CN110781443B - 一种多尺度量子电磁耦合的含时计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多尺度量子电磁耦合的含时计算方法。该方法将计算区域分成量子区域（QM）和经典电磁（EM）区域，并在两区域界面处进行参数传递，对两区域均采用隐式差分格式求解方程，实现量子与经典电磁多尺度耦合计算。当电磁波穿透量子力学区域时，整个系统可以用麦克斯韦方程统一地确定区域内的场分布，同时结合漂移扩散方程对系统的电荷输运进行描述。将电磁区域的瞬态势分布作为量子区域模拟的边界条件，同时将量子区域采用含时密度泛函紧束缚方法计算出的电流密度代入电磁区域的经典电磁方程组中。本方法搭建的多尺度耦合计算平台中QM与EM区域都采用了隐式时间差分，因此时间步相比已有工作得到放大，从而提高计算效率。

Description

一种多尺度量子电磁耦合的含时计算方法

技术领域

本发明属于纳米半导体器件的瞬态电特性分析领域，特别是一种针对低维材料构成的半导体器件的数值分析方法。

背景技术

随着集成电路的广泛应用，电子器件不断向微小尺度发展，纳米技术逐渐兴起。在这种趋势下，对于电子器件的模拟也逐渐从宏观转向微观，并逐渐成为重要研究方向。对于纳米器件的电磁特性研究，经典电磁学理论不再适用。量子电磁学是电磁学向微观领域的发展，对于研究不同纳米器件的电磁特性、电热特性、光电效应以及输运性质有着重要意义。

现代计算机的问世，标志着计算科学已成为过去数十年来科学研究的一个新领域。与传统的研究形式不同，通过计算机模拟和计算机实现的数学模型分析来解决各种问题。计算机硬件、算法和数学技术的进步使理论模型能够通过计算机程序进行模拟。由于实验研究的成本增加，也有些受到技术限制，许多实验无法实现，通过理论研究中，计算科学能够填补一些开放性的空白，为一些实验提供理论预测。今天，实验、理论和计算被认为是理解科学与工程中复杂现象的三要素。

大多数科学和工程中问题都涉及到时间和空间的不同尺度。例如，集成电路的长度比例是以厘米为单位，但电子设备的持续小型化要求在纳米尺度上建模，以准确描述晶体管。为了模拟多尺度计算，还有许多问题亟待解决。例如，在模拟这些问题的过程中，用最小的单位来表示所有尺度是不可行的，因为需要消耗非常高的计算时间与内存成本。纳米结构的物理和化学性质会随着精细结构的变化而发生巨大的变化，在较为粗糙的水平上进行模拟，而忽略了细节，极有可能得出不正确的结果。在这种情况下，多尺度方法通过应用额外的简化来降低总计算成本，同时保留系统的重要属性，成为一种兼顾计算与准确性的有效手段，其核心因素为：系统的属性通常由其中的一小部分决定，而其余的属性的重要性将大大降低。针对上述多尺度问题，现有发表的论文将量子与传统电磁多尺度建模耦合，并利用显式差分格式对方程组进行时间离散，但是显式差分的缺点(为了满足稳定性条件，须减小时间步)给量子电磁多尺度耦合计算带来了巨大的时间计算成本。

发明内容

本发明的目的在于提供一种可以分析微小尺度半导体器件的量子电磁耦合多尺度耦合计算方法，通过隐式求解实现快速得到器件的含时电流响应。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种多尺度的含时量子电磁多尺度耦合模拟方法，步骤表述如下：

第一步，将微观尺度的半导体器件分为沟道区和衬底区，因沟道尺度较小，量子效应明显，器件的主要电参数分布程度较为集中，因此将此区域称为量子区域；而衬底尺度较大，对器件电特性影响较小，因此将此区域成为电磁区域。量子部分通过原子建模的方式，获得原子坐标、键长、原子间相互作用等信息，而电磁部分采用传统电磁建模方式，利用正六面体网格进行剖分，获得关于模型结构的完整信息，包括每个结点编号和坐标以及点、棱、体之间的关系等；

