CN110866354A - 考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法属于介入性医疗器械领域，涉及了一种考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法。该方法在考虑尺度效应对支架力学行为影响的基础上，通过定义优化问题，采用优化拉丁超立方法获取初始样本点，结合有限元法，利用Kriging代理模型建立目标函数与设计变量间的近似函数关系。基于近似函数和改善期望加点准则，联合遗传算法与序列二次规划算法进行并行运算得到支架结构的改进设计。当目标函数最优解满足收敛条件时，输出支架最终的优化设计结果。本发明弥补了现有技术忽略尺度效应的不足，并将新型本构关系引入到有限元计算中，采用优化算法提高了计算精度和计算效率，适用性强。

Description

考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法

技术领域

本发明属于介入性医疗器械技术领域，具体涉及一种考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法。

背景技术

目前，心脑血管疾病是致人死亡的头号杀手，血管狭窄引起的血流阻塞是触发疾病的主要原因。聚合物血管支架作为一种植入人体的介入性医疗器械，能够有效的避免血管狭窄、降低发病率，为确保其在长期服役过程中的安全性和可靠性，结构设计需要同时满足径向支撑刚度、径向弹性回复，轴向缩短及表面覆盖率等多个性能指标。同时，随着聚合物微细制造技术的不断发展，越来越多的研究表明，聚合物材料在微尺度下存在尺度效应。不同于传统的连续介质力学，当材料在微尺度下发生非均匀变形时，其表观弹性模量或硬度会大幅增加。聚合物血管支架服役过程中因材料降解内部形成微孔结构，该结构发生弯曲和扭转变形时便存在这一效应。在考虑尺度效应的前提下，如何建立有效方法，实现聚合物血管支架结构的多目标优化设计，成为当前亟待解决的问题。

陈端端等人的发明专利申请号为201711292177.3，公开了“一种虚拟支架在血管内扩张的模拟方法、装置及电子设备”，该发明实现了对支架在血管内扩张情况的实时监测，但该发明只显示了支架的三维扩张过程，没有考虑尺度效应对支架力学性能的影响，也没有制定相应的结构优化设计方法。樊瑜波等人的发明专利申请号为201910181781.1，公开了“一种具有径向支撑力变化的人工介入型主动脉瓣膜支架”，该发明通过调整支架区域内的网格结构、支架筋结构和支架材料，改善支架的径向支撑力，但该发明制定的改善方案缺乏必要的力学分析，改善效果有待验证。

李红霞等人的发明专利申请号为201910178807.7公开了“一种药物洗脱支架药物缓释模拟及优化方法”，该方法通过有限元仿真及代理模型优化方法进行药物洗脱支架的参数优化，能够缩短药物洗脱支架的研发周期，但该方法没有考虑尺度效应和支架结构对支架力学性能的影响，在支架结构优化设计方面缺乏适用性。

发明内容

本发明针对现有技术的缺陷，没有考虑尺度效应对可降解血管支架力学性能的影响，针对血管支架的结构设计多以经验调整为主，面对复杂的植入环境现有技术设计出的血管支架缺乏普遍适用性，发明了一种考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法。考虑尺度效应和支架结构对支架力学性能的影响，用优化算法提高了计算精度和计算效率，适用性强。

本发明采用的技术方案是一种考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法，该方法在考虑尺度效应对支架力学行为影响的基础上，通过定义优化问题，采用优化拉丁超立方法获取初始样本点，结合有限元法，利用Kriging代理模型建立目标函数与设计变量间的近似函数关系。基于近似函数和改善期望加点准则，联合遗传算法与序列二次规划算法进行并行运算得到支架结构的改进设计。当目标函数最优解满足收敛条件时，输出支架最终的优化设计结果。方法的具体步骤如下：

步骤一、基于Cosserat连续介质理论，引入了偶应力m和曲率应变χ，建立考虑尺度效应的聚合物材料本构关系：

其中，柯西应力σ、偶应力m、柯西应变ε和曲率应变χ均为向量形式：

σ＝[σ_xx σ_yy σ_zz τ_xy τ_yx τ_yz τ_zy τ_zx τ_xz]^T (2)

m＝[m_xx m_yy m_zz m_xy m_yx m_yz m_zy m_zx m_xz]^T (3)

ε＝[ε_xx ε_yy ε_zz ε_xy ε_yx ε_yz ε_zy ε_zx ε_xz]^T (4)

