CN110765538B - 一种复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，所述方法是一种用于外部动力荷载作用下复杂结构非线性动力时程分析的固定迭代次数分析方法，其步骤如下：第一步，对复杂结构进行空间有限元离散，建立离散系统的运动方程组；第二步，选取参数和确定全局不变量：第三步，逐时间步计算，计算每个时间步结束时刻的位移、速度和加速度；本发明对传统广义α法的非线性迭代过程进行两处关键的改进，在保证计算精度的前提下，大幅减少了计算工作量，提升了计算效率。

Description

一种复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法

技术领域

本发明属于结构设计技术领域，具体涉及一种用于外部动力荷载作用下复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法。

背景技术

近年来复杂结构逐步增多，如高层、超高层、大跨民用建筑结构，核电厂反应壳、辅助厂房等工业建筑结构，以及斜拉桥、悬索桥等复杂桥梁结构等等。综合《建筑结构荷载规范》、《建筑抗震设计规范》、《核电厂抗震设计规范》、《公路桥梁抗风设计规范》、《铁路桥涵设计规范》、《铁路工程抗震设计规范》等等规范中的相关规定，上述大规模复杂结构在设计阶段，往往需要进行在外部动力荷载作用下的非线性动力时程分析，以精确计算结构和各结构构件每个时刻的动力响应，计算内力包络，以确定结构薄弱部位，并采取适当的构造措施。这些外部动力荷载主要包含风荷载、地震荷载、设备动力荷载、车辆作用荷载、飞机撞击荷载等等。

非线性动力分析需对结构离散模型在潜在外部动力荷载作用各个质点的位移、速度、加速度响应进行高效可靠的计算，常用的方法，主要包含隐式法和显式法两类。其中显式法由于条件稳定性的限制，分析时间步长受模型中最短单元尺寸限制，且无法应用于结构模型中存在零质量、刚性连接的情况。而隐式法由于具备无条件稳定性的特点，得到了更加广泛的应用。

在目前的非线性动力分析方法中，常常采用的是广义α法，该方法包含四个参数γ、β、α_m、α_f，可以将最为常用的Newmark法，HHT法，WBZ法等方法统一，该法能保证结构动力响应中起主要作用的低频响应的计算精度，同时实现对于虚假的高频响应可控的耗散，因而得到了广泛的应用。然而，由于广义α法属于隐式法，计算时需要求解非线性运动方程组，常常采用Newton法以及Newton法的变种进行求解。非线性方程组的计算过程中，需要进行非线性迭代，以及刚度矩阵的更新。而复杂结构的计算模型往往包含了海量的自由度，非线性方程的迭代求解造成了巨大的计算量和存储量。一次动力分析耗时几小时甚至几天，造成了计算资源的大量浪费，且严重影响了设计人员获取分析结果的便利性。

发明内容

针对目前采用广义α法对复杂结构进行动力时程分析时，在求解效率方面存在的问题，本发明对广义α法的非线性迭代过程进行两处关键的改进，提供一种用于外部动力荷载作用下复杂结构非线性动力时程分析的快速分析方法。

本发明的技术方案如下：

一种复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，所述方法是一种用于外部动力荷载作用下复杂结构非线性动力时程分析的固定迭代次数分析方法，步骤如下：

第一步，对所述复杂结构进行空间有限元离散，建立该复杂结构的有限元模型离散系统，梁柱等线构件采用纤维梁模型，墙和板等面构件采用分层壳单元，并采用Rayleigh阻尼建立单元阻尼矩阵，由单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元阻尼矩阵集成整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体阻尼矩阵，并由Hamilton原理导出离散系统的运动方程组，建立离散系统的运动方程组：

其中，u，

和

分别为有限元模型各质点的位移，速度，加速度向量；M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，F_S为非线性回复力，是位移向量的非线性函数；P为外部动力荷载，地震作用时，

为输入的地震动加速度；

第二步，选取参数和确定全局不变量：

1)选取ρ_∞，其中ρ_∞为频率趋近于无穷大时的算法谱半径；由下式依次计算广义α法中的四个控制参数α_m、α_f、γ、β；

其中α_m、α_f为建立的平衡方程时的控制参数，γ、β为位移、速度和加速度关系中的控制参数；

2)选取初始刚度矩阵K₀的放大因子σ；

3)选取时间步长Δt；

4)根据已知的初始位移u₀和初始速度

确定初始加速度

5)计算等效刚度矩阵

其中，K₀为非线性回复力F_S(u)在u₀处雅可比矩阵，即初始刚度矩阵；

第三步，逐时间步计算，计算每个时间步结束时刻的位移、速度和加速度，对于第i个时间步，已知t_i时刻的位移u_i和速度v_i，由下式计算第i个时间步上t_i+1时刻的位移u_i+1、速度

