可行域刻画速度30倍以上。

3.2）关键因素辨识和扩大策略。

以Case 0情况为例，基于所提M0方法所提方法可知：60节点处联络线的最大传输为513.24MW，其中60节点至61节点的支路传输极限为影响60节点处联络线功率的最大影响因素。我们分别将60节点至61节点的支路传输极限由440MW扩大至470MW、500MW，60节点处联络线的最大传输功率如下表所示。

表2不同60节点至61节点支路传输极限先的60节点处最大传输功率

60节点至61节点支路传输极限	440MW	470MW	500MW
				60节点处最大传输功率	513.24MW	549.89MW	570.93MW

由表2可见，可通过调整本方法所辨识的关键影响因素，实现联络线功率可行域的扩大。

Claims

1.互联电网联络线功率可行域的扩大方法，其特征在于，主要包括以下步骤：

1)建立具有耦合变量的经济调度模型；

2)基于改进多参数规划理论，确定联络线功率可行域；

3)扩大联络线功率可行域；

扩大联络线功率可行域的主要步骤如下：

3.1)记第i个边界面

为联络线功率可行子区域R_K的第j个边界面

ζ_i,#和

表示刻画联络线功率可行域R_K的平面系数；p为规划参数；

3.2)基于发电机容量约束y和支路传输极限t，则第i个边界面

如下所示：

式中，

和

为计算系数；

计算系数

和

分别如下所示：

式中，矩阵Q＝[0 -c^T]^T；

式中，q为包含发电机容量约束y和支路传输极限t在内的矩阵；

3.3)即联络线功率可行子区域R_K内部的点为p_in；点p_in和边界面的距离dis如下所示：

3.4)通过调整发电机容量约束y和支路传输极限t，增加dis的值，从而扩展边界面，使联络线功率可行域沿第i个边界面扩展；

调整发电机容量约束y和支路传输极限t的主要步骤如下：

3.4.1)提取矩阵

中与发电机容量约束y和支路传输极限t相关的元素，并建立数据集F；数据集F中的元素降序排列；元素数值大小与发电机容量约束y、支路传输极限t相关程度成正比；

判断相关性的方法为：判断矩阵

中的元素是否与矩阵q的发电机容量约束y和支路传输极限t发生矩阵运算，如果是，则元素与发电机容量约束y和支路传输极限t相关；

3.4.2)基于数据集F的首位元素，调整发电机容量约束y和支路传输极限t，调整步骤主要如下：

3.4.2.1)选取任意边界平面为可行域扩展方向；

3.4.2.2)选取数据集F的首位元素所对应的发电机容量y或支路传输极限t；

3.4.2.3)调整发电机容量y或支路传输极限t的数值，从而使距离dis增加。

2.根据权利要求1所述的互联电网联络线功率可行域的扩大方法，其特征在于：建立具有耦合变量的经济调度模型的主要步骤如下：

1)建立目标函数

其中，P_G为发电机组输出功率；H₁和H₂为发电机组费用相关矩阵；上标T表示转置；

2)确定目标函数的约束条件；

电力供应和电力需求平衡约束如下所示：

e_GP_G+e_DP_D+e_BP_B＝0； (5)

式中，e_G和e_D表示单位向量；

发电机容量约束如下所示：

式中，(·)和

分别表示下限和上限；

联络线下区域网络和边界节点相连支路的传输功率P_Line如下所示：

P_Line＝S×(M_GP_G+M_DP_D+M_BP_B)； (8)

式中，S为功率转移分布因子矩阵；

区域网络的联络线功率约束如下所示：

式中，P_B为联络线功率；

边界电压角和边界功率注入关系如下所示：

θ_B＝B^-1×(M_GP_G+M_DP_D+M_BP_B)； (10)

式中，M_G、M_B和M_D分别为与P_G、P_B和P_D相关的节点-支路关联矩阵；P_D为用电负荷；θ_B为边界节点电压相角；B为独立正态随机向量；上标-1表示矩阵的逆；

3)基于约束公式(5)至公式(10)，对目标函数的约束条件进行简化，得到简化约束条件，即：

式中，λ、v为对偶乘子；p为规划参数，也即互联电网耦合变量；A、c和b由公式(5)至公式(10)中的矩阵化简得到；

[v]:P_G≥0 (12)

