CN110704891A - 一种沿任意曲线自动铺贴的方法 - Google Patents

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包瑶瑶
梁清
吴家骥
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    • E04—BUILDING
    • E04F—FINISHING WORK ON BUILDINGS, e.g. STAIRS, FLOORS
    • E04F15/00—Flooring
    • E04F15/02—Flooring or floor layers composed of a number of similar elements

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Abstract

本发明公开了一种沿任意曲线自动铺贴的方法，包括以下步骤，首先使用参数方程表示一段曲线Q(t)，铺贴间距为W，沿着曲线找到曲线长度为W的位置，将瓷砖的对齐点(可以是中点或者顶点)置于该位置，瓷砖的一边与曲线切向量
Figure DDA0002167335850000011
平行。使用此方法进行曲线铺贴，砖与砖之间衔接较为圆滑。

Description

一种沿任意曲线自动铺贴的方法
技术领域：
本发明涉及家装领域，具体讲是一种沿任意曲线自动铺贴的方法。
背景技术：
现有的家装设计工具中，瓷砖、地板等大多是沿着直线进行铺贴的，对于需要沿曲线铺贴的场景也都是通过多条线段进行模拟。这样的实现虽然简单，但效果往往过于生硬，如图5，在很多情况下在曲线拐点处砖与砖之间的衔接不够圆滑。
发明内容：
本发明所要解决的技术问题是，提供一种沿任意曲线自动铺贴的方法，该方法具有效果精准、实现高效的优点，使用此方法进行曲线铺贴，砖与砖之间衔接较为圆滑。
本发明的技术解决方案是，提供一种沿任意曲线自动铺贴的方法，包括以下步骤，首先使用参数方程表示一段曲线Q(t)，铺贴间距为W，沿着曲线找到曲线长度为W的位置，将瓷砖的对齐点置于该位置，瓷砖的一边与曲线切向量(u)平行，其中，W大于等于砖宽；
然后再在铺贴间距为2W，3W…处重复上述步骤，即可得到一系列沿着曲线进行铺贴的砖，如图1所示；
整个铺砖的流程图如图2所示。
其中，如何根据铺贴距离计算曲线上铺贴位置是问题的关键，假设用参数方程Q(t)表示一段曲线，曲线长度s＝g(t)，那么s所对应的t则为我们需要的函数，它即是g(t)的反函数，
t＝g-1(s)
将参数t视作时间，曲线长度s视作曲线速率的积分，记曲线速度为Q′(t)，曲线速率则为||Q′(t)||，那么有
因为||Q′(t)≥0||，所以g(t)在曲线上是单调递增的。对于可以求得g-1(t)的曲线(如圆弧)，方程g(t)＝s可以精确求解，对于无法求得g-1(t)的曲线(如三阶贝塞尔曲线)可以近似求解。有多种近似求解的方法。
方法一，通过线性插值近似求解。在曲线上取n个点，使用这n个点构成的折线段拟合曲线。求解t＝g-1(s)时，先定位出所处的线段，再通过线性插值算出t。该方法求解速度较快，随着n值的增加，误差也会不断减小。伪代码描述如下：
Figure BDA0002167335830000021
方法二，通过迭代法逐步缩小t的取值范围，直到取值范围小于误差。这种方法较方法一执行效率差一些，但误差范围可控，效果更好。以牛顿迭代法为例。定义函数
F(t)＝g(t)-s
根据牛顿迭代法有迭代公式
Figure BDA0002167335830000031
其中F′(t)＝g′(t)＝||Q′(t)||，t0可用线性估值的方法取L为曲线总长度。因为t∈[tmin，tmax]，在进行使用牛顿迭代法时需要考虑取值范围。如果ti∈[tmin，tmax]则采纳，如果
Figure BDA0002167335830000033
则取可接受区间的中点。随着迭代次数的增多，可取值区间逐渐缩小，当区间小于可接受的误差时，就求得了s所对应的t。
掌握了根据s求对应t后，就可以沿着一段曲线以任意间隔、任意方式进行铺贴了。对于由多段连续曲线组成的曲线，可将t的范围进行合并。例如有2段曲线C1和C2，其t的范围均为[0，1]，可将区间进行拼接，合并成[0，2]，其中[0，1]用于曲线C1，[1，2]用于曲线C2。对于多段曲线组成的曲线，求g-1(t)可以先通过各段曲线长度定位出位于哪段曲线，再在该曲线上使用前述方法求出在该曲线上的点。伪代码描述如下，
Figure BDA0002167335830000034
Figure BDA0002167335830000041
采用以上方案后与现有技术相比，本发明具有以下优点：使用此发明方法进行曲线铺贴，砖与砖之间衔接较为圆滑。
附图说明：
图1为本发明沿曲面铺贴示意图。
图2位本发明的铺贴流程图。
图3为沿贝塞尔曲线进行铺贴。
图4为沿圆弧形进行铺贴的地坛。
图5为现有技术的铺贴效果图。
具体实施方式：
下面就具体实施方式对本发明作进一步说明：
实施例1
一种沿任意曲线自动铺贴的方法，包括以下步骤，首先使用参数方程表示一段曲线Q(t)，铺贴间距为W，沿着曲线找到曲线长度为W的位置，将瓷砖的对齐点置于该位置，瓷砖的一边与曲线切向量
Figure BDA0002167335830000042
平行，其中，W大于等于砖宽；
然后再在铺贴间距为2W，3W…处重复上述步骤，即可得到一系列沿着曲线进行铺贴的砖，如图1所示；
其中，如何根据铺贴距离计算曲线上铺贴位置是问题的关键，假设用参数方程Q(t)表示一段曲线，曲线长度s＝g(t)，那么s所对应的t则为我们需要的函数，它即是g(t)的反函数，
t＝g-1(s)
将参数t视作时间，曲线长度s视作曲线速率的积分，记曲线速度为Q′(t)，曲线速率则为||Q′(t)||，那么有
Figure BDA0002167335830000051
因为||Q′(t)≥0||，所以g(t)在曲线上是单调递增的。对于可以求得g-1(t)的曲线(如圆弧)，方程g(t)＝s可以精确求解，对于无法求得g-1(t)的曲线(如三阶贝塞尔曲线)可以近似求解。有多种近似求解的方法。
方法一，通过线性插值近似求解。在曲线上取n个点，使用这n个点构成的折线段拟合曲线。求解t＝g-1(s)时，先定位出所处的线段，再通过线性插值算出t。该方法求解速度较快，随着n值的增加，误差也会不断减小。
方法二，通过迭代法逐步缩小t的取值范围，直到取值范围小于误差。这种方法较方法一执行效率差一些，但误差范围可控，效果更好。以牛顿迭代法为例。定义函数
F(t)＝g(t)-s
根据牛顿迭代法有迭代公式
Figure BDA0002167335830000052
其中F′(t)＝g′(t)＝||Q′(t)||，t0可用线性估值的方法取
Figure BDA0002167335830000053
L为曲线总长度。因为t∈[tmin，tmax]，在进行使用牛顿迭代法时需要考虑取值范围。如果ti∈[tmin，tmax]则采纳，如果
Figure BDA0002167335830000054
则取可接受区间的中点。随着迭代次数的增多，可取值区间逐渐缩小，当区间小于可接受的误差时，就求得了s所对应的t。
掌握了根据s求对应t后，就可以沿着一段曲线以任意间隔、任意方式进行铺贴了。对于由多段连续曲线组成的曲线，可将t的范围进行合并。例如有2段曲线C1和C2，其t的范围均为[0，1]，可将区间进行拼接，合并成[0，2]，其中[0，1]用于曲线C1，[1，2]用于曲线C2。对于多段曲线组成的曲线，求g-1(t)可以先通过各段曲线长度定位出位于哪段曲线，再在该曲线上使用前述方法求出在该曲线上的点。
本发明提到方法中曲线不限定形式，实际实施中主要使用圆弧、贝塞尔曲线及直线。圆弧的弧长与弧度参数有等比例关系，可以直接求得t＝g-1(s)，如图4所示。直线与圆弧类似。对于贝塞尔曲线，一般使用三阶贝塞尔曲线，可使用下式表示
Figure BDA0002167335830000061
Figure BDA0002167335830000062
Figure BDA0002167335830000063
Figure BDA0002167335830000064
Figure BDA0002167335830000065
其中
Figure BDA0002167335830000066
为贝塞尔曲线的四个控制点，曲线在t的速率公式为
Figure BDA0002167335830000067
根据前述方法就可以沿如图4所示的圆弧、如图3所示贝塞尔曲线或直线进行铺贴。
除了上面提到的这些常见的曲线，本发明的铺贴方法也可应用于任意光滑曲线。对于沿非圆弧、贝塞尔曲线及直线曲线之外的曲线，根据曲线长度定位砖的位置进行铺贴的方式都是本专利申明范围。