和加速度

1)选取迭代初始解：

2)总共进行n次非线性迭代，n≥2，其中第k次迭代如下：

3)将第n次迭代结果作为目标解

优先地，ρ_∞的取值范围为[0,1]。

优先地，ρ_∞＝1，由此计算得到γ＝0.5，β＝0.25，α_m＝0.5，α_f＝0.5。

优先地，σ取值范围为σ≥1。

优先地，σ取为1。

优先地，时间步长Δt取为基底输入加速度记录

的时间间隔的N倍。

优先地，所述N倍中N取1。

优先地，所述n次非线性迭代中n取2。

优先地，初始位移和初始速度均为0，即u₀＝0且

初始加速度

本发明的改进方法与现有广义α法相比，优点在于：

1)本发明的快速动力时程分析方法仅使用初始刚度矩阵K₀，而无需切线刚度矩阵，故不必更新等效刚度矩阵

只需在逐时间步计算之前，对等效刚度矩阵

进行一次三角分解即可，避免了传统广义α法在每个时间步上重新计算并分解等效刚度矩阵的大量计算。

2)本发明的快速动力时程分析方法采用初始刚度矩阵K₀的放大因子σ，σ的取值范围为σ≥1，对于一般复杂结构的动力分析σ取1，对于结构种含有特别硬化材料的复杂结构，通过取σ大于1的值，可保证算法的无条件稳定性。

3)本发明的快速动力时程分析方法在每个时间步上仅需使用不变的

进行固定次数(n次)的非线性迭代，n≥2，一般的，n＝2即可满足计算需求，避免了传统方法迭代至满足容差所耗费的巨大计算量。

4)本发明的快速动力时程分析方法具有2阶精度，与传统广义α法精度相当。

5)本发明的动力时程分析方法步骤简单，甚至无需编制新的程序，极其容易推广应用。

附图说明

图1高层建筑结构示意图；

图2El-Centro波示意图；

图3广义α法和本发明动力时程分析方法计算的楼顶水平x方向位移对比示意图；

图4广义α法和本发明动力时程分析方法计算的楼顶水平x方向速度示意图；

图5广义α法和本发明动力时程分析方法计算的楼顶水平x方向加速度对比示意图；

具体实施方式

下面结合具体实施例来对本发明进行进一步说明，但并不将本发明局限于这些具体实施方式。本领域技术人员应该认识到，本发明涵盖了权利要求书范围内所可能包括的所有备选方案、改进方案和等效方案。

下面结合附图对本发明的结构原理和工作原理作具体的描述：

以一个复杂高层建筑结构在地震作用下的非线性动力分析为实例，具体阐述本发明的非线性快速动力时程分析方法，复杂高层建筑如图1所示，该模型的前三个周期分别是T₁＝1.815s,T₂＝1.579s和T₃＝0.890s。所述动力时程分析方法包含如下步骤：

第一步，对所述复杂高层建筑进行空间有限元离散，建立该建筑结构的有限元模型离散系统；所述复杂高层建筑包括23945个节点，由8244个钢筋混凝土构件定义的9744个纤维梁单元和由177个剪力墙构件定义的4704个分层壳单元；梁柱采用纤维梁模型，剪力墙和楼板采用分层壳单元，并采用Rayleigh阻尼建立单元阻尼矩阵，由单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元阻尼矩阵集成整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体阻尼矩阵，并由Hamilton原理导出离散系统的运动方程组，建立离散系统的运动方程组：

其中，u，

和

分别为有限元模型各质点的位移，速度，加速度向量；M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，F_S为非线性回复力，是位移向量的非线性函数；本例中外部动力荷载为地震作用，故

为输入的地震动加速度；

该步空间有限元法的离散过程为广泛应用的常规操作，细节不在此赘述。计算阻尼矩阵C时，采用5％的阻尼比，选择第1和第9模态来计算瑞利阻尼系数，包括质量阻尼和初始刚度比例阻尼。

第二步，选取参数和确定全局不变量：

1)选取ρ_∞，其中ρ_∞为频率趋近于无穷大时的算法谱半径；由下式依次计算广义α法中的四个控制参数α_m、α_f、γ、β；

其中α_m、α_f为建立的平衡方程时的控制参数，γ、β为位移、速度和加速度关系中的控制参数；

2)选取初始刚度矩阵K₀的放大因子σ；

本实施例中，采用子方法4，参数选取为σ＝1；ρ_∞＝1，γ＝0.5，β＝0.25，α_m＝0.5，α_f＝0.5

3)选取时间步长Δt，一般取为基底输入加速度记录

的时间间隔的N倍，N一般等于1，本实施例中，在基底输入如图2所示的El Centro地震波，该地震波的加速度记录间隔为0.01s，分析步长采用Δt＝0.01s；

4)根据已知的初始位移u₀和初始速度

确定初始加速度

本实施例中，初始位移和初始速度均为0，即u₀＝0且

故初始加速度

5)计算等效刚度矩阵

其中，K₀为非线性回复力F_S(u)在u₀处雅可比矩阵，即初始刚度矩阵。

第三步，逐时间步计算，计算每个时间步结束时刻的位移、速度和加速度，对于第i个时间步，已知t_i时刻的位移u_i和速度v_i，由下式计算第i个时间步上t_i+1时刻的位移u_i+1、速度

和加速度

1)选取迭代初始解：

2)总共进行n次非线性迭代，n≥2，一般取2，其中第k次迭代如下：

3)将第n次迭代结果作为目标解

本例实施中，n取2.

