CN110879253A - 一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，本发明解决了针对铁路现场复杂的噪声环境下，通过LSTM循环网络训练噪声模型实现自动滤除复杂噪声问题。本发明的主要步骤为基于相同结构的LSTM网络连续两次分别建立背景噪声的时序模型及裂纹信号时序模型，并对二者预测的误差信号取上包络做差，以去除其中的异常噪声，最终检测出含噪信号中包含的裂纹信号成分。本发明与现有技术相比，具有以下优点：1)该级联的时序模型可用于滤除产生机理未知的异常噪声；2)自动学习噪声模型，不需任何先验知识；3)在高速强噪背景下信号被噪声完全淹没时，本方法仍能有效检测出裂纹声发射信号。

Description

一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测 方法

技术领域

本发明涉及高速铁路钢轨裂纹信号去噪与检测领域的方法，具体涉及一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法。

背景技术

当今世界，高速铁路的发展惠及民生。目前我国大力推进高速铁路网建设，不仅给人们日常出行带来便捷，更推动了国家经济发展。但高铁线路交错复杂、里程数大的现状也给钢轨安全监测任务带来更为严峻的挑战。在高速铁路快速发展的同时，高铁的安全性越来越受到人们的高度重视。在高速铁路系统中，高速列车产生的长期碰撞、挤压等作用更加突出，裂纹出现的概率以及裂纹扩展的速度都会提高。受限于以超声和电磁感应技术为基础的检测方法，现有钢轨伤损检测效率低下，无法满足高速铁路网快速发展的需求。因此可以说，在经历高铁大力建设时期之后，高铁将进入一个长期运营维护时期，为与高速铁路的运行速度相匹配，探索新的钢轨伤损检测方法并提高检测速度已迫在眉睫。

声发射检测技术能检测材料内部和表面塑性形变产生的声发射信号，具有敏感性、动态性等特点，目前已经应用于压力容器泄露、桥梁结构监测，复合材料特性研究，地震岩石裂缝检测等，并取得较好的应用效果，在钢轨裂纹的检测应用上也有较好的前景。但也由于声发射检测技术具有敏感性与被动式特性，声发射采集信号较易受到噪声影响。铁路现场采集得到的信号中通常存在较复杂的噪声成分，背景噪声主要由轮轨间相互机械作用伴随的摩擦、磨损引起，存在较明显的平稳性与时序性；另外也有一些未知因素引起的随机性异常噪声。

长短时记忆循环神经网络(Long Short-Term Memory network，LSTM)是时下应用范围最广，识别效果最好的一种从整体上对时间序列进行建模的循环神经网络，可用于对声学信号的预测与去噪等应用，它的特点在于通过反馈神经结构的链接使得每个单元产生自我环绕回路，同时将普通的神经元改进为三个非线性门单元组合成的记忆单元，这些门单元本质是逻辑单元，可通过控制隐藏层间的时序信息流动保证对连续序列特征的存储记忆功能，从而达到提取信号时序特征及模型的目的。因此本发明提出一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，连续采用两次LSTM网络搭建对复杂噪声的级联去噪结构，第一级LSTM网络通过对噪声建立时序模型消除已知特征的背景噪声，第二级LSTM基于第一级LSTM去噪后的信号通过裂纹的时序特征建立裂纹信号模型，从而得到未知类型的异常噪声，最后对两次去噪结果取上包络并做差得到钢轨裂纹信号的去噪及检测结果。

发明内容

本发明提出了一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法。在铁路现场复杂的噪声环境下，结合所提出的方法，能够实现对环境中复杂噪声建立时序模型并消除背景噪声及异常噪声，检测裂纹声发射信号发生的目的，从而为钢轨裂纹伤损的特征提取与分类提供进一步指导。

本发明通过以下技术方案实现：

一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，共分为七个步骤，包括以下步骤：从原始信号中分割数据集，归一化后加载；第一级四层LSTM前向网络搭建及初始化；利用一段短时间内典型噪声信号z₁(t)调整网络结构参数训练背景噪声时序模型

