CN110827928A - 基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，构建了CFRP材料的电导率模型，避免了对其内部网格的高密度划分，从而达到减小网格划分数量，提高计算速度的目的；同时，电导率分布是解决很多CFRP测量的关键参数，可以通过BEM求解，为后续CFRP材料探伤、测量等应用提供理论基础。

Description

基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法

技术领域

本发明涉及碳纤维增强塑料电导率分析技术领域，尤其是一种基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法。

背景技术

碳纤维增强塑料(CFRP,Carbon Fiber Reinforced Plastic)以碳纤维为增强体与树脂等基体复合而成，具有耐高温、耐腐蚀、质量轻、机械强度高等优点。作为一种新型无机非金属基复合材料，CFRP在工业和国防领域均得到广泛关注。

CFRP中单根碳纤维直径一般只有7-8μm。在碳纤维复合材料制造过程中，碳纤维是成束使用的，碳纤维丝束的粗细由每束中的纤维根数决定。在航空领域中，CFRP一般使用中小型丝束，即1000-12000根为一束；将碳纤维按合理的比例均匀溶合在基体中，形成单向碳纤维材料，厚度约为0.05-0.2mm。

单层CFRP板包括碳纤维、树脂基体以及位于两者间的界面，如图1所示。虽然树脂基体为绝缘材料，但由于碳纤维的体积电阻率约为1.2×10^-3～3.0×10^-4Ω·cm，使CFRP具有一定的导电性能，碳纤维含量、铺设方向、长径比、薄板几何参数及两相之间过渡区域的三维界面相均会影响CFRP的导电性。当CFRP作为结构材料时，一般将多层单向CFRP压制成多向板，飞机结构中常使用的CFRP材料一般由15层左右的单向碳纤维材料压制而成。每层CFRP之间也会存在电导率，大小与铺层间的压合程度有关，一般认为是横向电导率的一半左右。此时，不仅要分析单层CFRP薄板的导电模式，更须分析不同铺层间界面在导电行为中的作用。另外，CFRP薄板的层数、叠放方向、铺层厚度等参数的影响均要考虑。

电导率的研究对于CFRP的无损探伤、预防雷击、电磁屏蔽等应用具有重要意义；但CFRP具有明显的电的各向异性，加之其不均匀性，对建模方法和测量过程提出了严苛的要求。例如，用于制作飞机起落架是CFRP重要应用之一，然而CFRP较低的导电性意味着必须在其上附着金属以避免光冲击或空气摩擦导致的电荷聚集。因此，既具有优秀的机械性能，同时具备良好导电性能的新型CFRP成为国内外相关工作者的研究热点。与此同时，由于大量大功率雷达、通信及其他密集电子设备的使用，使得飞机对电磁兼容和电磁屏蔽技术的要求越来越高；而外部电磁信号很容易耦合进入CFRP内部，造成电磁干扰。作为电磁屏蔽材料时，CFRP导电性是一项重要参数指标。通过调整碳纤维的铺设方向、含量等参数，可大范围调节CFRP的电阻率，使其具有更高和更均匀的屏蔽效果。CFRP导电性与碳纤维的含量、方向等因素密切相关，其变化趋势与损伤类型、测试系统的输出信号具有很强的关联性，可真正达到安全健康监控的目的。

2002年，Park.J.B、Okabe.T等人提出一种平行碳纤维排列方式，将碳纤维看作是电阻丝，置于直流电场中，当有机械损伤或断裂时，对应的碳纤维所代表的电阻值将发生变化，从而影响CFRP板的电阻值。实验表明，当拉力变大时，电阻值的变化呈现线性关系；当拉力增加到一定程度，以至于碳纤维断裂时，两者之间的关系变为非线性。研究使用了理想状态下碳纤维平行分布时等效电阻模型，如图2所示。2003年，Xia.Z、Okabe.T提出一种复合模型用以检测CFRP板内部的缺陷。该模型结合了电路模型和机械模型，其中电路模型考虑了碳纤维的径向电阻和纤维间的接触电阻，如图3所示。通过建立电阻网络模型，对CFRP板内部机械缺陷及其导致的电阻值变化之间的关系进行量化，如图4所示。

现有的CFRP数值模型大部分通过有限元法建立，具有网格划分复杂、求解过程繁琐的缺点，而通过边界元法建立的模型往往需要结合其他技术方能得到准确结果，或者缺乏详细的计算过程，不够具体。

