CN112307418B - 一种新型weno格式的高精度分数阶导数逼近方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，包括在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯‑雅可比积分法求解弱奇异积分；对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge‑Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知；根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。该方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。

Description

一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法
技术领域
本发明属于计算流体力学工程技术领域，具体涉及一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法。
背景技术
高精度有限差分和有限体积WENO格式被用于求解含有不连续点的分段光滑解问题。Liu，Osher和Chan等于1994年率先提出第一种三阶有限体积WENO格式，提高了计算结果的利用率并且使得r阶精度的ENO格式提高到r+1阶数值精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了高阶有限差分WENO格式的构造策略，使得数值精度能够提高到2r-1阶数值精度，并设计出新光滑因子和非线性权的构造框架。
由于经典WENO格式的实现过程中，线性权依赖于母模板的空间网格分布，且其求解过程相当复杂。因此，2016年Zhu和Qiu改善了该WENO格式，在维持WENO格式数值精度不减的情况下，随机选取大于零且总和为一的线性权。这些格式已被成功地用到很多应用领域，特别是包含激波和复杂解结构的问题，比如模拟可压缩湍流系统和空气声学系统等。但以上WENO格式都是集中离散一阶空间导数。在2011年，Liu和Shu提出了一种带二阶导数项的六阶有限差分WENO(WENO6)格式的空间离散方法。
分数阶微分方程的数值求解方法在过去几十年中得到了迅速发展。如采用直线法和有限差分法求解空间分数阶微分方程，利用有限元方法求解空间/时间-空间分数阶微分方程，利用谱方法求解时空分数阶扩散方程等。然而，对于不连续分数阶微分方程的数值求解，研究成果一直很少。在2013年，Deng和Du将WENO格式扩展到解可能是不连续的分数阶微分方程。其基本思想是将Caputo导数分解为经典二阶导数和弱奇异积分，然后利用WENO6格式离散二阶导数和利用高斯-雅可比积分求解弱奇异积分。但WENO6格式在实现过程中，对于线性权和非线性权的计算过程十分复杂繁琐，并有较大的局限性。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，能针对解可能是不连续的分数阶微分方程问题，进行高精度数值模拟。
为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：
一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，包括：
步骤1.在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分；
步骤2.对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知；
步骤3.根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。
为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：
上述的步骤1所述分数阶微分方程为：
其中1＜α＜2，x∈[a,b]，c1和c2是非负常数且c1c2≠0，左和右α阶Caputo分数阶导数定义如下：
上述的步骤1包括：
步骤1.1：将分数阶导数分解为二阶导数和弱奇异积分部分，则分数阶微分方程改写为：
步骤1.2：利用具有权函数(1-η)1-α和(1+η)1-α的高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分，利用新型WENO格式离散经典二阶导数：
其中将空间离散成统一长度的网格单元Ii＝[xi,xi+1]，h＝Δx＝xi+1-xi是空间步长，vi(t)是点值v(xi,t)的数值逼近，表示数值通量；
步骤1.3：计算数值通量和/>的WENO重构值；
步骤1.4：将WENO重构值计算结果代入离散经典二阶导数，再结合高斯-雅可比积分法，则方程为含有时间导数项的半离散有限差分格式，最终得到关于时间导数的常微分方程。
上述的步骤1.3所述计算数值通量的WENO重构值，包括：
步骤1.3.1.选取六个均匀点的大模板T1＝[xi-2,xi-1,xi,xi+1,xi+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T2＝[xi-1,xi,xi+1]和T3＝[xi,xi+1,xi+2]，在T1、T2、T3每个模板上分别重构多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)；
步骤1.3.2.通过任取三组和为1的线性权；
步骤1.3.3.通过经典的计算公式求出代数多项式p1(x)，p2(x)，p3(x)在目标单元上的光滑指示器用于衡量模板的上函数的光滑程度并据此计算非线性权；
步骤1.3.4.求出数值通量和/>的WENO重构值。
上述的步骤1.3.1所述在T1、T2、T3每个模板上分别构造多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，先考虑大模板T1，设
考虑大模板T1上最多五次的h(x)的多项式逼近
h(x)≈q(x)＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5； (8)
则有
将b(u(-2Δx))＝b(ui-2),...,b(u(3Δx))＝b(ui+3)代入上式解出系数，则可求得多项式
同理求得多项式p2(x)和p3(x)；
得到每个模板上的多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，如下：
上述的步骤1.3.2任意取三组和为1的线性权：①γ1＝0.98，γ2＝0.01，γ3＝0.01，②γ1＝1/3，γ2＝1/3，γ3＝1/3和③γ1＝0.01，γ2＝0.495，γ3＝0.495。
上述的步骤1.3.3所述光滑指示器βm计算公式为：
其中，m＝1,2,3表示对应模板序号，表示多项式pm(x)对x的l阶导数，r1＝4，r2＝1，r3＝1。
上述的步骤1.3.3，利用线性权γm和光滑指示器βm计算非线性权ωm，其计算公式为：
其中，τ为计算过程中的过渡值，ε＝10-6。
上述的步骤1.3.4所述数值通量的WENO重构值计算公式为：
本发明具有以下有益效果：
1、本发明给出了笛卡尔网格下解分数阶微分方程问题的新型有限差分WENO高精度数值计算格式的构造过程，有效的解决了可能含有不连续解的分数阶微分方程的数值模拟问题，相比于WENO6格式，本发明新型WENO格式中的相关线性权不再被负值所限制，而是被设为和为一的任意正数，同时极大的简化了非线性权的求解过程，因本发明新型WENO格式具有更简便更易拓展到高维空间的优势。
