CN110733667A - 地月平动点轨道间转移设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种地月平动点轨道间转移设计方法，包括以下步骤：a.在地球‑月球质心会合坐标系下建立探测器的轨道动力学方程；b.存储平动点不变流形数据；c.搜索转移轨道拼接点范围；d.确定平动点轨道间最优转移轨道。本发明依据平动点轨道不变流形状态量快速确定不同轨道段的拼接点位置，自动调整逃逸点与捕获点位置，以及目标轨道的尺寸，能够有效地设计出满足任务要求的低能量转移轨道。

Description

地月平动点轨道间转移设计方法

技术领域

本发明涉及航天器轨道设计与优化技术领域，尤其涉及一种地月平动点轨道间转移设计方法。

背景技术

地球-月球三体系统中存在着5个平动点，其中L1与L2点位于月球两侧，是月球探测任务实施的最佳落脚点。2011年NASA提出在地月平动点设计前哨计划，不仅能够探测地月空间环境变化，还能够作为未来地月空间物资运输访问、火星探测和载人小行星任务的中转站。同时，地月系统L1与L2点附近平动点轨道间往往存在着低能量转移轨道，结合此类型轨道进行拓展性任务，能够有效地提升探测器的应用价值。

平动点轨道间转移任务通常采用自然转移和非自然转移。相同能量的平动点轨道之间能够构造出零消耗的自然转移轨道。例如Parker结合庞加莱截面映射，研究了地月系平面限制性三体轨道间自然转移，采用多重打靶法设计了复杂的转移轨道，此类型轨道仅适用于相同能量的平动点轨道间，且部分情况探测器飞行周期长(Parker J S,Davis K E,Born G H.Chaining periodic three-body orbits in the Earth-Moon system[J].ActaAstronautica,2010,67:623-638)。

非自然转移需要借助脉冲或小推力实现轨道拼接。Davis在二体模型下定义形状参数K，分析了此参数与速度增量的关系，并基于主矢量法确定了最优脉冲施加时刻，根据主矢量变化曲线判断终端机动方向，最终设计出燃料最优的多脉冲转移轨道(Davis K E,Anderson R L,Scheeres D J,Born G H.The use of invariant manifolds fortransfers between unstable periodic orbits of different energies[J]CelestialMechanics and Dynamical Astronomy,2013,117:201-213)。Zeng提出了一种基于极大值原理与序列二次规划混合策略设计了最优小推力转移，并通过分层搜索方法提高了设计方法的适用性。针对3个共线平动点与2个三角平动点附近不同类型轨道间的燃料最优转移轨迹，但未给出特征点的选取依据及不同特征点对探测器燃料消耗的影响(Zeng Hao,ZhangJingrui.Modeling low-thrust transfers between periodic orbits about fivelibration points:manifolds and hierarchical design[J].Acta Astronautica,2018,145:408-423)。

因此，针对地月L1点和L2点平动点轨道间最优转移设计，在复杂三体动力学系统中，如何快速地确定合适的拼接点，并综合考虑平动点轨道逃逸点与捕获点的影响；如何根据初始平动点轨道有效地搜索计算出目标平动点轨道尺寸成为突出问题。

发明内容

本发明的目的在于解决上述问题，并提供一种地月平动点轨道间转移设计方法。

为实现上述发明目的，本发明提供一种地月平动点轨道间转移设计方法，包括以下步骤：

a.在地球-月球质心会合坐标系下建立探测器的轨道动力学方程；

b.存储平动点不变流形数据；

c.搜索转移轨道拼接点范围；

d.确定平动点轨道间最优转移轨道。

根据本发明的一个方面，在所述步骤(a)中，所述质心会合坐标系的原点为地月系统的质心，x轴由地球指向月球，y轴位于地月平面内垂直于x轴，z轴与地月系统的角动量方向一致；

