CN110717145A - 基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法 - Google Patents

基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法 Download PDF

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Abstract

本发明提出基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯‑约当消元法，属于电力系统分析计算领域。主要步骤包括：读取Y阵及系统数据；构成n*2n阶特殊增广阵[YE]；判断并记录Y阵第i行非零元素信息于数组Sij，并对称赋值给第i列相应的非零元素，用取倒的对角元素规格化[YE]阵中部分元素；根据数组Sij对Y阵下三角元素按列正向消元，用四角规则计算[YE]阵交叉元素所在列和消元元素所在行交互点上的部分元素，得[Y(n‑1)′E(n‑1)′]阵；再根据数组Sij对Y(n‑1)′阵上三角第i行的非零元素反向按行消元，不计算Y(n‑1)′阵中的任何元素，仅计算E(n‑1)′阵中部分元素，得[Y(n)″E(n)″]阵；将Z阵数据写入数据文件。与传统约当法相比，本方法求取IEEE‑57～‑300节点系统Z阵的计算速度可提高90％以上。

Description

基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法
技术领域
本发明属于电力系统分析计算领域，具体涉及一种基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法，应用于求解电力系统节点阻抗矩阵，可用于电力系统等工程领域的相关计算。
背景技术
传统高斯-约当消元法(约当法)派生于传统高斯消元法(高斯法)，均用于求解变系数而不是常系数方程，两者计算原理类似，但计算过程不同。理论计算中的约当法同时对上下三角元素消元，没有回代直接得到方程解，高斯法一般对下三角元素消元，用上三角元素回代得到方程解。表面上看，约当法的计算过程似乎更简单，但实际上由于约当法对上三角元素的消元计算比高斯法用上三角元素的回代计算更为复杂，因此约当法的计算速度总是低于高斯法。也由于约当法是同时对上下三角元素消元，因此对对称矩阵下三角元素消元时难以利用元素的对称性；对上三角元素消元时有大量的无效计算；对上下三角元素消元时均须应用计算公式，不利于计算过程的理解和编程；未将取倒后的对角元素作为规格化因子，造成大量的除法计算；对上下三角元素消元时均无法利用矩阵稀疏性等等。此外，其求解过程与高斯法一样，将对n阶方程的求解分解成分别对n个n*(n+1)阶方程的求解，不但计算过程冗余且不易展现及利用相关矩阵元素的计算规律。上述问题使约当法的应用受到很大限制。
另一方面，在电力系统分析计算中，由于节点阻抗矩阵Z所含电力系统节点信息比节点导纳矩阵Y多得多，因此求取Z阵对于电力系统计算分析尤为必要。纯数学计算中由于Y阵和Z阵是低阶实数矩阵，因此求取Z阵的方法有直接求逆法、支路追加法、LDU分解法等，但这些方法对电力系统计算中的高阶复数Y阵和Z阵的应用受到很大的限制，甚至无法应用。如工程计算中由于系统规模巨大，绝不以直接求逆法求取Z阵；同样由于系统规模和计算过程繁琐复杂，不适合系统运行方式的变化等原因，支路追加法也不会用于求取Z阵。工程计算中求取高阶复数Z阵的方法一般用LDU三角分解法，但若用LDU三角分解法求解一个n阶Z阵，则需求解2n个中间矩阵Wk、Hk阵，再求解n个相应的Zk阵，而计算每个l、d、u元素均需4～5个元素，因此其求解速度受到很大限制。约当法由于仅被用于求解变系数而不是常系数方程，因此从未考虑将其用于求取Z阵。
发明内容
为克服对约当法计算原理理解不透、计算过程的应用不当、无法应用稀疏矩阵技术、计算效率不理想、无法求解常系数方程等问题，本发明提出一种基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法，并将其应用于求解电力系统Z阵。本发明是通过以下技术方案实现，主要步骤如下：