第二步，对量子区域进行利用密度泛函理论进行基态计算，获得含时量子计算的初值；

第三步，从漂移扩散方程和麦克斯韦方程组出发，对方程组利用隐格式的有限体积法进行求解，其中，电子密度，空穴浓度和电势定义在网格点上，矢量势定义在网格棱边上；利用全耦合牛顿迭代方法求解方程组，结合狄利克雷边界条件和纽曼边界条件，求解得到各节点的电势分布和磁矢分布；

第四步，将界面处电势作为量子区域的边界条件，建立含时运动方程，采用二阶龙格库塔隐式方法对方程进行展开，并结合微扰理论求解电子密度，将更新的电子密度以及电磁区域的磁矢分布代入泊松方程得到系统电势分布，进而更新系统的哈密顿量，再将哈密顿量代入运动方程进行自洽求解，如此反复循环，直到运动方程达到收敛条件，此时的电子密度、哈密顿量决定了当前时刻的系统状态，并由此计算出电流；

第五步，利用求解出来的器件端口电流值，求解端口的电流密度，此电流密度将作为下一时刻电磁区域的源；

第六步，再次进行第三步至第五步，获得下一时刻的电流，以此类推，不断循环第三步至第五步，从而获得所设时间周期内的系统随时间变化的含时响应结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)本发明方法搭建的多尺度耦合计算平台中QM与EM区域都采用了隐式时间差分，因此时间步相比已有工作得到放大，从而提高计算效率。(2)本发明将方法应用于基于一维碳纳米管构建的纳米尺度器件中，计算器件在工作时的瞬态电流响应曲线，对器件的输运性质进行分析。

附图说明

图1QM/EM模型示意图。

图2是本发明计算得到硅基半导体器件在左电极偏置电压。

图3是本发明计算得到的显式和隐式QM/EM计算电流对比。

具体实施方式

本发明研究的多尺度问题采用量子力学/电磁学(QM/EM)方法，分别把握量子力学和经典电磁方法的优点，为研究纳米尺度的器件仿真提供了一个通用框架，可用于研究不同纳米器件中电荷载体与电磁场之间的相互作用，包括场效应晶体管、光伏和等离子体器件。本发明将本方法应用于基于一维碳纳米管构建的纳米尺度器件中，计算器件在工作时的瞬态电流响应曲线，对器件的输运性质进行分析。

该方法将计算区域分成量子区域(QM)和经典电磁(EM)区域，并在两区域界面处进行参数传递，对两区域均采用隐式差分格式求解方程，实现量子与经典电磁多尺度耦合计算。当电磁波穿透量子力学区域时，整个系统可以用麦克斯韦方程统一地确定区域内的场分布，同时结合漂移扩散方程对系统的电荷输运进行描述。将电磁区域的瞬态势分布作为量子区域模拟的边界条件，同时将量子区域采用含时密度泛函紧束缚方法计算出的电流密度代入电磁区域的经典电磁方程组中。其中，针对半导体器件，在电磁区域中计算漂移扩散方程和麦克斯韦方程，采用隐式的有限体积法求解；在量子区域也采用隐式时间差分，自洽求解含时运动方程与泊松方程，结合格林函数和微扰近似方法求解电子输运特性。

下面结合说明书附图1-3和实施例对本发明作进一步描述。

一、模型方程的电磁区域求解

用全耦合方法求解麦克斯韦方程组和瞬态漂移-扩散方程。首先对电磁区域进行求解。

1.麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是宏观电磁理论中的最基本的数学表达式，其微分形式可以描述空间任意一点的场的变化规律。在EM/QM方法中，器件内部电磁特性在时间域和空间域的演化通过采用麦克斯韦方程组和其辅助方程的推导形式来描述，其微分形式如下：

