CN110781626A - 有限差分多重分辨三角函数weno格式的模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，包括：S1：将双曲守恒律方程离散为空间半离散的常微分方程，采用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值；S2：采用四阶TVB Runge‑Kutta时间离散公式将空间半离散有限差分格式离散成时空全离散高精度有限差分格式；S3：根据时空全离散高精度有限差分格式得到下一时间层上的近似值；依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值结果。本发明能够针对各种可压流场问题尤其是低压强低密度问题和高频振荡类问题进行高精度数值模拟，解决了波类和高频振荡类的可压流场问题及低压强低密度问题的数值模拟，鲁棒性更强，且更易于推广到高维空间。

Description

有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法

技术领域

本发明涉及计算流体力学工程技术领域，具体而言涉及一种有限差分多重分辨三角函数 WENO格式的模拟方法。

背景技术

众所周知多重分辨格式可有效降低高分辨率格式和高精度格式的数值计算成本。双曲守 恒律方程的解在小而孤立的区域可能包含强间断而在余下的大部分计算区域内可能是光滑的， 因此多重分辨技术能集中于包含强间断的区域，采用多重分辨技术的目的是把计算量主要集 中在包含强间断的小区域。

另一方面，基于三角函数多项式的数值方法适用于模拟高频振荡问题和各种波类现象。 虽然代数多项式重构对于数值通量来说是一个好的构建模块，但它不能根据给定的高频振荡 数据的特点而改进。当插入高频振荡的数据时，基于三角函数多项式重构的数值格式比代数 多项式重构的数值格式更适于数值求解这类高频振荡类问题。一般来说，这些基于非代数多 项式空间的ENO格式和WENO格式可以有效改善光滑区域和间断附近的性能，比基于代数 多项式空间的数值方法计算效果更好。

有限差分格式和有限体积ENO格式和WENO格式在强间断和复杂光滑结构问题的数值 模拟中是非常成功的。但是对于一些极端的测试算例，需要添加额外的保正措施并极大减小 CFL数来控制负密度和负压强在计算流场中的出现。针对有限体积和有限差分高阶数值计算 格式，已有一系列高阶保正方法被构造出来。虽然带有保正措施的WENO格式可以很好地应 用于非常极端的测试算例，但是会导致计算效率低下。

在专利号为CN110069854A的发明专利中提及了一种多重分辨TWENO格式对可压流场 问题的模拟方法，该方法中提供了一种全新的有限差分multi-resolution三角函数多项式框架 下的加权基本无振荡格式的模拟格式，能针对各种可压流场问题尤其是高频振荡类问题进行 高精度数值模拟，但并未有效解决低压强低密度问题。

发明内容

本发明目的在于提供一种全新的有限差分三角函数多项式框架下的多重分辨加权基本无 振荡格式的构造策略，能针对各种可压流场问题尤其是低压强低密度问题和高频振荡类问题 进行高精度数值模拟。相比于经典的五阶有限差分WENO格式，该多重分辨三角函数WENO 格式通过把重构的三角函数多项式而不是代数多项式作为有限差分WENO格式的构建模块， 解决了波类和高频振荡类的可压流场问题及低压强低密度问题的数值模拟，且在光滑区域能 够达到高阶数值精度，在强间断附近格式精度能不断降低并保持基本无振荡的特性。新的多 重分辨三角函数WENO格式只使用空间中心嵌套层次结构上的信息并不引入任何等效的多 分辨率表示，采用的线性权不再需要通过繁冗的数值计算得到最优值，可设为满足和为一的 任意正数。本发明提出的新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式相比经典的五阶有限差 分WENO格式更简便，鲁棒性更强，且更易于推广到高维空间。

为达成上述目的，结合图1，本发明提出一种有限差分多重分辨三角函数WENO格式的 模拟方法，所述模拟方法包括：

S1：将双曲守恒律方程离散为空间半离散的常微分方程，采用新型有限差分多重分辨三 角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值；