利用背景噪声模型对原始信号进行预测，得到背景噪声成分

用原始信号减去预测的背景噪声得误差信号e₁(t)；选取误差信号e₁(t)中的峰值部分同样以第二级四层LSTM网络训练裂纹信号模型

误差信号e₁(t)输入裂纹模型，预测得到裂纹信号成分

用e₁(t)减去预测的裂纹信号得到误差信号e₂(t)，代表信号中未知噪声成分；对e₁(t)及e₂(t)取上包络后做差，最终获得波形

中高于设定阈值部分即可认为检测出的声发射事件。

本发明的流程图如图1所示，共分为七个步骤，具体步骤如下：

步骤一：数据集分割并预处理；

采集铁路现场列车行驶时产生的含噪裂纹声发射信号x(t)，设原始信号中包含的总采样点数为N，从原始信号中截取长度为n₁的连续背景噪声数据作为训练集，将训练集数据有重叠地连续分割长度为n_seg的信号样本x₁(t)，分割方式如下式所示：

而为使LSTM网络提取样本中的时序结构特征并对样本作出单步预测，截取样本后的第一个点

会作为对应第i个样本的训练标签，这一处理过程如图2所示。对截取后获得的含噪裂纹信号做得归一化预处理得到可输入网络的训练数据集z₁(t)及训练数据的标签集y₁(t)，

z₁(t)＝x₁(t)/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]，y₁(t)＝x_i+nseg-1/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]；

其中，max(·)代表求向量最大值，abs(·)代表求取向量元素绝对值。i为信号样本在训练集中的序号；采用同样的方法对长度为N的整体原始信号进行分割后归一化得到测试集z_test(t)∈[-1,1]及测试标签集y_test(t)∈[-1,1]。

步骤二：构建基于长短时记忆模型的前向网络P_NN1并初始化；

本发明采用四层LSTM网络构建第一级P_NN1网络，输入层包含n_seg个节点，两个隐含层均包含100个节点，输出层包含1个节点，隐含层采用LSTM单元搭建。本发明采用的LSTM单元及网络的结构示意图如图3所示。LSTM单元通过反馈神经结构的链接使得每个单元产生自我环绕回路，同时将普通的神经元改进为三个非线性门限单元组合成的记忆单元，这些门单元都是逻辑单元，负责在神经网络与记忆单元连接的其他部分的边缘处设定权值，控制隐藏层间的时序信息流动，来保证信息以门的形式留存对网络参数影响时间更久，使每个单元拥有对连续序列特征的存储记忆功能，从而达到提取信号时序模型的目的。在前向传播中，LSTM单元的内部结构公式如下：

输入门限：i_t＝σ(W_xix_t+W_hih_t-1+b_i)，

遗忘门限：f_t＝σ(W_xfx_t+W_hfh_t-1+b_f)，

输出门限：o_t＝σ(W_xox_t+W_hoh_t-1+b_o)。

其中，σ(·)为sigmoid激活函数，

输入节点与当前时刻t的输入层直接相连，t-1为前一采样时刻。输入门决定何时让激活状态进入存储单元。x_t为当前时刻的输入信号，h_t-1为上一时刻的隐藏层状态，W_xi,W_xo,W_xf,b_i,b_o,b_f,i_t,o_t,f_t，对应为输入、输出门和遗忘门的系数矩阵、偏置与输出。最终输入节点及存储单元的信息如下：

存储单元信息：

当前时刻隐藏层信息：

其中，c_t,c_t-1分别为LSTM单元内当前时刻与上一时刻的存储单元数值。tanh(·)为双曲正切函数：

设定网络的迭代次数为l_max次并将初始权值及偏置设为0。步骤三：将n₁-n_seg+1个长度为n_seg的训练样本z₁(t)输入到前向LSTM网络P_NN1中，得到对训练样本的单步预测值构成的信号向量