其中D、E、B和H分别表示电位移矢量、电场强度、磁感应强度和磁场强度。ρ和J分别表示电荷和电流密度。

利用媒质的本构关系将D、E、B和H联系起来。本构方程组为：

D＝εE (1.5)

B＝μH (1.6)

其中ε和μ分别是媒质的介电常数和磁导率。

引入矢量磁位和标量电位可以更方便地描述电场和磁场，改写麦克斯韦方程组，以简化电磁场的分析。由于一个矢量的旋度再取散度恒等于零，利用磁场的无散度特征，引入一个矢量函数，得到如下关系式：

将式(1.7)代入式(1.1)，可知是无旋的，可以用一个标量函数的梯度表示，则有：

式中，A为矢量磁位和V为标量电位。

代入式(1.2)(1.4)中，可以得到：

其中，J_D表示位移电流。电荷密度的表达式为：

ρ＝q(p-n+N_D-N_A) (1.21)n和p分别表示电子和空穴密度，N_D和N_A分别为掺杂而产生的施主杂质浓度和受主杂质浓度，在时间演化过程中，假定掺杂浓度与时间无关，即载流子生成速率R视为零。

上式中矢量位和标量位并不是唯一的。确定矢量场需要同时规定该场的散度和旋度，而(1.7)式只规定了矢量A的旋度，没有规定散度，因此采用洛伦兹规范使得A和V唯一确定。洛伦兹规范条件为：

为了避免在计算中涉及变量A的二阶时间导数的计算，引入一个新的变量Π来替代A的一阶时间导数：

代入式(1.9)和式(1.10)可以得到：

此时，描述系统电磁特性的物理量从电场与磁场转变为矢量磁位和标量电位，待求量为A、V、Π，且方程中只包含它们的一阶时间偏导项。此外，对麦克斯韦方程做这样的变换也是为了与量子区域的哈密顿量统一起来，方便进行量子电磁耦合。

2.漂移扩散方程

对半导体应用漂移扩散模型，载流子的流动分为漂移运动和扩散运动。漂移运动指载流子在外场的作用下的定向移动，由此产生了漂移电流；扩散运动指载流子由浓度较高的地方向浓度较低的地方移动，由此产生了扩散电流。电子电流密度J_n和空穴电流密度J_p表示为：

其中，n为电子密度，p为空穴浓度和V为电势，q为元电荷，μ_n和μ_p分别表示电子和空穴的迁移率，k_B表示玻尔兹曼常数，T表示温度，通常设定T＝300K。

载流子电流连续性方程如下所示：

其中，R是载流子的生成速率。

将载流子电流密度和连续性方程重新整理，得：

3.方程组归一化

对于将上述麦克斯韦方程组和漂移扩散方程组中的变量采用表1归一化参数表进行归一化处理，得出归一化的方程组

表1归一化参数表

因此利用表1中的参数归一化表对电磁区域所需求解的式(1.15)，(1.16)，(1.24)，(1.25)进行归一化，如下：

式中ε_r为相对介电常数，K＝(1/c²)(λ/τ)²，c为光速。

利用隐格式的有限体积法对上述方程进行时间差分和空间差分，并对该方程组采用牛顿迭代方法进行求解。注意，计算模型中电磁区域包含：量子区域、衬底以及金属电极，在接触面根据电流连续性方程设置边界条件。

一、模型方程的量子区域求解

根据量子区域的原子建模，基于密度泛函理论构建描述系统量子输运的运动方程，表示为：

式中h_D(t)和σ_D(t)为中心散射区的哈密顿矩阵和密度矩阵，Q_α(t)为耗散项，L和R分别为左右电极。

对上式(2.1)采用二阶龙格库塔隐格式方法进行时间差分：

式中k为当前时间步，k-1为上一时间步。

泊松方程表示为：

式中为量子区域的电势。

将运动方程与泊松方程进行自洽求解，当每一步自洽迭代满足收敛条件后，即可认为得出的电子密度和哈密顿量符合当前时刻系统的状态，计算出量子区域的电流：

J_α(t)＝-tr[Q_α(t)] (2.4)