χ＝[χ_xx χ_yy χ_zz χ_xy χ_yx χ_yz χ_zy χ_zx χ_xz]^T (5)

广义弹性刚度矩阵D为：

其中，D^uu和D^ωω分别与聚合物血管支架材料内任意材料点的位移和转动有关，刚度矩阵D₁、D₂、D₃定义为：

其中，Λ＝Eν/(1+ν)(1-2ν)和μ为拉梅常数，E为弹性模量，ν为泊松比，μ_c为第二剪切模量，l_t是与材料扭转相关的特征长度，l_b是与材料弯曲相关的特征长度；

广义应力σ^g和广义应变ε^g的等效形式为：

通过构建带有微空洞的聚合物材料体胞模型，获取聚合物材料的等效本构关系函数如下

其中，u_i和F_i为体胞上边界的位移和力，S为体胞上边界面积，h_e为体胞i方向的长度，V_e为体胞体积。

步骤二、定义聚合物可降解血管支架的结构优化设计问题，包括设计变量、设计目标和约束条件；

保证支架在支撑期具有足够支撑力、血管重塑期具有足够的支撑力保持率的条件下，最小化扩张期的径向弹性回缩、轴向缩短及表面覆盖率。

以菱形孔的长度a和宽度b为设计变量，对聚合物血管支架进行优化设计；结构优化设计问题的数学表达式为：

其中，ER,AS,SC分别是血管支架的径向弹性回缩率、轴向缩短率和表面覆盖率，u是聚合物血管支架结构设计变量,

和u分别是设计变量的上、下限，I是设计变量个数，

是给定的支撑期所需的最小径向支撑力，μ⁰是给定的血管重塑期所需的最小支撑力保持率。

步骤三、采用优化拉丁超立方法在设计空间内抽取16个设计变量初始样本点；

1)将设计变量的每一维区间分成等概率的16个区间；

2)在每一维的每个区间内随机抽取一个点；

3)再对每一维，从2)中抽取的点中随机抽取一个点，并将它们组成向量；

步骤四、采用三维有限元模型分析步骤三抽取的样本点，有限元模型包括血管、血栓斑块、聚合物血管支架和球囊四个部分，由于整个模型具有对称性，为提高计算速度，选取整个模型的1/12，即周向1/6、轴向1/2进行模拟计算；利用ANSYS17.0对模型进行网格划分，血管、血栓斑块和聚合物血管支架采用8节点Solid 185实体单元，球囊则采用4节点Shell 181壳单元；

对有限元模型施加载荷和边界条件为：

1)在聚合物血管支架、血管和血栓斑块的对称面上施加对称约束，同时约束球囊的周向转动和轴向移动；

2)载荷通过在球囊内部施加一个随时间变化的内压添加，内压变化曲线分为线性加载、恒定加载和线性卸载三部分，血管支架随球囊内压的变化而变化。

步骤五、求解各初始样本点的目标函数响应值，选取对应最小响应值的一组样本作为优化起始点；

基于样本信息，利用Kriging代理模型获取目标函数与设计变量之间的近似函数关系，代理模型包含了回归部分和非参数部分

其中β为回归系数，f(x)是回归多项式通过训练样本来确定，在设计空间中对全局进行近似模拟，z(x)为随机分布误差，提供对局部偏差的近似模拟，其统计特性如下：

E[z(x)]＝0 (14)

其中，x_i和x_j是任意两个样本点，R(θ,x_i,x_j)为相关函数，θ是用以表征各个样本点空间相关性的参数，相关函数R采用连续可微的高斯函数表达

式中，n_v是已知设计变量数目，

和

分别是已知样本点x_i和x_j的第k个分量；

根据已知样本点集合

及响应集合

对任意新增样本点x_new，其响应值可由已知样本点的响应集合Y的线性组合来进行预测:

估计误差为：

其中，F＝[f₁,f₂,…f_n]^T,Z＝[z₁,z₂,…z_n]^T。同时，由于需要满足无偏性要求，因此预测误差的平均值必须等于零，即

则有：

F^Tc-f＝0 (21)

估计方差为：

经整理得到：

其中，

该式表征了新样本点x_new与其他已知样本点在空间上的相关性。然后通过最小化估计值的估计方差得到系数c，其优化模型为：

利用拉格朗日乘子法，求解：

c＝R^-1[r-F(F^TR^-1F)^-1(F^TR^-1r-f)] (26)