S2：采用四阶TVB Runge-Kutta时间离散公式将空间半离散有限差分格式离散成时空全 离散高精度有限差分格式；

S3：根据时空全离散高精度有限差分格式得到下一时间层上的近似值；依次迭代，得到 计算区域内终止时刻流场的数值结果。

进一步的实施例中，步骤S1中，所述采用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式 重构数值通量的高阶逼近值的过程包括以下步骤：

S11：选择一系列中心空间模板，重构不同精度的三角函数多项式；

S12：获得重构的不同精度的三角函数多项式的等价表达式；

S13：取满足和为1的任意正数作为线性权；

S14：计算用于衡量三角函数重构多项式在目标单元上的光滑程度的光滑指示器；

S15：在线性权和光滑指示器的基础上计算非线性权；

S16：求出数值通量在目标单元边界处的近似值，得到空间半离散有限差分格式。

进一步的实施例中，设一维双曲守恒律方程为：

所述将双曲守恒律方程离散为空间半离散的常微分方程，采用新型有限差分多重分辨三 角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值的过程包括：

获取所述一维双曲守恒律方程的空间半离散近似格式的形式为：

其中，u_t表示u对t求导，f_x(u)表示f(u)对x求导，u₀表示初始状态值，L(u)表示-f_x(u) 的空间离散形式；

将空间离散成统一长度的网格单元

单元长度

单元中心即半 点为

其中i为坐标序号，u_i(t)表示点值u(x_i,t)的精确解的近似值，有

其中，

表示近似的三阶、五阶或七阶精度的数值通量，以确保

在点x＝x_i处以同阶精度近似到f_x(u)；

求通量f(u)在目标单元I_i的边界

和处的高阶近似值

和

进一步的实施例中，所述求通量f(u)在目标单元I_i的边界

和处的高阶近似值

和

的过程包括以下步骤：

步骤1.将通量f(u)分裂为f(u)＝f⁺(u)+f^-(u)，其中用其 自身风向分别近似每一项；

采用Lax-Friedrichs通量分裂

其中

将数值通量 分裂为：

步骤2.选择一系列中心空间模板，并重构不同次数的三角函数多项式：

(1)对于三阶空间近似，选择两个空间中心模板T₁＝{I_i}和T₂＝{I_i-1,I_i,I_i+1}；

在三角函数空间上重构多项式q₁(x)∈span{1}和三角函数多项式使得：

且

(2)对于五阶空间近似，选择空间中心模板T₃＝{I_i-2,...,I_i+2}，在三角函数空间上重构 三角函数多项式：

使得：

(3)对于七阶空间近似，选择空间中心模板T₄＝{I_i-3,...,I_i+3}，在三角函数空间上重构 三角函数多项式：

使得：

步骤3.获得重构的不同的三角函数多项式的等价表达式：

令p₁(x)＝q₁(x)且

其中

且

步骤4.任意取和为一的正数作为线性权，设线性权为

其中

且l₂＝2,3,4；

步骤5.计算光滑指示器，用于衡量三角函数重构多项式在目标单元上的光滑度：

步骤6.在线性权和光滑指示器的基础上计算非线性权：

采用WENO-Z方法定义：

非线性权为：

其中，模拟过程中取ε＝10^-5；

步骤7.求出数值通量分裂f^-(u)在点的多重分辨三角函数WENO格式的三角函 数重构多项式：

其中，数值通量

的重构关于

是镜面对称的。

进一步的实施例中，所述采用四阶TVB Runge-Kutta时间离散公式将空间半离散有限差 分格式离散成时空全离散高精度有限差分格式的过程包括：

采用四阶TVB Runge-Kutta离散公式：

得到时空全离散有限差分格式，其中，u⁽¹⁾,u⁽²⁾为中间过渡值，Δt为时间步长，上标n表 示第n时间层，L(uⁿ),L(u⁽¹⁾),L(u⁽²⁾)为-f_x(u)的高阶空间离散形式的近似值。