三、隐式QM/EM及在硅基半导体上的应用

QM/EM平台适用于EM区域远大于QM区域的体系，且EM模型涉及到求解漂移扩散方程组，为非线性计算，因而在每一个时间步上的计算时间较长。为了使QM/EM接口处的插值计算获得较为准确的结果，EM模型的剖分网格不能太大，因此采用隐格式计算，具有无条件稳定的特性。而QM模型采用显式四阶龙格-库塔方法，在时间步长足够小时刻直接求解，不需要进行与泊松方程的自洽。因而需要在较小的时间步上进行计算，以获得较为准确的结果。由于该计算平台需要QM和EM在时间上保持同步，这样就使得整个计算平台受到QM模型的时间步限制，无法发挥出EM部分隐格式的优势，使得计算时间大大拉长。

将QM/EM方法应用于连接到两个铝电极上的碳纳米管电子器件，整个器件的尺寸为8×5×5nm³，其横截面如图1所示。其中，中心散射区采用的是(5,5)单壁碳纳米管，其半径约为0.67nm，铝电极以16个原子为1个周期，在碳纳米管两端各扩8个周期，共同被封在QM区域，其大小为4×1×1nm³，处于器件中心，被硅衬底包围，共有128个铝原子和60个碳原子(计算电极时左右各取32个铝原子)。QM计算得到的电流为穿过S面的电流，在该模型中，S面为左电极中点处的截面。

表2显式和隐式QM/EM计算时间

综上所述，本发明在现有成果的基础上，首次将隐式时间差分格式引入进量子电磁耦合计算中，从而可放大时间步，从而缩小计算时间。

Claims (2)

1.一种多尺度量子电磁耦合的含时计算方法，其特征在于，步骤如下：

第一步，将微观尺度的半导体器件分为沟道区和衬底区，沟道区为量子区域；衬底区为电磁区域；量子区域通过原子建模的方式，获得原子坐标、键长和原子间相互作用信息，电磁区域采用传统电磁建模方式，利用正六面体网格进行剖分，获得关于模型结构的完整信息，包括每个节点编号和坐标以及点、棱和体之间的关系；

第二步，对量子区域利用密度泛函理论进行基态计算，获得含时量子计算的初值；

第三步，从漂移扩散方程和麦克斯韦方程组出发，对方程组利用隐格式的有限体积法进行求解，其中，电子密度，空穴浓度和电势定义在网格点上，矢量势定义在网格棱边上；利用全耦合牛顿迭代方法求解方程组，结合狄利克雷边界条件和纽曼边界条件，求解得到各节点的电势分布和磁矢分布；

第四步，将界面处电势作为量子区域的边界条件，建立含时运动方程，采用二阶龙格库塔隐式方法对方程进行展开，并结合微扰理论求解电子密度，将更新的电子密度以及电磁区域的磁矢分布代入泊松方程得到系统电势分布，进而更新系统的哈密顿量，再将哈密顿量代入运动方程进行自洽求解，如此反复循环，直到运动方程达到收敛条件，此时的电子密度、哈密顿量决定当前时刻的系统状态，并由此计算出电流；

第五步，利用求解出来的器件端口电流值，求解端口的电流密度，此电流密度将作为下一时刻电磁区域的源；

第六步，再次执行第三步至第五步，获得下一时刻的电流，以此类推，不断循环第三步至第五步，从而获得所设时间周期内的系统随时间变化的含时响应结果。

2.根据权利要求1所述的多尺度量子电磁耦合的含时计算方法，其特征在于：所述第四步中，在电磁区域进行隐式求解的基础上，量子区域采用隐式求解；在求解电磁区域时，电磁方程组利用牛顿迭代法求解；在求解量子区域时，将含时运动方程与泊松方程自洽迭代求解。