进而得到估计值的估计方差为：

得到新样本点x_new的估计值：

利用回归问题

的广义最小二乘估计可得：

β^*＝(F^TR^-1F)^-1F^TR^-1Y (29)

考虑该回归问题的余量表达式Rγ^*＝Y-Fβ^*可以得到：

矩阵F、R和向量Y通过已知样本点集S得到，对于新样本点x_new，如果能够得到f(x_new)和r(x_new)，即可求出新样本点x_new的估计响应值，此时只需求解未知参数

和R中的参数θ，由于服从正态分布，y(x)的似然函数为：

对上式取对数，并去掉常数项得到：

取关于

的驻值，可得：

进而得到：

通过求解对数似然函数的最大值就可得到θ的最大似然估计值，即

最终获得目标函数与设计变量之间的近似函数关系。

步骤六、求解与目标函数F(x)相应的改善期望EI

E[I(x)]＝σ(x)[uΦ(u)+φ(u)] (36)

其中，

和σ²(x)是空间内任意设计点x对应的均值和均方差，Y_min是当前最优值，Φ是正则化概率分布函数，φ是概率密度函数；

基于近似函数和改善期望EI，利用遗传算法和序列二次规划算法进行联合运算得到支架的改进设计结果，

1)基于EI值，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k1 ^*和x_k2 ^*；

2)基于近似函数，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k3 ^*和x_k4 ^*。

步骤七、利用Kriging代理模型分别求解x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*的预测值

和

通过有限元法分别计算x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*的目标函数值F(x_k1 ^*)、F(x_k2 ^*)、F(x_k3 ^*)和F(x_k4 ^*)，并选择其中较好的一个作为当前最优解F(x_k ^*)。

步骤八、检验收敛条件如下：

1)

2)

3)|F(x_k ^*)-F(x_k-1 ^*)|≤ε₂ (40)

其中，Δ_r、ε₁和ε₂是给定的收敛精度，Y_max和Y_min是样本点中最大和最小的响应值，k为优化程序迭代步数。

1)当目标函数最优解F(x_k ^*)不满足收敛条件时，添加改进设计点x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*到样本中继续迭代求解，直至满足收敛条件；

2)当目标函数最优解F(x_k ^*)满足收敛条件时，输出聚合物血管支架结构的优化设计结果x_k ^*。

本发明的有益效果是设计方法建立了考虑聚合物材料尺度效应的新型本构关系，并将新型本构关系引入到有限元计算中，形成检测血管支架力学性能的一种新的计算方法。针对球囊扩张式血管支架这种高度非线性和多维大尺度设计空间的优化设计，利用Kriging代理模型构建目标函数与设计变量之间的近似函数关系，计算效率显著提高。将遗传算法和序列二次规划算法联合，充分发挥两者局部优化效率高及全局优化能力强的优势，使优化过程高效逼近全局最优解。本发明弥补了现有技术忽略尺度效应的不足，采用优化算法提高了计算精度和计算效率，适用性强。

附图说明

图1为考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法流程图。

图2为聚合物血管支架降解率和支撑性能变化过程。

图3为聚合物血管支架的几何结构。其中，a-聚合物血管支架棱形长度，b-聚合物血管支架棱形宽度，w-聚合物血管支架筋宽，d-聚合物血管支架厚度。

图4为聚合物血管支架服役过程的有限元模型。

图5为球囊内压随时间变化曲线。

图6为优化支架和原始支架的径向位移分布云图。

具体实施方式

以下结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施过程。

图1为考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法流程图。设计方法的具体步骤如下：

步骤一、基于Cosserat连续介质理论，引入了偶应力m和曲率应变χ，通过公式(1)建立考虑尺度效应的聚合物材料本构关系，其中柯西应力σ、偶应力m、柯西应变ε、曲率应变χ均为向量形式，分别由公式(2)-(5)表示，广义弹性刚度矩阵D如公式(6)所示，具体由公式(7)-(9)所示的刚度矩阵D₁、D₂、D₃表示，进而获得广义应力σ^g和广义应变ε^g的等效形式：

再通过一种广义的弹性刚度矩阵D和刚度矩阵D₁、D₂、D₃公式(9)-(12)，建立考虑尺度效应的聚合物材料弹性本构关系公式(11)。

步骤二、定义聚合物可降解血管支架的结构优化设计问题，包括设计变量、设计目标和约束条件。

以菱形孔的长度a和宽度b为设计变量，对图3所示的聚合物血管支架进行优化设计。具体可描述为：保证支架在支撑期具有足够支撑力、血管重塑期具有足够的支撑力保持率的条件下，最小化扩张期的径向弹性回缩、轴向缩短及表面覆盖率。