在所述质心会合坐标系下，所述轨道动力学方程为：

其中势能函数U与距离量表示为：

表征探测器在所述质心会合坐标系中的状态量，μ表示地月系统的质量系数，r_EP和r_MP分别为探测器与地球、月球之间的相对距离。

根据本发明的一个方面，在所述步骤(b)中，依据状态转移矩阵Φ(t,t₀)确定一个轨道周期的M矩阵，即M＝Φ(t₀+T,t₀)；

通过矩阵M的特征值与特征向量确定不变流形的方向，其中

式中，0₃与I₃分别为3×3阶零矩阵与单位矩阵，联立所述轨道动力学方程求解任意时刻的状态转移矩阵Φ(t,t₀)，为势能函数关于位置量的二阶偏导数；

平动点轨道上任意给定时刻t对应矩阵M的特征向量为：

其中，

与分别为M矩阵中不稳定流形与稳定流形对应的特征向量，则不稳定流形与稳定流形在t时刻的线性近似状态量满足：

其中，下标“u”与“s”分别表征不稳定流形与稳定流形对应的状态量，X(t)为平动点轨道上状态量，d_m＝50，正负符号对应不变流形的方向。

根据本发明的一个方面，在所述步骤(c)中，包括：

c1.确定自由变量集合:

采用时间变量τ表示平动点轨道上状态量，以时间变量α描述流形对应时刻的状态量，同时，分别考虑单脉冲转移方案与多脉冲转移方案，所述单脉冲转移方案的自由变量满足：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt]^T；

结合多重打靶法，所述多脉冲转移方案的自由变量为：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt,ΔV₁,T₁,...,T_n-1,X₂,...,X_n-1]^T；

式中，C_jt为目标轨道的雅克比常数，ΔV₁为逃逸机动矢量，T₁,...,T_n-1为各阶段飞行时间，X₂,...,X_n-1为拼接点状态量；

c2.流形数据存储：

在一个轨道周期内，对初始与目标平动点轨道等时间间隔划分为360个点，对状态量与时间量(τ,α)进行选择与存储，选择标准包括：

i.流形边界范围满足x∈(x_min,x_max)，其中x_min和x_max分别为L1点和L2点平动点轨道最小x值与最大x值；

ii.若流形近月距小于月球半径，则仅保存相交前的流形状态量,最终得到包含流形位置与速度量的矩阵，定义不稳定流形状态矩阵为n₁×6维X^u＝[r^u,v^u]^T，稳定流形矩阵为n₂×6维X^s＝[r^s,v^s]^T；

c3.全局优化搜索：

利用全局优化算法，对流形数据X^u与X^s进行分析，其中优化性能指标为：

其中，||Δr_SU||和||Δv_SU||为不稳定流形与稳定流形的距离量与速度量差值，系数

所述全局算法为遗传算法；

c4.通过最小J_GA给出最终的拼接点大致区域范围，进而从存储的流形数据中反解推算出自由变量D_S的初值条件。

根据本发明的一个方面，在所述步骤(d)中，首先结合局部优化算法求解自由变量，确定满足燃料最优转移的拼接点位置，则所述单脉冲转移方案的目标函数与约束为：

minJ_SQP＝||ΔV||＝||v_s(τ_t,α_t,C_jt)-v_u(τ_i,α_i)||；

F₁(D_s)＝r_s(τ_t,α_t,C_jt)-r_u(τ_i,α_i)＝0；

所述多脉冲转移方案的目标函数与约束方程满足：

其中，r_i ^t为第i-1个拼接点积分时间t后的位置量，r_i为第i个拼接点状态量；

然后推导约束矢量关于自由变量的偏导数

最后利用序列二次规划算法对自由变量D_s进行优化，迭代求解能够满足所述单脉冲转移方案及所述多脉冲转移方案约束方程的燃料最优转移轨道。

根据本发明的一个方案，通过对初始与目标平动点轨道的流形状态量进行存储与优化搜索等一系列处理，能够有效地确定合适的拼接点位置。

根据本发明的一个方案，结合给定的约束条件与优化方法，求解过程中可自主调整目标轨道的尺寸，以及初始轨道逃逸点和目标轨道捕获点的位置，有效避免特征点选取不确定性的影响，提高设计可靠性与结果的最优性。

根据本发明的一个方案，根据不同的飞行时间与燃料消耗等任务要求，选取不同的平动点轨道、不同的脉冲转移方案，能够完成相应的轨道转移设计任务，能够为未来探测器进行月球探测、往返于不同平动点轨道间等拓展性任务提供参考。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1示意性表示本发明的一种实施方式的地月质心会合坐标系示意图；