以上本发明的技术方案，与现有相比，其显著的有益效果在于：

(1)相比于经典的五阶有限差分WENO格式，该三角函数WENO格式通过把三角函数多项式而不是代数多项式作为有限差分多重分辨WENO格式的构建模块，模拟了波类和高频振荡类可压流场问题及低压强低密度问题，可用于计算相当极端的问题，如Sedov爆炸波问题，Leblanc问题，高马赫数天体物理喷射问题等，可以采用较大的CFL数，不需要使用任 何保正措施，可有效控制负密度和负压强的出现，且不需深入探讨控制方程的性质。

(2)相比于已有三角函数多项式重构方法，该类三角函数WENO格式采用分层嵌套中 心空间模板及多重分辨技术得到的全局L1截断误差与L∞截断误差更小，同时也避免了在强 激波和接触间断处产生非物理振荡，在解的光滑区域能达到高阶数值精度，该三角函数WENO 格式中的相关线性权不再需要通过复杂的计算得到最优值可设为任意和为一的正数。因此该 类新型多重分辨三角函数WENO格式的构造更简单，更易于应用到高维空间的数值模拟中去。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构 思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题 的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和 特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显 见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分 可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在， 将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是本发明的有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法的流程图。

图2是本发明对Sedov爆炸波问题的模拟结果示意图。其中，图2a-2c分别表示用三阶 三角函数WENO格式计算的密度、速度和压强；图2d-2f分别表示用五阶三角函数WENO 格式计算的密度、速度和压强；图2g-2i分别表示用七阶三角函数WENO格式计算的密度、 速度和压强。T＝0.001。实线表示精确解，加号表示用新型三角函数WENO格式得到的结果。 网格：400。

图3是本发明对双稀疏波问题的模拟结果示意图。其中，图3a-3c分别表示用三阶三角 函数WENO格式计算的密度、速度和压强；图3d-3f分别表示用五阶三角函数WENO格式计算的密度、速度和压强；图3g-3i分别表示用七阶三角函数WENO格式计算的密度、速度 和压强。T＝0.6。实线表示精确解，加号表示用新型三角函数WENO格式得到的结果。网格：400。

图4是本发明Leblanc问题的模拟结果示意图。图4a-4c分别表示用三阶三角函数WENO 格式计算的密度、速度和压强；图4d-4f分别表示用五阶三角函数WENO格式计算的密度、 速度和压强；图4g-4i分别表示用七阶三角函数WENO格式计算的密度、速度和压强。 T＝0.0001。实线表示精确解，加号表示用新型三角函数WENO格式得到的结果。网格：6400。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

结合图1，为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

在笛卡尔坐标系下，利用有限差分多重分辨三角函数WENO格式对可压流场问题进行高 精度数值模拟：

1)把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，用新型有限差分多重分辨三角 函数WENO格式重构通量的近似值。本发明以三阶，五阶和七阶的高阶有限差分多重分辨三 角函数WENO格式的构造过程为例。

2)在时间方向使用四阶TVB Runge-Kutta离散公式将空间半离散有限差分格式离散成时 空全离散有限差分格式。

3)根据时空全离散有限差分格式得到下一时间层上的近似值，依次迭代，得到计算区域 内终止时刻流场的数值模拟值。

本发明提出了一种新的用于解低压强低密度问题的三角函数空间多重分辨加权基本无振 荡格式。该格式可用于计算极端问题，如Sedov爆炸波问题，Leblanc问题，高马赫数天体物 理喷射问题等，可以使用较大的CFL数，不需要应用常见的保正措施，可有效控制负密度和 负压强的出现，且不需深入研究控制方程的性质，具有一定的工程应用价值。

本发明先设计一类新的有限差分多重分辨三角函数WENO格式。其构造思想是在光滑区 域用一个一点的中心模板和一个三点的中心模板上的信息获得目标单元边界点的三阶近似， 且当三点中心模板内存在间断时，可以舍弃三点模板的信息且近似阶降低到一阶。如果解足 够光滑，可用定义在这两个中心模板和一个五点中心模板上的信息得到单元边界点的五阶近 似。在充分光滑的条件下，采用这三个空间中心模板和一个七点中心模板上的信息可获得七 阶近似。因此在最大空间中心模板内不存在强间断的情况下这种方法可用于设计任意高阶近 似。