Claims (3)

1.一种沿任意曲线自动铺贴的方法，其特征在于：包括以下步骤，首先使用参数方程表示一段曲线Q(t)，铺贴间距为W，沿着曲线找到曲线长度为W的位置，将瓷砖的对齐点置于该位置，瓷砖的一边与曲线切向量平行，其中，W大于等于砖宽；
然后再在铺贴间距为2W，3W…处重复上述步骤，即可得到一系列沿着曲线进行铺贴的砖；
记曲线长度s＝g(t)，参数t视作时间，曲线长度s视作曲线速率的积分，记曲线速度为Q′(t)，曲线速率则为||Q′(t)||，那么有
Figure FDA0002167335820000012
对于可以求得g-1(t)的曲线，可通过方程g(t)＝s求解；
对于无法求得g-1(t)的曲线可以近似求解。
2.根据权利要求1所述的沿任意曲线自动铺贴的方法，其特征在于：对于无法求得g-1(t)的曲线，可通过线性插值近似求解，在曲线上取n个点，使用这n个点构成的折线段拟合曲线，求解t＝g-1(s)时，先定位出所处的线段，再通过线性插值算出t，根据s求对应t后，就可以沿着一段曲线以任意间隔、任意方式进行铺贴。
3.根据权利要求1所述的沿任意曲线自动铺贴的方法，其特征在于：对于无法求得g-1(t)的曲线，可通过迭代法逐步缩小t的取值范围，直到取值范围小于误差。
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