4)基于目标函数和简化约束条件，建立具有耦合变量的经济调度模型；具有耦合变量的经济调度模型的KKT条件如下所示：

5)设定松弛变量σ，并构建等式9，即：

AP_G–σ＝cw+b； (14)

6)对KKT条件进行简化，得到：

w-Mz＝Qp+q,w≥0,z≥0； (15)

式中，w＝[v^T σ^T]^T、

和Q＝[0 -c^T]^T为参数矩阵；

矩阵w和矩阵z满足下式：

w^Tz＝0； (16)

对公式(15)进行化简，得到简化KKT条件，即：

Tx＝Qp+q,x≥0； (17)

式中，T＝[I -M]和x＝[w^T z^T]^T为参数矩阵；I是所有元素都为1的对角矩阵。

3.根据权利要求2所述的互联电网联络线功率可行域的扩大方法，其特征在于：确定联络线功率可行域的主要步骤如下：

1)确定互联电网边界初始顶点p₀，即确定满足公式(18)的顶点p₀；

式中，A_p是一个与p相关的行矩阵；A_p中至少有一个元素不为零；min表示最小值；max表示最大值；

2)确定包含初始顶点p₀的联络线功率可行子区域R_K，主要步骤如下：

2.1)当p＝p₀时，具有耦合变量的经济调度模型的简化KKT条件如下所示：

Tx＝Qp₀+q,x≥0； (19)

2.2)将变量x＝[w^T z^T]^T分解为若干组互补基；每组互补基包括基本变量x_K和非基本变量

其中，

|K|＝n；K^c＝{1,…,2n}\K；|w|＝n；|z|＝n；

一组互补基满足下式：

w^Tz＝0； (20)

利用Lemke算法求解互补基K，则互补基K如下所示：

式中，T_#,K表示矩阵T中由元素K所对应标记的列矩阵所构成的矩阵；x_K(p)表示互补基K的基本变量；

式中，

表示互补基K的非基本变量；

2.3)基于互补基K，确定联络线功率可行子区域R_K，即：

R_K＝{p|αp+β≤0} (23)

其中，α和β为计算系数；

计算系数α和β分别如下所示：

3)提取包含初始顶点p₀的所有平面，并判断当前检测的平面是否为子区域R_K的边界面；主要步骤如下：

3.1)计算任意包含初始顶点p₀的平面的互补基K'，若互补基K'满足公式(26)，则互补基K'对应的面是边界面；边界面为不连通其他子区域和子区域R_K的面；

K'＝K∪ADD\LEV； (26)

式中，LEV＝{1,2，…，s}；ADD＝{s+1,s+2,…,2s}；s为在规划参数p移动过程中，x_K由非零变为零的个数；

3.2)若步骤3.1)判断失败，即步骤3.1)判断结果为不存在与子区域RK连通的子区域时，则利用旋转算法判断联络线功率可行子区域R_K的边界面；

4)确定未检查边界面的搜索点p_new和搜索子区域R_new，主要分为以下三种情况：

I)若当前检测的平面不是子区域R_K的边界面，则搜索点p_new＝p₀，搜索子区域R_new＝R_K’；

II)若当前检测的平面被第一次判断为边界面，则点p_new＝V_b，搜索子区域R_new＝R_K；V_b为当前检测的平面的其他顶点；

III)若当前检测的平面被第t次判断为边界面，t＝2,3,4…，则确定搜索点p_new和搜索子区域R_new的主要步骤如下：

a)沿着边界面上的顶点p_i正向搜索顶点

顶点

约束条件如下所示：

式中，i＝1,2,…,k；

b)沿着边界面上的顶点p_i负向搜索顶点

顶点

约束条件如公式(27)所示；

c)记边界面

通过的点为p_f1和点p_f2；两个顶点的差值diff＝p_f2-p_f1；基于差值diff，将规划参数p分解为p_p、p_n、和p_z；

若p_p为正向的差值点，则搜索点p_new＝p_f1；根据搜索点p_f1，确定搜索子区域R_new；

若p_n为正向的差值点，则搜索点p_new＝p_f2；根据搜索点p_f2，确定搜索子区域R_new；

若p_z为零差值的点，则搜索点p_new＝p_f1或p_f2；根据搜索点p_f1或p_f2，确定搜索子区域R_new；

5)基于所有搜索点p_new，联络线功率可行域如下所示：

式中，ζ和

表示刻画联络线功率可行域的平面系数。