步骤1：打开数据文件，读取Y阵及系统数据到相关数组；
步骤2：将n阶Y阵与n阶E阵构成n*2n阶特殊增广阵[YE]；
(1)传统约当法增广阵的问题
传统约当法求解n阶方程AX＝F是分别建立n个增广阵[AFk]，并分别求解n个列方程AXk＝Fk，使得约当法计算效率极其低下。
如LDU法求解方程YZ＝E是分别建立n个增广阵[YEk]，分别求解n个列方程YZk＝Ek，其Y阵元素特点不明显，导致其上下三角元素消元均需参考或利用高斯法计算公式，计算过程冗余繁琐，不利计算过程理解和编程；不利于求解常系数方程，且由于分别求解的Zk阵也不利于Z阵元素对称性应用；E阵元素结构特点不明显而不能利用该特点简化E阵元素计算；对对称矩阵按第1～n列、从上往下约当消元的过程使其下三角元素难以实现对称算法，对上三角元素消元时，大量元素被重复计算；且稀疏矩阵技术无法在约当法中得以应用，计算速度受到很大影响。
(2)建立特殊增广阵
由于求解YZk＝Ek方程时，对Y阵第n次约当消元后其第1～k列的计算结果与对Y阵第k次约当消元后第1～k列的计算结果完全相同，因此可用Y阵第n次约当消元中第1～k列计算结果与各个Ek阵同时求解Zk阵，而不必反复对n个[YEk]阵进行约当消元。为此可将Y、E阵构成特殊增广阵[YE]如式(1)，直接求取YZ＝E方程，从而大大提高计算效率。
Figure BDA0002207660730000021
步骤3：判断Y阵第i行规格化前对角元以右的非零元素，在非零元素信息数组Sij中记录非零元素列号和个数sij，并按对称性将第i行规格化前的非零元素赋值给第i列对角元以下的相应元素，再将对角元素取倒，规格化Y阵第i行对角元以右的非零元素和E阵第i行、第1～i列的元素；
(1)判断Y阵第i行规格化前对角元以右的非零元素，在数组Sij中记录其列号和个数sij，按对称性将第i行规格化前的非零元素赋值第i列对角元以下的相应元素；
传统约当法在运算过程中未考虑应用稀疏矩阵技术，消元过程中需计算[YE]阵的全部元素，有大量的无效计算。因此，传统约当法在消元过程中没有对规格化前对角元以右非零元素的判断；也没有本发明中仅记录非零元素列号和个数sij；更没有按对称性将规格化前对角元以右的非零元素直接赋值给对角元以下的相应元素，计算效率极低。
(2)将对角元素取倒，规格化Y阵第i行对角元以右的非零元素和E阵第i行、第1～i列的元素；
传统约当法中在规格化前未将对角元素取倒，因此其规格化计算中含大量的除法运算，而且对Y阵和E阵第i行的所有元素规格化，因此计算效率极低。
步骤4：对Y阵下三角元素按第1～n-1列、从上往下正向按列消元，根据数组Sij所记录的第i行对角元以右非零元素的列号和个数sij，用四角规则计算对Y阵第i列元素消元时，其第i行对角元以右非零元素所在列和第i列对角元以下非零元素所在行的交互点上的对角元素和上三角元素以及E阵第i行以下、第1～i列的部分对角元素和下三角元素，消元完成后得[Y(n-1)′E(n-1)′]阵；
(1)不应用稀疏矩阵技术对Y阵下三角元素按第1～n-1列正向按列消元；
传统约当法中是同时对Y阵上下三角元素按第1～n-1列、从上往下按列消元，不但难以应用稀疏矩阵技术，且在消元过程中无法实现对下三角元素对称计算、对上三角元素的简化计算、对E阵元素的简化计算，必须计算Y阵和E阵的所有元素，计算效率和计算速度极低。
1)假设将传统约当法同时对Y阵上下三角元素按第1～n列、从上往下的正向按列消元分成先对Y阵下三角元素按第1～n-1列按列消元，不利用元素对称性对Y阵第i列元素消元时，需计算Y阵和E阵第i行以下和第i列以右的所有元素，消元完成后其计算式为[Y(n -1)′E(n-1)′]，展开后如式(2)。元素上标表示元素被计算的次数。
Figure BDA0002207660730000031
Figure BDA0002207660730000032