有限元法(FEM,Finite Element Method)是目前最通用的数值计算方法，拥有成熟的商业软件。2002年，Todoroki.A使用FEM软件ANSYS对脱层状态下电导率的正交性进行仿真，通过测量电压变化分布来推测电极之间是否存在脱层现象。2017年，Galvis.L.W.E等利用电阻层析成像技术对CFRP层离缺陷进行检测，通过测量不同电极间的电势差并利用欧姆定律求解相应的电阻值；当出现层离现象时，电阻值会发生变化。之前常用的测量方案为在CFRP上下极板同时安装电极，但此类方法的问题在于CFRP的纵向电导率很小，不利于测量脱层和基体损伤现象。通过FEM模型改善传感器的配置，可以达到减少传感器数量，得到类似测量精度的效果；但由于CFRP和粘结剂的厚度非常薄(约几微米)，FEM模型若采用三维实体单元，网格数目和计算量均很大。南京航空航天大学季宏丽等利用FEM模型对CFRP中的涡流分布进行分析时提到，对于单一频率，总的计算时间约为1280分钟。对于很多测量过程，研究者往往结合实验方法和仿真方法共同完成，如利用电阻抗层析成像技术进行空间电导率分布成像时，使用到系统进行正问题的测量，得到一系列电压值，并创建了有限元模型。这种方式可以取长补短，充分发挥每种方法的优势。2017年，Hart.R.J在其博士毕业论文中使用四电极电阻测量法作为低速冲击缺陷的检验标准；在实验基础上，利用COMSOL建立了电各向异性物体的有限元模型。文中基于传统的线型测量方法，提出了新的点型测量方法，描述了孔隙率和电阻变化之间的非线性关系，并分析了不同的参数对其的影响。2018年，日本爱媛大学的Mizukami.K和Watanabe.Y利用FEM软件ANSYS研究了CFRP各向异性电导率与涡流传感器信号之间的关系，并且利用该关系设计了涡流检测实验。结果表明，当沿厚度方向的电导率发生改变时，涡流线圈的电阻值亦会随之改变。

边界元法(BEM,Boundary Element Method)在解决CFRP薄板结构时表现出独特的优势。首先，通过降低求解维数来简化问题；其次，所求变量为边界变量，避免了不必要的计算；再者，BEM采用了解析基本解，具有更高的精度。但是，由于BEM在处理CFRP层合板之间的边界以及碳纤维和树脂基体间的边界时，需要考虑电导率的复杂特性，着重分析碳纤维和树脂基体两相中的磁场变量如何通过边界进行衔接和过渡，所以在实际建模时，BEM的应用受到很大限制。2008年，Piche.A等在IEEE电磁兼容学会(EMC)上对飞行器金属机身结构上覆盖的CFRP板中环形电流的分布进行研究，利用BEM/MOM(Method of Moment-MOM)算法，将CFRP简化为金属丝模型，如图5所示，但该讨论并未对具体的计算过程给出解释，并缺乏详细的数据分析，故只提供了一种研究参考思路。2014年，爱荷华州立大学Roberts.R.A结合BEM和超声探伤技术，利用基于格林函数的边界积分方程对二维散射问题进行描述，可以准确检测单向CFRP板中的数百条微小龟裂。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，为后续的探伤、测量等应用提供准确模型。

一种基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，先构建边界积分方程，再通过对边界进行离散化处理和边界几何形状的描述，得到离散边界积分方程，最后求解离散边界积分方程，具体包括以下步骤：

步骤1，根据CFRP的几何特点和导电特性，结合电磁场理论，分析CFRP内部结构和外部环境中电场的分布情况，构建边界积分方程其中g(r-r′)为Laplace方程的格林函数，