即

设置迭代优化的目标函数为预测信号与标签间的均方误差

根据输出层计算出的均方误差更新隐藏层的权值及偏置，如W_xi，b_i等，重复训练网络P_NN1直至达到最大迭代次数，得到对背景噪声的最佳单步预测模型

步骤四：将测试样本，即整体信号z_test(t)输入背景噪声预测模型

对原始信号进行预测，得到预测的背景噪声成分输出

用测试集信号的标签y_test(t)减去预测背景噪声

得误差信号e₁(t)，即

根据分析，误差信号e₁(t)此时应包括一部分异常噪声及全部裂纹信号两种成分。

步骤五：从误差信号e₁(t)中选取长度为n₂的裂纹信号(峰值部分)，构成新训练数据集z₂(t)，数据集的分割、构建与给定标签的方法与z₁(t)相同；训练与P_NN1具有相同结构的LSTM网络模型P_NN2用于对裂纹信号预测。训练过程重复第二、三、四步过程，得到对训练样本中裂纹成分的单步预测值构成的信号向量

即

经过对训练样本次数为l_max次的迭代后得到对裂纹成分的最优预测时序模型

步骤六：将全部误差信号e₁(t)输入裂纹模型

预测得到全部裂纹信号成分的粗略估计

用误差信号e₁(t)减去裂纹预测信号

得到误差信号e₂(t)，代表信号中包含的未知噪声成分：

步骤七：对e₁(t)及e₂(t)分别求上包络e_envelope1(t)与e_envelope2(t)，并将二者的上包络做差，用于消除其中的异常噪声成分，得到最终检测到的裂纹事件：

求包络的方法如下：先对误差信号e₁(t)整体平均分割成k_seg段，求取分割后每段信号的局部极大值e_max1(k)，对局部极大值线性插值后即可得到所求信号的上包络e_envelope1(t)：

e_max1(k)＝max{e₁(1+k×n_seg),…,e₁(n_seg+k×n_seg)}，k＝0,…,k_seg-1，

e_envelope1(t)＝e_max1(k-1)+(e_max1(k)-e_max1(k-1))×(t-k+1)，

t＝1+n_seg×(k-1),…,n_seg×k，k＝1,…,k_seg，n_seg×k_seg＝N，同理可求得e₂(t)的上包络e_envelope2(t)。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

本发明中无需任何先验知识，该级联滤波结构训练后可用于噪声环境较为复杂的实际铁路现场应用，只需要保证训练过程给定时间连续且充足的噪声信号；本发明可用于消除产生机理未知的随机性异常噪声；本发明所提出的去噪方法，在钢轨裂纹信号被完全淹没在噪声信号的情况下，依然能够达到抑制噪声，检测裂纹信号的目的。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明中数据集样本的分割及加标签方法示意图；

图3为本发明中LSTM单元及LSTM网络的结构示意图；

图4为本发明中检测所采用的周期性裂纹信号；

图5为本发明中裂纹信号被轮轨噪声淹没后的信号；

图6为本发明中第一级采用LSTM网络预测后做差得到的误差信号e₁(t)；

图7为本发明中第二级采用LSTM网络改进后的裂纹信号提取结果

图8为本发明中取上包络抑制未知噪声后的裂纹信号最终检测结果

具体实施方式

下面结合实施例和附图说明本发明的具体实施方式，所述一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，具体实施过程如下：

执行步骤一：数据集分割并预处理；

本实施例采用的裂纹信号为还原得的周期性裂纹信号，每隔1秒出现一次，如图4所示。采集铁路现场列车以55km/h的速度行驶时产生的含噪裂纹声发射信号x(t)，声发射信号的采样率为5MHz，原始信号中包含的总采样点数为N＝21295100，对应时间长度为4.259秒，如图5所示。从原始信号中截取长度为n₁＝24448的连续背景噪声数据作为训练集，将训练集数据有重叠地连续分割长度为n_seg＝25的信号样本x₁(t)，分割方式如下式所示：

而为使LSTM网络提取样本中的时序结构特征并对样本作出单步预测，截取样本后的第一个点

会作为对应第i个样本的训练标签。对截取后获得的含噪裂纹信号做得归一化预处理得到可输入网络的训练数据集z₁(t)及训练数据的标签集y₁(t)，

z₁(t)＝x₁(t)/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]，y₁(t)＝x_i+nseg-1/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]；