2)对Y阵下三角元素按第1～n-1列、从上往下正向按列消元，利用元素对称性，仅计算相应Y阵中第i行以下和第i列以右的对角元素和上三角元素以及E阵中第i行以下、第1～i列的部分对角元素和下三角元素，消元完成后其计算式也为[Y(n-1)′E(n-1)′]，展开后如式(3)。由于下三角元素只有1次赋值计算，因此式(3)的Y(n-1)′阵中所有下三角元素的上标均为1；且式(3)的E(n-1)′阵中所有上三角元素均未被计算，而其下三角元素的上标均从其行号开始按“-1”递减。比较式(2)和式(3)可以看出，式(3)中元素被计算的次数大大减少。
(2)应用对称稀疏矩阵技术对Y阵下三角元素按第1～n-1列、从上往下正向按列消元，用四角规则计算对Y阵第i列元素消元时，其第i行对角元以右非零元素所在列和第i列对角元以下非零元素所在行的交互点上的对角元素和上三角元素以及E阵第i行以下、第1～i列的对角元素和下三角元素，消元完成后得[Y(n-1)′E(n-1)′]阵；
利用Y阵元素对称性，仅计算Y阵中相应的对角元素及上三角元素以及E阵中相应的对角元素和下三角元素，对Y阵第k列下三角元素消元前后的简化矩阵如式(4)，其各元素定义如下：
Figure BDA0002207660730000041
对角元素(规格化前取倒的规格化因子)；
Figure BDA0002207660730000043
规格化前(规格化后)的交叉元素，对角元素同行以右；
yk+1，k、yjk、
Figure BDA0002207660730000044
原Y阵元素(赋值后的消元元素)，对角元素同列以下；
Figure BDA0002207660730000045
Figure BDA0002207660730000046
计算元素的前值(新值)，交叉元素和消元元素交互点上的对角元素和上三角元素。
1)不考虑稀疏性时，对Y阵第k列下三角元素消元计算过程：将Y阵对角元同行以右规格化前的所有交叉元素
Figure BDA0002207660730000047
对应赋值给对角元素同列以下的原Y阵元素yk+1，k～ynk，得所有消元元素
Figure BDA0002207660730000048
将对角元素取倒，规格化其右的所有交叉元素得对消元元素消元，计算交叉元素和消元元素交互点上的对角元素和上三角元素，得其新值
Figure BDA00022076607300000411
Figure BDA00022076607300000412
传统约当法对Y阵下三角元素消元需借用高斯法消元计算公式，其应用和编程均极为不便。但如果将高斯法消元公式转换成文字可表述为：对角元素为参考元素，计算元素新值＝其前值-消元元素*规格化后的交叉元素。因此对下三角元素
Figure BDA00022076607300000413
消元，需分别计算
Figure BDA00022076607300000414
和
Figure BDA00022076607300000415
所有元素，其中
Figure BDA00022076607300000416
四个元素的计算式可按文字表述直接写出如下：
Figure BDA0002207660730000051
Figure BDA0002207660730000052
由于参加计算四个元素均在矩形的四个角上，故称四角规则。因此根据四角规则，即根据元素在矩阵中位置可直接写出相应计算式而无需计算公式，也无需考虑元素上下标，对Y阵上三角元素消元同样可按四角规则直接写出计算式。
上述计算中始终不计算下三角元素，每列的下三角元素均是在消元前由对应的行未规格化的元素直接赋值得到。
2)考虑稀疏性时，对Y阵第k列下三角元素消元计算过程：判断Y阵对角元同行以右规格化前非零的交叉元素如仅
Figure BDA0002207660730000053
和二个，对应赋值给对角元素同列以下的原Y阵元素得二个非零的消元元素
Figure BDA0002207660730000055
和将对角元素
Figure BDA0002207660730000057
取倒，规格化其右非零的交叉元素得
Figure BDA0002207660730000058
对
Figure BDA0002207660730000059
和