为外加磁场的标量磁势，r和r′分别表示场点和源点，Γ为目标物体的表面，n是导体表面的单位法向矢量，系数c的值取决于场点的位置；

步骤2，对碳纤维丝束的边界进行三角形网络划分和插值处理，建立局部坐标系，结合划分的网格形状实现参数和函数在全局坐标系和局部坐标系之间的转换；得到离散边界积分方程

步骤3，在离散点处对离散边界积分方程运用配点法，将其转换为积分方程组，得到

其中i＝1,2...,NP；

步骤4，结合步骤2建立的局部坐标系，对

进行插值和坐标变换，得到

其中

为三角形网格三个顶点上的标量磁势，从而进一步得到

其中N_k为插值函数，和η分别表示新建坐标系的两个独立坐标；

步骤5，引入一个转矩阵将局部编号化为整体编号，令

从而将离散边界积分方程进一步转化为

其中

为各结点标量磁势在全局坐标系中的表示；

步骤6，令将离散边界积分方程简化为矩阵形式

其中i＝1,2...,NP，A_NP×NP为系数矩阵，

为外加磁场在边界离散点产生的标量磁势；

步骤7，通过步骤2建立的局部坐标系求出系数矩阵A_NP×NP，求解出磁势函数

再根据毕奥萨法儿定理，求解出检测传感器上的电压值；

步骤8，根据CFRP电导率与电压值之间的正比例关系，通过一定的成像算法即可得到最终的电导率分布。

进一步的，步骤2具体包括以下步骤：

A1，将碳纤维丝束的边界外表面等精度划分为离散的三角形网格，每一个网格代表一个边界单元，同时得到若干离散点，即网格的顶点；

A2，建立局部坐标系，结合划分的网格形状实现参数和函数在全局坐标系和局部坐标系之间的转换；

A3，用对应网格的顶点坐标定义每个边界单元，并统一编号；

A4，在将碳纤维丝束的边界上选定一些插值点，然后将边界单元表示为这些离散插值点坐标的插值函数，得到边界单元形状的表达式或近似表达式，即离散结点处函数值的插值多项式，从而得到离散边界积分方程。

本发明构建了CFRP材料的电导率模型，避免了对其内部网格的高密度划分，从而达到减小网格划分数量，提高计算速度的目的；同时，电导率分布是解决很多CFRP测量的关键参数，可以通过BEM求解，为后续CFRP材料探伤、测量等应用提供理论基础。

附图说明

图1为CFRP单层及层压结构；

图2为碳纤维理想平行分布时直流电阻电路等效模型；

图3为断裂纤维结构及对应的接触电阻模型；

图4为等效电阻网络及电路结构；

图5为等效金属丝模型；

图6为本发明流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。本发明的实施例是为了示例和描述起见而给出的，而并不是无遗漏的或者将本发明限于所公开的形式。很多修改和变化对于本领域的普通技术人员而言是显而易见的。选择和描述实施例是为了更好说明本发明的原理和实际应用，并且使本领域的普通技术人员能够理解本发明从而设计适于特定用途的带有各种修改的各种实施例。

实施例1

一种基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，如图6所示，包括以下步骤：

1、构建边界积分方程

根据CFRP的几何特点和导电特性，结合电磁场理论，分析CFRP内部结构和外部环境中电场的分布情况。

抽取有限长度的单层碳纤维及其周围的绝缘树脂材料作为一个整体进行分析。假设碳纤维丝紧紧捆绑成圆柱体结构，沿着z轴方向，放置于树脂材料中间。出于对计算速度的要求，碳纤维丝束近似看做细长直的均匀圆柱体。由于树脂不导电，对激励电源所形成的电磁场分布不产生作用，所以在建模过程中，可以忽略其对检测信号的影响。

虽然CFRP复合材料具有各向异性，但对于碳纤维和树脂而言，可以分别看做各向同性材料，并且碳纤维具有较高的导电性，在碳纤维外部利用安培定理得到▽×H^e＝σ^eE^e+iwεE^e。由高斯散度定理和不同磁介质间的边界条件得▽·μH＝▽·μ^eH^e、

其中上标e用以标识CFRP外部参数，即树脂材料，没有上标的参数为CFRP内部参数，有μ^e＝μ₀。

总的磁场包括两部分，由激励电流产生的主磁场和由涡流产生的二次磁场，即H^e＝H^pr+H^sc，其中上标pr和sc所引导的场量分别表示与主磁场和二次磁场有关的量。

对于一般的电磁检测系统，物体外部的磁场可以看作为似稳的，即▽×H^e＝σ^eE^e；因为外界电流可以看作为零，并且树脂的电导率远小于碳纤维，所以▽×H^e＝0。

外部磁场是无旋的，因而可以用标量磁势来表示

结合▽×H^e＝0可知，标量磁势满足Laplace方程，即解此方程得边界积分方程

其中g(r-r′)为Laplace方程的格林函数，为外加磁场的标量磁势，r和r′分别表示场点和源点，Γ为目标物体的表面，n是导体表面的单位法向矢量，系数c的值取决于场点的位置。

2、对边界进行离散化处理，再通过和边界几何形状的描述，得到离散边界积分方程

①将碳纤维丝束的边界外表面划分为离散的三角形网格，每一个网格代表一个边界单元，同时得到若干离散点，即网格的顶点；对于不同的碳纤维丝束，优选采用等精度的网格划分技术，避免由于网格不均匀导致的计算误差。