其中，max(·)代表求向量最大值，abs(·)代表求取向量元素绝对值。i为信号样本在训练集中的序号；采用同样的方法对长度为N的整体原始信号进行分割后归一化得到测试集z_test(t)∈[-1,1]及测试标签集y_test(t)∈[-1,1]。

执行步骤二：构建基于长短时记忆模型的前向网络P_NN1并初始化；

本发明采用四层LSTM网络构建P_NN1网络，输入层包含25个节点，两个隐含层均包含100个节点，输出层包含1个节点，用以对时间序列做出单步预测，隐含层采用LSTM单元搭建。LSTM单元通过反馈神经结构的链接使得每个单元产生自我环绕回路，同时将普通的神经元改进为三个非线性门限单元组合成的记忆单元，这些门单元都是逻辑单元，负责在神经网络与记忆单元连接的其他部分的边缘处设定权值，控制隐藏层间的时序信息流动，来保证信息以门的形式留存对网络参数影响时间更久，使每个单元拥有对连续序列特征的存储记忆功能，从而达到提取信号时序模型的目的。在前向传播中，LSTM单元的内部结构公式如下：

输入门限：i_t＝σ(W_xix_t+W_hih_t-1+b_i)，

遗忘门限：f_t＝σ(W_xfx_t+W_hfh_t-1+b_f)，

输出门限：o_t＝σ(W_xox_t+W_hoh_t-1+b_o)。

其中，σ(·)为sigmoid激活函数，

输入节点与当前时刻t的输入层直接相连，t-1为前一采样时刻。输入门决定何时让激活状态进入存储单元。x_t为当前时刻的输入信号，h_t-1为上一时刻的隐藏层状态，W_xi,W_xo,W_xf,b_i,b_o,b_f,i_t,o_t,f_t，对应为输入、输出门和遗忘门的系数矩阵、偏置与输出。最终输入节点及存储单元的信息如下：

存储单元信息：

当前时刻隐藏层信息：

其中，c_t,c_t-1分别为LSTM单元内当前时刻与上一时刻的存储单元数值。tanh(·)为双曲正切函数：

设定网络的迭代次数为l_max次并将初始权值及偏置设为0。执行步骤三：将24424个长度为25的训练样本z₁(t)输入到前向LSTM网络P_NN1中，得到对训练样本的单步预测值构成的信号向量

即

设置迭代优化的目标函数为预测信号与标签间的均方误差

根据输出层计算出的均方误差更新隐藏层的权值及偏置，如W_xi，b_i等，重复训练网络P_NN1直至达到最大迭代次数，得到对背景噪声的最佳预测模型

执行步骤四：将测试样本，即从长度为N＝21295100的整体信号中分割得到的测试集z_test(t)输入背景噪声预测模型

对原始信号进行预测，得到预测的背景噪声成分输出

用测试集信号的标签y_test(t)减去预测背景噪声

得误差信号e₁(t)，即

根据分析，误差信号e₁(t)此时应包括一部分异常噪声及全部裂纹信号两种成分，本实施例中的e₁(t)如图6所示。

执行步骤五：从误差信号e₁(t)中选取长度为n₂＝3609的裂纹信号(峰值部分)，构成新训练数据集z₂(t)，数据集的分割、构建与给定标签的方法与z₁(t)相同；训练与P_NN1具有相同结构的第二级LSTM网络模型P_NN2用于对裂纹信号预测。训练过程重复第二、三步过程，得到对训练样本中裂纹成分的单步预测值构成的信号向量

即

经过对训练样本次数为l_max次的迭代后得到对裂纹成分的最优预测时序模型

执行步骤六：将全部误差信号e₁(t)输入裂纹模型

预测得到全部裂纹信号成分的粗略估计

如图7所示，从图中可看出，此时仍存在较为严重的异常噪声干扰，会对裂纹的检测过程造成误检。用误差信号e₁(t)减去裂纹预测信号

得到误差信号e₂(t)，代表信号中包含的未知噪声成分：

执行步骤七：对e₁(t)及e₂(t)分别求上包络e_envelope1(t)与e_envelope2(t)，并将二者的上包络做差，用于消除其中的异常噪声成分，得到最终检测到的裂纹事件：