图2示意性表示本发明的一种实施方式的平动点轨道的稳定流形与不稳定流形示意图；

图3示意性表示本发明的一种实施方式的转移轨道及设计变量与策略示意图；

图4示意性表示本发明的一种实施方式的L1点Halo与L2点Vertical轨道之间单脉冲转移轨道示意图；

图5示意性表示本发明的一种实施方式的不同工况下单脉冲转移速度增量与时间对比分析图；

图6示意性表示本发明的一种实施方式的L1点Halo与L2点Vertical轨道之间三脉冲转移轨道示意图；

图7示意性表示本发明的一种实施方式的不同工况下多脉冲转移速度增量与时间对比分析图。

具体实施方式

为了更清楚地说明本发明实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对实施方式中所需要使用的附图作简单地介绍。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员而言，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

在针对本发明的实施方式进行描述时，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”所表达的方位或位置关系是基于相关附图所示的方位或位置关系，其仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此上述术语不能理解为对本发明的限制。

本发明的地月平动点轨道间转移设计方法，包括以下步骤：

a.在地球-月球质心会合坐标系下建立探测器的轨道动力学方程。图1示意性表示本发明的一种实施方式的地月质心会合坐标系示意图。如图1所示，质心会合坐标系的原点为地月系统的质心，x轴由第一主天体(即地球)指向第二主天体(即月球)，y轴位于地月平面内垂直于x轴，z轴与地月系统的角动量方向一致。

在质心会合坐标系下，探测器的轨道动力学方程为：

其中势能函数U与距离量表示为：

表征探测器在质心会合坐标系中的状态量，μ表示地月系统的质量系数，r_EP和r_MP分别为探测器与地球、月球之间的相对距离。

b.存储平动点不变流形数据。依据状态转移矩阵Φ(t,t₀)确定一个轨道周期的M矩阵，即M＝Φ(t₀+T,t₀)。

通过矩阵M的特征值与特征向量确定不变流形的方向，其中

式中，0₃与I₃分别为3×3阶零矩阵与单位矩阵，联立步骤(a)中的轨道动力学方程求解任意时刻的状态转移矩阵Φ(t,t₀)，为势能函数关于位置量的二阶偏导数；

平动点轨道上任意给定时刻t对应矩阵M的特征向量为：

其中，

与

分别为M矩阵中不稳定流形与稳定流形对应的特征向量，则不稳定流形与稳定流形在t时刻的线性近似状态量满足：

其中，下标“u”与“s”分别表征不稳定流形与稳定流形对应的状态量，X(t)为平动点轨道上状态量，d_m＝50，正负符号对应不变流形的方向，如图2所示。

c.搜索转移轨道拼接点范围。此步骤为求解拼接点大致区域，需要对初始轨道的不稳定流形和目标轨道的稳定流形全局结构进行分析，具体的搜索方法包括：

c1.确定自由变量集合:

图3示意性表示本发明的一种实施方式的转移轨道及设计变量与策略示意图。如图3所示的平动点轨道之间转移轨道，采用时间变量τ表示平动点轨道上状态量，以时间变量α描述流形对应时刻的状态量，同时，分别考虑单脉冲转移方案与多脉冲转移方案，单脉冲转移方案的自由变量满足：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt]^T；

针对多脉冲转移方案，结合图3c所示的多重打靶法，自由变量为：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt,ΔV₁,T₁,...,T_n-1,X₂,...,X_n-1]^T；

式中，C_jt为目标轨道的雅克比常数，ΔV₁为逃逸机动矢量，T₁,...,T_n-1为各阶段飞行时间，X₂,...,X_n-1为拼接点状态量；

c2.流形数据存储：

在一个轨道周期内，对初始与目标平动点轨道等时间间隔划分为360个点，对状态量与时间量(τ,α)进行选择与存储，选择标准包括：

i.流形边界范围满足x∈(x_min,x_max)，其中x_min和x_max分别为L1点和L2点平动点轨道最小x值与最大x值；

ii.若流形近月距小于月球半径，则仅保存相交前的流形状态量,最终得到包含流形位置与速度量的矩阵，定义不稳定流形状态矩阵为n₁×6维X^u＝[r^u,v^u]^T，稳定流形矩阵为n₂×6维X^s＝[r^s,v^s]^T；

c3.全局优化搜索：

利用全局优化算法，即遗传算法，对流形数据X^u与X^s进行分析。由于搜索过程中不含轨道积分，进一步提高全局优化搜索的效率。其中优化性能指标为：

其中，||Δr_SU||和||Δv_SU||为不稳定流形与稳定流形的距离量与速度量差值，此判断条件能够有效地去除空间中相对距离较远的点。系数

为取整符号。

c4.通过最小J_GA给出最终的拼接点大致区域范围，进而从存储的流形数据中反解推算出自由变量D_S的初值条件。

d.确定平动点轨道间最优转移轨道。

通过步骤(c)仅能确定拼接点的大致范围，不能保证不稳定流形末端和稳定流形末端位置连续，首先需要结合局部优化算法求解自由变量，确定满足燃料最优转移的拼接点位置，则单脉冲转移方案的目标函数与约束为：