结构优化设计问题的数学表达式为：

步骤三、采用优化拉丁超立方法在设计空间内抽取16个设计变量初始样本点，具体为：

1)将设计变量的每一维区间分成等概率的16个区间；

2)在每一维的每个区间内随机抽取一个点；

3)再对每一维，从2)中抽取的点中随机抽取一个点，将它们组成向量。

步骤四、采用图4所示的三维有限元模型分析步骤三抽取的样本点，有限元模型包括血管、血栓斑块、聚合物血管支架和球囊四个部分，由于整个模型具有对称性，为提高计算速度，选取整个模型的1/12，即周向1/6、轴向1/2进行模拟计算。

模型的结构参数为：血管长度为8.4mm，厚度为0.1mm；血栓斑块长度为7mm，近端厚度为0.3mm；聚合物血管支架长度为6.875mm，厚度d为0.15mm，筋宽w为0.15mm；球囊长度为7.6mm，厚度为0.05mm。

利用ANSYS17.0对模型进行网格划分，血管、血栓斑块和聚合物血管支架采用8节点Solid 185实体单元，球囊则采用4节点Shell 181壳单元。

模型的材料属性如表1所示。

表1模型的材料属性

图2为聚合物血管支架降解率和支撑性能变化过程。

步骤五 为模拟聚合物血管支架的服役过程，对有限元模型施加载荷和边界条件：

1)在聚合物血管支架、血管和血栓斑块的对称面上施加对称约束，同时约束球囊的周向转动和轴向移动；

2)载荷通过在球囊内部施加图5所示的内压添加，内压变化曲线分为线性加载、恒定加载P＝0.9148MPa、线性卸载三部分。

利用ANSYS17.0求解各初始样本点的目标函数响应值，具体结果如表2所示。

表2初始样本点的有限元计算结果

步骤六、选取对应最小响应值的一组样本作为优化起始点。基于样本信息，利用Kriging代理模型获取公式(13)所示的目标函数与设计变量之间的近似函数关系，详细推导过程见公式(14)-(35)。

步骤七、利用公式(36)和(37)求解与目标函数F(x)相应的改善期望EI值，基于近似函数和改善期望EI，利用遗传算法和序列二次规划算法进行联合运算得到支架的改进设计结果，具体有：

1)基于EI值，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k1 ^*和x_k2 ^*；

2)基于近似函数，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k3 ^*、x_k4 ^*。

步骤八、利用Kriging代理模型分别求解x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*的预测值

和

通过有限元法分别计算x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*的目标函数值F(x_k1 ^*)、F(x_k2 ^*)、F(x_k3 ^*)和F(x_k4 ^*)，并选择其中较好的一个作为当前最优解F(x_k ^*)。

检验公式(38)-(40)所示的收敛条件：

1)当目标函数最优解F(x_k ^*)不满足收敛条件时，添加改进设计点x_k1 ^*、x_k2 ^*、x_k3 ^*和x_k4 ^*到样本中继续迭代求解，直至满足收敛条件；

2)当目标函数最优解F(x_k ^*)满足收敛条件时，输出聚合物血管支架结构的优化设计结果x_k ^*。

最终，经过21步迭代后得到最优设计结果，如表3所示。

表3优化支架与原始支架和参考支架的性能对比

其中，参照支架在原始支架的基础上，仅将筋宽w和厚度d减小了0.02mm，其它参数不变。

与原始支架相比，优化支架与原始支架的径向弹性回缩率相差无几，这说明即使优化支架的筋宽w减小了13.33％，厚度d减小了11.76％，但其具有与原始支架相近的径向支撑能力。优化支架的筋宽w和厚度d较小，其表面覆盖率比原始支架小16.05％，从而减小了新生内膜增生几率，降低了支架内再狭窄的风险，同时，这也使得优化支架的柔顺性优于原始设计支架，更利于支架在血管中的输送。对于支架的轴向缩短率来说，这三个支架的轴向缩短率都在20％以下，满足优化问题定义的约束条件。

总的来说，优化支架在明显减小筋宽w和厚度d的前提下，具有与原始设计支架相近的径向支撑能力，降低了支架表面覆盖率，提高了支架的柔顺性，从而改善了支架的综合服役性能。