2、本发明方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。
附图说明
图1是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图2是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图3是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图4是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图5是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图6是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图7是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图8是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图9是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.2时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图10是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.4时，在T＝0.001处的数值模解拟图。
图11是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.6时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图12是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③和分数阶导数α＝1.8时，在T＝0.001处的数值解模拟图。
图13是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①，时间步长τ＝0.4h2和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图14是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②，时间步长τ＝0.4h2和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图15是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③，时间步长τ＝0.4h2和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图16是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权①，时间步长τ＝0.3h1.8和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图17是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权②，时间步长τ＝0.3h1.8和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图18是在实施算例分数阶微分方程问题中，取线性权③，时间步长τ＝0.3h1.8和分数阶导数α＝1.8时，在T＝1,2,3处的数值解模拟图。
图19是本发明方法流程图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明的实施例作进一步详细描述。
本发明的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，包括：
步骤1.在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分；
所述分数阶微分方程为：
其中1＜α＜2，x∈[a,b]，c1和c2是非负常数且c1c2≠0，左和右α阶Caputo分数阶导数定义如下：
所述步骤1包括：
步骤1.1：将分数阶导数分解为二阶导数和弱奇异积分部分，则分数阶微分方程可改写为：
步骤1.2：利用具有权函数(1-η)1-α和(1+η)1-α的高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分，利用新型WENO格式离散经典二阶导数：
其中将空间离散成统一长度的网格单元Ii＝[xi,xi+1]，h＝Δx＝xi+1-xi是空间步长，vi(t)是点值v(xi,t)的数值逼近，表示数值通量；
步骤1.3：计算数值通量和/>的WENO重构值；
步骤1.3所述计算数值通量的WENO重构值，包括：
步骤1.3.1.选取六个均匀点的大模板T1＝[xi-2,xi-1,xi,xi+1,xi+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T2＝[xi-1,xi,xi+1]和T3＝[xi,xi+1,xi+2]，在T1、T2、T3每个模板上分别重构多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)；
步骤1.3.1所述在T1、T2、T3每个模板上分别构造多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，先考虑大模板T1，设
考虑大模板T1上最多五次的h(x)的多项式逼近
h(x)≈q(x)＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5； (8)
则有
将b(u(-2Δx))＝b(ui-2),...,b(u(3Δx))＝b(ui+3)代入上式解出系数，则可求得多项式
同理可以求得多项式p2(x)和p3(x)；
得到每个模板上的多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，如下：
步骤1.3.2.通过任取三组和为1的线性权，可有效避免复杂的最优线性权的计算过程；
实施例中，取三组和为1的线性权：①γ1＝0.98，γ2＝0.01，γ3＝0.01，②γ1＝1/3，γ2＝1/3，γ3＝1/3和③γ1＝0.01，γ2＝0.495，γ3＝0.495。
步骤1.3.3.通过经典的计算公式求出代数多项式p1(x)，p2(x)，p3(x)在目标单元上的光滑指示器用于衡量模板的上函数的光滑程度并据此计算非线性权；即计算光滑指示器βm，用于衡量重构多项式pm(x),m＝1,2,3.在目标单元上的光滑度。并通过线性权γm和光滑指示器βm计算出非线性权ωm。
光滑指示器βm计算公式为：
其中，m＝1,2,3表示对应模板序号，表示多项式pm(x)对x的l阶导数，r1＝4，r2＝1，r3＝1。
利用线性权γm和光滑指示器βm计算非线性权ωm，其计算公式为：
其中，τ为计算过程中的过渡值，ε＝10-6。
步骤1.3.4.求出数值通量的WENO重构值。
所述数值通量的WENO重构值计算公式为：
同理，求出数值通量的WENO重构值。
步骤1.4：将WENO重构值计算结果代入离散经典二阶导数，再结合高斯-雅可比积分法，则方程为含有时间导数项的半离散有限差分格式，最终得到关于时间导数的常微分方程。