为了展示本发明的动力时程分析方法高效性和精确性，比较例采用传统的广义α法进行分析，为方便对比，广义α法的参数同样选为，ρ_∞＝1，γ＝0.5，β＝0.25，α_m＝0.5，α_f＝0.5，步长采用Δt＝0.01s，非线性迭代收敛容差选为Tol＝0.001，分析结果如图3-5所示，计算耗费时间为350小时。而采用本发明的动力时程分析方法，其结果和采用传统的广义α法的结果非常接近(2条响应曲线几乎重合)，具体结果如图3-5所示。然而采用本发明方法的计算时间仅为5.2小时，本发明的动力时程分析方法在保证计算效率的前提下，大幅减少了计算工作量，将计算效率提升了67倍。

从实施例中可以看到，本发明的快速动力时程分析方法具备如下优点：

1)本发明的快速动力时程分析方法仅使用初始刚度矩阵K₀，而无需切线刚度矩阵，故不必更新等效刚度矩阵

只需在逐时间步计算之前，对等效刚度矩阵

进行一次三角分解即可，避免了传统广义α法在每个时间步上重新计算并分解等效刚度矩阵的大量计算。

2)本发明的快速动力时程分析方法采用初始刚度矩阵K₀的放大因子σ，σ的取值范围为σ≥1，对于一般复杂结构的动力分析σ取1，对于结构种含有特别硬化材料的复杂结构，通过取σ大于1的值，可保证算法的无条件稳定性。

3)本发明的快速动力时程分析方法在每个时间步上仅需使用不变的

进行固定次数(n次)的非线性迭代，n≥2，一般的，n＝2即可满足计算需求，避免了传统方法迭代至满足容差所耗费的巨大计算量。

4)本发明的快速动力时程分析方法具有2阶精度，与传统广义α法精度相当。

5)本发明的动力时程分析方法步骤简单，甚至无需编制新的程序，极其容易推广应用。

应当理解的是，本发明描述的方法的步骤仅仅是示例性的描述，对其先后进行的时间顺序没有特殊的要求，除非其本身有必然的先后顺序关系。

如上所示，本发明虽然已参照有限的实施例和附图进行了说明，但在本发明所属领域中具备通常知识的人均可以从此记载中进行各种修改和变形。由此，其他实施例及权利要求书与等同物均属于权利要求的保护范围。

Claims (9)

1.一种复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，所述方法是一种用于外部动力荷载作用下复杂结构非线性动力时程分析的固定迭代次数分析方法，其特征在于步骤如下：

第一步，对所述复杂结构进行空间有限元离散，建立该复杂结构的有限元模型离散系统，梁柱等线构件采用纤维梁模型，墙和板等面构件采用分层壳单元，并采用Rayleigh阻尼建立单元阻尼矩阵，由单元刚度矩阵、单元质量矩阵和单元阻尼矩阵集成整体刚度矩阵、整体质量矩阵和整体阻尼矩阵，并由Hamilton原理导出离散系统的运动方程组，建立离散系统的运动方程组：

其中，u，

和

分别为有限元模型各质点的位移，速度，加速度向量；M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，F_S为非线性回复力，是位移向量的非线性函数；P为外部动力荷载，地震作用时，

为输入的地震动加速度；

第二步，选取参数和确定全局不变量：

1)选取ρ_∞，其中ρ_∞为频率趋近于无穷大时的算法谱半径；由下式依次计算广义α法中的四个控制参数α_m、α_f、γ、β；

其中α_m、α_f为建立的平衡方程时的控制参数，γ、β为位移、速度和加速度关系中的控制参数；

2)选取初始刚度矩阵K₀的放大因子σ；

3)选取时间步长Δt；

4)根据已知的初始位移u₀和初始速度

确定初始加速度

5)计算等效刚度矩阵

其中，K₀为非线性回复力F_S(u)在u₀处雅可比矩阵，即初始刚度矩阵；

第三步，逐时间步计算，计算每个时间步结束时刻的位移、速度和加速度，对于第i个时间步，已知t_i时刻的位移u_i和速度v_i，由下式计算第i个时间步上t_i+1时刻的位移u_i+1、速度

和加速度

1)选取迭代初始解：

2)总共进行n次非线性迭代，n≥2，其中第k次迭代如下：

3)将第n次迭代结果作为目标解

2.根据权利要求1所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，ρ_∞的取值范围为[0,1]。

3.根据权利要求2所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，ρ_∞＝1，由此计算得到γ＝0.5，β＝0.25，α_m＝0.5，α_f＝0.5。

4.根据权利要求1所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，σ取值范围为σ≥1。

5.根据权利要求4所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，σ取为1。

6.根据权利要求1-5任一项所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，时间步长Δt取为基底输入加速度记录

的时间间隔的N倍。

7.根据权利要求6所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，所述N倍中N取1。

8.根据权利要求1任一项所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，所述n次非线性迭代中n取2。

9.根据权利要求1任一项所述的复杂结构非线性动力分析的改进的广义α法，其特征在于，初始位移和初始速度均为0，即u₀＝0且

初始加速度

Images