此外，与单纯减小支架筋宽w和厚度d的参照支架相比，尽管优化支架与其有相同的宽度和厚度，但是优化支架的径向弹性回缩率比参照支架的小22.48％，这表明优化支架具有更好的径向支撑能力；且优化支架的表面覆盖率也比参照支架的略小一些，这说明优化支架的远期支架内再狭窄风险的可能性更小。

图6描述的是球囊卸载后，优化支架与参照支架的径向位移分布云图。从图中可以看出，球囊卸载后，优化支架的径向位移整体上要大于参照支架的径向位移。这是因为当移除球囊后，支架会在血管和支架本身弹性变形的作用下产生径向回缩，而优化支架的径向弹性回缩比参照支架的小，因此在最后时刻优化支架上的径向位移要大于参照支架的，这也证明了优化支架具有更好的扩张性能和支撑能力。

Claims (1)

1.一种考虑尺度效应的聚合物血管支架结构优化设计方法，该方法在考虑尺度效应对支架力学行为影响的基础上，通过定义优化问题，采用优化拉丁超立方法获取初始样本点，结合有限元法，利用Kriging代理模型建立目标函数与设计变量间的近似函数关系；基于近似函数和改善期望加点准则，联合遗传算法与序列二次规划算法进行并行运算得到支架结构的改进设计；当目标函数最优解满足收敛条件时，输出支架最终的优化设计结果；方法的具体步骤如下：

步骤一、基于Cosserat连续介质理论，引入了偶应力m和曲率应变χ，建立考虑尺度效应的聚合物材料本构关系：

其中，柯西应力σ、偶应力m、柯西应变ε和曲率应变χ均为向量形式：

σ＝[σ_xx σ_yy σ_zz τ_xy τ_yx τ_yz τ_zy τ_zx τ_xz]^T (2)

m＝[m_xx m_yy m_zz m_xy m_yx m_yz m_zy m_zx m_xz]^T (3)

ε＝[ε_xx ε_yy ε_zz ε_xy ε_yx ε_yz ε_zy ε_zx ε_xz]^T (4)

χ＝[χ_xx χ_yy χ_zz χ_xy χ_yx χ_yz χ_zy χ_zx χ_xz]^T (5)

广义弹性刚度矩阵D为：

其中，D^uu和D^ωω分别与聚合物血管支架材料内任意材料点的位移和转动有关，刚度矩阵D₁、D₂、D₃定义为：

其中，Λ＝Eν/(1+ν)(1-2ν)和μ为拉梅常数，E为弹性模量，ν为泊松比，μ_c为第二剪切模量，l_t是与材料扭转相关的特征长度，l_b是与材料弯曲相关的特征长度；

广义应力σ^g和广义应变ε^g的等效形式为：

通过构建带有微空洞的聚合物材料体胞模型，获取聚合物材料的等效本构关系函数如下：

其中，u_i和F_i为体胞上边界的位移和力，S为体胞上边界面积，h_e为体胞i方向的长度，V_e为体胞体积；

步骤二、定义聚合物可降解血管支架的结构优化设计问题，包括设计变量、设计目标和约束条件；

保证支架在支撑期具有足够支撑力、血管重塑期具有足够的支撑力保持率的条件下，最小化扩张期的径向弹性回缩、轴向缩短及表面覆盖率；

以菱形孔的长度a和宽度b为设计变量，对聚合物血管支架进行优化设计；结构优化设计问题的数学表达式为：

其中，ER,AS,SC分别是血管支架的径向弹性回缩率、轴向缩短率和表面覆盖率，u是聚合物血管支架结构设计变量,

和u分别是设计变量的上、下限，I是设计变量个数，

是给定的支撑期所需的最小径向支撑力，μ⁰是给定的血管重塑期所需的最小支撑力保持率；

步骤三、采用优化拉丁超立方法在设计空间内抽取16个设计变量初始样本点；

1)将设计变量的每一维区间分成等概率的16个区间；

2)在每一维的每个区间内随机抽取一个点；

3)再对每一维，从2)中抽取的点中随机抽取一个点，并将它们组成向量；

步骤四、采用三维有限元模型分析步骤三抽取的样本点，有限元模型包括血管、血栓斑块、聚合物血管支架和球囊四个部分，由于整个模型具有对称性，为提高计算速度，选取整个模型的1/12，即周向1/6、轴向1/2进行模拟计算；利用ANSYS17.0对模型进行网格划分，血管、血栓斑块和聚合物血管支架采用8节点Solid 185实体单元，球囊则采用4节点Shell181壳单元；