②建立局部坐标系，结合划分的网格形状实现参数和函数在全局坐标系和局部坐标系之间的转换。

③用对应网格的顶点坐标定义每个边界单元，并统一按照逆时针方向进行编号；建立边界单元后，被积函数在整个边界上的积分可以用在边界单元上的积分来近似。

④在将碳纤维丝束的边界上选定一些插值点，然后将边界单元表示为这些离散插值点坐标的插值函数，得到边界单元形状的表达式或近似表达式，即离散结点处函数值的插值多项式，从而得到离散边界积分方程

⑤在离散点处对离散边界积分方程运用配点法，将其转换为积分方程组，得到

其中i＝1,2...,NP。

3、求解离散边界积分方程

①结合步骤2建立的局部坐标系，对

进行插值和坐标变换，得到

其中

为三角形网格三个顶点上的标量磁势，从而进一步得到

其中N_k为插值函数，

和η分别表示新建坐标系的两个独立坐标；

②引入一个转矩阵

将局部编号化为整体编号，令

从而将离散边界积分方程进一步转化为

其中

为各结点标量磁势在全局坐标系中的表示；

③令

将离散边界积分方程简化为矩阵形式

其中i＝1,2...,NP，A_NP×NP为系数矩阵，

为外加磁场在边界离散点产生的标量磁势；

④通过步骤2建立的局部坐标系求出系数矩阵A_NP×NP，求解出磁势函数

4、根据毕奥萨法儿定理，求解出检测传感器上的电压值；再根据CFRP电导率与电压值之间的正比例关系，通过一定的成像算法即可得到最终的电导率分布。

显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域及相关领域的普通技术人员在没有作出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都应属于本发明保护的范围。

Claims (3)

1.基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，其特征在于，先构建边界积分方程，再通过对边界进行离散化处理和边界几何形状的描述，得到离散边界积分方程，最后求解离散边界积分方程。

2.根据权利要求1所述的基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，根据CFRP的几何特点和导电特性，结合电磁场理论，分析CFRP内部结构和外部环境中电场的分布情况，构建边界积分方程

其中g(r-r′)为Laplace方程的格林函数，为外加磁场的标量磁势，r和r′分别表示场点和源点，Γ为目标物体的表面，n是导体表面的单位法向矢量，系数c的值取决于场点的位置；

步骤2，对碳纤维丝束的边界进行三角形网络划分和插值处理，建立局部坐标系，结合划分的网格形状实现参数和函数在全局坐标系和局部坐标系之间的转换；得到离散边界积分方程

步骤3，在离散点处对离散边界积分方程运用配点法，将其转换为积分方程组，得到

其中i＝1,2...,NP；

步骤4，结合步骤2建立的局部坐标系，对

进行插值和坐标变换，得到其中

为三角形网格三个顶点上的标量磁势，从而进一步得到

其中N_k为插值函数，

和η分别表示新建坐标系的两个独立坐标；

步骤5，引入一个转矩阵

将局部编号化为整体编号，令

从而将离散边界积分方程进一步转化为

其中

为各结点标量磁势在全局坐标系中的表示；

步骤6，令

将离散边界积分方程简化为矩阵形式其中i＝1,2...,NP，A_NP×NP为系数矩阵，

为外加磁场在边界离散点产生的标量磁势；

步骤7，通过步骤2建立的局部坐标系求出系数矩阵A_NP×NP，求解出磁势函数

再根据毕奥萨法儿定理，求解出检测传感器上的电压值；

步骤8，根据CFRP电导率与电压值之间的正比例关系，通过一定的成像算法即可得到最终的电导率分布。

3.根据权利要求2所述的基于边界元法的单层碳纤维增强塑料电导率模型构建方法，其特征在于，步骤2具体包括以下步骤：

A1，将碳纤维丝束的边界外表面等精度划分为离散的三角形网格，每一个网格代表一个边界单元，同时得到若干离散点，即网格的顶点；

A2，建立局部坐标系，结合划分的网格形状实现参数和函数在全局坐标系和局部坐标系之间的转换；

A3，用对应网格的顶点坐标定义每个边界单元，并统一编号；

A4，在将碳纤维丝束的边界上选定一些插值点，然后将边界单元表示为这些离散插值点坐标的插值函数，得到边界单元形状的表达式或近似表达式，即离散结点处函数值的插值多项式，从而得到离散边界积分方程。

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