求包络的方法如下：先对误差信号e₁(t)整体平均分割成k_seg段，每段大小为n_seg＝25，N不能被n_seg整除的，最后一组大小可取N除以n_seg的余数。求取分割后每段信号的局部极大值e_max1(k)，对局部极大值线性插值后即可得到所求信号的上包络e_envelope1(t)：

e_max1(k)＝max{e₁(1+k×25),…,e₁(25+k×25)}，k＝0,…,851804，

e_envelope1(t)＝e_max1(k-1)+(e_max1(k)-e_max1(k-1))×(t-k+1)，

t＝1+25×(k-1),…,25×k，k＝1,…,851804，25×851804＝21295100同理可求得e₂(t)的上包络e_envelope2(t)，最终求取的上包络及裂纹检测结果如图8所示，将图8与图4及图7比较可知，最终检测结果实现了对裂纹信号的准确检测，传感器接收过程中的轮轨背景噪声及异常噪声都得到了有效的抑制。

Claims (8)

1.一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于它包括如下步骤：

步骤一：将原始信号x(t)分割并归一化得到训练数据集z₁(t)及测试集z_test(t)，对应标签为y₁(t)与y_test(t)；

步骤二：四层单步预测LSTM前向网络P_NN1搭建及结构参数初始化；

步骤三：将一段短时间内典型背景噪声信号分割得到的数据集z₁(t)输入LSTM网络训练后获得对背景噪声的最佳单步预测模型

步骤四：将测试样本z_test(t)输入背景噪声预测模型

对原始信号进行预测，得到预测的背景噪声成分输出

用测试集信号的标签y_test(t)减去预测背景噪声

得误差信号e₁(t)；

步骤五：从误差信号e₁(t)中选取长度为n₂的裂纹信号(峰值部分)，构成新训练数据集z₂(t)，训练与P_NN1具有相同结构的LSTM网络模型P_NN2用于对裂纹信号预测；

步骤六：将全部误差信号e₁(t)输入裂纹模型

预测得到裂纹信号的估计

用误差信号e₁(t)减去裂纹预测信号

得到误差信号e₂(t)；

步骤七：通过求局部极大值及线性插值求上包络，对e₁(t)及e₂(t)分别求上包络e_envelope1(t)与e_envelope2(t)，并将二者的上包络做差，用于消除其中的异常噪声成分，得到最终检测到的裂纹事件

2.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤一为：数据集分割并预处理，具体方法如下：

采集铁路现场列车行驶时产生的含噪裂纹声发射信号x(t)，设原始信号中包含的总采样点数为N，从原始信号中截取长度为n₁的连续背景噪声数据作为训练集，将训练集数据有重叠地连续分割长度为n_seg的信号样本x₁(t)，分割方式如下式所示：

而为使LSTM网络提取样本中的时序结构特征并对样本作出单步预测，截取样本后的第一个点

会作为对应第i个样本的训练标签，对截取后获得的含噪裂纹信号做得归一化预处理得到可输入网络的训练数据集z₁(t)及训练数据的标签集y₁(t)，

z₁(t)＝x₁(t)/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]，y₁(t)＝x_i+nseg-1/max(abs(x₁(t)))∈[-1,1]；

其中，max(·)代表求向量最大值，abs(·)代表求取向量元素绝对值，i为信号样本在训练集中的序号；采用同样的方法对长度为N的整体原始信号进行分割后归一化得到测试集z_test(t)∈[-1,1]及测试标签集y_test(t)∈[-1,1]。

3.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤二为：

构建基于长短时记忆模型的前向网络P_NN1并初始化；

本发明采用四层LSTM网络构建P_NN1网络，输入层包含n_seg个节点，两个隐含层均包含100个节点，输出层包含1个节点，隐含层采用LSTM单元搭建；LSTM单元通过反馈神经结构的链接使得每个单元产生自我环绕回路，同时将普通的神经元改进为三个非线性门限单元组合成的记忆单元，这些门单元都是逻辑单元，负责在神经网络与记忆单元连接的其他部分的边缘处设定权值，控制隐藏层间的时序信息流动，来保证信息以门的形式留存对网络参数影响时间更久，使每个单元拥有对连续序列特征的存储记忆功能，从而达到提取信号时序模型的目的。在前向传播中，LSTM单元的内部结构公式如下：