对有限元模型施加载荷和边界条件为：

1)在聚合物血管支架、血管和血栓斑块的对称面上施加对称约束，同时约束球囊的周向转动和轴向移动；

2)载荷通过在球囊内部施加一个随时间变化的内压添加，内压变化曲线分为线性加载、恒定加载和线性卸载三部分，血管支架随球囊内压的变化而变化；

步骤五、求解各初始样本点的目标函数响应值，选取对应最小响应值的一组样本作为优化起始点；

基于样本信息，利用Kriging代理模型获取目标函数与设计变量之间的近似函数关系，代理模型包含了回归部分和非参数部分

其中，β为回归系数，f(x)是回归多项式通过训练样本来确定，在设计空间中对全局进行近似模拟，z(x)为随机分布误差，提供对局部偏差的近似模拟，其统计特性如下：

E[z(x)]＝0 (14)

其中，x_i和x_j是任意两个样本点，R(θ,x_i,x_j)为相关函数，θ是用以表征各个样本点空间相关性的参数，相关函数R采用连续可微的高斯函数表达为：

式中，n_v是已知设计变量数目，

和

分别是已知样本点x_i和x_j的第k个分量；

根据已知样本点集合

及响应集合

对任意新增样本点x_new，其响应值可由已知样本点的响应集合Y的线性组合来进行预测:

估计误差为：

其中，F＝[f₁,f₂,…f_n]^T,Z＝[z₁,z₂,…z_n]^T；同时，由于需要满足无偏性要求，因此预测误差的平均值必须等于零，即

则有：

F^Tc-f＝0 (21)

估计方差为：

经整理得到：

其中，

该式表征了新样本点x_new与其他已知样本点在空间上的相关性；然后通过最小化估计值的估计方差得到系数c，其优化模型为：

利用拉格朗日乘子法，求解：

c＝R^-1[r-F(F^TR^-1F)^-1(F^TR^-1r-f)] (26)

进而得到估计值的估计方差为：

得到新样本点x_new的估计值：

利用回归问题

的广义最小二乘估计可得：

β^*＝(F^TR^-1F)^-1F^TR^-1Y (29)

考虑该回归问题的余量表达式Rγ^*＝Y-Fβ^*得到：

矩阵F、R和向量Y通过已知样本点集S得到，对于新样本点x_new，如果能够得到f(x_new)和r(x_new)，即可求出新样本点x_new的估计响应值，此时只需求解未知参数

和R中的参数θ，由于服从正态分布，y(x)的似然函数为：

对上式取对数，并去掉常数项得到：

取关于

的驻值，得到：

进而得到：

通过求解对数似然函数的最大值就得到θ的最大似然估计值，即

最终获得目标函数与设计变量之间的近似函数关系；

步骤六、求解与目标函数F(x)相应的改善期望EI

E[I(x)]＝σ(x)[uΦ(u)+φ(u)] (36)

其中，

和σ²(x)是空间内任意设计点x对应的均值和均方差，Y_min是当前最优值，Φ是正则化概率分布函数，φ是概率密度函数；

基于近似函数和改善期望EI，利用遗传算法和序列二次规划算法进行联合运算得到支架的改进设计结果，

1)基于EI值，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k1*和x_k2*；

2)基于近似函数，采用遗传算法和序列二次规划算法获得最优解x_k3*和x_k4*；

步骤七、利用Kriging代理模型分别求解x_k1*、x_k2*、x_k3*和x_k4*的预测值

和

通过有限元法分别计算x_k1*、x_k2*、x_k3*和x_k4*的目标函数值F(x_k1*)、F(x_k2*)、F(x_k3*)和F(x_k4*)，并选择其中较好的一个作为当前最优解F(x_k*)；

步骤八、检验收敛条件如下：

1)

2)

3)|F(x_k*)-F(x_k-1*)|≤ε₂ (40)

其中，Δ_r、ε₁和ε₂是给定的收敛精度，Y_max和Y_min是样本点中最大和最小的响应值，k为优化程序迭代步数；

1)当目标函数最优解F(x_k*)不满足收敛条件时，添加改进设计点x_k1*、x_k2*、x_k3*和x_k4*到样本中继续迭代求解，直至满足收敛条件；

2)当目标函数最优解F(x_k*)满足收敛条件时，输出聚合物血管支架结构的优化设计结果x_k*。

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