minJ_SQP＝||ΔV||＝||v_s(τ_t,α_t,C_jt)-v_u(τ_i,α_i)||；

F₁(D_s)＝r_s(τ_t,α_t,C_jt)-r_u(τ_i,α_i)＝0；

多脉冲转移方案的目标函数与约束方程满足：

其中，r_i ^t为第i-1个拼接点积分时间t后的位置量，r_i为第i个拼接点状态量。

然后推导约束矢量关于自由变量的偏导数

最后利用序列二次规划算法对自由变量D_s进行优化，迭代求解能够满足单脉冲转移方案及多脉冲转移方案约束方程的燃料最优转移轨道。

为了验证方法的可行性，针对L1点Halo轨道与L2点Vertical轨道间的不同任务要求的转移轨道设计，分别对单脉冲与多脉冲设计方案进行分析。在单脉冲转移设计中，选取L1点Halo轨道的雅克比常数C_j＝3.134，多脉冲方案中选取L1点Halo轨道的雅克比常数C_j＝3.144，同时仅考虑任务总飞行时间小于40天的情况。

结合上述设计步骤，设计了满足任务要求的Halo轨道与Vertical轨道间单脉冲转移轨道。图4示意性表示本发明的一种实施方式的L1点Halo与L2点Vertical轨道之间单脉冲转移轨道示意图。如图4所示，A表征平动点轨道，B与C分别对应不稳定流形与稳定流形。分析可知：合适的拼接点位于月球附近，探测器沿着不稳定流形航行18.522天后，仅需施加机动增量11.84m/s便可实现探测器的转移任务，继续飞行14,324天后到达目标Vertical轨道，总飞行32.846天。

为了验证所提设计策略的有效性，选取不同的初始Halo轨道完成相应的轨道设计任务，不同工况下的轨道速度增量与飞行时间对比分析图如图5所示。由图可知：总速度增量呈现先减小后增大的趋势，而飞行时间随着雅克比常数的增大逐渐减小。具体地，总速度增量范围满足ΔV＝(11.84,26,32)m/s，总飞行时间介于30.94天至40天，探测器平均需要沿着不稳定流形航行20.359天，继续沿着稳定流形飞行15.076天抵达目标Vertical轨道。

针对多脉冲转移方案，平动点轨道间转移轨迹如图6所示，其中机动点1至机动点3为拼接不稳定流形与稳定流形的过渡轨道。同时，不同工况的速度增量(针状图)与飞行时间(曲线)变化曲线如图7所示。分析可知：对单脉冲转移比较，速度增量与飞行时间的变化趋势相近，对于相同雅克比常数的平动点轨道任务，多脉冲轨道转移需要消耗更大的速度增量，约为6.715m/s至58.278m/s改变轨道结构，且机动位置发生变化，但飞行时间能够有效地减少0.422天至4.918天。

根据上述验证结果，L1点Halo轨道与L2点Vertical轨道的单脉冲转移适合于燃料消耗与飞行时间折中的转移任务，而多脉冲转移策略适合于对时间限制的任务。同时，验证了所提设计策略的有效性与可行性。以上对不同参数条件下转移轨道特性的研究与分析，对于未来探测器进行往返平动点轨道拓展性任务、参数的选择等方面具有借鉴意义。

综上所述，本发明基于地球-月球-探测器圆型限制性三体系统，结合不变流形状态量进行全局搜索，快速确定合适的拼接点位置，通过单脉冲机动与多脉冲机动的方式实现探测器的平动点轨道间的转移设计。此方法具有所需速度增量小，适用范围广，计算时间较短等特点，能够适用于地月L1点与L2点之间不同类型的平动点轨道的转移设计。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细地描述，实施方式不能在此一一赘述，但本发明的实施方式并不因此限定于以下实施方式。