Figure BDA00022076607300000510
二个元素消元，仅计算Y阵中非零的交叉元素和消元元素交互点上的三个对角元素和上三角元素构成的计算元素
Figure BDA00022076607300000511
其余元素无需计算。对E阵元素则无需非零判断，直接计算
Figure BDA00022076607300000512
二行元素。
用对称稀疏矩阵技术对Y阵下三角元素n-1次消元后，[YE]阵变成[Y(n-1)′E(n-1)′]阵，其展开后如式(5)。此时Y(n-1)′阵仍然为稀疏矩阵，而E(m-1)′阵为下三角满阵，其上三角元素仍然全部为零，未参与任何运算。[Y(n-1)′E(n-1)′]阵中元素用单撇号“′”以示与[YE]阵元素的区别。
Figure BDA00022076607300000513
步骤5：对Y(n-1)′阵上三角元素按第n-1～1行、从左往右反向按行消元，根据数组Sij中记录的第i行非零元素数据对Y(n-1)′阵上三角第i行的非零元素消元，不计算Y(n-1)′阵中第i行的任何元素，仅用四角规则计算E(n-1)′阵中第i行、第1～i列的元素，循环结束得[Y(n)″E(n)″]阵；
(1)对上三角元素按第n-1～1行、从左往右反向按行消元；
(2)根据数组Sij记录的第i行非零元素数据对Y(n-1)′阵上三角第i行的非零元素消元，无需判断、也无需计算Y(n-1)′阵中第i行的任何元素，用四角规则仅计算E(n-1)′阵中第i行、第1～i列的元素；
传统约当法是同时对Y阵上下三角元素从第1～n列、从上往下正向按列消元，对上三角元素消元时，不但要计算消元元素右侧Y(n-1)′、E(n-1)′阵中的所有元素，而且无法应用稀疏矩阵技术。
(3)对Y(n-1)′阵上三角元素完成消元得[Y(n)″E(n)″]阵。若不应用稀疏矩阵技术，传统约当法对上下三角元素消元完成后对应的等式如式(6)，而本发明方法对应的等式如式(7)。应用对称稀疏矩阵技术后本发明方法对应等式如式(8)。式(8)中Y(n)″阵仍为稀疏矩阵，E(n)″阵为下三角满阵，其上三角元素仍然全部为零。[Y(n)′E(n)″]阵中元素用双撇号“″”表示，以示与[YE]、[Y(n-1)′E(n-1)′]阵元素的区别。
(4)此时的Y(n)″阵实际上是E阵，而E(n)″阵为Z阵的下三角元素和对角元素；
上述计算过程无需利用Z阵元素的对称性可直接完成Z阵元素的对称计算；Y(n)″阵中元素上标与Y(n-1)′阵中元素上标一样，是由于对Y(n-1)′阵中上三角元素消元求Y(n)″阵元素时，由于工程计算技巧的应用而未计算Y(n-1)′阵中的任何元素，但按理论计算，此时的Y(n)″阵为单位矩阵E。
Figure BDA0002207660730000062
步骤6：将Z阵数据写入数据文件。
本发明方法将约当法的计算原理与工程计算过程紧密结合，并结合工程计算特点拆分约当法计算过程，与传统方法相比，有益效果如下：
(1)针对传统方法仅用于求解变系数方程，应用范围受限的问题，本方法可将其用于求解常系数方程如Z阵。
(2)针对传统方法将对n阶方程求解分成对n个列方程求解，难以展示元素变化规律、计算效率低下问题，本方法构建n*2n阶特殊增广阵。
(3)针对传统方法同时对上下三角元素按列消元，难以应用元素对称性、计算过程繁琐冗余、计算效率低下等问题，本方法分段对Y阵上下三角元素消元。对Y阵下三角元素采用正向对称按列消元，仅计算Y阵的对角元素和上三角元素以及E阵的对角元素和下三角元素，根据对称性得到Y阵的下三角元素；对Y阵上三角元素采用反向按行消元，不计算Y(n-1)′阵中的任何元素，仅计算E(n-1)′阵中对角元素和下三角元素。
(4)针对传统方法无法应用稀疏矩阵技术、计算过程冗余、计算速度低等问题，本方法应用非零元素的快速判断方法、计算元素的快速确定方法、非零元素信息的记录方法，将对称稀疏矩阵技术应用于整个计算过程。
(5)针对传统方法需用计算公式完成消元计算、计算过程繁琐、编程不便等问题，本方法无需计算公式、直接用四角规则完成消元计算。
(6)针对传统方法规格化时未将对角元素取倒的问题，本方法将取倒的对角元素作为规格化因子，减少程序中的除法运算。