下面结合具体例子详细阐述新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式的构造过程。

首先考虑一维双曲守恒律方程：

其空间半离散格式的形式为：

其中，u_t表示u对t求导，f_x(u)表示f(u)对x求导，u₀表示初始状态值，L(u)表示-f_x(u) 的空间离散形式。为简单起见，把空间离散成统一长度的网格单元

单元长度

单元中心即半点为

其中i为坐标序号，u_i(t)表示点值u(x_i,t) 的精确解的近似值，有：

其中，

表示近似的三阶，五阶或七阶精度的数值通量，以确保

在点x＝x_i处以同阶精度近似到f_x(u)。求通量f(u)在目标单元I_i的边界

和

处的高阶近似值

和

具体步骤如下：

步骤1.为确保正确的迎风倾向和稳定性，把通量f(u)分裂为f(u)＝f⁺(u)+f^-(u)，其 中然后用它自己的风向分别近似每一项。本专利用Lax-Friedrichs 通量分裂

其中

因此，数值通量可分裂为：

下面用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式重构通量的近似值。本发明以三阶， 五阶和七阶的高阶精度有限差分多重分辨三角函数WENO格式的构造过程为例。为简单起见， 本专利只描述f^-(u)在点

处的重构过程并将其定义为

步骤2.选择一系列中心空间模板，并重构不同次数的三角函数多项式，具体过程如下：

步骤2.1.对于三阶空间近似，我们选择两个空间中心模板T₁＝{I_i}和T₂＝{I_i-1,I_i,I_i+1}。然 后在三角函数空间上重构多项式q₁(x)∈span{1}和三角函数多项式

使得：

且

步骤2.2.对于五阶空间近似，我们选择空间中心模板T₃＝{I_i-2,...,I_i+2}。然后在三角函 数空间上重构三角函数多项式：

使得：

步骤2.3.对于七阶空间近似，我们选择空间中心模板T₄＝{I_i-3,...,I_i+3}。然后在三角函数 空间上重构三角函数多项式：

使得：

步骤3.获得重构的不同的三角函数多项式的等价表达式。为了统一符号，令p₁(x)＝q₁(x) 且

其中且

具体过程如下：

步骤3.1.对于三阶近似，三角函数多项式p₂(x)可表示为：

其中γ_1,2+γ_2,2＝1,且γ_2,2≠0。

步骤3.2.对于五阶近似，三角函数多项式p₃(x)可表示为：

其中

且γ_3,3≠0。

步骤3.3.对于七阶近似，三角函数多项式p₄(x)可表示为：

其中

且γ_4,4≠0。

步骤4.首先任意取和为一的正数作为线性权，可避免复杂的数值计算过程。此步中的

其中l＝1,...,l₂且l₂＝2,3,4，是线性权。基于非光滑区域强激波和基本无振荡波的传输及光滑 区域的精确性，根据已有研究，本专利设线性权为

其中

且l₂＝2,3,4。例如，对于三阶精度近似有和

对于五阶精度近似有

和对于七阶精度近似有

和

步骤5.计算光滑指示器，用于衡量三角函数重构多项式在目标单元上的光滑度。计算光 滑指示器

用于衡量三角函数多项式

在区间[x_i-1/2,x_i+1/2]上的光滑度，计 算公式为：

其中κ＝2(l₂-1)。对于光滑指示器β₁，可按照下面的定义将其从零放大成一个值。首先 定义：

其中κ＝1,2,3(分别对应三阶，五阶和七阶精度近似)，ε表示很小的正数以防止(17) 式的分母为零。然后设：

步骤6.在线性权和光滑指示器的基础上计算非线性权。采用WENO-Z方法定义：

非线性权为：

在本专利的模拟过程中取ε＝10^-5。

步骤7.求出数值通量分裂f^-(u)在点

的多重分辨三角函数WENO格式的三角函 数重构多项式：

数值通量

的重构关于

是镜面对称的。

其次，将计算结果代入含有时间导数项的空间半离散有限差分格式，得到关于时间导数 的常微分方程。最后，采用四阶TVB Runge-Kutta离散公式：

得到时空全离散有限差分格式，其中，u⁽¹⁾,u⁽²⁾为中间过渡值，Δt为时间步长，上标n表 示第n时间层，L(uⁿ),L(u⁽¹⁾),L(u⁽²⁾)为-f_x(u)的高阶空间离散形式的近似值。