以上所述仅为本发明的一个实施方式而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种地月平动点轨道间转移设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

a.在地球-月球质心会合坐标系下建立探测器的轨道动力学方程；

b.存储平动点不变流形数据；

c.搜索转移轨道拼接点范围；

d.确定平动点轨道间最优转移轨道。

2.根据权利要求1所述的地月平动点轨道间转移设计方法，其特征在于，在所述步骤(a)中，所述质心会合坐标系的原点为地月系统的质心，x轴由地球指向月球，y轴位于地月平面内垂直于x轴，z轴与地月系统的角动量方向一致；

在所述质心会合坐标系下，所述轨道动力学方程为：

其中势能函数U与距离量表示为：

表征探测器在所述质心会合坐标系中的状态量，μ表示地月系统的质量系数，r_EP和r_MP分别为探测器与地球、月球之间的相对距离。

3.根据权利要求2所述的地月平动点轨道间转移设计方法，其特征在于，在所述步骤(b)中，依据状态转移矩阵Φ(t,t₀)确定一个轨道周期的M矩阵，即M＝Φ(t₀+T,t₀)；

通过矩阵M的特征值与特征向量确定不变流形的方向，其中

式中，0₃与I₃分别为3×3阶零矩阵与单位矩阵，联立所述轨道动力学方程求解任意时刻的状态转移矩阵Φ(t,t₀)，

为势能函数关于位置量的二阶偏导数；

平动点轨道上任意给定时刻t对应矩阵M的特征向量为：

其中，

与

分别为M矩阵中不稳定流形与稳定流形对应的特征向量，则不稳定流形与稳定流形在t时刻的线性近似状态量满足：

其中，下标“u”与“s”分别表征不稳定流形与稳定流形对应的状态量，X(t)为平动点轨道上状态量，d_m＝50，正负符号对应不变流形的方向。

4.根据权利要求3所述的地月平动点轨道间转移设计方法，其特征在于，在所述步骤(c)中，包括：

c1.确定自由变量集合:

采用时间变量τ表示平动点轨道上状态量，以时间变量α描述流形对应时刻的状态量，同时，分别考虑单脉冲转移方案与多脉冲转移方案，所述单脉冲转移方案的自由变量满足：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt]^T；

结合多重打靶法，所述多脉冲转移方案的自由变量为：

D_S＝[τ_i,α_i,τ_t,α_t,C_jt,ΔV₁,T₁,...,T_n-1,X₂,...,X_n-1]^T；

式中，C_jt为目标轨道的雅克比常数，ΔV₁为逃逸机动矢量，T₁,...,T_n-1为各阶段飞行时间，X₂,...,X_n-1为拼接点状态量；

c2.流形数据存储：

在一个轨道周期内，对初始与目标平动点轨道等时间间隔划分为360个点，对状态量与时间量(τ,α)进行选择与存储，选择标准包括：

i.流形边界范围满足x∈(x_min,x_max)，其中x_min和x_max分别为L1点和L2点平动点轨道最小x值与最大x值；

ii.若流形近月距小于月球半径，则仅保存相交前的流形状态量,最终得到包含流形位置与速度量的矩阵，定义不稳定流形状态矩阵为n₁×6维X^u＝[r^u,v^u]^T，稳定流形矩阵为n₂×6维X^s＝[r^s,v^s]^T；

c3.全局优化搜索：

利用全局优化算法，对流形数据X^u与X^s进行分析，其中优化性能指标为：

其中，||Δr_SU||和||Δv_SU||为不稳定流形与稳定流形的距离量与速度量差值，系数

所述全局算法为遗传算法；

c4.通过最小J_GA给出最终的拼接点大致区域范围，进而从存储的流形数据中反解推算出自由变量D_S的初值条件。

5.根据权利要求4所述的地月平动点轨道间转移设计方法，其特征在于，在所述步骤(d)中，首先结合局部优化算法求解自由变量，确定满足燃料最优转移的拼接点位置，则所述单脉冲转移方案的目标函数与约束为：

minJ_SQP＝||ΔV||＝||v_s(τ_t,α_t,C_jt)-v_u(τ_i,α_i)||；

F₁(D_s)＝r_s(τ_t,α_t,C_jt)-r_u(τ_i,α_i)＝0；

所述多脉冲转移方案的目标函数与约束方程满足：

其中，

为第i-1个拼接点积分时间t后的位置量，r_i为第i个拼接点状态量；

然后推导约束矢量关于自由变量的偏导数

最后利用序列二次规划算法对自由变量D_s进行优化，迭代求解能够满足所述单脉冲转移方案及所述多脉冲转移方案约束方程的燃料最优转移轨道。

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