(7)针对传统方法计算过程复杂、计算速度慢等问题，本方法简单直观，计算速度可大大提高。
附图说明
图1传统约当消元法求解节点阻抗矩阵Z的计算流程图
图2本发明方法求解节点阻抗矩阵Z的计算流程图
具体实施方式
本申请将通过以下实施例作进一步说明。
分别用不考虑稀疏矩阵技术的传统约当法和高斯法以及本发明方法求取IEEE-57、-118、-300节点系统Z阵，各种方法的平均计算时间比较如表1。
表1各种方法求取Z阵平均计算时间比较
Figure BDA0002207660730000071
t1：约当法平均计算时间；t2：高斯法平均计算时间；t3：本发明方法平均计算时间；t2/t1、t3/t1、t3/t2：高斯法与约当法、本发明方法与约当法、本发明方法与高斯法平均计算时间的百分比。
本实施例中对高斯法仍按[YEk]分别求解Zk阵进而求解Z阵，但由于传统约当法中将n阶方程分成n个列矩阵分别求解的计算效率较低，为比较方便，本实施例中传统约当法与本发明方法一样，是将Y、E阵构成特殊增广阵[YE]求解Z阵，而不是按增广阵[YEk]分别求解Zk阵进而求解Z阵。
根据表1可以看出，高斯法与约当法相比，计算速度约高5～13％，且随着系统规模的增加两者计算速度趋于接近；但本发明方法与约当法或高斯法相比，计算速度均可提高90％以上，且随着系统规模的增加而增加。上述计算结果表明本发明方法根据工程计算的特点，对约当法引入分段对称反向计算等技巧和对称稀疏矩阵技术后，不但可将约当法用于求解常系数方程如Z阵，而且在计算过程中无需利用Z阵元素的对称性可直接实现Z阵元素的对称计算，大大提高求解Z阵的计算速度和计算效率。
本申请方法可采用任何编程语言和编程环境实现。本申请中采用C++编译语言，开发环境是Visual C++。

Claims (1)

1.基于对称稀疏矩阵技术的分段对称反向高斯-约当消元法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：打开数据文件，读取Y阵及系统数据到相关数组；
步骤2：将n阶Y阵与n阶E阵构成n*2n阶特殊增广阵[YE]；
步骤3：判断Y阵第i行规格化前对角元以右的非零元素，在非零元素信息数组Sij中记录非零元素列号和个数sij，并按对称性将第i行规格化前的非零元素赋值给第i列对角元以下的相应元素，再将对角元素取倒，规格化Y阵第i行对角元以右的非零元素和E阵第i行、第1～i列的元素；
(1)判断Y阵第i行规格化前对角元以右的非零元素，在Sij数组中记录其列号和个数sij，按对称性将第i行规格化前的非零元素赋值第i列对角元以下的相应元素；
(2)将对角元素取倒，规格化Y阵第i行对角元以右的非零元素和E阵第i行、第1～i列的元素；
步骤4：对Y阵下三角元素按第1～n-1列、从上往下正向按列消元，根据数组Sij所记录的第i行对角元以右非零元素的列号和个数sij，用四角规则计算对Y阵第i列元素消元时，其第i行对角元以右非零元素所在列和第i列对角元以下非零元素所在行的交互点上的对角元素和上三角元素以及E阵第i行以下、第1～i列的部分对角元素和下三角元素，消元完成后得[Y(n-1)′E(n-1)′]阵；
步骤5：对Y(n-1)′阵上三角元素按第n-1～1行、从左往右反向按行消元，根据数组Sij中记录的第i行非零元素数据对Y(n-1)′阵上三角第i行的非零元素消元，不计算Y(n-1)′阵中第i行的任何元素，仅用四角规则计算E(n-1)′阵中第i行、第1～i列的元素，循环结束得[Y(n)″E(n)″]阵；
(1)对上三角元素按第n-1～1行、从左往右反向按行消元；
(2)根据数组Sij记录的第i行非零元素数据对Y(n-1)′阵上三角第i行的非零元素消元，用四角规则仅计算E(n-1)′阵中第i行、第1～i列的元素；
(3)对Y(n-1)′阵上三角元素完成消元得[Y(n)″E(n)″]阵，E(n)″阵为Z阵的下三角元素和对角元素；
步骤6：将Z阵数据写入数据文件。
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