所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，初始状态值已知，通过迭代公 式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。对于二维问题， 逐维用上面的重构过程。

下面给出几个算例作为本发明所公开方法的具体实施算例。

例1.解一维Euler方程

其中ρ时密度，u是x方向的速度，E是总能量，p是压强。初始条件是① ρ(x,0)＝1+0.99sin(x)；②ρ(x,0)＝1+0.999sin(x)；③ρ(x,0)＝1+0.99999sin(x)；且u(x,0)1＝， p(x,0)＝1，γ＝1.4。x的计算区域为[0,2π]，满足周期边界条件。密度的精确解分别是① ρ(x,t)＝1+0.99sin(x-t)；②ρ(x,t)＝1+0.999sin(x-t)；③ρ(x,t)＝1+0.99999sin(x-t)。分别 数值计算①t＝0.1；②t＝0.01；③t＝0.0001时的解。经典的WENO-JS格式对第③种情况不起 作用，因为用其计算的密度产生负值。用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式和经典 WENO-JS格式数值模拟得到的密度的误差和数值精度如表1和2所示，显然三角函数WENO 格式和WENO-JS格式都达到了理论精度，且在相同网格情下三角函数WENO格式得到的数 值误差比WENO-JS格式的更小。在表3中，我们给出了用三角函数WENO格式得到的密度的数值误差和精度，三角函数WENO3，三角函数WENO5和三角函数WENO7格式在模拟 时没有崩掉都能达到它们的最优数值精度阶。所以，在这不同初始条件下的一维Euler问题 基准测试中，三角函数WENO格式比WENO格式更有效，更稳健。

表1

表2

表3

例2.Sedov爆炸波问题。这个问题包含非常低的密度和强激波。计算区域是[-2,2]，初 始条件是p＝1，u＝0，除了在中心单元其它任何位置E＝10^-12。入口和出口分 别设在左右边界处。最终计算时间为t＝0.001。WENO-JS格式不适用于本算例。图2a-2i展 示了用三角函数WENO格式得到的密度，速度和压强，显然用三角函数WENO格式很好的 模拟了该极端测试用例。

例3.双稀疏波问题。这个问题包含非常低的密度和强激波，且很难直接被模拟。初始条 件是x∈[-1,0)时(ρ,u,p,γ)^T＝(7,-1,0.2,1.4)^T，x∈[0,1]时(ρ,u,p,γ)^T＝(7,1,0.2,1.4)^T。入口和出 口分别设在左右边界处。最终计算时间为t＝0.6。WENO-JS格式不适用于本算例。图3a-3i 展示了用三角函数WENO格式得到的密度，速度和压强，显然用三角函数WENO格式很好 的模拟了该极端测试用例。

例4.Leblanc问题。初始条件是x∈[-10,0)时(ρ,u,p,γ)^T＝(2,0,10⁹,1.4)^T，x∈[0,10]时 (ρ,u,p,γ)^T＝(0.001,0,1,1.4)^T。入口和出口分别设在左右边界处。最终计算时间为t＝0.0001。 WENO-JS格式不适用于本算例。图4a-4i展示了用三角函数WENO格式得到的密度，速度和 压强，显然用三角函数WENO格式很好的模拟了该极端测试用例。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开 的实施例不必定义在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以 及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是因为 本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单 独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域 中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本 发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (5)

1.一种有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，其特征在于，所述模拟方法包括：

S1：将双曲守恒律方程离散为空间半离散的常微分方程，采用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值；

S2：采用四阶TVB Runge-Kutta时间离散公式将空间半离散有限差分格式离散成时空全离散高精度有限差分格式；

S3：根据时空全离散高精度有限差分格式得到下一时间层上的近似值；依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值结果。

2.根据权利要求1所述的有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，其特征在于，步骤S1中，所述采用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值的过程包括以下步骤：