输入门限：i_t＝σ(W_xix_t+W_hih_t-1+b_i)，

遗忘门限：f_t＝σ(W_xfx_t+W_hfh_t-1+b_f)，

输出门限：o_t＝σ(W_xox_t+W_hoh_t-1+b_o)，

其中，σ(·)为sigmoid激活函数，

输入节点与当前时刻t的输入层直接相连，t-1为前一采样时刻。输入门决定何时让激活状态进入存储单元，x_t为当前时刻的输入信号，h_t-1为上一时刻的隐藏层状态，W_xi,W_xo,W_xf,b_i,b_o,b_f,i_t,o_t,f_t，对应为输入、输出门和遗忘门的系数矩阵、偏置与输出，最终输入节点及存储单元的信息如下：

存储单元信息：c_t＝f_t⊙c_t-1+i_t⊙tanh(W_xcx_t+W_hch_t-1+b_c)，

当前时刻隐藏层信息：h_t＝o_t⊙tanh(c_t)，

其中，c_t,c_t-1分别为LSTM单元内当前时刻与上一时刻的存储单元数值，tanh(·)为双曲正切函数：

设定网络的迭代次数为l_max次并将初始权值及偏置设为0。

4.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤三为：

将n₁-n_seg+1个长度为n_seg的训练样本z₁(t)输入到前向LSTM网络P_NN1中，得到对训练样本的单步预测值构成的信号向量

即

设置迭代优化的目标函数为预测信号与标签间的均方误差

根据输出层计算出的均方误差更新隐藏层的权值及偏置，如W_xi，b_i等，重复训练网络P_NN1直至达到最大迭代次数，得到对背景噪声的最佳单步预测模型

5.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤四为：

将用整体信号分割得到的测试样本z_test(t)输入背景噪声预测模型

对原始信号进行预测，得到预测的背景噪声成分输出

用测试集信号的标签y_test(t)减去预测背景噪声

得误差信号e₁(t)，即

根据分析，误差信号e₁(t)此时应包括一部分异常噪声及全部裂纹信号两种成分。

6.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤五为：

从误差信号e₁(t)中选取长度为n₂的裂纹信号(峰值部分)，构成新训练数据集z₂(t)，数据集的分割、构建与给定标签的方法与z₁(t)相同；训练与P_NN1具有相同结构的LSTM网络模型P_NN2用于对裂纹信号预测，训练过程重复第二、三步过程，得到对训练样本中裂纹成分的单步预测值构成的信号向量

即

经过对训练样本次数为l_max次的迭代后得到对裂纹成分的最优预测时序模型

7.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤六为：

将全部误差信号e₁(t)输入裂纹模型

预测得到全部裂纹信号成分的粗略估计

用误差信号e₁(t)减去裂纹预测信号

得到误差信号e₂(t)，代表信号中包含的未知噪声成分：

8.根据权利要求1所述的一种基于改进长短时记忆网络的钢轨裂纹声发射信号检测方法，其特征在于所述的步骤七为：

对e₁(t)及e₂(t)分别求上包络e_envelope1(t)与e_envelope2(t)，并将二者的上包络做差，用于消除其中的异常噪声成分，得到最终检测到的裂纹事件：

求包络的方法如下：先对误差信号e₁(t)整体平均分割成k_seg段，求取分割后每段信号的局部极大值e_max1(k)，对局部极大值线性插值后即可得到所求信号的上包络e_envelope1(t)：

e_max1(k)＝max{e₁(1+k×n_seg),…,e₁(n_seg+k×n_seg)}，k＝0,…,k_seg-1，

e_envelope1(t)＝e_max1(k-1)+(e_max1(k)-e_max1(k-1))×(t-k+1)，

t＝1+n_seg×(k-1),…,n_seg×k，k＝1,…,k_seg，n_seg×k_seg＝N，同理可求得e₂(t)的上包络e_envelope2(t)。

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