步骤2.对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式。
将空间离散完毕后，利用三阶TVD Runge-Kutta离散时间导数方法，得到时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知。
步骤3.根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。
时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，初始状态值已知，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。
下面给出算例作为本发明所公开方法的具体实施算例。
实施例1：给出以下分数阶微分方程
初始条件为：
边界条件为：
u(-L,t)＝1,u(L,t)＝0； (19)
其中V＝0.5和L＝1或10。
在图1-12的数值模拟中，取D＝0.02，L＝1,h＝2/N,网格点N＝100，时间步长τ＝0.4h2，图1-4，图5-8，图9-12分别给出了不同阶次分数阶导数α＝1.2,1.4,1.6,1.8在T＝0.001的数值解，可以注意到，对于不同α数值模拟保留了尖锐的过渡。
在图13-15的数值模拟中，取D＝0.2，L＝10,h＝20/N，网格点N＝200，时间步长τ＝0.4h2，图13-15给出了分数阶导数α＝1.8在T＝1,2,3的数值解。
在图16-18的数值模拟中，取D＝0.2，L＝10,h＝20/N，网格点N＝200，时间步长τ＝0.3h1.8，图16-18给出了分数阶导数α＝1.8在T＝1,2,3的数值解。
综上所述，一方面，本发明将Caputo分数阶导数(1＜α≤2)分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分。构造高精度分数阶导数逼近方法，该方法能在解的光滑区域达到六阶精度，并能在不连续的强间断区域保持基本无振荡的性质。另一方面，新型WENO格式采用的线性权不再需要通过繁冗的数值计算得到最优解，可设为满足和为一的任意正数，相比以前提出的高阶有限差分WENO格式更简便，鲁棒性更强，更易于推广到高维空间的情形。利用新型WENO格式构造的高精度分数阶导数逼近方法能有效地模拟经典数值算例，并充分验证本发明的有效性和可靠性。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，包括：
步骤1.在笛卡尔坐标系下，将分数阶微分方程中的Caputo分数阶导数α分解为经典二阶导数和弱奇异积分，并利用新型WENO格式离散经典二阶导数，利用高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分，其中1＜α≤2；
步骤2.对方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式，所述时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，且初始状态值已知；
步骤3.根据时空全离散有限差分格式，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值；
步骤1所述分数阶微分方程为：
其中1＜α＜2，x∈[a,b]，c1和c2是非负常数且c1c2≠0，左和右α阶Caputo分数阶导数定义如下：
所述步骤1包括：
步骤1.1：将分数阶导数分解为二阶导数和弱奇异积分部分，则分数阶微分方程改写为：
步骤1.2：利用具有权函数(1-η)1-α和(1+η)1-α的高斯-雅可比积分法求解弱奇异积分，利用新型WENO格式离散经典二阶导数：
其中将空间离散成统一长度的网格单元Ii＝[xi,xi+1]，h＝Δx＝xi+1-xi是空间步长，vi(t)是点值v(xi,t)的数值逼近，表示数值通量；
步骤1.3：计算数值通量和/>的WENO重构值；
步骤1.4：将WENO重构值计算结果代入离散经典二阶导数，再结合高斯-雅可比积分法，则方程为含有时间导数项的半离散有限差分格式，最终得到关于时间导数的常微分方程。
2.根据权利要求1所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，步骤1.3所述计算数值通量的WENO重构值，包括：
步骤1.3.1.选取六个均匀点的大模板T1＝[xi-2,xi-1,xi,xi+1,xi+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T2＝[xi-1,xi,xi+1]和T3＝[xi,xi+1,xi+2]，在T1、T2、T3每个模板上分别重构多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)；
步骤1.3.2.通过任取三组和为1的线性权；
步骤1.3.3.通过经典的计算公式求出代数多项式p1(x)，p2(x)，p3(x)在目标单元上的光滑指示器用于衡量模板的上函数的光滑程度并据此计算非线性权；
步骤1.3.4.求出数值通量和/>的WENO重构值。
3.根据权利要求2所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，步骤1.3.1所述在T1、T2、T3每个模板上分别构造多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，先考虑大模板T1，设
考虑大模板T1上最多五次的h(x)的多项式逼近
h(x)≈q(x)＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5； (8)
则有
将b(u(-2Δx))＝b(ui-2),...,b(u(3Δx))＝b(ui+3)代入上式解出系数，则可求得多项式
同理求得多项式p2(x)和p3(x)；
得到每个模板上的多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，如下：
4.根据权利要求2或3所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，步骤1.3.2任意取三组和为1的线性权：γ1＝0.98，γ2＝0.01，γ3＝0.01；γ1＝1/3，γ2＝1/3，γ3＝1/3和γ1＝0.01，γ2＝0.495，γ3＝0.495。
5.根据权利要求4所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，步骤1.3.3所述光滑指示器βm计算公式为：
其中，m＝1,2,3表示对应模板序号，表示多项式pm(x)对x的l阶导数，r1＝4，r2＝1，r3＝1。
6.根据权利要求4所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，所述步骤1.3.3，利用线性权γm和光滑指示器βm计算非线性权ωm，其计算公式为：
其中，τ为计算过程中的过渡值，ε＝10-6。
7.根据权利要求4所述的一种新型WENO格式的高精度分数阶导数逼近方法，其特征在于，步骤1.3.4所述数值通量的WENO重构值计算公式为：
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HWENO-LW格式与浸入边界法在笛卡尔网格中的应用;王镇明;朱君;赵宁;;江苏师范大学学报(自然科学版);20180815(03);全文 *

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