S11：选择一系列中心空间模板，重构不同精度的三角函数多项式；

S12：获得重构的不同精度的三角函数多项式的等价表达式；

S13：取满足和为1的任意正数作为线性权；

S14：计算用于衡量三角函数重构多项式在目标单元上的光滑程度的光滑指示器；

S15：在线性权和光滑指示器的基础上计算非线性权；

S16：求出数值通量在目标单元边界处的近似值，得到空间半离散有限差分格式。

3.根据权利要求1所述的有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，其特征在于，设一维双曲守恒律方程为：

所述将双曲守恒律方程离散为空间半离散的常微分方程，采用新型有限差分多重分辨三角函数WENO格式重构数值通量的高阶逼近值的过程包括：

获取所述一维双曲守恒律方程的空间半离散近似格式的形式为：

其中，u_t表示u对t求导，f_x(u)表示f(u)对x求导，u₀表示初始状态值，L(u)表示-f_x(u)的空间离散形式；

将空间离散成统一长度的网格单元单元长度

单元中心即半点为

其中i为坐标序号，u_i(t)表示点值u(x_i,t)的精确解的近似值，有

其中，

表示近似的三阶、五阶或七阶精度的数值通量，以确保在点x＝x_i处以同阶精度近似到f_x(u)；

求通量f(u)在目标单元I_i的边界和处的高阶近似值和

4.根据权利要求3所述的有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，其特征在于，所述求通量f(u)在目标单元I_i的边界

和处的高阶近似值

和

的过程包括以下步骤：

步骤1.将通量f(u)分裂为f(u)＝f⁺(u)+f^-(u)，其中

用其自身风向分别近似每一项；

采用Lax-Friedrichs通量分裂

其中

将数值通量分裂为：

步骤2.选择一系列中心空间模板，并重构不同次数的三角函数多项式：

(1)对于三阶空间近似，选择两个空间中心模板T₁＝{I_i}和T₂＝{I_i-1,I_i,I_i+1}；

在三角函数空间上重构多项式q₁(x)∈span{1}和三角函数多项式

使得：

j＝i

且

j＝i-1,i,i+1；

(2)对于五阶空间近似，选择空间中心模板T₃＝{I_i-2,...,I_i+2}，在三角函数空间上重构三角函数多项式：

使得：

j＝i-2,...,i+2；

(3)对于七阶空间近似，选择空间中心模板T₄＝{I_i-3,...,I_i+3}，在三角函数空间上重构三角函数多项式：

使得：

j＝i-3,...,i+3；

步骤3.获得重构的不同的三角函数多项式的等价表达式：

令p₁(x)＝q₁(x)且

其中且

l₂＝2,3,4；

步骤4.任意取和为一的正数作为线性权，设线性权为

其中

l＝1,...,l₂且l₂＝2,3,4；

步骤5.计算光滑指示器，用于衡量三角函数重构多项式在目标单元上的光滑度：

l₂＝2,3,4

步骤6.在线性权和光滑指示器的基础上计算非线性权：

采用WENO-Z方法定义：

l₂＝2,3,4

非线性权为：

l₁＝1,...,l₂；l₂＝2,3,4

其中，模拟过程中取ε＝10^-5；

步骤7.求出数值通量分裂f^-(u)在点

的多重分辨三角函数WENO格式的三角函数重构多项式：

l₂＝2,3,4

其中，数值通量的重构关于是镜面对称的。

5.根据权利要求3或者4所述的有限差分多重分辨三角函数WENO格式的模拟方法，其特征在于，所述采用四阶TVB Runge-Kutta时间离散公式将空间半离散有限差分格式离散成时空全离散高精度有限差分格式的过程包括：

采用四阶TVB Runge-Kutta离散公式：

得到时空全离散有限差分格式，其中，u⁽¹⁾,u⁽²⁾为中间过渡值，Δt为时间步长，上标n表示第n时间层，L(uⁿ),L(u⁽¹⁾),L(u⁽²⁾)为-f_x(u)的高阶空间离散形式的近似值。

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